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Aula 07 - Momento (formulação vetorial)

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Lembrete:

24/08 – Momento sobre um eixo específico. Momento de um binário

29/08 – Revisão e esclarecimento de dúvidas.

31/08/17 - Prova 01

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Produto vetorial

O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que éescrito:

C = A x B

e lido como ‘C é igual a A vetor B’.

A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo θ entre suas origens (0º ≤ θ ≤ 180º). Logo,

C = AB sen θ.

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Direção

Conhecendo a direção e a intensidade de C, podemos escrever:

C = A × B = (AB sen θ) uC

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Direção

Conhecendo a direção e a intensidade de C, podemos escrever:

C = A × B = (AB sen θ) uC

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Propriedades de operação

A propriedade comutativa não é válida; ou seja, A x B ≠ B x A. Em vez disso,

A x B = –B x A

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Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece à propriedade associativa;

a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a

O produto vetorial também obedece à propriedade distributiva da adição,

A × (B + D) = (A × B) + (A × D)

Propriedades de operação

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Formulação do vetor cartesiano

Como mostra a Figura a seguir, o vetor resultante aponta na direção +k. Portanto, i x j = (1)k.

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Formulação do vetor cartesiano

Para se obter Intensidade do vetor: (i) (j) (sen 90º) = (1) (1) (1) = 1Direção e sentido: Regra da mão direita

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Formulação do vetor cartesiano

Um esquema simples é útil para a obtenção dos mesmos resultados quando for necessário.

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Formulação do vetor cartesiano

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Formulação do vetor cartesiano

Para obter o produto vetorial de quaisquer vetores cartesianos A e B, é necessário expandir um determinante cuja primeira linha de elementos consiste dos vetores unitários i, j e k; e a segunda e terceira linhas são as componentes x, y, z dos dois vetores A e B, respectivamente.

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Momento de uma força – formulação vetorial

MO = r × F

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Intensidade

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Direção

A direção e o sentido do momento são determinados pela regra da mão direita do produto vetorial.

Como o produto vetorial não obedece à propriedade comutativa, a ordem de r × F deve ser mantida para produzir o sentido da direçãocorreta para MO.

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Podemos usar qualquer vetor posição r medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação da força F. Assim,

Princípio da transmissibilidade

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Formulação do vetor cartesiano

Se estabelecermos os eixos coordenados x, y, z, então o vetor posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos:

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Formulação do vetor cartesiano

Se o determinante for expandido, temos:MO = (ryFz – rzFy) i – (rxFz – rzFx) j + (rxFy – ryFx) k

O significado físico dessas três componentes do momento se torna evidente ao analisar a Figura:

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

Intensidade?

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

E os valores dos ângulos?

O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.

E os valores dos ângulos?uM=MA/MA

MMx1cos

MMy1cos

MMz1cos

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Momento resultante de um sistema de forças

Essa resultante pode ser escrita simbolicamente como:

Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.

Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.

Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.

Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.

Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.

Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.

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O princípio dos momentos

Como F = F1 + F2, temos:MO = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2

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Para os problemas bidimensionais: MO = Fxy – Fyx

O princípio dos momentos

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O momento de uma força cria a tendência de um corpo girar em torno de um eixo passando por um ponto específico O.

Usando a regra da mão direita, o sentido da rotação é indicado pela curva dos dedos, e o polegar é direcionado ao longo do eixo do momento, ou linha de ação do momento.

A intensidade do momento é determinada através de MO = Fd, onde d é chamado o braço do momento, que representa a distância perpendicular ou mais curta do ponto O à linha de ação da força.

Pontos importantes

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Em três dimensões, o produto de vetorial é usado para determinar o momento, ou seja, MO = r × F. Lembre-se de que restá direcionado do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação de F.

O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto.

Pontos importantes

Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.

Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.

Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.Solução I

Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.Solução II

Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.Solução II

A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.

A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.Solução I

A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.Solução II - vetorial

A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.Solução II - vetorial

Sugeridos: 4.19 a 4.22; 4.27; 4.31; 4.42 a 4.46;