Aula 06 - Estatística - Principais Distribuições Discretas

Estatstica para Bacen reas 2 3 e Prof. Vtor Menezes Aula 6

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 6: Principais distribuies discretas

1. DISTRIBUIO UNIFORME DISCRETA ............................................................................................. 2

2. DISTRIBUIO DE BERNOULLI ........................................................................................................ 3

3. DISTRIBUIO BINOMIAL ............................................................................................................... 8

3.1. Introduo ............................................................................................................................................. 8

3.2. Frmula da probabilidade para a varivel binomial ............................................................................ 9

3.3. Mdia e varincia da distribuio binomial ....................................................................................... 23

3.4. Distribuio binomial e propores ................................................................................................... 27 4. DISTRIBUIO DE POISSON .......................................................................................................... 32

5. DISTRIBUIO GEOMTRICA ........................................................................................................ 47

6. DISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA .............................................................................................. 50

7. QUESTES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 53

8. GABARITO ..................................................................................................................................... 62



1. DISTRIBUIO UNIFORME DISCRETA

A distribuio uniforme discreta o tipo mais simples de varivel aleatria. a varivel em que todos os valores tm a mesma probabilidade de ocorrer.

Um exemplo bem simples, e que j temos trabalhado, o caso do lanamento do dado de seis faces. A varivel que designa o resultado do lanamento discreta (podem ocorrer apenas os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6). Alm disso, se o dado for honesto, todos os resultados so equiprovveis.

Dizemos que a varivel em questo discreta e uniforme.

Seja X a varivel discreta uniforme que pode assumir n resultados diferentes ( 1x , 2x , 3x , ...,

nx ). A esperana de X fica:

= 1

A esperana simplesmente a mdia aritmtica de todos os valores que podem ocorrer.

Questo 1 TJ RO 2008 [CESGRANRIO]

Uma urna contm dez bolas, cada uma gravada com um nmero diferente, de 1 a 10. Uma bola retirada da urna aleatoriamente e X o nmero marcado nesta bola. X uma varivel aleatria cujo(a)

(A) desvio padro 10.

(B) primeiro quartil 0,25.

(C) mdia 5.

(D) distribuio de probabilidades uniforme.

(E) distribuio de probabilidades assimtrica.

Resoluo.

Neste exerccio, a varivel X discreta (assume apenas os valores inteiros de 1 a 10).

Alm disso, ela uniforme, pois todas as possveis realizaes tm probabilidade de 10% (ou seja, as probabilidades so todas iguais entre si).

A questo no pediu, mas podemos calcular a sua esperana. A esperana simplesmente a mdia aritmtica dos valores que X pode assumir.

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1010 = 5,5 Gabarito: D



2. DISTRIBUIO DE BERNOULLI

So de grande importncia alguns tipos de experimento em que a varivel de interesse pode assumir apenas dois valores. Podemos falar em sucessos e fracassos. Um exemplo o lanamento de uma moeda. Temos dois resultados possveis (cara e coroa). Podemos considerar que cara sucesso e coroa fracasso.

Em casos assim, comum atribuirmos ao sucesso o valor 1 e ao fracasso o valor zero.

Seja X a varivel aleatria que assume o valor 1 quando o resultado do lanamento da moeda cara e que assume o valor 0 quando o resultado do lanamento coroa. A varivel aleatria X assume apenas os valores 0 e 1. uma varivel de Bernoulli.

Alm disso, X tambm uma varivel discreta (pois assume apenas alguns valores, quais sejam, 0 e 1).

Caso a moeda seja honesta, ento a probabilidade de sucesso igual probabilidade de fracasso (e ambas valem 50%). Teramos uma distribuio uniforme.

Neste caso, X seria discreta, uniforme e, alm disso, teria distribuio de Bernoulli.

Mudemos de exemplo. Considere o lanamento de um dado de seis faces. Se sair um mltiplo de 3, consideramos sucesso. Se no sair um mltiplo de 3, consideramos fracasso.

Vamos criar uma varivel aleatria I. A nossa varivel aleatria I vai se comportar da seguinte forma. Se o resultado do lanamento do dado for 1, 2, 4, 5, teremos fracasso. Ento I assume valor zero.

Se o resultado do lanamento do dado for 3 ou 6, teremos sucesso. Ento I assume valor 1.

Dizemos que I uma varivel de Bernoulli. Ela tem a seguinte distribuio de probabilidade:

I P

0 2/3

1 1/3

A probabilidade de I assumir o valor zero 2/3. E a probabilidade de I assumir o valor 1 1/3.

Distribuio de Bernoulli

Assume apenas os valores 0 e 1.

A grande importncia da varivel de Bernoulli, em termos de concursos, que ela serve pra gente estudar outra varivel: a Binomial.



Genericamente, indicamos por p a probabilidade sucesso e q a probabilidade de fracasso. Com isso, a distribuio da varivel I seria:

I Probabilidade

0 q

1 p

E sua esperana seria:

= 0 + 1 = Por sua vez, a esperana de I2 igual a:

= 0 + 1 = Disto resulta que a varincia de I igual a:

= = Colocando p em evidncia:

= 1 =

Mdia e varincia da varivel com distribuio de Bernoulli

= ! =

Exemplo 1

Considere a distribuio de probabilidades para a varivel Y:

Y Probabilidade

1 0,5

2 0,2

3 0,3

a) a varivel Y discreta ou contnua?

b) a varivel Y uniforme? Por qu?

c) a varivel Y tem distribuio de Bernoulli? Por qu?

d) calcule a esperana e a varincia de Y.

Resoluo:



Foi dada a seguinte distribuio de probabilidade.

Y Probabilidade

1 0,5

2 0,2

3 0,3

A varivel Y discreta. Ela no pode assumir qualquer valor em um dado intervalo real.

A varivel Y no pode ser classificada como uniforme. Na varivel discreta uniforme, as probabilidades de ocorrncia de cada valor so todas iguais entre si. No o caso desta questo. A probabilidade de Y ser igual a 1 maior que a probabilidade de Y ser igual a 2.

A varivel Y tambm no pode ser classificada como de Bernoulli. A varivel Y no assume apenas os valores zero e 1. Portanto, no tem distribuio de Bernoulli.

Vamos agora calcular a esperana de Y. Como fazemos para qualquer varivel discreta, consideramos que a probabilidade anloga freqncia relativa simples.

= )()( ii yPyYE

8,19,04,05,03,032,025,01)( =++=++=YE

Finalmente, vamos calcular a varincia de Y.

47,28,05,03,032,025,01)( 2222 =++=++=YE

Logo:

22 )()( YYEYV =

76,08,14)( 2 ==YV

Exemplo 2

Considere a distribuio de probabilidades para a varivel Z:

Z Probabilidade

1,24 0,25

2 0,25

6,55 0,25

100 0,25

a) a varivel Z discreta ou contnua?

b) a varivel Z uniforme? Por qu?

c) a varivel Z tem distribuio de Bernoulli? Por qu?

Resoluo:

Foi dada a seguinte distribuio:



Z Probabilidade

1,24 0,25

2 0,25

6,55 0,25

100 0,25

A varivel Z assume apenas alguns valores (so apenas 4). Ela uma varivel discreta. Muita gente confunde isso. O fato de uma varivel aleatria assumir valores no inteiros (como 1,24 ou como raiz de 2) no significa que ela seja contnua. Se a varivel Z fosse contnua ela poderia assumir qualquer valor real contido num dado intervalo.

Note que as probabilidades de todos os valores so iguais entre si (todas valem 0,25). A varivel Z , portanto, uniforme.

Por outro lado, como ela no assume apenas os valores 0 e 1, ela no pode ser classificada como de Bernoulli.

Exemplo 3

Considere a distribuio de probabilidades para a varivel K:

K Probabilidade

0 0,5

1 0,5

a) a varivel K discreta ou contnua?

b) a varivel K uniforme? Por qu?

c) a varivel K tem distribuio de Bernoulli? Por qu?

Resoluo:

Foi dada a seguinte distribuio de probabilidade:

K Probabilidade

0 0,5

1 0,5

A varivel K assume apenas alguns valores. Ela discreta.

Alm disso, as probabilidades so todas iguais entre si (valem 0,5 cada uma). Podemos classificar a varivel K como uniforme.

Por fim, a varivel K assume apenas os valores 0 e 1. Isso faz com que ela, alm de ser discreta uniforme, tenha distribuio de Bernoulli.

Exemplo 4

Considere a distribuio de probabilidades para a varivel T:



T Probabilidade

0 0,75

1 0,25

a) a varivel T discreta ou contnua?

b) a varivel T uniforme? Por qu?

c) a varivel T tem distribuio de Bernoulli? Por qu?

Resoluo:

T Probabilidade

0 0,75

1 0,25

A varivel T discreta. Contudo, no uniforme, pois as probabilidades no so iguais entre si (a probabilidade de T ser igual a zero maior que a probabilidade de T ser igual a 1).

De modo diverso, T pode ser classificada como de Bernoulli, pois assume apenas os valores 0 e 1.

Questo 2 GDF SEJUS 2010 [UNIVERSA]

Para uma determinada moeda viciada, a probabilidade de se obter um resultado cara igual a 30%. Seja, ento, a varivel aleatria X que assume apenas os valores 0 e 1, sendo 0 para resultado coroa e 1 para resultado cara. Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o valor mdio e a varincia de X.

(A) 0,21 e 0,3

(B) 0,7 e 0,21

(C) 0,21 e 0,7

(D) 0,3 e 0,21

(E) 0,3 e 0,7

Resoluo.

A probabilidade de sucesso 30% e a de fracasso 70% ( = 0,3; = 0,7). Logo:

= = 0,30 ! = = 0,3 0,7 = 0,21

Gabarito: D



3. DISTRIBUIO BINOMIAL

3.1. Introduo

A distribuio binomial aplicvel quando temos vrios experimentos independentes e, a cada um deles, associamos apenas dois resultados. Podemos pensar em resultados favorveis e resultados desfavorveis. Ou em sucessos e fracassos.

Por exemplo: vamos lanar um dado. Vamos considerar um resultado favorvel (sucesso) se sair um mltiplo de 3. Vamos considerar um resultado desfavorvel (fracasso) se no sair um mltiplo de 3. Seja I a varivel que, em caso de sucesso, assume o valor 1. E, em caso de fracasso, assume o valor zero.

A cada lanamento, a probabilidade de ocorrer um evento favorvel de 1/3 (ou seja, a probabilidade de I = 1 de 1/3). E a probabilidade de ocorrer um evento desfavorvel 2/3 (a probabilidade de I = 0 2/3). Como j vimos, I uma varivel de Bernoulli.

Segue a distribuio de probabilidades da varivel I:

I Probabilidade

0 2/3

1 1/3

Muito bem, s que no vamos lanar o dado uma nica vez. Vamos lanar o dado trs vezes. A varivel aleatria X vai representar o nmero de sucessos em trs lanamentos.

Um possvel resultado dos trs lanamentos seria: 2, 4, 3.

Vamos ver como se comporta a varivel I em cada um destes lanamentos.

1 lanamento: 2 I = 0 (tivemos um fracasso, pois no saiu um mltiplo de 3)

2 lanamento: 4 I = 0 (tivemos outro fracasso, pois no saiu um mltiplo de 3)

3 lanamento: 3 I = 1 (tivemos um sucesso, pois saiu um mltiplo de 3).

Nesse caso, em trs lanamentos, o nmero de casos favorveis foi de 1 (X = 1).

Se somarmos todos os valores que I assume, temos exatamente 1.

Ou seja, X igual soma de todos os valores de I.

Vamos mudar um pouco o exemplo.

Suponhamos agora que os resultados dos trs lanamentos foram: 3, 1, 6. Vamos ver como se comporta a varivel I em cada lanamento:

1 lanamento: 3 I = 1



Nesse outro caso, em trs lanamentos, o nmero de casos favorveis foi de 2 (X = 2). Se somarmos todos os valores que I assume, temos exatamente 2. Novamente, X igual soma de todos os valores de I.



Esta varivel X dita binomial. Ela representa o nmero de casos favorveis em um conjunto de experimentos que s admitem dois resultados possveis (sucesso ou fracasso). Ela a soma de vrias variveis de Bernoulli, todas independentes entre si.

Varivel binomial

Corresponde soma de vrias variveis de Bernoulli, independentes entre si. Tem relao com o nmero de resultados favorveis em n experimentos

3.2. Frmula da probabilidade para a varivel binomial

Para calcular a probabilidade de a varivel aleatria X, com distribuio binomial, assumir um determinado valor k, basta aplicar a seguinte frmula:

# = $ = %$& ' (' Nesta frmula, temos:

n a quantidade de experimentos

p a probabilidade de sucesso em cada experimento

q a probabilidade de fracasso em cada experimento

k representa a quantidade de sucessos para a qual estamos querendo calcular a probabilidade

Exemplo:

Qual a probabilidade de, lanando uma moeda trs vezes, obtermos duas caras?

Neste caso, so trs lanamentos, ou trs experimentos (n = 3).

Em cada experimento, a probabilidade de sucesso (ou ainda: a probabilidade de obter cara) de 0,5 (p = 0,5). A probabilidade de fracasso 0,5 (q = 0,5).

Queremos calcular a probabilidade de ocorrerem duas caras (k = 2).

Ficamos com:

# = 2 = %32& 0,5 0,5 = 3 0,5) = 38 = 37,5%

Vamos retomar o exemplo do lanamento do dado. Vamos comparar o clculo da probabilidade usando a frmula e sem usar a frmula.



Lanamos o dado trs vezes. A cada lanamento, consideramos sucesso se o resultado for mltiplo de 3.

No nosso exemplo, a varivel binomial X s pode assumir quatro valores (0, 1, 2 e 3). So trs lanamentos do dado. Ou no temos nenhum sucesso. Ou apenas 1. Ou 2. Ou ento, em trs lanamentos, temos trs sucessos (mltiplos de 3 em todos os lanamentos).

Vamos calcular a probabilidade de X assumir cada um desses valores.

Para X ser igual a zero, precisamos que, nos trs lanamentos, tenhamos nmeros que no so mltiplos de 3.

Queremos que ocorram, simultaneamente, os trs eventos:

Fracasso no primeiro lanamento

Fracasso no segundo lanamento

Fracasso no terceiro lanamento

Observe que o resultado de um lanamento no tem qualquer influncia no resultado dos demais lanamentos. So trs eventos independentes. Todos eles tm probabilidade de 2/3 de ocorrer. Nesse caso, a probabilidade da interseco dos eventos igual ao produto das probabilidades.

3

2

3

2

3

2)0( ==XP

3

3

2)0(

==XP

Para X ser igual a 1, precisamos ter exatamente 1 lanamento com sucesso. Temos as seguintes hipteses:

Sucesso no primeiro lanamento, fracasso no segundo lanamento, fracasso no terceiro lanamento;

Fracasso no primeiro lanamento, sucesso no segundo lanamento, fracasso no terceiro lanamento;

Fracasso no primeiro lanamento, fracasso no segundo lanamento, sucesso no terceiro lanamento.

Vamos ver a probabilidade para o primeiro caso. Temos:

Sucesso no primeiro lanamento

Fracasso no segundo lanamento

Fracasso no terceiro lanamento

So trs eventos independentes. O primeiro tem probabilidade 1/3. Os demais tm probabilidade de 2/3 de ocorrer. A probabilidade da interseco fica:

3

2

3

2

3

1



Para os demais casos, a conta exatamente a mesma. Ou seja, a probabilidade de X ser igual a 1 fica:

==3

2

3

2

3

13)1(XP

Para X ser igual a 2, precisamos de dois sucessos e um fracasso. Temos as seguintes hipteses:

Sucesso no primeiro lanamento, sucesso no segundo lanamento, fracasso no terceiro lanamento;

Fracasso no primeiro lanamento, sucesso no segundo lanamento, sucesso no terceiro lanamento;

Sucesso no primeiro lanamento, fracasso no segundo lanamento, sucesso no terceiro lanamento.

Vejamos a probabilidade da primeira hiptese. So trs eventos independentes. A probabilidade de sucesso 1/3. A de fracasso 2/3. Ficamos com:

3

2

3

1

3

1

Para as demais hipteses, as contas so anlogas. A probabilidade de X ser igual a 2 fica:

==3

2

3

1

3

13)2(XP

==3

2

3

13)2(

2

XP

Finalmente, para X ser igual a 3, precisamos de sucessos nos trs lanamentos. Ficamos com:

==3

1

3

1

3

1)3(XP

Pronto. Calculamos as probabilidades de X assumir cada um dos valores possveis.

Seja n o nmero de experimentos. Seja p a probabilidade de sucesso em cada experimento. Seja q a probabilidade de fracasso.

Nesse nosso exemplo, lanamos o dado 3 vezes (n = 3). E a probabilidade de sucesso em cada lanamento era de 1/3 (p = 1/3). A probabilidade de fracasso em cada experimento era de 2/3 (q = 2/3).

Para no precisarmos ficar fazendo todas essas contas que fizemos acima para cada problema diferente, existe uma frmula que indica a probabilidade da varivel binomial assumir um dado valor.

a que segue:



knk qpk

nkXP

== )(

No custa relembrar o significado do smbolo de combinao:

!)!(

!

kkn

n

k

n

=

Vamos ver a aplicao da frmula ao nosso exemplo do dado. Lanamos o dado trs vezes (3=n ). Consideramos sucesso se der mltiplo de 3. Assim, a probabilidade de sucesso 1/3

( 3/1=p ) e a probabilidade de fracasso 2/3 ( 3/2=q ). Vamos calcular, a ttulo de exemplo, a probabilidade de X ser igual a 2 ( 2=k ).

knk qpk

nkXP

== )(

232

3

2

3

12

3)2(

==XP

12232

3

2

3

13

3

2

3

1

!2!1

!3)2(

=

==

XP

Que o mesmo resultado que tnhamos achado antes, sem a frmula.

Varivel binomial

Seja X nossa varivel binomial. Ela representa o nmero de sucessos em n experimentos (onde cada experimento pode resultar em sucesso ou em fracasso).

A frmula da varivel binomial a que segue. A probabilidade de termos k sucessos em n experimentos :

knk qpk

nkXP

== )(

Vamos praticar um pouco.

Questo 3 SEFAZ RJ 2007 [FGV]

Um candidato se submete a uma prova contendo trs questes de mltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questo apresenta cinco alternativas, mas apenas uma correta. Se o candidato no se preparou e decide responder a cada questo ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso igual a:



(A) 0,104.

(B) 0,040.

(C) 0,096.

(D) 0,008.

(E) 0,200

Resoluo.

Quando analisamos uma nica questo, podemos ter sucesso (acerta a questo) ou fracasso (erra a questo). A probabilidade de sucesso de 20% e a de fracasso 80%.

2,0=p ; 8,0=q

Assim, quando analisamos uma nica questo, temos uma distribuio de Bernoulli.

A quantidade de sucessos em trs experimentos corresponde, portanto, soma de trs variveis de Bernoulli. Temos uma distribuio binomial.

A probabilidade de 2 acertos em trs :

knkqpk

nkXP

== )(

=

== 12 8,02,0

2

3)2(XP 0,096

A probabilidade de 3 acertos :

=

== 03 8,02,0

3

3)3(XP 0,008

A probabilidade de ser aprovado :

104,0008,0096,0)3()2( =+==+= XPXP

Gabarito: A

Questo 4 CGU 2008 [ESAF]

Seja X a soma de n variveis aleatrias independentes de Bernoulli, isto , que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p e p1 , respectivamente. Assim, a distribuio de X :

a) binomial com parmetros n e p

b) gama com parmetros n e p

c) qui quadrado com n graus de liberdade

d) laplace

e) t de student com n-1 graus de liberdade



Resoluo:

Cobrana direta do resumo estudado nesta aula.

Gabarito: A.

Questo 5 PETROBRAS 2008/2 [CESGRANRIO]

Um estudante marca, ao acaso, as respostas de um teste de 10 questes de mltipla escolha, com 4 alternativas por questo. O nmero mais provvel de acertos

(A) 1,5

(B) 2,0

(C) 2,5

(D) 3,0

(E) 3,5

Resoluo.

A probabilidade de acerto de cada questo de 25% (so 4 alternativas e apenas uma correta). O nmero de acertos uma varivel aleatria binomial, onde n = 10 e p = 0,25.

As alternativas a, c e e trazem valores impossveis de serem obtidos. No possvel termos 1,5 acertos. Ou 2,5 acertos. Ou 3,5 acertos. Estes valores tm probabilidade zero.

Ficamos, portanto, entre as alternativas b e d.

Vamos calcular a probabilidade de 2 acertos.

knk qpk

nkXP

== )(

82 75,025,02

10)2(

==XP

82 75,025,045)2( ==XP

Vamos agora calcular a probabilidade de 3 acertos.

knk qpk

nkXP

== )(

73 75,025,03

10)3(

==XP

73 75,025,0120)3( ==XP

Dividindo as duas probabilidades:



73

82

75,025,0120

75,025,045

)3(

)2(

=

==

XP

XP

1120

130

120

345

25,0120

75,045

)3(

)2( >===

==

XP

XP

Conclumos que )3()2( =>= XPXP .

Gabarito: B

Questo 6 AFRFB 2009 [ESAF]

Em um experimento binomial com trs provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos doze vezes a probabilidade de ocorrerem trs sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso so, em percentuais, respectivamente, iguais a:

a) 80 % e 20 %

b) 30 % e 70 %

c) 60 % e 40 %

d) 20 % e 80 %

e) 25 % e 75 %

Resoluo.

So 3 experimentos ( 3=n ). A probabilidade de 2 sucessos dada por:

12

2

3)2( qpXP

==

= qp 23

A probabilidade de trs sucessos :

03

3

3)3( qpXP

==

= 3p

O exerccio disse que a primeira probabilidade 12 vezes a segunda.

32 123 pqp =

pq = 4 (equao I)

A probabilidade de sucesso somada com a probabilidade de fracasso igual a 100%.

1=+ qp (equao II)

Substituindo I em II:

14 =+ pp



2,0=p

Logo:

8,0=q

Gabarito: D

Questo 7 SUSEP 2010 [ESAF]

Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingesto de gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino igual a 1/4. Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e trs meninas igual a:

a) 37/64

b) 45/216

c) 1/64

d) 45/512

e) 9/16

Resoluo

Podemos pensar que, a cada parto, temos um experimento. Teremos sucesso se nascer menino. E queremos calcular a probabilidade de exatamente 2 sucessos em 5 experimentos (ou seja, 2 meninos em 5 partos).

Ficamos com:

knk qpk

nkXP

== )(

=

==

32

4

3

4

12

5)2(XP

512

135

1024

2710 =

No h alternativa correta. A questo foi anulada.

Gabarito: Anulado

Questo 8 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

Suponha que a probabilidade de que se encontre um erro contbil grave em uma auditoria seja 0,2. Se dez auditorias independentes so realizadas, assinale a opo que d a probabilidade de que no mais do que uma detecte erro contbil grave.

a) 5/48,2

b) 0,400

c) 0,210



d) ( )105/48,2 e) ( )95/48,2

Resoluo.

O nmero de erros graves segue uma distribuio binomial.

Podemos pensar que cada auditoria um experimento. Em cada experimento, o sucesso ocorre quando encontrado um erro grave. Queremos que o nmero de sucessos seja zero ou 1.

Podemos dividir o problema em duas partes.

Primeiro: calculando a probabilidade de termos zero sucessos (k = 0).

n = 10

p = 0,2

q = 0,8

k = 0

A probabilidade fica:

knk qpk

nkXP

== )(

0100 8,02,00

10)0(

==XP

0108,011)0( ==XP 108,0)0( ==XP

Segundo: calculando a probabilidade de termos um sucesso (k = 1).

n = 10

p = 0,2

q = 0,8

k = 1

A probabilidade fica:

knk qpk

nkXP

== )(

1101 8,02,01

10)1(

==XP



91 8,02,010)1( ==XP 91 8,02,010)1( ==XP

98,02)1( ==XP

Somando as duas probabilidades, ficamos com:

=== )10( XXP 910 8,028,0 +

=== )10( XXP )28,0(8,0 9 +

Lembrando que 5/48,0 = , temos:

=== )10( XXP )8,2(5/4 9

Gabarito: E.


Seja X uma varivel aleatria discreta com funo de probabilidade binomial )(xf , onde knx

kn ppCkf= )1()( , e knC , o nmero de combinaes de n elementos tomados k a k.

Sendo 6=n e 3/1=p , determine )6(f .

a) 1/729

b) 1

c) 0

d) 64/729

e) 8/729

Resoluo.

Temos uma varivel binomial. O exerccio pediu para calcularmos a probabilidade de 6=X.

Basta aplicar a frmula que vimos (e que o prprio exerccio forneceu).

knk qpk

nkXP

== )(

729/1)3/1()3/2()3/1(6

6)6( 6666 ==

== XP

Gabarito: A.




Seja )(kF a funo de distribuio da varivel aleatria definida na questo anterior,

determine )0(F .

a) 0

b) 1/729

c) 64/729

d) 243/729

e) 1.

Resoluo.

A funo de distribuio nos fornece a probabilidade de X ser menor ou igual a um dado valor k.

Se 0=k , a funo nos dir qual a probabilidade de X ser menor ou igual a zero.

Como X uma varivel binomial, ela s assume valores maiores ou iguais a zero. Lembrem-se de que a varivel binomial tem relao com o nmero de casos favorveis em um nmero n de experimentos (no d pra ter, por exemplo, menos dois casos favorveis).

Assim, )0(F corresponde probabilidade de 0=X .

Aplicando a frmula:

knk qpk

nkXP

== )(

729/64)3/2()3/2()3/1(0

6)0( 6060 ==

== XP

Gabarito: C.

Questo 11 IRB 2004 [ESAF]

Suponha que o motor de um avio em vo falhe, independentemente dos outros motores, com probabilidade 1 , sendo um nmero entre zero e um. O avio capaz de fazer um vo seguro se pelo menos a metade de seus motores estiverem funcionando propriamente. Assinale a opo que corresponde aos valores de para os quais voar num avio com 4 motores mais seguro do que voar num bimotor.

a) p=0,500

b) p=0,200

c) p deve estar entre 0,500 e 0,655

d) p deve ser menor do que 0,200

e) p deve ser maior que 2/3



Resoluo:

Seja p a probabilidade de um motor funcionar perfeitamente e q (= 1 p) a probabilidade do motor falhar.

Avio bimotor

A quantidade de motores funcionando adequadamente tem distribuio binomial com parmetros n = 2 e p.

Para que ele voe de forma segura, devemos ter uma das seguintes situaes:

os dois motores funcionam: # = 2 = +, , = exatamente um motor funciona: # = 1 = +, = 2

A probabilidade de o avio voar seguramente igual a:

+ 2

Avio com quatro motores

A quantidade de motores funcionando adequadamente tem distribuio binomial com parmetros n = 4 e p.

Para que ele voe de forma segura, devemos ter uma das seguintes situaes:

os quatro motores funcionam: # = 4 = +-,- - , = - exatamente trs motores funcionam: # = 3 = +-,) ) = 4) exatamente dois motores funcionam: # = 2 = +-, = 6

Somando tudo:

- + 4) + 6

Comparando os dois avies

Para que o avio com quatro motores seja mais seguro, a sua probabilidade de vo seguro deve ser maior que a do bimotor:

- + 4) + 6 > + 2

Substituindo q por 1 p:

- + 4) 1 + 6 1 > + 2 1 - + 4) 4- + 6 1 2 + > + 2 1

- + 4) 4- + 6 12) + 6- > + 2 2 3- 8) + 7 2 > 0

Dividindo todos os termos por p:



3) 8 + 7 2 > 0 Para resolvermos a inequao, antes, vamos resolver a equao correspondente:

3) 8 + 7 2 = 0 Notem que uma raiz imediata p = 1.

Vejam:

3 1) 8 1 + 7 1 2 = 3 8 + 7 2 = 0 Deste modo, a primeira raiz 1.

Razes

p = 1

Dividindo o polinmio por p 1:

3) 8 + 7 2 1 3) 3 3 5 + 2 5 + 7 2

5 + 5 2 2 2 2

0 Obtivemos:

3 5 + 2 = 0 Aplicando Bhaskara:

= 5 4 3 2 = 1 As razes ficam:

= 5 12 3

3 = 5 + 16 = 1

33 = 5 16 =46 =

23

Razes

p = 1

p = 1

p = 2/3

Deste modo, o polinmio 3) 8 + 7 2 pode ser reescrito assim: 3 1 1 4 235

Agora vamos fazer o estudo dos sinais desta funo acima.



Logo, a funo polinomial maior que 0 para > 2/3. Gabarito: E

Questo 12 SERPRO 2001 [ESAF]

Um aspecto importante do servio de manuteno de programas numa empresa tem a ver com a velocidade (presteza) com que uma chamada de servio (de manuteno) atendida. Historicamente, numa determinada empresa, observa-se que as chances so de 50% de que uma chamada seja atendida num perodo inferior a 1 hora. Se 5 chamadas de manuteno so realizadas nessa empresa, assinale a opo que d a probabilidade de que pelo menos 3 chamadas sejam atendidas em menos de 1 hora.

a) 50,00%

b) 12,50%

c) 75,00%

d) 31,25%

e) 18,75%

Resoluo:

A quantidade de chamadas atendidas em menos de 1 hora segue uma distribuio binomial de parmetros n = 5 e p = 0,5.

As probabilidades de 3, 4 e 5 chamadas atendidas em menos de 1 hora so:

# = 3 = +7,) 0,5) 0,5 = 10 0,57 # = 4 = +7,- 0,5- 0,5 = 5 0,57 # = 5 = +7,7 0,57 0,5, = 0,57

Somando tudo, temos a probabilidade de pelo menos 3 chamadas atendidas em menos de 1 hora:

10 + 5 + 1 0,57 = 1627 =

1632 = 50%

Gabarito: A




Se p a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa nica e seu complemento (1 p) a probabilidade do evento no ocorrer (distribuio binomial), ento a probabilidade do evento ocorrer exatamente X vezes, em n tentativas dada por:

apx=+,; ; (; b1 ;(; c = ;(;

d = 1 + +,;;(; e = ; (;

Resoluo:

Cobrana direta da frmula da probabilidade da distribuio binomial.

Gabarito: A

3.3. Mdia e varincia da distribuio binomial

Se X tem distribuio binomial, sua mdia e sua varincia ficam:

= =

Para ter ideia de onde vm esses resultados, vamos continuar com o lanamento do dado. O resultado considerado favorvel se sair um mltiplo de 3. desfavorvel se no sair um mltiplo de 3. Vamos lanar o dado 3 vezes. Nossa varivel aleatria X vai representar o nmero de casos favorveis nesses lanamentos. , portanto, uma varivel binomial.

Vamos calcular a probabilidade de X assumir cada valor. J at fizemos essa conta quando comeamos a estudar a varivel binomial. Mas ok, vamos l de novo.

Para X assumir valor zero, precisamos que os trs lanamentos sejam desfavorveis.

n = 3

k = 0

p = 1/3

q = 2/3

030

3

2

3

10

3)0(

==XP

27

8

3

2

3

1

!0!3

!3)0(

030

=

==

XP



Para X assumir valor 1, precisamos que exatamente um dos trs lanamentos resulte em mltiplo de 3.

n = 3

k = 1

p = 1/3

q = 2/3

27

12

3

2

3

13

3

2

3

1

!1!2

!3)1(

21131

=

=

==

XP

Para X assumir o valor 2, precisamos que exatamente dois dos trs lanamentos resultem em mltiplo de 3.

n = 3

k = 2

p = 1/3

q = 2/3

27

6

3

2

3

13

3

2

3

1

!2!1

!3)2(

12232

=

=

==

XP

Por fim, para X assumir o valor 3, precisamos que todos os lanamentos resultem em mltiplo de 3.

n = 3

k = 3

p = 1/3

q = 2/3

27

1

3

2

3

11

3

2

3

1

!3!0

!3)3(

03333

=

=

==

XP

Queremos calcular a mdia desta varivel aleatria.

Para calcular a mdia de qualquer varivel discreta, consideramos que as probabilidades so anlogas s frequncias relativas.

X P PX 0 8/27 0

1 12/27 12/27

2 6/27 12/27

3 1/27 3/27

Total 1 1

E a mdia da nossa varivel X fica:

11

1 ==



Vamos agora calcular a sua varincia.

X 2X P PX 2

0 0 8/27 0

1 1 12/27 12/27

2 4 6/27 24/27

3 9 1/27 9/27

Total 1 45/27

= 4527 E a varincia de X seria:

= = 4527 1 =

1827 =

23

S que todo esse passo a passo d muito trabalho.

Quando X for uma varivel aleatria binomial, um jeito mais rpido de calcular a sua mdia e sua varincia :

np=

npq=2

Para calcular a mdia, basta multiplicar o nmero de experimentos (no nosso caso, lanamos o dado trs vezes, n = 3) pela probabilidade de sucesso em 1 experimento (neste caso, em um lanamento, a probabilidade de sair um mltiplo de 3 1/3).

Logo:

np=

13

13 ==

E para varincia fazemos a mesma coisa. S que, alm dos passos acima, multiplicamos pela probabilidade de fracasso em um experimento (neste caso, em um lanamento, a probabilidade de sair um nmero que no seja mltiplo de 3 2/3).

npq=2

3

2

3

2

3

132 ==

Mdia e varincia da varivel binomial

=



! =

Estas expresses para a mdia e a varincia da distribuio binomial podem ser facilmente obtidas com a utilizao das propriedades da esperana.

A varivel binomial X corresponde soma de n variveis de Bernoulli, designadas por I.

=

=n

iiIX

1

Cada varivel I tem mdia p e varincia pq.

A esperana de X, portanto, equivale esperana da soma de n variveis I. Vimos que a esperana da soma igual soma das esperanas.

=)(XE npIEn

ii =

=1

Quando temos variveis independentes, a varincia da soma igual soma das varincias. Portanto:

npqIVn

ii =

=1


Em certo plano amostral, em uma populao de 100 elementos, optou-se pelo seguinte critrio: joga-se uma moeda (honesta) e, se der cara, o elemento entra na amostra; se der coroa, ele no entra na amostra. Qual o tamanho esperado dessa amostra?

(A) 10

(B) 20

(C) 30

(D) 40

(E) 50

Resoluo.

Seja X a quantidade de elementos selecionados. X uma varivel binomial com n = 100 e p = 0,5.

A mdia de X fica:

= = 100 0,5 = 50 Gabarito: E



3.4. Distribuio binomial e propores

A distribuio binomial muito aplicada quando estamos interessados em propores de uma dada populao.

Considere uma cidade com 100.000 habitantes em que 2/5 so favorveis a uma dada poltica urbana. Ou ainda: a proporo de habitantes favorveis poltica urbana de 40%. Vamos entrevistar cinco pessoas ao acaso. A nossa varivel aleatria X vai designar o nmero de pessoas entrevistadas que so favorveis poltica urbana.

Primeiramente, vamos supor que nosso processo ocorre com reposio.

Como assim? O que significa processo com reposio?

Listamos todas as pessoas. Sorteamos uma. Entrevistamos tal pessoa. Depois disso, o nome dela volta para a lista, podendo ser sorteada novamente.

A nossa varivel X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5. um caso anlogo ao lanamento do dado. So cinco experimentos independentes e, em cada um deles, a probabilidade de ocorrer o resultado favorvel de 2/5. Como X designa o nmero de pessoas favorveis poltica (= nmero de sucessos), X uma varivel binomial.

Assim, temos:

n = 5 (nmero de experimentos)

p = 2/5 (probabilidade de resultado favorvel em um experimento o mesmo valor da proporo de pessoas favorveis poltica)

q = 3/5 (probabilidade de resultado desfavorvel em um experimento)

A probabilidade de X assumir cada um dos valores possveis dada abaixo:

X P

0 0,07776

1 0,2592

2 0,3456

3 0,2304

4 0,0768

5 0,01024

Todos os valores acima foram calculados com a frmula da varivel binomial dada abaixo.

knk qpk

nkXP

== )(

por isso que a proporo est relacionada com a varivel binomial. Ela tem relao com a probabilidade de sucesso e fracasso (valores de p e q).

Vamos agora mudar um pouco o exemplo.



Poderamos fazer a entrevista de um modo um pouco diferente. Podemos fazer um experimento sem reposio, o que at mais comum. No queremos entrevistar a mesma pessoa duas vezes. Uma vez que um nome sorteado, ele no volta para lista, de modo que uma pessoa jamais poderia ser sorteada mais de uma vez.

Neste caso, no temos mais uma varivel binomial. Continuamos tendo cinco experimentos. S que eles no so mais independentes entre si (e, para termos varivel binomial, os n eventos tm que ser independentes). A probabilidade de, no segundo experimento, ser entrevistada uma pessoa favorvel poltica urbana depende do resultado do primeiro experimento.

So 100.000 habitantes. 40.000 so favorveis referida poltica. 60.000 so contrrios.

Suponhamos que a primeira pessoa entrevistada foi favorvel poltica. Entrevistada a primeira pessoa, a situao a seguinte:

temos agora 99.999 pessoas

restaram 39.999 favorveis poltica

A probabilidade de a segunda pessoa tambm ser favorvel : 39.999/99.999. Este nmero diferente de 2/5.

De outro modo, se a primeira pessoa foi contrria referida poltica, temos:

99.999 pessoas ainda restam com chances de serem entrevistadas

todas as 40.000 favorveis poltica ainda podem ser entrevistadas

A probabilidade da segunda pessoa ser favorvel : 40.000/99.999, que tambm diferente de 2/5.

Notem que a probabilidade de sucesso e fracasso no segundo experimento (na segunda entrevista) depende do resultado do experimento anterior. Ou seja, os experimentos no so independentes. Concluso: no temos uma varivel binomial.

Mesmo nossa varivel no sendo exatamente binomial, obedecidas algumas condies, podemos consider-la aproximadamente binomial.

exatamente o caso acima. Para ficar mais claro, vamos para uma situao extrema. Suponha que as quatro primeiras pessoas entrevistadas foram favorveis poltica. Qual a probabilidade da quinta pessoa tambm ser?

restam 99.996 pessoas

destas, 39.996 so favorveis poltica urbana

Portanto, a probabilidade procurada : 39.996/99.996 = 0,399976. Este nmero muito prximo de 2/5 (=0,4).

A proximidade tanta que podemos considerar que esta distribuio praticamente binomial. Ou seja, mesmo que no haja reposio, podemos considerar que, a cada novo entrevistado, a probabilidade de a pessoa ser favorvel poltica urbana de 2/5. Isto porque, mesmo na situao extrema acima, o valor obtido ainda foi muito prximo de 2/5. Utilizaremos esta propriedade nas prximas aulas.



Ento, resumindo, temos que:

a varivel binomial til para estudarmos propores

as probabilidades de sucesso e fracasso tm relao com a proporo de ocorrncia de um dado fenmeno/resultado/valor/etc.

Questo 15 TRT 2 REGIO 2008 [FCC]

Em uma grande cidade, a probabilidade de uma pessoa responder corretamente a uma questo formulada por um entrevistador igual a 40%. Selecionando ao acaso trs pessoas sem reposio e fazendo a pergunta para cada uma independentemente, a probabilidade de pelo menos uma acertar a resposta igual a

(A) 78,4%

(B) 60,0%

(C) 54,6%

(D) 48,0%

(E) 44,8%

Resoluo:

Vamos designar por I varivel aleatria que assume o valor 1 quando a pessoa selecionada responde corretamente e 0 quando responde incorretamente. I uma varivel de Bernoulli.

Seja X a soma dos valores de I, para as trs pessoas escolhidas.

Como estudamos acima, X uma varivel binomial.

Certo???

Errado!!!

Para que X seja binomial, as variveis I1, I2 e I3, correspondentes primeira, segunda e terceira pessoas escolhidas, devem ser independentes.

Suponha que a cidade em questo seja minscula. So apenas 100 habitantes. 40 delas sabem responder pergunta (e acertam). As outras 60 no sabem responder e erram.

Para a primeira pessoa escolhida, a probabilidade de acerto de 40% (40 pessoas sabem responder, em 100 possveis).



Como a escolha sem reposio, para a segunda pessoa, a probabilidade de acerto no mais de 40%. Se a primeira pessoa acertou, ento sobraram 39 pessoas que sabem responder, em 99 possveis. A probabilidade de acerto passou para 39/99.

Caso contrrio, se a primeira pessoa errou, ento a probabilidade de a segunda pessoa acertar de 40/99.

Ou seja, as variveis I1, I2 e I3 so dependentes. Quando isso ocorre, X no mais binomial.

Para contornarmos este problema, a questo disse para considerarmos que a populao grande.

Ou seja, a cidade no tem apenas 100 habitantes, como vimos acima. A cidade teria, por exemplo, 1.000.000 (um milho) de habitantes.

Neste caso, mesmo que a escolha seja sem reposio, podemos considerar que X aproximadamente binomial. E a aproximao realmente muito boa.

Isso ocorre porque o tamanho da amostra pequeno em relao ao tamanho da populao. Assim, diminuir uma pessoa em um total de 1.000.000 faz pouca diferena.

Sabendo disso, podemos aproximar, considerando que I1, I2 e I3 so independentes. Todas elas apresentam probabilidade de sucesso de 40% = 0,4 e, consequentemente, probabilidade de fracasso de 60% ( = 0,6). Pede-se a probabilidade de pelo menos uma pessoa acertar a resposta.

# 1 =? Observem a expresso pelo menos uma. Sempre que temos esta expresso, trabalhamos com o evento complementar.

Vamos calcular a probabilidade do evento complementar:

# = $ = %$& ' (' # = 0 = %30& 0,4

, 0,6)(, = 0,6) = 0,216 Logo:

# 1 = 1 # = 0 = 1 0,216 = 0,784 Gabarito: A



Questo 16 SAD PE 2009 [CESPE]

A figura acima apresenta a distribuio percentual da populao de crianas e jovens entre cinco a dezenove anos de idade que nunca procurou um dentista, por renda domiciliar per capita no Brasil em 1998. As diferenas entre os diversos grupos de renda per capita acentuada. Aproximadamente 25% da populao brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram um dentista. Entretanto, este valor sofre oscilaes segundo a renda variando de 50,7% naqueles domiclios com renda de at R$ 37,75 a 1,5% naqueles domiclios com renda per capita entre R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00.

A. Nunes et al. Medindo as desigualdades em sade no Brasil, OPAS/OMS, 2001 (com

adaptaes)

Considerando que uma amostra aleatria simples de cinco mil indivduos fosse retirada da populao de crianas e jovens entre cinco e dezenove anos de idade no Brasil em 1998, se X representa o nmero de indivduos nessa amostra que nunca procurou um dentista, ento a varincia de X

A) inferior a 400.

B) superior a 400 e inferior a 600.

C) superior a 600 e inferior a 800.

D) superior a 800 e inferior a 1.000.

E) superior a 1.000.

Resoluo



25,2% da populao brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram um dentista. Isto significa que, para cada pessoa entrevistada, h 25,2% de chance de o indivduo nunca ter procurado um dentista. Consequentemente, h 74,8% de chance de a pessoa j ter procurado um dentista.

Como estamos interessados nos casos em que a pessoa no procura o dentista, temos:

p = 25,2% ; q = 74,8%

A amostra tem tamanho 5.000.

n = 5.000

A varincia fica:

48,942748,0252,0000.5)( === npqXVar

Gabarito: D

4. DISTRIBUIO DE POISSON

Vimos que a distribuio binomial til para calcularmos a probabilidade de, em n experimentos, termos k casos favorveis. A frmula estudada foi:

knk qpk

nkXP

== )(

Pois bem. possvel demonstrar que, quando n grande e p pequeno, a frmula

knk qpk

nkXP

== )( pode ser aproximada por:

# = $ = B(C '

$! O smbolo e representa um nmero real, que vale aproximadamente 2,7.

Segundo Bussab e Morettin, no livro Estatstica Bsica, a aproximao boa se 7np .

Muitos tipos de variveis so bem descritas por meio da distribuio de probabilidades dada por

# = $ = B(C '

$! Essa a distribuio de Poisson. comum substituir o produto np pela letra (lmbda).

Como a esperana da varivel binomial dada por np , dizemos que corresponde ao nmero esperado de ocorrncias.

A distribuio de Poisson descreve muito bem o nmero de ocorrncias ao longo do tempo (ou ao longo de uma superfcie). Alguns exemplos seriam:

O nmero de carros que passam por uma cabine de pedgio, durante 5 minutos;



O nmero de telefonemas recebido por uma central de atendimento, durante 2 horas;

O nmero de clientes que entram na fila de um banco, durante 1 hora.

O nmero de defeitos observados em 2 metros quadrados de material;

Distribuio de Poisson

# = $ = B(E F'

$! Pode ser usada no lugar da distribuio binomial, quando o nmero de experimentos grande (n grande) e quando a probabilidade de sucesso pequena (p pequeno).

Muito til para representar alguns tipos de ocorrncias em um determinado tempo/superfcie


Tem-se que xnxxn ppCxf= )1()( , , onde xnC , o nmero de combinaes de n

elementos tomados x a x, )(xf a funo de probabilidade de uma varivel aleatria

binomial. Fazendo-se na sua expresso 0p e n , mas com =np , )(xf tem como limite a funo de probabilidade de uma varivel aleatria de Poisson, que :

a) ex

b) !x

ex

c) xe

d) /xe

e) )(/1 xex

Resoluo.

Quando n grande e p pequeno, a expresso knk qpk

nkXP

== )( pode ser

aproximada por:

( )!

)(k

npekXP

knp ==

Vimos tambm que comum chamar o produto np de .



( )!

)(k

ekXP

k ==

Que frmula da probabilidade para a distribuio de Poisson.

Em vez de usar a letra k , a questo est usando x (minsculo).

Gabarito: B

Questo 18 TRF 1 Regio/2001 [FCC]

A probabilidade de que um item produzido por uma mquina seja defeituoso de 10%. Uma amostra de 30 itens produzidos por esta mquina selecionada ao acaso. Use a aproximao pela distribuio de Poisson para determinar a probabilidade de que no mais do que um item defeituoso seja encontrado nesta amostra.

a) 34 e

b) 24 e

c) 33 e

d) 341 e

e) 331 e

Resoluo.

Antes de resolvermos a questo da maneira solicitada pelo enunciado, vamos usar a distribuio binomial.

Podemos considerar que, a cada item selecionado, temos um experimento. Estamos interessados nos itens defeituosos. Se o item sorteado for defeituoso, consideramos um caso favorvel. Caso contrrio, consideramos um caso desfavorvel. A probabilidade de sucesso, em um experimento, de 10% (p = 0,1). O nmero de experimentos de 30 (n = 30). Seja X o nmero de itens defeituosos na amostra de 30 itens. Queremos a probabilidade de X ser igual a zero ou 1.

Basta aplicar a frmula:

knk qpk

nkXP

== )(

300 9,01,00

30)0(

==XP

Usando a calculadora:

04239,0)0( =XP

291 9,01,01

30)1(

==XP



Novamente com o auxilio de calculadora:

14130,09,01,030)1( 291 ==XP

Assim, a probabilidade de termos um ou nenhum item defeituoso na amostra de:

18369,004239,014130,0 =+

Pronto. Achamos a probabilidade, considerando a distribuio binomial.

Agora vamos usar a distribuio de Poisson.

Ns vimos que, em certas situaes, a frmula da distribuio binomial pode ser aproximada por:

# = $ = B(E F'

$!

Onde o nmero esperado de ocorrncias. Em mdia, 10% dos itens produzidos so defeituosos. Numa amostra com 30 itens, espera-se que existam 3 itens defeituosos ( 3= ). Note que: 31,030 === np .

A probabilidade de termos zero itens defeituosos fica:

# = 0 = B() 3,

0! = B()

A probabilidade de termos 1 item defeituoso na amostra de:

# = 1 = B() 3

1! = 3B()

Assim, a probabilidade de termos zero ou um item defeituoso de:

333 43 =+ eee

Gabarito: A

Por curiosidade, usando a calculadora, temos:

19915,04 3 e

O resultado foi relativamente prximo daquele calculado sem a aproximao (usando a distribuio binomial).

Pergunta: Professor, como vou saber quando para usar a distribuio binomial e quando vou utilizar a distribuio de Poisson?



Neste exerccio em particular, era perfeitamente possvel usar a distribuio binomial. Em geral, se for possvel usar a binomial, use-a!

Neste caso, s usamos a distribuio de Poisson porque a questo disse expressamente para fazer isso. Do contrrio, usaramos a distribuio binomial mesmo.

Questo 19 MPE PE/2006 [FCC]

O nmero de falhas de certo tipo de placa trmica tem distribuio de Poisson, com taxa mdia de 0,1 defeitos por m2. Na confeco da superfcie de um armrio, necessrio cobrir uma superfcie de 2m por 2m com essa placa.

A probabilidade de que haja pelo menos uma falha nessa superfcie de:

a) 1,0e

b) 1,01 e

c) 4,01 e

d) 4,0e

e) 4,04,11 e

Resoluo.

Exerccio bem parecido com o anterior.

Seja X a varivel que designa o nmero de falhas. Vamos calcular a probabilidade de X seja igual a zero.

( )!

)(k

ekXP

k ==

A taxa mdia de 0,1 defeito por m2. Em 4 m2, o nmero esperado de 0,4 defeitos

( 4,0= ).

( )!

)(k

ekXP

k ==

( ) 4,004,0!0

4,0)0(

=== eeXP

Portanto, a probabilidade que no haja defeitos na placa de 4,0e .

Desse modo, a probabilidade de haver pelo menos uma falha nessa placa de:

4,01 e

Gabarito: C.

Interessante notar o seguinte. O exerccio pediu para usarmos a distribuio de Poisson.



Mas, mesmo que ele no tivesse dito nada a respeito, necessariamente teramos que usar a distribuio de Poisson. No d para usar a distribuio binomial aqui. Por qu?

Tanto na distribuio binomial quanto na de Poisson, a varivel de interesse o nmero de ocorrncias de alguma coisa.

Vamos retomar a Questo 18. L a varivel de interesse era o nmero de itens defeituosos produzidos pela mquina. Trata-se de uma varivel discreta, que pode assumir apenas os valores 0, 1, 2, 3, ...., 29, 30.

Pois bem, a cada item analisado, temos um experimento. A probabilidade de sucesso (=item defeituoso) de 10%. A probabilidade de fracasso de 90%.

Se, a ttulo de exemplo, quisermos calcular a probabilidade de termos exatamente 1 item defeituoso, usamos a frmula da varivel binomial. Ela vai nos dar a probabilidade de haver exatamente 1 defeituoso (e, consequentemente, 29 itens sem defeito).

Ficaria assim:

291 9,01,01

30)1(

==XP

Pois bem, estamos calculando a probabilidade de:

Termos 1 item defeituoso

Termos 29 itens no defeituosos

Tudo isso, verificado em 30 experimentos

Mudemos de exerccio. Vamos agora para a Questo 19.

Vamos calcular a probabilidade de ter exatamente uma falha na superfcie, usando a distribuio binomial.

Vamos considerar sucesso sempre que observarmos uma falha. Vamos considerar fracasso sempre que no observarmos qualquer falha. Pergunta: quanto experimentos foram realizados?

No d para saber.

O que seria um experimento? Seria a anlise de 1 m2 de superfcie? Seria a anlise de 1 cm2 de superfcie? No temos como contar quantos experimentos foram feitos.

E mais: no sabemos quantos fracassos ocorreram.



Estamos interessados em calcular a probabilidade de exatamente uma falha no material. Estamos considerando que cada falha um caso favorvel (=sucesso). Ou seja, queremos saber a probabilidade de, em uma placa de 4m2, termos exatamente 1 falha. Queremos a probabilidade de 1 caso favorvel.

Ok, para os casos favorveis tranquilo.

Contudo, no d para contar quantos seriam os casos desfavorveis. Quantas falhas deixaram de ocorrer? Outra vez, no temos resposta.

Sempre que estivermos diante de situaes assim, no d para usar a distribuio binomial. Da partimos para a distribuio de Poisson.

A varivel que apresenta distribuio de Poisson discreta. sempre nmero de ocorrncias de alguma coisa (portanto, s pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4, ...).

Mas, em geral, um nmero de ocorrncias contado sobre uma base contnua. Neste exerccio, tnhamos o nmero de ocorrncias de falhas em uma rea (a rea tem natureza contnua: pode assumir qualquer valor real maior que zero).

Outro caso tpico o nmero de chamadas telefnicas numa central de atendimento. Novamente, estamos contando o nmero de ocorrncias (a varivel de interesse discreta). Mas o tempo contnuo. O tempo pode assumir qualquer valor real maior que zero. Novamente, teremos as mesmas dificuldades: como contar quantos experimentos aconteceram? Cada segundo um experimento? Cada minuto? Cada hora? Como contar os casos desfavorveis? Como contar quantas chamadas no ocorreram? Como contar quantas ligaes no foram feitas?

Binomial versus Poisson

Sempre que for possvel usar a varivel binomial, use-a (exceto se o exerccio disser usar a varivel de poisson).

H casos em que no possvel usar a distribuio binomial. So casos em que o nmero de ocorrncias contado num campo contnuo (como espao/rea e tempo). Nestas situaes: use a distribuio de poisson

Apenas por curiosidade, a ideia da distribuio de Poisson a seguinte.

No caso das falhas na superfcie de 4 m2, supe-se que seria possvel dividir esta superfcie em reas muito pequenas. Muito pequenas mesmo. reas infinitesimais. Isto de tal forma que a probabilidade de ocorrncia de duas ou mais falhas em cada uma destas pequenas reas seja igual a zero.

Cada reazinha analisada, para ver se contempla uma falha. Ou seja, a cada rea temos um experimento. Se a rea apresentar uma falha, temos sucesso. Do contrrio, temos fracasso.



Feito isso, aplica-se a frmula da distribuio binomial. S que como as reas tm que ser bem pequenas mesmo, ento o nmero de experimentos bem grande. Quando n bem grande e p pequeno, da possvel demonstrar que a frmula da varivel binomial tende a

( )!

)(k

ekXP

k ==

.

Ou seja: a frmula da varivel de Poisson baseada na distribuio binomial. Seria uma distribuio binomial especial (especial porque se aplica a casos em que o nmero de experimentos bem grande, uma vez que as ocorrncias so contadas num campo contnuo).

Questo 20 MPE PE 2006 [FCC]

Considerando os dados da questo anterior, responda ao que segue.

Na confeco de 3 superfcies deste tipo, a probabilidade de que exatamente duas no apresentem defeito :

a) 4,024,0 )1(3 ee

b) 1,03 e

c) )1(3 2,0 e

d) 1,021,0 )1(3 ee

e) 8,04,0 )1(3 ee

Resoluo:

Podemos aplicar a frmula da distribuio binomial.

Note que aqui a situao muda completamente.

No exerccio anterior, estvamos contando quantas falhas ocorriam em uma rea (contnua). Usamos a distribuio de Poisson.

Agora mudou tudo. Estamos contando quantas placas de 4m2 apresentam defeitos. A contagem no se d mais em funo de uma superfcie/rea. A contagem por placa de 4m2.

Cada placa analisada corresponde a um experimento. Se a placa apresentar falhas, temos um caso favorvel. Do contrrio, temos um caso desfavorvel. D para contar quantos so os experimentos, quantos so os sucessos e quantos so os fracassos.

Temos:

n = 3 (so confeccionadas trs placas)

4,01 = ep (a probabilidade de caso favorvel placa defeituosa foi calculada no exerccio anterior.



4,0= eq (probabilidade de caso desfavorvel placa sem defeitos)

1=k (queremos exatamente uma placa com defeito 1 caso favorvel)

Aplicando a frmula da varivel binomial:

knk qpk

nkXP

== )(

( ) ( ) 134,014,011

3)1(

== eeXP

( ) ( )24,04,013)1( == eeXP ( ) ( )8,04,013)1( == eeXP

Gabarito: E


O nmero de peas defeituosas fabricadas por uma empresa tem distribuio de Poisson, com uma taxa mdia de 1 pea defeituosa por 1.000 peas fabricadas. Adquirindo 100 peas desta empresa, a probabilidade de, no mximo, uma pea ser defeituosa igual a

(A) e0,2

(B) e0,1

(C) 1,1 e0,1

(D) 0,1e0,1

(E) 2 e0,2

Resoluo:

Em 100 peas, espera-se que 0,1 pea seja defeituosa (basta fazer regra de trs).

F = 0,1 Para termos no mximo 1 pea defeituosa, devemos ter:

- 0 peas defeituosas

ou

- 1 pea defeituosa.

# = 0 = 1 = # = 0 + # = 1

= B(EF,0! +

B(EF1!



= B(,, 0,1,

0! +B(,, 0,1

1! = B(,, + 0,1 B(,, = B(,, 1 + 0,1

= 1,1 B(,, Gabarito: C

Questo 22 MPU/2007 [FCC]

O nmero de pacientes atendidos por um clnico geral segue uma distribuio de Poisson com taxa de 4 pacientes por hora. A probabilidade de que pelo menos um paciente consulte o clnico geral em um perodo de 15 minutos :

a) 11 e

b) 41 e

c) 4e

d) 4e

e) 1e

Resoluo.

Notem que a contagem de pacientes se d por tempo (que contnuo). o caso tpico de utilizao da distribuio de Poisson.

Antes de fazer qualquer conta, notem que a letra D totalmente absurda. O nmero e aproximadamente igual a 2,7. Quando elevado quarta potncia, fica ainda maior. Portanto, na letra D temos uma probabilidade maior que 1, o que impossvel. Uma probabilidade, no mximo, de 100%.

Se em uma hora, em mdia, so atendidos 4 pacientes, ento o nmero esperado de pacientes no perodo de 15 minutos 1 (basta fazer regra de trs). Portanto, 1= . Seja X a varivel que designa o nmero de pacientes atendidos. Queremos calcular a probabilidade de X ser maior que zero.

Para tanto, primeiro vamos calcular a probabilidade de X ser igual a zero.

( )!

)(k

ekXP

k ==

( ) 101!0

1)0(

=== eeXP

Portanto:

11)0( = eXP

Gabarito: A.




O nmero de clientes que buscam, em cada dia, os servios de um renomado cirurgio tem uma distribuio de Poisson com mdia de 2 pacientes por dia. Para cada cirurgia efetuada, o cirurgio recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o mximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes so perdidos para outros cirurgies.

Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diria do cirurgio.

(considere e2 = 0,14)

(A) R$ 5.600,00.

(B) R$ 8.400,00.

(C) R$ 10.000,00.

(D) R$ 14.400,00.

(E) R$ 20.000,00.

Resoluo.

Seja X a varivel que indica o nmero de clientes que buscam o cirurgio, por dia. X tem distribuio de Poisson.

( )!

)(k

ekXP

k ==

.

202

!0

2)0(

=== eeXP

212

2!1

2)1(

=== eeXP

J achamos as probabilidades de X ser igual a zero e de X ser igual a 1.

E quanto aos demais casos? E quanto aos casos em que X maior ou igual a 2?

Bem, eles podem ser tratados em conjunto. Isto porque, se X for maior ou igual a 2, o cirurgio s poder atender 2 clientes. Sua receita diria, em qualquer desses casos, ser de R$ 20.000,00. Assim, pouco importa se, num dado dia, 2 clientes procuram o cirurgio, ou se 20 clientes procuram o cirurgio. Nos dois casos ele s ter uma receita de R$ 20.000,00.

Por isso, vamos tratar todos estes casos de forma conjunta.

?)2( =XP

= )2( XP ( ))1()0(1 =+= XPXP = )2( XP 231 e

Seja Y a varivel que indica a receita diria do cirurgio. A tabela abaixo relaciona os valores de X e suas probabilidades com os respectivos valores de Y.



X Y Probabilidade

0 0 2e 1 10.000 2

2e maior ou igual a 2 20.000 231 e

A esperana de Y fica:

)31(000.202000.100)( 222 ++= eeeYE 22 000.60000.20000.20)( += eeYE

2000.40000.20)( = eYE

14,0000.40000.20)( =YE

600.5000.20)( =YE = 14.400

Gabarito: D


Suponha que o nmero de partculas emitidas por uma fonte radioativa durante um perodo de tempo t seja uma varivel aleatria com distribuio de Poisson. Sabe-se que a probabilidade de que no haja emisses durante o tempo t 1/4. A probabilidade de que haja pelo menos duas emisses durante o tempo t

(A) 14ln

(B) 4

4ln4

(C) 4

4ln

(D) 4

4ln1

(E) 4

4ln3

Resoluo.

Temos:

# = 0 = 14 B(E F,

0! =14

B(E = 14 equaoI Aplicando logaritmo neperiano dos dois lados da igualdade:



lnPB(EQ = ln 4145 Quando o logaritmo incide sobre uma potncia, podemos descer o expoente, multiplicando:

lnB = ln 4145 Quando a base igual ao logaritmando, o logarimto vale 1.

F 1 = ln 4145 Podemos separar o logaritmo da diviso em uma subtrao de logaritmos:

F 1 = ln1 ln4 Quando o logaritmando vale 1, o logaritmo vale 0.

F = ln4 F = ln4 equaoII

A probabilidade de uma emisso :

# = 1 = B(E F1!

# = 1 = B(E F Substituindo o valor de B(E, encontrado na equao I:

# = 1 = 14 F

Substituindo o valor de F dado em II: # = 1 = 14 ln4

Finalmente, podemos calcular a probabilidade de pelo menos duas emisses:

# 2 = 1 # < 2 = 1 # = 0 # = 1

= 1 14 ln44

= 4 1 ln44

= 3 ln44 Gabarito: E


Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de chamadas por minuto recebidas por um PBX. Sabe-se que X tem mdia e que P(X = 3) = P(X = 4). Supondo que a distribuio de



Poisson seja adequada para X, a probabilidade de que ocorra uma chamada em 30 segundos

(A) e4 .

(B) 4e4 .

(C) e2.

(D) 2e2.

(E) 1 2 e2.

Resoluo:

# = 3 = B(E F)

3!

# = 4 = B(E F-

4! Igualando as duas probabilidades:

B(E F)3! =

B(E F-4!

F)3! =

F-4!

1 = F4 F = 4

Assim, em 1 minuto esperam-se 4 chamadas.

Logo, em meio minuto, esperam-se 2 chamadas.

A probabilidade de uma chamada em meio minuto :

# = 1 = B( 21! = 2 B

(

Gabarito: D


O nmero de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuio de Poisson, com mdia de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no mximo trs petroleiros em dois dias igual a:



Resoluo.

Precisamos simplesmente aplicar a frmula da distribuio de Poisson vrias vezes.

Em dois dias, o nmero esperado de petroleiros igual a 4.

4= Aplicando a frmula:

=+++ )3()2()1()0( PPPP

+++

!3

4

!2

4

!1

4

!0

4 32104e =

=

3

714e

Gabarito: C

Para encerrar os comentrios da distribuio de Poisson, faltou dizer o seguinte. Se X tem distribuio de Poisson, ento:

== )()( XVXE

A varincia e a esperana de X so iguais a .

Mdia e varincia da varivel com distribuio de Poisson

= = F



5. DISTRIBUIO GEOMTRICA

Suponha que realizamos repetidas vezes um experimento de Bernoulli, at que obtenhamos o primeiro sucesso. A varivel X indica o nmero de tentativas at conseguirmos o primeiro sucesso. X uma varivel com distribuio geomtrica.

Exemplo: X designa o nmero de lanamentos de uma moeda at obtermos cara pela primeira vez.

Outro exemplo: X designa o nmero de lanamentos do dado at obtermos um mltiplo de 3.

No primeiro caso, a cada lanamento a chance de sucesso (cara) 50%. Dizemos que = 0,5 No segundo caso, a cada lanamento do dado a chance de sucesso (mltiplo de 3) 1/3. Assim = 1 3.

A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na k-sima tentativa :

1 '( possvel ento calcular a mdia e a varincia de X, assim:

= 1

= 1

Questo 27 TRE ES 2011 [FCC]

O custo para a realizao de um experimento de 500 reais. Se o experimento falhar haver um custo adicional de 100 reais para a realizao de uma nova tentativa. Sabendo-se que a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa 0,4 e que todas so independentes, o custo esperado de todo o procedimento at que o primeiro sucesso seja alcanado

a) 1.500.

b) 1.400.

c) 1.300.

d) 1.200.

e) 1.000.

Resoluo:

Primeira soluo



Primeiramente, vou resolver a questo do jeito que eu faria durante a prova. Infelizmente, para essa soluo no h resposta.

Eu interpretei o enunciado da seguinte forma.

Na primeira tentativa, o custo de R$ 500,00.

Na segunda tentativa,o custo de R$ 100,00 ( o custo adicional), que, somado ao custo inicial, resulta num custo total de R$ 600,00

Na terceira tentativa, o custo de R$ 100,00 (mais outro custo adicional), que, somado ao que foi gasto at aqui, resulta num custo acumulado de: 600 + 100 = 700

E assim por diante. A cada nova tentativa, nosso gasto aumentaria em R$ 100,00 (custo adicional para cada tentativa).

Muito bem.

Seja "X" a varivel que indica a quantidade de experimentos necessria para que ocorra o primeiro sucesso. "X" segue uma distribuio geomtrica, com parmetro = 0,4. A esperana de "X" dada por

= 1 =10,4 = 2,5

So realizadas, em mdia, 2,5 experincias at que ocorra o primeiro sucesso. O primeiro experimento tem custo de R$ 500,00. Os outros tm custo de R$ 100,00 cada. Somando tudo, o gasto total seria de:

500 + 2,5 1 100 = 650 E no h resposta com esse valor.

Segunda soluo

Essa segunda soluo eu s fiz porque olhei o gabarito e vi que a resposta a letra "B". Ao indicar que o custo adicional de R$ 100,00, a banca quis dizer que cada novo experimento custa R$ 600,00 (ou seja, custa os R$ 500,00 iniciais mais R$ 100,00). Assim:

Na primeira tentativa, o custo de R$ 500,00.

Na segunda tentativa, o custo de R$ 600,00, que, somado ao custo inicial, resulta num custo total de R$ 1.100,00

Na terceira tentativa, o custo de R$ 600,00, que, somado ao que foi gasto at aqui, resulta num custo acumulado de: 600 + 1.100 = 1.700

E assim por diante.



J vimos que so realizadas, em mdia, 2,5 experincias. A primeira tem custo de R$ 500,00. As outras custam R$ 600,00 cada uma. O custo total ser de:

500 + 2,5 1 600 = 1400 Gabarito: B

Questo 28 ISS SP 2012 [FCC]

Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento A com probabilidade p e no ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente at que A ocorra pela primeira vez. Seja: X = nmero de repeties do experimento at que A ocorra pela primeira vez. Sabendo que a mdia de X 3, a probabilidade condicional expressa por P (X = 2 | X 3) igual a

a) 5/27

b) 4/27

c) 2/9

d) 1/3

e) 6/19

Resoluo:

Temos uma distribuio geomtrica. Sua mdia :

= 1

3 = 1

= 13 Logo, temos:

# = 1 = = 13

# = 2 = 1 = 23 13 =

29

# = 3 = 1 = 4235 13 =

427

# 3 = 13 +29 +

427 =

9 + 6 + 427 =

1927

Por fim:



# = 2| 3 = # = 2# 3 =291927

= 619

Gabarito: E

6. DISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA

Suponha que temos 50 itens fabricados, sendo que 45 so normais e 5 so defeituosos.

Extramos uma amostra de tamanho 3, sem reposio. E queremos calcular a probabilidade de exatamente 2 itens defeituosos na amostra.

Seja X a varivel que indica a quantidade de itens defeituosos na amostra.

# = 2 =? Vamos calcular os casos possveis. Temos um caso de combinao de 50 elementos, tomados 3 a 3.

+7,,) Agora os casos favorveis. Para a escolha dos dois itens com defeito, temos um caso de combinao de 5 elementos, tomados 2 a 2. E para a escolha do item normal, temos um caso de combinao de 45 elementos, tomados 1 a 1.

Com isso, o nmero de casos favorveis fica:

+7, +-7, A probabilidade obtida dividindo o nmero de casos favorveis pelo nmero de casos possveis:

# = 2 = +7, +-7,+7,,) Dizemos que X tem distribuio hipergeomtrica. Genericamente, se tivermos N elementos, dos quais k tm determinada caracterstica, e extrairmos uma amostra de tamanho n, ento a probabilidade de x sucessos :

# = = +',; +W(',(;+W, A mdia e a varincia de X so:

= = X X 1

Onde:

p a proporo de itens com a caracterstica desejada (na populao)

q = 1 - p



= $X ; = 1 Se a amostragem fosse com reposio, o nmero de itens defeituosos na amostra seguiria uma distribuio binomial, com mdia e varincia . No entanto, como a amostragem sem reposio, isso d origem distribuio hipergeomtrica. A mdia se mantm em .Mas temos uma alterao na varincia: ela multiplicada por X X 1 que chamado de fator de correo para populaes finitas.

Questo 29 MPU 2007 [FCC]

Em uma livraria 4 livros didticos com defeito foram misturados a outros 16 livros sem defeito. Um professor foi livraria e escolheu, aleatoriamente, 4 desses livros para presentear seus alunos. A probabilidade de ter escolhido 3 livros com defeito a)

%43& %161 &

%204 &

b)

%163 & %41&

%204 &

c)

%164 & 0,8- 0,2

d)

%204 & 0,8-0,2Z

e)

%163 & 0,8-0,2

Resoluo:

O enunciado est impreciso. O examinador quis se referir probabilidade de retirar exatamente trs livros com defeito.

Casos possveis:

Para a escolha dos 4 livros entre os 20 existentes temos combinao de 20, tomados 4 a 4:

+,,-



Casos favorveis:

Para a escolha dos 3 defeituosos entre os 4 existentes, temos combinao de 4, tomados 3 a 3:

+-,) Para a escolha do livro normal entre os 16 existentes, temos combinao de 16, tomados 1 a 1:

+Z, Aplicando o princpio fundamental da contagem:

+Z, +-,) Probabilidade A probabilidade dada pela relao entre nmero de casos favorveis e nmero de casos possveis.

# = +Z, +-,)+,,- Gabarito: A

Questo 30 MDIC 2012 [ESAF]

Em uma populao de 50 empresas de uma regio, 20 so empresas exportadoras. Qual o valor mais prximo do nmero esperado de empresas exportadoras em uma amostra aleatria de tamanho 20 retirada sem reposio da populao?

a) 10 b) 8 c) 7,5 d) 6 e) 4

Resoluo:

Temos uma distribuio hipergeomtrica. O tamanho da amostra 20 (n = 20) e a proporo populacional de empresas exportadoras 2/5 (p = 2/5).

A esperana da distribuio hipergeomtrica :

= = 20 25 = 8 Gabarito: B



7. QUESTES APRESENTADAS EM AULA

Questo 1 TJ RO 2008 [CESGRANRIO]

Uma urna contm dez bolas, cada uma gravada com um nmero diferente, de 1 a 10. Uma bola retirada da urna aleatoriamente e X o nmero marcado nesta bola. X uma varivel aleatria cujo(a)

(A) desvio padro 10.

(B) primeiro quartil 0,25.

(C) mdia 5.

(D) distribuio de probabilidades uniforme.

(E) distribuio de probabilidades assimtrica.


Para uma determinada moeda viciada, a probabilidade de se obter um resultado cara igual a 30%. Seja, ento, a varivel aleatria X que assume apenas os valores 0 e 1, sendo 0 para resultado coroa e 1 para resultado cara. Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o valor mdio e a varincia de X.

(A) 0,21 e 0,3

(B) 0,7 e 0,21

(C) 0,21 e 0,7

(D) 0,3 e 0,21

(E) 0,3 e 0,7


Um candidato se submete a uma prova contendo trs questes de mltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questo apresenta cinco alternativas, mas apenas uma correta. Se o candidato no se preparou e decide responder a cada questo ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso igual a:

(A) 0,104.

(B) 0,040.

(C) 0,096.

(D) 0,008.

(E) 0,200




Seja X a soma de n variveis aleatrias independentes de Bernoulli, isto , que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p e p1 , respectivamente. Assim, a distribuio de X :

a) binomial com parmetros n e p

b) gama com parmetros n e p

c) qui quadrado com n graus de liberdade

d) laplace

e) t de student com n-1 graus de liberdade

Questo 5 PETROBRAS 2008/2 [CESGRANRIO]

Um estudante marca, ao acaso, as respostas de um teste de 10 questes de mltipla escolha, com 4 alternativas por questo. O nmero mais provvel de acertos

(A) 1,5

(B) 2,0

(C) 2,5

(D) 3,0

(E) 3,5


Em um experimento binomial com trs provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos doze vezes a probabilidade de ocorrerem trs sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso so, em percentuais, respectivamente, iguais a:

a) 80 % e 20 %

b) 30 % e 70 %

c) 60 % e 40 %

d) 20 % e 80 %

e) 25 % e 75 %


Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingesto de gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino igual a 1/4. Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e trs meninas igual a:

a) 37/64

b) 45/216

c) 1/64

d) 45/512

e) 9/16



Questo 8 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

Suponha que a probabilidade de que se encontre um erro contbil grave em uma auditoria seja 0,2. Se dez auditorias independentes so realizadas, assinale a opo que d a probabilidade de que no mais do que uma detecte erro contbil grave.

a) 5/48,2

b) 0,400

c) 0,210

d) ( )105/48,2 e) ( )95/48,2 Questo 9 CGU 2008 [ESAF]

Seja X uma varivel aleatria discreta com funo de probabilidade binomial )(xf , onde knx

kn ppCkf= )1()( , e knC , o nmero de combinaes de n elementos tomados k a k.

Sendo 6=n e 3/1=p , determine )6(f .

a) 1/729

b) 1

c) 0

d) 64/729

e) 8/729


Seja )(kF a funo de distribuio da varivel aleatria definida na questo anterior,

determine )0(F .

a) 0

b) 1/729

c) 64/729

d) 243/729

e) 1.

Questo 11 IRB 2004 [ESAF]

Suponha que o motor de um avio em vo falhe, independentemente dos outros motores, com probabilidade 1 , sendo um nmero entre zero e um. O avio capaz de fazer um vo seguro se pelo menos a metade de seus motores estiverem funcionando propriamente. Assinale a opo que corresponde aos valores de para os quais voar num avio com 4 motores mais seguro do que voar num bimotor.

a) p=0,500

b) p=0,200



c) p deve estar entre 0,500 e 0,655

d) p deve ser menor do que 0,200

e) p deve ser maior que 2/3

Questo 12 SERPRO 2001 [ESAF]

Um aspecto importante do servio de manuteno de programas numa empresa tem a ver com a velocidade (presteza) com que uma chamada de servio (de manuteno) atendida. Historicamente, numa determinada empresa, observa-se que as chances so de 50% de que uma chamada seja atendida num perodo inferior a 1 hora. Se 5 chamadas de manuteno so realizadas nessa empresa, assinale a opo que d a probabilidade de que pelo menos 3 chamadas sejam atendidas em menos de 1 hora.

a) 50,00%

b) 12,50%

c) 75,00%

d) 31,25%

e) 18,75%


Se p a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa nica e seu complemento (1 p) a probabilidade do evento no ocorrer (distribuio binomial), ento a probabilidade do evento ocorrer exatamente X vezes, em n tentativas dada por:

apx=+,; ; (; b1 ;(; c = ;(;

d = 1 + +,;;(; e = ; (;


Em certo plano amostral, em uma populao de 100 elementos, optou-se pelo seguinte critrio: joga-se uma moeda (honesta) e, se der cara, o elemento entra na amostra; se der coroa, ele no entra na amostra. Qual o tamanho esperado dessa amostra?

(A) 10

(B) 20

(C) 30

(D) 40

(E) 50


Em uma grande cidade, a probabilidade de uma pessoa responder corretamente a uma questo formulada por um entrevistador igual a 40%. Selecionando ao acaso trs pessoas



sem reposio e fazendo a pergunta para cada uma independentemente, a probabilidade de pelo menos uma acertar a resposta igual a

(A) 78,4%

(B) 60,0%

(C) 54,6%

(D) 48,0%

(E) 44,8%

Questo 16 SAD PE 2009 [CESPE]

A figura acima apresenta a distribuio percentual da populao de crianas e jovens entre cinco a dezenove anos de idade que nunca procurou um dentista, por renda domiciliar per capita no Brasil em 1998. As diferenas entre os diversos grupos de renda per capita acentuada. Aproximadamente 25% da populao brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram um dentista. Entretanto, este valor sofre oscilaes segundo a renda variando de 50,7% naqueles domiclios com renda de at R$ 37,75 a 1,5% naqueles domiclios com renda per capita entre R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00.

A. Nunes et al. Medindo as desigualdades em sade no Brasil, OPAS/OMS, 2001 (com

adaptaes)

Considerando que uma amostra aleatria simples de cinco mil indivduos fosse retirada da populao de crianas e jovens entre cinco e dezenove anos de idade no Brasil em 1998, se X representa o nmero de indivduos nessa amostra que nunca procurou um dentista, ento a varincia de X

A) inferior a 400.

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Aula 06 - Estatística - Principais Distribuições Discretas