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Condução de calor em regime

não permanente

519

 Análise de sistemas aglomerados

 Análise de transferência de calor

 Corpos aglomerado

 Temperatura interior permanece uniforme todo o tempo durante umprocesso de transferência de calor

 Temperatura do corpo função do tempoT(t)

 Análise de transferência de calorAnálise de sistemas aglomerados

 Hipótese simplificadora

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Condução de calor em regime

não permanente

520

 Análise de sistemas aglomerados

 Considere uma bola de cobre quente saindo de um forno

 Medições

 A temperatura da bola de cobre muda com o tempo.

 A temperatura não muda muito com a posição em qualquer tempo.

 A temperatura na bola permanece uniforme a todo momento

 Não é necessário especificar uma posição

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Condução de calor em regime

não permanente

521

 Análise de sistemas aglomerados

 Considere agora uma grande carne assada em um forno

 Distribuição de temperatura não uniforme

 Parte externa bem passado

 Parte interna crua

 Análise de sistemas aglomerados não aplicável

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Condução de calor em regime

não permanente

522

 Análise de sistemas aglomerados

 Considere um corpo de geometria arbitrária com massa (m),volume (V), área superficial (As), massa específica (ρ) e calorespecífico (Cp) inicialmente a uma temperatura uniforme

 Tempo t = 0

 Corpo colocado em um meioT∞

 Transferência de calor

 Corpo sólido

 Ambiente

iT ρ

V m

sólidoCorpo

( )tTT  =

sA

∞T

( )[ ]tTTAhQ s   −⋅⋅=∞&

h

h

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Condução de calor em regime

não permanente

523

 Análise de sistemas aglomerados

 Assumindo que T∞   > Ti   e que a análise de sistemasaglomerados é aplicável (temperatura uniforme no corpo)

 A variação de temperatura no corpo se dá em função apenas do

tempoT = T(t)

 Durante um intervalo de tempo infinitesimal (dt), atemperatura do corpo aumenta uma quantidade infinitesimal(dT)

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Condução de calor em regime

não permanente

524

 Análise de sistemas aglomerados

  Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal

 

 

 

 =

 

 

 

 

dtdurantecorpono

energiadaAumento

dtdurantecorpoopara

energiadeciaTransferên

( ) dTCmdtTTAh ps   ⋅⋅=⋅−⋅⋅∞

Vρm   ⋅=   ( )   →−= ∞  TTddT constanteT   =∞

( )dt

CVρ

Ah

TT

TTd

p

s

⋅⋅

⋅−=

−

−

∞

∞

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Condução de calor em regime

não permanente

525

 Análise de sistemas aglomerados

  Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal

  Integração

 t = 0T=Ti

 tT=T(t)

 Tomando o exponencial dos dois lados e rearranjando

( )t

CVρ

Ah

TT

TtTln

p

s

i   ⋅⋅

⋅−=

−

−

∞

∞

( ) bt

i

eTT

TtT   −

∞

∞=

−

− 

  

 

⋅⋅

⋅=

s

1 

CVρ

Ahb

p

s   ( )  tempodoconstantes b

1→

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Condução de calor em regime

não permanente

526

 Análise de sistemas aglomerados

  Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal

 Gráfico da equação

 Esta equação permite o cálculo da temperaturade um corpo T(t) em um tempo t ou o temporequerido para se alcançar uma temperatura

específica T(t)

( ) bt

i

e

TT

TtT   −

∞

∞=

−

−

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Condução de calor em regime

não permanente

527

 Análise de sistemas aglomerados

  Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal

 Gráfico da equação

 A temperatura do corpo se aproxima datemperatura do ambiente exponencialmente.

 A temperatura do corpo muda rapidamente noinício e devagar no final do processo.

 Um valor grande de b indica que o corpo iráalcançar a temperatura ambiente em um pequeno tempo.

( ) bt

i

e

TT

TtT   −

∞

∞=

−

−

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Condução de calor em regime

não permanente

528

 Análise de sistemas aglomerados

  Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal

 Gráfico da equação

 A temperatura do corpo se aproxima datemperatura do ambiente exponencialmente.

 Quanto maior for o valor do expoente b, maiorserá a taxa de decaimento da temperatura.

 b é diretamente proporcional à área superficial docorpo e é inversamente proporcional à massa e ao calor específico do corpo.

( ) bt

i

e

TT

TtT   −

∞

∞=

−

−

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Condução de calor em regime

não permanente

529

 Análise de sistemas aglomerados

  Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal

 Ao se obter a temperatura T(t) no tempo t, a taxa de transferência de

calor por convecção entre o corpo e o ambiente naquele tempo podeser determinada pela lei de Newton para o resfriamento

 A quantidade total de transferência de calor entre o corpo e oambiente, no intervalo de tempo t = 0 até t, é simplesmente amudança no conteúdo de energia do corpo

( ) bt

i

eTT

TtT   −

∞

∞=

−

−

( ) ( )[ ]   ( )W TtTAhtQ s   ∞−⋅⋅=&

( )[ ]   ( )kJ TtTCmQ ip   −⋅⋅=

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Condução de calor em regime

não permanente

530

 Análise de sistemas aglomerados

  Balanço de energia do sólido para o intervalo de tempoinfinitesimal

 A quantidade de transferência de calor alcança seu limite máximo

quando o corpo alcança a temperatura do ambiente T∞.

 Máxima transferência de calor entre o corpo e o ambiente

( ) ( )kJ TTCmQ ipmax   −⋅⋅=∞

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Condução de calor em regime

não permanente

531

 Análise de sistemas aglomerados

 Critério para análise de sistemas aglomerados

 Comprimento característico

 Número de Biot

s

cA

VL   =

k 

LhBi c⋅

=

∆T

∆T

Lk 

hBi

c

=

corpododentroCondução

corpodosuperfícienaConvecção

Bi =

h1

k LBi c

=corpodosuperfícienaconvecçãodaaResistênci

corpododentroconduçãodaaResistênciBi =

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não permanente

532

 Análise de sistemas aglomerados

  Critério para análise de sistemas aglomerados

 Número de Biot

 Quando um corpo sólido está sendo aquecido por um fluido quente, calor é

transferido primeiramente por convecção para o corpo e depois por conduçãodentro do corpo.

 O número de Biot é a razão entre a resistência interna do corpo àtransferência por condução e a resistência externa à transferência porconvecção.

 Um número de Biot pequeno representa uma pequena resistência àtransferência por condução e, consequentemente, um pequeno gradiente detemperatura dentro do corpo.

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Condução de calor em regime

não permanente

533

 Análise de sistemas aglomerados

 Critério para análise de sistemas aglomerados

 Análise de sistemas aglomerados

 Assume a distribuição uniforme da temperatura no corpo

 É o caso somente quando a resistência térmica do corpo à transferência porcondução zero

 Análise de sistemas aglomerados é exata

Bi = 0

 Análise de sistemas aglomerados é aproximada Bi > 0

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Condução de calor em regime

não permanente

534

 Análise de sistemas aglomerados

 Critério para análise de sistemas aglomerados

 Quanto menor o número de Biot, mais exata será a análise desistemas aglomerados

 Exatidão x simplificação

 Temperatura no corpo aproximadamente uniforme

0,1Bi ≤

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Condução de calor em regime

não permanente

535

 Análise de sistemas aglomerados

 Critério para análise de sistemas aglomerados

 Bom candidato para análise de sistemas aglomerados

 Corpos pequenos Condutividade térmica alta

 Meio mal condutor de calor (gases)

 Sem movimento

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Condução de calor em regime

não permanente

536

 Análise de sistemas aglomerados

 Exemplo 34

  A temperatura de um fluxo de gás deve ser medido com umtermopar cuja junta de medição pode ser vista como uma esfera com

1 mm de diâmetro. As propriedades da junção são k = 35 W/(m.°C),ρ = 8500 kg/m3 e Cp = 320 J/(kg.°C) e o coeficiente de transferênciade calor por convecção entre a junção e o gás é h = 210 W/(m2.°C).Determine quanto tempo levará para que o termopar leia 99% dadiferença de temperatura inicial.

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Condução de calor em regime

não permanente

537

 Análise de sistemas aglomerados

 Exemplo 34

 Comprimento característico

 Número de Biot

→=  AVL

s

c   →⋅⋅⋅=  DπDπL2

3

61

c   →=  D61Lc

m101,67L 4

c

−×=

( )m0,00161Lc  =

k 

LhBi c⋅

=  ( )( ) ( )

( )CmW35

m101,67CmW210Bi

-42

°⋅

×⋅°⋅= 001,0Bi = 1,0<

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Condução de calor em regime

não permanente

538

 Análise de sistemas aglomerados

 Exemplo 34

 Leitura de 99% da diferença de temperatura inicial (Ti – T∞

)

( ) 01,0TTTtT

i

=−−

∞

∞

( ) bt

i eTT

TtT   −

∞

∞=

−

−

C100TC0Ti

°=

°=

∞

( ) C99tT 99%   °=→

→

⋅⋅

⋅=  

CVρ

Ahb

p

s

cp LCρ

hb

⋅⋅

=

( )( )   ( )( ) ( )

  →×⋅°⋅⋅

°⋅=

− 

m101,67CkgJ320mkg8500

CmW210b

43

2

1s0,462b   −=

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não permanente

539

 Análise de sistemas aglomerados

 Exemplo 34

 Substituindo os valores na equação

( )→=

−

−   −

∞

∞  eTT

TtT bt

i

( )→=

−−

 e0,01ts0,462 1

s10t  =

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Condução de calor em regime

não permanente

540

 Análise de sistemas aglomerados

 Exemplo 35

  Uma pessoa é encontrada morta as 5 PM em um quarto cujatemperatura é 20°C. A temperatura do corpo, quando encontrado, é

de 25°C e o coeficiente de transferência de calor estimado éh = 8 W/(m2.°C). Modelando o corpo como um cilindro com 30 cmde diâmetro e 1,70 m de comprimento, estimar a hora da morte dapessoa.

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Condução de calor em regime

não permanente

541

 Análise de sistemas aglomerados

 Exemplo 35

 Corpo humano 72% de água Propriedades da água

 Comprimento característico

C3122537 °=+

CkgJ4178C 

mkg996ρ 

CmW0,617k  p3

°⋅==

°⋅=

→=  AVLs

c 2

00

2

0c

rπ2Lrπ2LrπL

⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅⋅=

( ) ( )

( ) ( ) ( )  →

⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅⋅=  

m0,15π2m1,7m0,15π2

m1,7m0,15πL

2

2

c m0,0689Lc   =

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Condução de calor em regime

não permanente

542

 Análise de sistemas aglomerados

 Exemplo 35

 Número de Biot

 Análise de sistemas aglomerados não aplicável

 Estimativa aproximada da hora da morte

k LhBi c⋅=   ( )( ) ( )

( )CmW0,617

,0689m0CmW8Bi

2

°⋅

⋅°⋅= 89,0Bi  = 1,0>

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Condução de calor em regime

não permanente

543

 Análise de sistemas aglomerados

 Exemplo 35

→⋅⋅

⋅=  

CVρ

Ahb

p

s

cp LCρ

hb

⋅⋅=

( )( )   ( )( ) ( )

  →⋅°⋅⋅

°⋅=  

,0689m0CkgJ4178mkg996

CmW8b

3

2

15 s102,79b   −−×=

( )→=

−

−   −

∞

∞  eTT

TtT bt

i

( )→=

−

−   −×−  e

2037

2025 t102,79 5

s43860t  =

h12,2t  =