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ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II

AULA 05

ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II

AULA 05

Site da disciplina:

engpereira.wordpress.com

METODOLOGIA DA DISCIPLINA

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Material disponibilizado:

1 - Programação das aulas:

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Material disponibilizado:

2 - Plano de ensino:

• Objetivos

• Ementa

• Conteúdo programático

• Metodologia do curso

• Bibliografia

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Material disponibilizado:

3 – Slides das aulas que poderão ser impressos para acompanhamentoda disciplina:

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Material disponibilizado:

4 – Tabelas de cálculo, catálogo de fabricantes, artigos, etc..

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Material disponibilizado:

5 – Programas gratuitos para análise estrutural (STRAP, Ftool, etc..)

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Material disponibilizado:

6 – Resolução de alguns exercícios em vídeo.

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Demais informações serão sempre postadas no site.

• Lista de exercícios;

• Resoluções dos exercícios (algumas soluções em vídeo);

• Provas anteriores para estudo;

• Gabaritos;

• Avisos em geral (alterações de sala, vistas de prova, etc...);

• Qualquer informação adicional pertinente à disciplina.

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AULA 05AULA 05

• Determinação da flecha e rotação em vigas isostáticas e hiperestáticassimples

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1 - Condições para adotar modelo bi-apoiado:

a) Não há rigidez nos apoios para transmissão de momento

CONCEPÇÃO ESTRUTURAL

1.1 - Condições para adotar modelo bi-apoiado:

b) Ligação flexível (permite mais que 80% da rotação teórica)

CONCEPÇÃO ESTRUTURAL

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1.2 - Condições para adotar modelo apoiado engastado:

Um dos apoios não permite rotação devido à sua rigidez.

- Gera momento no apoio

engastado.

CONCEPÇÃO ESTRUTURAL

1.3 - Condições para adotar modelo bi-engastado:

Apoios têm rigidez suficiente para impedir rotação

1. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL

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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.1 – Considere uma viga engastada isostática com carregamentoconcentrado na extremidade:

Convenção:

Carregamento para cima (+)

Carregamento para baixo (-)

Hipótese:

Material elástico, flexão-pura (V = 0)

ν – Deslocamento de qualquer ponto do eixo da viga

2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.2 – Durante flexão, cada ponto da viga sofre deflexão(ν) e rotação(θ)

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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.3 – Convenções:

• Deflexão(ν): positiva para cima (observarconvenção dos esforços)

• Rotação(θ): positiva pela “regra da mão direita”

No ponto m1: Deflexão = ν; rotação = θ

No ponto m2: Deflexão = ν + dν; rotação = θ + dθ

� ds – distância de m1 e m2 (arco);

� dθ – ângulo (em rad)

2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.4 – Para vigas com pequenas rotações:• Na prática, as deformações nas vigas das

edificações não possíveis de serem observadassem instrumentação, portanto:

• Por definição ângulo(θ) em radianos é:

s – arco; ρ - raio

• Sabemos que a curvatura é inversamenteproporcional ao raio (quanto maior o raio, menora curvatura), então a curvatura(k) é:

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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.4 – Para vigas com pequenas rotações:• Na prática, as deformações nas vigas das

edificações não são possíveis de seremobservadas sem instrumentação

Portanto:

• Derivando em função de x, temos:

• O primeiro membro da equação acima é acurvatura (conforme slide anterior), então:

• (I)

2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.5 – Lei de Hooke:

Inclinação no regime elástico: (II)

Deformação específica (adimensional): (III)

Definição de momento com equações (II) e (III):

A integral do produto dos elementos de uma área pelo quadrado da distância de umeixo pode ser substituída pela inércia:

(IV)

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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.6 – Conclusão da dedução:

A partir de (I) e (IV), temos:

DEFINIÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA

2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.6 – Convenção de sinais da curvatura:

Curvatura positiva:

Curvatura negativa:

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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.7 – Integração da equação da curvatura:

Derivada do momento: (força cortante)

Derivada da cortante: (carregamento)

(observar convenção do eixo de referência da carga distribuída. Em geral, a carga depeso próprio é positiva, assim algumas bibliografias utilizam a derivada da cortanteigual a -q, entretanto, se adotarmos eixo y para cima, a carga de peso próprio énegativa, desta forma o sinal já está indicado com a carga, como é utilizado em todosos programas de modelagem estrutural)

2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.8 – Vigas com rigidez constante:

Isolando momento da equação da linha elástica:

Derivar os dois membros:

Então:

Derivando novamente: (observar convenção de esforços)

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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.9 – Rotina para resolução:

1º Passo: escrever as equações de momento da viga;

2º Passo: substituir equação de momento na equação da linha elástica;

3º Passo: integrar duas vezes para isolar a deflexão.

As integrações geram constantes C1 e C2

4º Passo: determinar as constantes C1 e C2 de acordo com condições decontorno

2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.10 – Condições de contorno:

Nos apoios não há deflexão. Somente engaste produz momento.

Deflexão e momento = 0

Deflexão e momento = 0

Deflexão e rotação = 0

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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO

2.11 – Vigas bi-apoiadas:

Nos apoios não há deflexão nem momento.

3. EXERCÍCIO

3 – Qual é a deflexão máxima e a rotação nos apoios da viga abaixocom rigidez constante?

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3 EXERCÍCIO

1º Passo: determinar a equação do momento fletor

3 EXERCÍCIO

2º Passo: substituir equação de momento obtida na equação da linhaelástica.

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3 EXERCÍCIO

3º Passo: integração dupla

Primeira integração:

Segunda integração:

3 EXERCÍCIO

4º Passo: determinar condições de contorno e C1 e C2

Momentos e deflexões inexistentes nos apoios

Então:

Para determinação das constantes, substituir na equação da linha elástica daviga

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3 EXERCÍCIO

Substituição para determinação das constantes C1 e C2:

3 EXERCÍCIO

5º Passo: substituir C1 e C2 na equação da linha elástica

Substituindo:

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3 EXERCÍCIO

A deflexão máxima ocorre no meio da viga, então:

Para: em

Temos:

3 EXERCÍCIO

Equação da rotação:

Substituindo:

Obs.: Pode ser obtida derivando a equação da deflexão.

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3 EXERCÍCIO

Rotação nos apoios:

Equação da rotação:

4 EXERCÍCIO

4 – Determinar a deflexão e rotação no ponto D da viga abaixo.Verificar resultados com programa de análise estrutural. E = 10 Gpa.

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4 EXERCÍCIO

4.1 Determinação das reações de apoio:

4 EXERCÍCIO

4.2 Equação da linha elástica:

Carregamento

Cortante

Momento

Rotação

Deflexão:

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4 EXERCÍCIO

4.3 Equação da linha elástica:

Carregamento

Cortante

Momento

Rotação

Deflexão:

4 EXERCÍCIO

4.4 Constantes C1, C2, C3 e C4:

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4 EXERCÍCIO

4.5 Rigidez:

4.6 Equações

Rotação:

Deflexão:

4 EXERCÍCIO

4.7 Deflexão e rotação no ponto D: x = 2,20 m

Rotação:

Deflexão:

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4 EXERCÍCIO

4.8 Verificação no programa de análise estrutural

Rotação:

Deflexão:

5 EXERCÍCIO PARA SEMANA

5 – Deduzir a equação da linha elástica, a equação da rotação, adeflexão máxima e a rotação na extremidade da viga engastadaisostática com carregamento uniformemente distribuído e rigidezconstante.

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5 EXERCÍCIO PARA SEMANA

5 – Deduzir a equação da linha elástica, a equação da rotação, adeflexão máxima e a rotação na extremidade da viga engastadaisostática com carregamento uniformemente distribuído e rigidezconstante.