Aula 09 - Raciocinio Logico - Aula 02

AFRFB – Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO PROFESSORA: KARINE WALDRICH

Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1

1. Conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; Álgebra. ................................................................ 2

1.1 Conjuntos e suas operações .......................................................... 2 1.1.1 Definição de conjuntos ............................................................... 2 1.1.2 Subconjuntos ............................................................................ 3 1.1.3 Operações com conjuntos........................................................... 3 1.1.4 Conjunto Complementar ............................................................ 4 1.1.5 Demais detalhes sobre Conjuntos ................................................ 5

1.2 Conjuntos Numéricos Fundamentais: Números Naturais, Inteiros, Racionais e Reais e suas operações ........................................................ 6 1.2.1 Números Naturais, Inteiros e Racionais ........................................ 7 1.2.2 Números Reais .......................................................................... 8 1.2.3 Conjuntos Numéricos Complexos ................................................. 8

1.3 Operações com números (frações e decimais) ................................... 12 1.4 Potenciação e radiciação ................................................................. 16 1.5 Expressões algébricas .................................................................. 18 1.5.1 Produtos notáveis ..................................................................... 19

1.6 Equações e inequações de 1.º e 2.º graus; Funções; gráficos. .......... 20 1.6.1 Equações e inequações do primeiro grau com uma incógnita ......... 20 1.6.2 Equações e inequações do segundo grau ..................................... 22

1.7 Noção de função, função composta e inversa. ................................... 24

1.7.1 Função Composta .................................................................. 26 1.7.2 Função Inversa ..................................................................... 27 1.7.3 Função exponencial .................................................................. 27 1.7.4 Função logarítmica ................................................................... 28

1.8 Plano cartesiano. ........................................................................ 30

2. Questões comentadas ......................................................................... 33

3. Memorex ........................................................................................... 85

4. Lista das questões abordadas em aula .................................................. 88

5. Gabarito ............................................................................................ 99

Aula 2



1. Conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; Álgebra. 1.1 Conjuntos e suas operações 1.1.1 Definição de conjuntos Conjunto é uma reunião de elementos. Exemplos de conjuntos:

• Conjunto de algarismos (os elementos são os algarismos 0, 1, 2...); • Conjunto do alfabeto (os elementos são as letras A, B, C...); • Conjunto de rock (os Rolling Stones são um conjunto, formado pelo Mick

Jagger, Keith Richards, etc). Enfim, se você tem esposa/esposo e filhos, vocês são um conjunto, e você é um dos elementos desse conjunto. Os conjuntos costumam ser representados de três formas, basicamente:

• Por diagramas: Conjunto A = Conjunto dos Algarismos

• Por chaves, e os elementos separados por vírgulas: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• Por chaves, com um traço indicando a principal característica deles: A = {x | x é um algarismo} Quando queremos dizer, ainda, que um elemento pertence ou não a um determinado conjunto, podemos usar o símbolo ∈. Exemplo: a letra “a” pertence ao conjunto das vogais (V): a ∈ V

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



1.1.2 Subconjuntos Um conjunto é subconjunto de outro de todos os seus elementos fizerem parte do outro. Por exemplo, o conjunto das cidades de Santa Catarina é subconjunto do conjunto das cidades do Brasil. Quando queremos dizer que um conjunto está contido em outro, ou seja, que um conjunto é subconjunto de outro, podemos usar o símbolo ⊂ . Por exemplo, o conjunto das vogais (V) está contido no conjunto do alfabeto (A): V ⊂ A

1.1.3 Operações com conjuntos Basicamente, existem 3 operações com conjuntos: UNIÃO, SUBTRAÇÃO E INTERSECÇÃO. Vamos ver cada uma delas:

• UNIÃO: somar os elementos de dois conjuntos. A UNIÃO é dada pelo símbolo ∪ . Mostrando em um desenho, temos:

• INTERSECÇÃO: comparar dois conjuntos, identificando os elementos semelhantes.

A INTERSECÇÃO é dada pelo símbolo ∩ . No desenho:



• SUBTRAÇÃO: diminuir os elementos de dois conjuntos. A SUBTRAÇÃO não tem um símbolo específico, ela é dada pelo mesmo símbolo da álgebra, o -. No desenho, A – B é:

1.1.4 Conjunto Complementar Conjunto Complementar, denotado por AC, é o que não está dentro de um conjunto. É tudo, menos o que está dentro do conjunto. No desenho:



Se o conjunto A estiver contido dentro do conjunto B, é possível ter o complementar de A em relação a B, que significa o que falta no conjunto A para que se torne o conjunto B, denotado por AcB. No desenho:

1.1.5 Demais detalhes sobre Conjuntos Conjuntos é um assunto cheio de detalhes... que nunca caem em concurso. A maioria das questões de conjuntos em concurso envolvem os conceitos que vimos até aqui, e outros de Lógica em si, em que se usa o raciocínio e não algum conhecimento prévio. Não vou fazer repetição do que já vimos, então vou passar para vocês basicamente o que eu acho mais importante, que é a noção de intervalos. Acho bem difícil cair uma questão só disso, mas está contemplado no edital e é um conhecimento importante para outros assuntos (funções, estatística, etc). Pensem, por exemplo, na média que vocês tinham que fazer para passar nas matérias do colégio. Na colégio em que estudei, por exemplo, a média para passar era 7,0. Então, falando em termos de intervalo, o intervalo de notas que eu poderia tirar era igual a [7,0;10,0]. O que isso significa? Que eu poderia tirar qualquer nota entre 7,0 e 10,0 – incluindo esses extremos. Quando o colchete está assim (virado para dentro), os extremos estão inclusos. Vamos supor que não fosse assim. Digamos que exista um colégio em que a nota para aprovação seja superior a 7,0, mas sem incluir o 7,0 propriamente dito. Por exemplo, quem ficasse com média 7,0 estaria reprovado, mas quem tirasse 7,1 passaria. Poderíamos expressar o intervalo de notas que um aluno poderia tirar da seguinte forma: ]7,0;10,0].



Esse intervalo é o que chamamos de intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. Quando um dos lados é aberto, significa que o número próximo à ele não está incluso no intervalo. A tabela abaixo traz outras variações dos intervalos.

Intervalos Numéricos Tipo de intervalo Descrição Simbologia

Fechado Os dois extremos estão incluídos

[p;q] = {x R | p ≤ x ≤ q}

Fechado à esquerda O extremo à esquerda está incluído, o extremo à direita está excluído

[p;q[ = {x R | p ≤ x < q}

Fechado à direita O extremo à direita está incluído, o extremo à esquerda está excluído

]p;q] = {x R | p < x ≤ q}

Aberto Ambos extremos estão excluídos

]p;q[ = {x R | p < x < q}

Semifechado O intervalo vai de infinito até um valor p ou q, incluindo estes

]- ;q] = {x R | x ≤ q}

(neste caso, x é menor ou igual a q)

[p;+ ] = {x R | x ≥

p}

(neste caso, x é maior ou igual a p)

Semiaberto O intervalo vai de infinito

até um valor p ou q, excluindo estes

]- ;q[ = {x R | x < q}

(neste caso, x é menor do que q)

]p;+ [ = {x R | x >

p}

(neste caso, x é maior do que p)

1.2 Conjuntos Numéricos Fundamentais: Números Naturais, Inteiros, Racionais e Reais e suas operações



1.2.1 Números Naturais, Inteiros e Racionais Observem o seguinte diagrama:

Por este diagrama, vocês podem perceber que os números Racionais englobam também os números Inteiros e os Naturais. É impossível falar dos números Racionais sem falar dos números Inteiros e dos Naturais. Os números Inteiros são aqueles que não são frações. Por exemplo, � = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Normalmente, o conjunto dos números Inteiros é expresso pela letra � .

Assim, sabemos que 34 não é um número inteiro, pois ele é uma fração.

Dentro dos números Inteiros, como o diagrama mostra, existem os números Naturais. São todos os Inteiros positivos, incluindo o Zero. O conjunto dos números Naturais é expresso por � = {0, 1, 2, ...}.

Portanto, 34 não é um número Natural. Assim como –2.

Por fim, temos os números Racionais. Eles são os números Inteiros mais as frações. Qualquer número que possa ser expresso por uma fração é um

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Ex: 1,333333 (...); 2/5; 11 ...

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Ex: -2; -1; 0; 1; 2

NÚMEROS NATURAIS (N)

Ex: 0; 1; 2



número Racional. Normalmente, o conjunto dos números Racionais é chamado de � , isso porque Q vem de quociente.

Assim, 34é um número Racional. -

34 também.

E 1,33333333...? Será que é um número Racional? Sim, pois 1,33333333... pode ser expresso sob a forma de fração. É o número 43.

Números como o 1,33333333... são chamados de dízimas periódicas. São números resultantes de divisões de frações. No entanto, 1,376983987... não é número racional. É, sim, um número Irracional. Números Irracionais são números que não são dízimas periódicas e possuem número infinito de casas decimais. Os números Irracionais não podem ser expressos por frações. 1.2.2 Números Reais O conjunto dos números Reais é formado pelos números Racionais mais os números Irracionais. Basicamente, qualquer número que possa ser extraído de uma raiz é um número Real. O conjunto dos números Reais é denotado por � . Ficam de fora os números Complexos. 1.2.3 Conjuntos Numéricos Complexos Quem já resolveu uma Equação de 2o Grau e, após resolver o Delta (∆ = b2 – 4ac), encontrou um número negativo? Normalmente, dizemos que a Equação, neste caso, não possui raízes Reais. Foi então, que um cientista chamado Gauss (isso não cai em concurso, claro, mas fui pesquisar quem por curiosidade mesmo) criou um grupo de números que ele chamou números complexos.



A base dos números complexos é o conhecimento de quê:

i = 1− Assim, por exemplo, se você resolve uma Equação de 2o Grau e chega no seguinte Delta:

∆ = -4

Lembrando que as raízes de uma Equação de 2o Grau são: b

x = 2a

− ± ∆

A Equação não terá raízes Reais, mas no plano complexo, denotado pela letra � , podemos resolver o ∆ da seguinte maneira:

∆ = -4

∆ = 4 . 1−

∆ = 2i

Viram como é simples? Basta isolar o 1− e substituir pela letra i. Ou seja, assim a Equação de 2o Grau passa a não ter raízes Reais, e sim raízes pertencentes ao Conjunto de Números Complexos. Vamos chamar de z um número qualquer do Conjunto de Números Complexos (� ). z pode ser expressado assim:

z = a + bi

a e b são números Reais. Assim, qualquer número pode ser expresso sob a forma de z. Por exemplo: 9 = 9 + 0i a = 9 b = 0 4i = 0 + 4i a = 0



b = 4 2 + 2 =2 + 2 + 0i a = 2 + 2 b = 0 2 + 2− = 2 + 2 i a = 2 b = 2 E assim por diante. a é também chamado de parte real de z, e b é chamado de parte imaginária de z. Também há uma maneira mais simples de expressar z, que é através de parênteses. Para o número 4i, por exemplo, onde a = 0 e b = 4, temos: 4i = (0,4) Bem, existem algumas operações com os números complexos. Já adianto que elas são simples e intuitivas, na maioria das vezes basta utilizar o i como se fosse um número qualquer. Sempre lembrando que, se i = 1− , i2 = -1.

• Adição e Subtração de números complexos: Soma-se a parte real e a parte imaginária, separadamente: Exemplo: 2 + i e –5 + 7i Soma: (2 – 5) + (1 + 7)i = -3 + 8i Subtração: (2 – (-5)) + (1 – 7)i = 7 – 6i Simples, não acharam?

• Multiplicação de números complexos: A multiplicação de números complexos também é tranquila, e obedece às regras gerais de multiplicação. Vou utilizar como exemplo os mesmos números complexos lá de cima:



Exemplo: 2 + i e –5 + 7i (2 + i).(–5 + 7i) = 2.(-5) + 2.7i + i.(-5) + i.7i -10 + 14i -5i + 7i2 i2 = -1, então: -10 + 14i -5i + 7(-1) -10 + 14i -5i – 7 -17 + 9i Assim, para multiplicar números complexos, basta ter em mente que i2 = -1, e substituir quando necessário.

• Potenciação de números complexos: Se, por definição, temos que i = 1− ,, então: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2.i = -1.i = -i i4 = i2.i2=-1.-1=1 i5 = i4. 1=1.i= i i6 = i5. i =i.i=i2=-1 i7 = i6. i =(-1).i=-i ... Assim por diante. Percebam que, a partir do i4, a sequência 1, i, -1, -i se repete. Então, se uma questão de concurso perguntar: Qual o valor de i367? Como fazer? A maneira mais fácil é dividir 367 por 4. O resto deverá estar entre 0 e 3, claro. Portanto, i367 será igual a iresto da divisão 367/4. 367/4 = 91 mais 3 de resto. Ou seja, i367 = i3 = -i.

• Interpretação Geométrica dos Números Complexos:



Im

Re

Im

Re

É possível expressar os números complexos em um plano geométrico. Já vi cair em concurso (tem até uma questão nos exercícios dessa aula). É simples: Representando o número 2 + 3i: 3 2 A parte imaginária (Im = 3i) é representada no eixo vertical. Já a parte real (Re = 2) é representada no eixo horizontal. 1.3 Operações com números (frações e decimais) Primeiramente, vamos falar das frações. Assunto muito cobrado. Inicialmente, cabe lembrar que a “parte de cima” da fração é o numerador, e a “parte de baixo” é o denominador, como no esquema abaixo:

θ



27

Na adição, subtração, multiplicação e divisão com frações alguns cuidados devem ser tomados. Vamos analisar cada uma das quatro operações:

• Adição e Subtração de frações: Na adição e subtração de frações, o importante é manter todos os denominadores iguais. Essa é a regra principal. E como fazer isso? Vejam a soma abaixo: 27 + 1

9 + 3

5 Para reduzir os três denominadores a um só, devemos encontrar o famoso MMC – Mínimo Múltiplo Comum. O MMC é o menor número divisível pelos três denominadores, tendo zero como resto. Na verdade, o menor número divisível por qualquer número é o zero (pois podemos dividir o zero por qualquer número e ter zero como resto). Então, o MMC é o menor múltiplo comum, a exceção do zero. No nosso exemplo, temos três denominadores: 7, 9 e 5. Cada um tem os seus múltiplos. São eles (já excluímos o zero):

• Múltiplos de 7: {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196, 203, 210, 217, 224, 231, 238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287, 294, 301, 308 315, 322, 329, ...}

• Múltiplos de 9: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, ...}

• Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 300, 305, 310, 315, 320, 325, ...}

Percebam que o menor número que é divisível pelos três números é 315. Mas como descobrir isso sem precisar escrever todos esses números? Na hora da prova vocês não podem perder esse tempo todo.

Numerador

Denominador



Para isso, utilizamos a Fatoração. Na fatoração, dividimos o número pelo menor número primo possível, e seguir na divisão, até que se chegue a um quociente igual a 1. Vamos fazer com os nossos denominadores (7, 9 e 5). Fatorando o 7: 7 7 1 Notem que como o 7 é um número primo, a fatoração do 7 é igual a ele mesmo. Fatorando o 9: 9 3 3 3 1 Fatoração do 9 = 32. Fatoração do 5: 5 5 1 Temos, então, a regra de ouro do MMC: Seguindo essa regra, temos que o MMC (7, 5, 9) = 7 x 32 x 5 = 315. Resgatando nossa soma inicial: 27 + 1

9 + 3

5

Fatores não comuns a todas as fatorações

Entra no cálculo do MMC

REGRA DE OURO DO MMC

Entra no cálculo do MMC com o maior expoente

Fatores comuns a todas as fatorações



Agora, substituímos os denominadores pelo MMC. Em seguida, para cada fração, dividimos pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador, da seguinte forma:

27 + 1

9 + 3

5

2 x 32 x 5 + 1 x 7 x 5 + 3 x 3

2 x 7

315

Fazendo a soma, chega-se no resultado de 314315 .

• Multiplicação e divisão de frações:

A multiplicação de frações é obtida diretamente, apenas multiplicando os numeradores e denominadores entre si. Exemplo: 35 x 4

9 = 3 x 4

5 x 9 = 4

5 x 3 = 4

15 Já a divisão de frações é encontrada pela inversão da fração pela qual se quer dividir, seguida da multiplicação tradicional. Uma maneira mais fácil é através do “Extremos pelos Meios”, ou seja:

÷

X Primeiro passo:

DIVIDIR

315 ÷ 7 = 32 x 5

Segundo passo:

MULTIPLICAR

2 X 32 x 5

=



3549

= 3 x 95 x 4

= 2720

1.4 Potenciação e radiciação A potenciação existe para quando os números envolvidos em uma multiplicação são todos iguais. Por exemplo, se temos: 3 x 3 x 3 x 3 = 81 Isso pode ser representado por: 34 = 81 Assim, a potenciação é formada por:

34 = 81

O “3” é a base da potência. O “4” é o expoente. E o 81 é o produto. A potenciação possui algumas propriedades:

• Multiplicação de potências de mesma base - conserva-se a base e somam-se os expoentes:

2 3 2 3 52 .2 2 2+= =

• Divisão de potências de mesma base - conserva-se a base e subtraem-se os expoentes:

3

3 22

22 2

2−= =

• Potências de potências - conserva-se a base e multiplicam-se os

expoentes:

Extremos Meios



2 3 2.3 6(2 ) 2 2= = Já a radiciação é a operação inversa da potenciação:

481 3 9= = O símbolo básico da radiciação é o radical: n x O valor n é o índice do radical. Ele é o equivalente ao expoente na potenciação, e indica qual deve ser o expoente do valor x para que este possa ser extraído da raiz. Quando o valor n não é informado, ele vale 2 (é o que se chama raiz quadrada). Assim: 81 9= , pois 92 = 81

3 27 3= , pois 33 = 27 A radiciação também possui propriedades:

• Multiplicação de radicais com mesmo índice - conserva-se o índice e multiplicam-se o conteúdo dos dois radicais:

2. 2 2.2=

• Divisão de radicais com mesmo índice - conserva-se o índice e dividem-se o conteúdo dos dois radicais:

2 2

22=

• Radical de radical - conserva-se o conteúdo e multiplicam-se os índices:

3 62 2= Vamos às questões.



1.5 Expressões algébricas Expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem letras e números. Por exemplo: 5a + b = 33 Existem infinitas expressões algébricas, algumas simples, outras bem complexas. Algumas contém operações de potenciação, radiciação, multiplicação, divisão, soma, subtração... As operações podem estar separadas, na expressão, por parênteses, colchetes, chaves... Por exemplo, tem-se a expressão algébrica:

2x + 5.{33 + 2 - 7.[4x – 2(7x – 4)]} = 10 Primeiramente, deve-se observar a ordem de resolução das operações que estão dentro dos parênteses, colchetes e chaves:

Observadas as ordens acima, deve-se realizar, primeiramente, as operações seguindo o esquema abaixo:

PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

1º Parênteses ( )

PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Colchetes [ ]

3º Chaves { }



Portanto, para resolver a expressão, fazemos:

2x + 5.{33 + 2 - 7.[4x – 2(7x – 4)]} = 10

1) Podemos resolver a potenciação, e realizar a multiplicação do parênteses:

2x + 5.{27 + 2 - 7.[4x – 14x + 8]} = 10

2) Agora, realizamos a soma e a multiplicação dos colchetes:

2x + 5.{29 - 28x + 98x – 56} = 10

3) Realizamos a soma dentro das chaves:

2x + 5.{70x – 27} = 10

4) Finalmente, multiplicamos a chave:

2x + 350x – 135 = 10

5) Somamos os termos:

352x = 145

6) Descobrimos o valor de x:

x = 145/352

Cada expressão algébrica é diferente, mas, basicamente, segue esses passos. Para aprender, não tem segredo, tem que treinar bastante... 1.5.1 Produtos notáveis

1º Potenciação e Radiciação

2º Multiplicação ou Divisão

3º Adição ou Subtração



Os produtos notáveis são produtos de binômios a + b e a – b. Portanto, temos:

• (a + b).(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a – b).(a – b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 • (a + b).(a - b) = a2 - b2

1.6 Equações e inequações de 1.º e 2.º graus; Funções; gráficos. Equações e inequações do primeiro grau são aquelas que possuem uma incógnita simples. E equações e inequações do segundo grau são aquelas em que a incógnita está elevada ao quadrado.

1.6.1 Equações e inequações do primeiro grau com uma incógnita As equações do primeiro grau com uma incógnita são da forma: ax + b = 0, em que a≠0 O termo a é chamado de coeficiente angular. Ele fornece a inclinação da curva da reta. Assim, duas retas diferentes, mas com o mesmo coeficiente a possuem a mesma inclinação, sendo paralelas. Um exemplo de equação da reta: 4x + 12 = 0 Para resolver, basta isolar a incógnita, descobrindo a raiz da equação (ponto em que a reta cruza o eixo x): 4x + 12 = 0

4x = -12

x = 12

34

−= −

O gráfico das equações de primeiro grau são uma reta. Por exemplo, abaixo temos o gráfico da equação acima. Percebam que a reta cruza o eixo x em x = -3:



y = 4x + 12

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-6 -4 -2 0 2 4 6

As inequações do primeiro grau com uma incógnita são da forma: ax + b < 0, em que a≠0 ou ax + b < 0, em que a≠0 ou Um exemplo: 4x + 12 < 0 Para resolver, basta isolar a incógnita, descobrindo a raiz da equação (ponto em que a reta cruza o eixo x): 4x + 12 < 0

4x < -12

x <124

−

x < -3 Nas inequações, cada vez que a inequação é multiplicada por –1 (ou seja, quando se troca o sinal da inequação), o símbolo do meio se inverte. Por exemplo: -x < -3 (-1) x > 3



1.6.2 Equações e inequações do segundo grau As equações são da forma:

ax2 + bx + c = 0, em que a≠0 Para resolver, seguem-se os seguintes passos:

1) achar o ∆ (lê-se delta):

∆ = b2 – 4ac

Se:

∆ < 0 --> a equação não possui solução real.

∆ = 0 --> a equação possui apenas uma solução real.

∆ > 0 --> a equação possui duas soluções reais.

2) utilizar o ∆ na equação:

x = 2

b

a

− ± ∆

A partir desta equação, são obtidas duas raízes, ou seja, dois “x” que satisfazem a equação: x’ e x’’ (no caso de ∆ = 0, será apenas 1 raiz). Por exemplo: x2 + 3x + 2 = 0

∆ = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1

x = 2

b

a

− ± ∆ =

3 12(1)

− ±

x’ = -1 x’’ = -2

Continuando, vamos falar do gráfico da equação de segundo grau, que é:



Os pontos em que a função cruza o eixo x são as raízes da equação. O ponto mais inferior é chamado vértice da função. No caso, temos um ponto de mínimo. O ponto de mínimo ocorre quando a > 0. Já o ponto de máximo ocorre quando a < 0, e a parábola acima fica invertida (seu vértice é o maior y da função). O vértice é encontrado por x = –b/2a. Para obter o valor de y correspondente basta substituir esse valor na equação da função. As inequações de 2º grau são da forma:

ax2 + bx + c < 0, em que a≠0 ou ax2 + bx + c > 0, em que a≠0 ou Elas são resolvidas da mesma forma que as equações de 2o grau. No entanto, ao final, deve-se fazer uma análise dos sinais. Vamos resolver uma como exemplo: x2 + 3x + 2 > 0 (é a mesma equação que vimos antes, agora na forma de inequação). Para resolver, igualamos a inequação a zero: x2 + 3x + 2 = 0

∆ = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1

x = 2

b

a

− ± ∆ =

3 12(1)

− ±

x’ = -1 x’’ = -2



Com o valor das raízes, fazemos o estudo do sinal, para ver em que condições a inequação é satisfeita. Lembrando, precisamos que x2 + 3x + 2 > 0 Como as raízes são –1 e –2, encontramos a seguinte situação:

Os valores de x menores do que –2 fazem com que a equação seja positiva. Portanto, satisfaz a inequação. Os valores de x entre –2 e –1 fazem com que a equação seja negativa, portanto, a inequação não é satisfeita. Os valores de x maiores do que –1 fazem com que a equação seja positiva e, portanto, satisfazem a inequação. Assim, para a inequação, temos a seguinte solução: Solução = { | 2 ; 1}x x x∈ < − > −� 1.7 Noção de função, função composta e inversa. Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B qualquer relação que associa a cada elemento de A um único elemento de B. O parágrafo acima pode ser representado por: f : A • B ; y = f(x) Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B, podendo entretanto existir y ∈ B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.



A figura que representa a função está abaixo. O conjunto A é chamado de domínio da função y = f(x), já o conjunto B é chamado de contradomínio da função f(x):

Os valores de y são também chamados de Imagem de x. Notem que a Imagem e o Contradomínio podem ser iguais, mas não necessariamente, pois pode haver algum elemento do Contradomínio que não faça parte da Imagem. Existem alguns tipos de funções. Vejamos:

• Função sobrejetora: É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio. Exemplo:

• Função injetora: Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio possuem imagens distintas, isto é: Exemplo:



• Função bijetora:

Uma função é bijetora quando é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Exemplo:

1.7.1 Função Composta A função composta é a função de uma função. Ela é obtida substituindo a variável independente x por uma função. Simbologia: gof (x) = g(f(x)). A figura abaixo representa a função composta:

Algo muito importante sobre as funções compostas é que g(f(x)) NÃO É IGUAL a f(g(x)), ou seja, a função composta não é comutativa. Exemplo de função composta: f(x) = 3x + 2 g(x) = 4x Determinar gof(x) e fog(x). Tem-se: gof(x) = g[f(x)] = g(3x + 2) = 4(3x + 2) = 12x + 8 fog(x) = f[g(x)] = f(4x) = 3(4x) + 2 = 12x + 2



Observe que fog é diferente de gof.

1.7.2 Função Inversa

Dada uma função f : A → B , se f é bijetora (aquela em que o conjunto Imagem é igual ao Contradomínio), então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x.

A representação da função inversa está abaixo:

Para obter a função inversa, basta “trocar” y por x e x por y.

Exemplo:

Determinar a inversa de y = 6x + 1

x = 6y + 1

y = 1

6x −

Esta é a função inversa de y = 6x + 1.

1.7.3 Função exponencial

A função exponencial é da forma:

f: R→ � tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Alguns exemplos de função exponencial:

y = 4x

y = 5x + 4



y = 0,1x

y = 9x

Uma característica da função exponencial é que quando x = 0, a função é igual a 1. Abaixo, encontra-se o gráfico da função exponencial:

A função exponencial é muito utilizada em caso de capitalização de rendimentos por juros compostos, pois a taxa de aumento é muito grande. Para resolver uma função exponencial, utilizamos os conhecimentos e propriedades da potenciação, que vimos na aula passada. Agora, falaremos da função oposta à função exponencial, que é a função logarítmica. 1.7.4 Função logarítmica A função logarítmica é da forma:

f: R→ � tal que y = logax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Seu gráfico é:



Quando dizemos logax = y, isso quer dizer: ay = x Por isso, dizemos que a função logarítmica é o oposto da função exponencial. Vejam o gráfico abaixo:

Portanto, também se usa a função logarítmica para resolver problemas com a função exponencial. Há um logaritmo especial, o logaritmo neperiano: ln x = loge x Assim, se ln x = y, x = ey, em que e = número de Euler = 2,718281... Os logaritmos possuem as seguintes propriedades.

• Propriedade do produto do logaritmo:



loga (x * y) = loga x + loga y

• Propriedade do quociente do logaritmo: logax/y = logax – logay

• Propriedade da potência do logaritmo: logaxm = m*logax

• Propriedade da raiz do logaritmo: Quando estudamos radiciação, vimos que:

mn m nx x= Se combinarmos a equação acima com a propriedade da potência do logarítmo, temos:

logam

nx = m

n*logax

• Propriedade da mudança de base:

logba = loglog

c

c

a

b

1.8 Plano cartesiano.

O plano cartesiano é também chamado de sistema de coordenadas cartesianas. Ele se resume à figura abaixo:



O eixo horizontal indica as coordenadas x e o eixo vertical indica as coordenadas y.

As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x ; y). Por exemplo, o ponto (3 ; 4) indica que ele é formado por um x = 3 e um y = 4:

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções. Os valores relacionados a x constituem o domínio e os valores de y a imagem da função. Por exemplo, temos a função y = f(x) abaixo:



O Domínio da função acima é dado pelo intervalo [a ; b]. Já a Imagem é dada pelo intervalo [c ; d].



2. Questões comentadas Pessoal, vou resolver na aula todas as questões da ESAF de 2011, 2010 e 2009. Além disso, vou colocar também, ao final, questões da banca CEPERJ. Explico: essa banca tem as melhores questões de Álgebra para concurso que eu já vi. São questões bem complexas. Eu até já havia comentado sobre isso em um artigo meu, no site do Ponto (http://cursos.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=285&art=7757&idpag=2). Se vocês conseguirem resolver as questões da CEPERJ, vão tirar de letra qualquer questão de Álgebra da ESAF. Questão 1 – ESAF/SUSEP/Analista Técnico/2010 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam A ∩ B, A ∪ B e A \ B, respectivamente, as operações de interseção, união e diferença entre eles. Seja ∅ o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja Ac = U \ A. A opção correta é: a) (A ∩ B) ∪ (Ac ∪ Bc)c = U b) (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ Bc)c = ∅ c) (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ Bc) = ∅ d) (A ∩ B) ∪ (Ac ∪ Bc) = A ∪ B e) (A ∪ B) ∪ (Ac ∪ Bc)c = U A questão trata sobre o conjunto complementar. Aprendemos esta matéria através dos desenhos, então vamos fazer os desenhos representativos de cada alternativa. a) (A ∩ B) ∪ (Ac ∪ Bc)c = U A ∩ B:



Ac:

Bc:

Ac ∪ Bc: A União de Ac e Bc resulta em tudo, menos a intersecção A ∩ B (a parte do meio, que é branca tanto em Ac quanto em Bc:

(Ac ∪ Bc)c: O complementar do conjunto acima é a parte em branca, ou seja, A ∩ B:



A alternativa fala em: (A ∩ B) ∪ (Ac ∪ Bc)c = U O enunciado fala que U = conjunto universo. Ou seja, é tudo:

Fazendo a União de (A ∩ B) com (Ac ∪ Bc)c, ou seja, somando as partes em azul dos dois desenhos que fizemos, chegamos a, simplesmente, A ∩ B:

Ou seja, a alternativa é falsa. b) (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ Bc)c = ∅ Temos:



(A ∩ B):

(Ac ∪ Bc)c:

A intersecção dos dois conjuntos acima não resulta no conjunto vazio (o desenho todo branco, e sim no conjunto (A ∩ B). Alternativa falsa. c) (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ Bc) = ∅ Temos: (A ∩ B):

(Ac ∪ Bc): (Obs: fizemos na alternativa A).



A questão pede a intersecção entre os dois conjuntos. Realmente, não existe nada no conjunto (A ∩ B) que esteja no conjunto (Ac ∪ Bc). Ou seja, a intersecção entre os dois conjuntos resulta no conjunto vazio. Alternativa correta. d) (A ∩ B) ∪ (Ac ∪ Bc) = A ∪ B A União dos dois conjuntos da alternativa anterior resulta no conjunto universo (tudo azul), e não na União de A com B. Alternativa falsa. e) (A ∪ B) ∪ (Ac ∪ Bc)c = U Temos: (A ∪ B):

(Ac ∪ Bc)c (obs: fizemos na alternativa A):



A alternativa fala que a União dos dois conjuntos resulta no conjunto Universo. Isso é falso, pois a União dos dois conjuntos resulta simplesmente em (A ∪ B). Resposta: Letra C. Questão 2 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos da Engenharia/2010 O denominado Índice de Massa Corporal - IMC de uma pessoa é determinado pelo quociente entre o peso P da pessoa, medido em kilogramas, e a altura H da pessoa, medida em metros, ao quadrado, isto é IMC = P/H2. Determine o valor mais próximo do IMC de uma pessoa com 1,75 m de altura e 70 Kg de peso. a) 21,7 b) 25,2 c) 26,1 d) 22,9 e) 23,8 A ESAF não tem outras questões recentes de conjuntos. Então, vamos passar para as contas, propriamente. Adiante faremos as questões da CEPERJ que eu falei que tratam desse assunto. IMC = P/H2 IMC = 70/(1,75)2 IMC = 70/(1,75)2 IMC = 70/(3,0625) = 22,85, arredondando, 22,9. É claro que é quase impossível uma questão dessa cair na prova de AFRFB (pois as provas de AFRFB costumam cobrar coisas mais complexas). Mas, pelo menos, introduzimos o assunto.



Resposta: Letra D. Questão 3 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Se uma companhia telefônica cobrasse uma taxa de assinatura básica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente à franquia, que é de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no mês? a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 A conta a ser paga todo mês é de 100 mais 0,5*(cada pulso excedente a 20 pulsos). Ou seja: Conta = 100 + 0,5*(Pulsos – 20) Se a pessoa utilizou 50 pulsos, pagará: Conta = 100 + 0,5*(50 – 20) = 100 + 0,5*(30) = 100 + 15 = 115. Resposta: letra D. Questão 4 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. Assim como fizemos na questão anterior, vamos transcrever em uma equação o que o enunciado diz. Idade de uma criança hoje: H Idade daqui 10 anos: H + 10



Metade da idade daqui 10 anos: 102

H +

Idade há 2 anos: H – 2

Metade da idade há 2 anos: 2

2H −

O enunciado diz que a idade hoje é a diferença entre essas duas metades:

10 22 2

2 10 22

2 10 2

2 12

6

H HH

H H H

H H H

H

H

+ −= −

= + − +

= + − +

=

=

Assim, a criança tem seis anos. Resposta: Letra E. Questão 5 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$ 59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote? a) 20% b) 24% c) 30% d) 42% e) 36% O grupo possui, no total, 80 pessoas. X dessas pessoas desistiu, e pagou 150 reais.



80 – X dessas pessoas efetivamente participou, pagando, 1000 reais. Ou seja, as X pessoas que desistiram pagaram 150.X = 150X reais. E as 80 – X pessoas que participaram pagaram (80 – X).1000 reais. Somando tudo, temos que as pessoas que participaram e que desistiram pagaram 59600: 150X + (80 – X).1000 = 59600 150X + 80000 – 1000X = 59600 850X = 20400 X = 24 Para calcular o percentual das pessoas que desistiram, fazemos X/Total = 24/80 = 0,3. Em termos percentuais, 0,3*100 = 30%. Resposta: Letra C. Questão 6 – ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010 Dois números a e b, a ≠ 0, b ≠ 0 e b > a, formam uma razão φ tal que φ = b/a = (a+b)/b. Calcule o valor mais próximo de φ. a) 1,618 b) 1,732 c) 1,707 d) 1,5708 e) 1,667 O enunciado propõe uma igualdade: b a b

a b

+=

A questão não especifica valores para a e b, mas um está em função do outro. Neste caso, podemos “chutar” um valor para a, e assim encontramos o valor correspondente de b. Feito isso, calculamos a razão pedida. Vamos chutar que a = 1. Temos:



11

² 1

² 1 0

b b

b

b b

b b

+=

= +

− − =

Agora, calculamos ∆ :

² 4 ( 1)² 4(1)( 1) 1 4 5∆ b ac= − = − − − = + =

b = ( 1) 5 1 5

2 2 2b

a

− ± ∆ − − ± ±= =

Como b>a, descartamos a raiz negativa, ficando apenas com 1 52+

.

Precisamos tirar o 5 da raiz, pois nenhuma das respostas contempla raiz. Mas, na prova, não temos calculadora. Como fazer isso? Vamos utilizar uma regra prática, que fornece a aproximação para a raiz de qualquer número: Para extrair a raiz de 5 (será um número decimal) devemos seguir 3 passos: PASSO 1: achar um quadrado perfeito próximo. Qual o quadrado perfeito mais próximo de 5 ? Temos que 22 = 4, e 32 = 9. 4 é mais próximo de 5 do que 9. Vamos usar o 4. Resposta: 4 = 22. PASSO 2: vamos trabalhar com: 5 = a raiz que queremos; 4 = quadrado perfeito mais próximo; 2 = raiz mais próxima. PASSO 3: fazer uma divisão:

NO NUMERADOR: A RAIZ QUE EU QUERO + QUADRADO PERFEITO MAIS PRÓXIMO NO DENOMINADOR: 2 (SEMPRE) X A RAIZ MAIS PRÓXIMA



Assim:

5 4 9

2,252 2 4x

+= =

Temos que 5 é aproximadamente 2,25. Pela calculadora, encontramos 2,236. É uma boa aproximação, não acham? Então, temos:

b = 1 2,25 3,25

1,6252 2

+= =

Como a = 1, este é o valor do próprio φ. O valor mais próximo a este, entre as alternativas, é a letra A. Claro que se tivéssemos feito com o valor da raiz obtido pela calculadora encontraríamos a resposta certinha (1,618), mas na hora da prova não temos calculadora, então devemos fazer a extração da raiz do modo acima. Resposta: Letra A. Questão 7 – ESAF/SMF-RJ/Agente da Fazenda/2010 Considere a função real de variável real f(t) = eλt , onde λ > 0, e a função real de variável real g(t) = (1+r)t , onde r > 0. Fazendo f(t)=g(t), qual a relação decorrente entre r e λ? a) r = λ/4. b) r = √√√λ . c) r = λ. d) r = log λ. e) r = eλ - 1. Vamos fazer o que o enunciado pede: igualar as duas funções. eλt = (1+r)t Para resolver questões com exponencial, a melhor saída é “aplicar o logaritmo”. Isso significa fazer o logaritmo dos dois lados da equação, da seguinte forma: log eλt = log (1+r)t



Como um dos lados possui um algarismo neperiano “e”, e loge x = ln x, podemos aplicar, ao invés do log, o ln = loge: ln eλt = ln (1+r)t Pelas propriedades que vimos, temos que log ab = b.log a. Assim: λt.ln e = t.ln (1+r) Como ln e = loge e = 1, temos: λt.1 = t.ln (1+r) λt = t.ln (1+r) Temos t multiplicando dos dois lados, podemos “cortar”: λ = ln (1+r) Agora, voltamos à definição de ln x, pois ln x = loge x. Sabemos que: loga x = y é ay = x. Então, como ln = loge: λ = loge (1+r) eλ = 1 + r r = eλ – 1. Resposta: Letra E. Questão 8 – ESAF/SMF-RJ/Agente da Fazenda/2010 Um equipamento no valor D vai ser depreciado em n períodos, ocorrendo a primeira depreciação no fim do primeiro período, a segunda depreciação no fim do segundo período e assim por diante. Plotando-se no eixo vertical de um gráfico bidimensional os valores de Dk, onde Dk é o valor remanescente do equipamento após a k-ésima depreciação, com k = 1, 2,..., n, os pontos (k,Dk) estarão sobre a reta que passa pelos pontos (0,D) e (n,0). Supondo n=10 e D = R$ 50.000,00, qual o valor remanescente do equipamento após a sétima depreciação? a) R$ 12.500,00



b) R$ 15.000,00 c) R$ 10.000,00 d) R$ 17.500,00 e) R$ 20.000,00 A questão enrola, mas é simples. Ela fala que o valor do equipamento pode ser expresso por uma reta, que passa pelos pontos (0,D) e (n,0). Ou seja, quando n = 0, o equipamento vale D. Quando chega um determinado período n, o equipamento vale 0. A questão também fala que n = 10 e D = 50000. Assim, o valor do equipamento diminui 50000/10 = 5000 por mês, até chegar a zero. Plotei o gráfico no plano cartesiano, abaixo, para vocês verem:

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 2 4 6 8 10 12

Precisamos encontrar o valor de D para n = 7. Sabemos que quando n = 0, D = 50000, e quando n = 10, D = 0. Então, se a reta tem a forma Y = A + BX, como quando X = 0, Y = 50000, a = 50000. E vimos que a cada mês o equipamento perde 5000 no seu valor. Então: D = 50000 – 5000.n Para n = 7: D = 50000 – 5000.7 = 50000 – 35000 = 15000. Resposta: Letra B. Questão 9 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos da Engenharia/2010 Considere a e b números reais. A única opção falsa é:



a) |a+b|≤|a|+|b|. b) |a|+|b|≥|a−b|. c) |a−b|<|a|−|b|. d) |b−a|≥|b|−|a|. e) |b+a|≤|a|+|b|. A questão fala sobre o módulo. O módulo de um número é o seu valor sempre positivo. Por exemplo: |-5| = 5 Podemos perceber que as letras A e E são iguais. Só com isso, já temos que só podem ser Verdadeiras, porque a questão pede a alternativa Falsa. Assim, sabemos que: |a+b|≤|a|+|b| Ou seja, a soma dos valores fora do módulo será sempre menor ou igual à soma dos módulos. Isso é lógico, pois, se um dos números for negativo, em módulo se tornará positivo, e aí é claro que a soma de dois números positivos será maior do que a soma dos mesmos números, só que um sendo negativo e outro positivo. Já as letras C e D são exatamente opostas. Elas dizem: c) |a−b|<|a|−|b|. d) |b−a|≥|b|−|a|. Ou seja, uma diz que a subtração de dois números é sempre menor do que a subtração dos módulos (letra C). E a outra diz que a subtração dos números é sempre maior ou igual à subtração dos módulos (letra D). O que será está certo? Já que o que faz a diferença é quando os números (os dois ou 1 só) são negativos, podemos testar. Digamos que a = 5 e b = -6. Temos: c) |a−b|<|a|−|b|.

|5−(-6)|<|5|−|-6|



|5+6|<|5|−|-6| Agora, podemos “tirar do módulo”. Neste caso, o –6 se tornará 6, apenas: 11<5−6 11<-1 Temos uma falsidade, porque 11 não é menor do que 1. Assim, já sabemos que a letra C é a alternativa falsa. Vamos fazer a letra D, com os mesmos valores para a e b:

d) |b−a|≥|b|−|a|. |-6−5|≥|-6|−|5|. |-11|≥ 6−5 11≥1 Ou seja, a letra D está correta. Resposta: Letra C. Questão 10 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos da Engenharia/2010 Quais são os números reais x que satisfazem a condição

5 1² 8 15 3x

x x x

−=

− + −?

a) x ≠ 3 e x ≠ 5 b) x ≠ 3 c) x ≠ 3 ou x ≠ 5 d) Todos e) Todos, exceto x = 3 e x = 5 Questão clássica de Álgebra. Temos de reorganizar a equação, para encontrarmos uma função de 1º ou 2º graus e, por fim, acharmos suas raízes. Primeiramente, multiplicamos em cruz, ou seja:



5 1² 8 15 3

² 8 15.(1) ( 5).( 3)

² 8 15 ² 3 5 15

² 8 15 ² 8 15

x

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x

−=

− + −

− + = − −

− + = − − +

− + = − +

Ou seja, encontramos uma igualdade que independe do valor de x. Para qualquer x, a equação acima é satisfeita. No entanto, temos de ver que, quando x assume valores que zeram as equações dos denominadores, chega-se a uma indeterminação. Isso porque a divisão a/b só é possível se b ≠ 0. Assim, as frações acima só são possíveis se x² - 8x + 15 ≠ 0 e x – 3 ≠ 0. Para x – 3 ≠ 0, temos que x ≠ 3. Para x² - 8x + 15 ≠ 0, precisamos calcular o ∆ e encontrar as raízes.

∆ = b² - 4ac = 8² - 4.(15) = 64 – 60 = 4.

x = 8 4 8 2

2 2 2b

a

− ± ∆ ± ±= =

As raízes são 10/2 = 5 e 6/2 = 3. Portanto, x deve ser diferente de 5 e 3. Fora esses dois valores, pode ser qualquer outro valor. Resposta: Letra E. Questão 11 – ESAF/SUSEP/Analista Técnico/2010 A inequação dada por

3

2x

x

−≤

é definida no conjunto dos números reais, e tem como solução o conjunto S representado por:



Essa é uma inequação cheia de detalhes. Temos:

- No denominador, x, ou seja, x deve ser diferente de zero; - No numerador, uma raiz 3 x− , em que 3 – x deve ser maior do

que zero. Se for negativo, a solução ocorrerá apenas no plano complexo.

Vamos ignorar o fato de ser uma inequação, por enquanto, e calcular as raizes: 3 2x x− ≤

Como um dos lados está dentro da raiz, vamos elevar a equação toda ao quadrado: ( 3 2x x− ≤ )² ( 3 )² (2 )²

3 4 ²

4 ² 3 0

x x

x x

x x

− ≤

− ≤

− − + ≤

Como o primeiro termo está negativo, o ideal é multiplicar a equação por –1, para torná-lo positivo. Como é uma inequação, invertemos a desigualdade: 4 ² 3 0x x+ − ≥ Agora, encontramos as raízes, primeiramente calculando o ∆ :

² 4 1² 4(4)( 3) 1 48 49∆ b ac= − = − − = + =



x = 1 49 1 7

2 2.4 8b

a

− ± ∆ − ± − ±= =

x’ = 8/8 = -1 e x’’ = -6/8 = +3/4 Agora, analisamos os sinais. Como a > 0, a parábola está voltada para cima. Também não podemos nos esquecer que 3 – x deve ser maior ou igual a zero, pois eles estão dentro da raiz. Se forem negativos, a solução ocorrerá apenas no plano complexo. Assim: 3 0

3

3

x

x

x

− ≥

− ≥ −

≤

Então, temos:

A inequação é 4 ² 3 0x x+ − ≥ . Então, queremos apenas os valores 0≥ . Ou seja, negativo não serve. E, como vimos, os valores devem ser menores do que 3, por causa da raiz. Assim, a solução é x ser maior que 3/4 e menor do que 3 (incluindo estes extremos). Com isto, já conseguimos resolver a questão. Analisando as alternativas, as únicas que dizem que x deve estar entre 3/4 e 3, ou seja, 3 34 x≤ ≤ , são as

letras B e D. No entanto, a letra B diz que x pode ser = a zero, o que não é verdade. X deve ser, obrigatoriamente, diferente de zero.



Resposta: Letra D. Questão 12 – ESAF/RFB/Auditor-Fiscal/2009 Considere as inequações dadas por:

Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de g(x) , então o conjunto Y = A ∩∩∩ B é igual a:

A questão pede o conjunto intersecção entre as duas soluções. Vamos resolver as duas inequações e ver quais valores de X satisfazem ambas as inequações. ( ) ² 2 1 0f x x x= − + ≤

² 4 ( 2)² 4(1)(1) 0∆ b ac= − = − − = Como delta = 0, há apenas uma raiz:

x = 2 0

12 2.1

b

a

− ± ∆ ±= =

Como a parábola é voltada para cima, temos:

Como a inequação pede valores menores ou iguais a 0, a única solução possível é quando x = 1 (zera a inequação).



Agora vamos analisar a outra inequação: ( ) 2 ² 3 2 0g x x x= − + + ≥

² 4 3² 4( 2)(2) 25∆ b ac= − = − − =

x = 3 25 3 5

2 2.( 2) 4b

a

− ± ∆ − ± − ±= =

− −

x’ = 2 e x’’= -1/2 A parábola é invertida (pois a<0). Temos:

São necessários valores maiores ou iguais a zero para satisfazê-la. Ou seja, os valores podem ser maiores ou iguais a –1/2 e menores ou iguais a 2. Assim, o único valor que satisfaz ambas as equações é x = 1. Resposta: Letra C. Agora, vamos ver algumas questões de outras bancas, dentre elas a banca que falei, a CEPERJ, que cobra as melhores questões de álgebra, na minha opinião. Questão 13 – CEPERJ/Pref. Cantagalo/Professor/2007 Considerando os conjuntos A = {2, 3, 5} e B = {1, 4, 6}, é correto afirmar que: (A) para todos x Î A e y Î B, x < y (B) para todo x Î A, existe y Î B tal que x < y (C) existe x Î A tal que, para todo y Î B, x < y (D) para todo y Î B, existe x Î A tal que x < y (E) existem um único x Î A e um único y Î B tais que x < y Vamos analisar cada alternativa:

(A) para todos x Î A e y Î B, x < y



O símbolo Î significa o mesmo que ∈, ou seja, “pertence a”. A questão pergunta se x será sempre menor que y, não importando quais elementos de cada conjunto se escolha. Isso não é verdade. Por exemplo, posso escolher o 5 do conjunto A e o 4 do conjunto B. Neste caso, x > y. Alternativa errada.

(B) para todo x Î A, existe y Î B tal que x < y x Nessa alternativa, o examinador diz que, para cada um dos elementos do conjunto A, existe um elemento do conjunto B tal que x seja menor. Isso é verdade. Percebam que o conjunto A possui 3 elementos, o 2, o 3 e o 5. Se escolhermos o elemento 2, no conjunto Y haverá 2 elementos maiores: o 4 e o 6. Se escolhermos o 3, no conjunto Y haverá também 2 elementos maiores: o 4 e o 6. Por fim, se escolhermos o 5, no conjunto Y haverá 1 elemento maior, o 6. Alternativa correta.

(C) existe x Î A tal que, para todo y Î B, x < y Essa alternativa é uma variação da alternativa anterior. Mas possui uma pequena diferença. Na alternativa acima, era dito que, para cada x de A, havia um y de B maior. Nessa alternativa, ele afirma que, para cada x de A, todos os y de B são maiores. Isso é errado. No conjunto B temos o 1, por exemplo. Ele é menor do que todos os elementos do conjunto A. Alternativa errada.

(D) para todo y Î B, existe x Î A tal que x < y Essa alternativa afirma que, para cada y do conjunto B, existe um x do conjunto A que seja menor.



Isso é errado. Como vimos, no conjunto B está contido o número 1, que é menor do que qualquer número do conjunto A. Alternativa errada. (E) existem um único x Î A e um único y Î B tais que x < y A alternativa afirma que existe apenas 1 número do conjunto A e um do conjunto B que satisfazem a relação x < y. Resposta: Letra B. Questão 14 – CEPERJ/SEE-RF/Professor/2007 Considere-se que 100,477= 3. O valor de x tal que 10x =9000 é: (A) 3,628 (B) 3,746 (C) 3,882 (D) 3,015 (E) 3,954 A questão parece difícil, mas é simples. Temos que: 10x =9000 9000 é o mesmo que 32.103. Vejam que a questão fornece o valor de 3 como resultado de uma potência de 10. Percebam que, se substituirmos o 3 por 100,477 ficamos com todos os números na base 10: 10x = 32.103 = (100,477)2.103 10x = (100,477)2.103 Agora, usamos as propriedades da potenciação que aprendemos. Sabemos que, na potência de uma potência, multiplicamos os expoentes: (100,477)2 = 100,477*2 = 100,954 10x = 100,954.103 E na multiplicação de potências de mesma base, somamos os expoentes: 10x = 100,954.103 = 100,954+3 = 103,954 Portanto, a resposta é a letra E.



Resposta: Letra E. Questão 15 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010

Desenvolvendo obtém-se um número da forma x + y z , em que x, y e z são racionais. Nessas condições a soma x + y + z é um número

(A) cubo perfeito. (B) menor que 50. (C) primo. (D) maior que 70. (E) divisível por 6.

Nessa questão, temos uma multiplicação que resulta em um número com 3 números racionais. Fazemos da maneira abaixo. Vejam como, em produtos de radicais, conserva-se o conteúdo e somam-se os expoentes:

2 2 2

3 3

( 27 3 2).( 27 3 2)

27. 27 27. 3 27. 2 3. 27 3. 3 3. 2 2. 27 2. 3 2. 2

27 81 54 81 3 6 54 6 2

27 9 2.3 9 3 6 2.3 6 2

27 9 3 6 9 3 6 3 6 6 2

50 8 6

+ + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+

Portanto: x = 50 y = 8 z = 6 x + y + z = 64 Agora analisamos as alternativas:

(F) cubo perfeito.

Cubo perfeito é um número com raiz cúbica. 64 realmente é um cubo perfeito, pois:



33 64 = 4.4.4 4= Muita gente não sabia o que era um cubo perfeito na hora da prova, e mesmo assim acertou a questão, através da eliminação das demais alternativas. Alternativa verdadeira.

(G) menor que 50.

64 é maior que 50. Alternativa falsa.

(H) primo.

Números primos são aqueles que não são divisíveis por nenhum outro número além de si mesmo e do 1.

64 é divisível por 32, 16, 8, 4, 2 e 1. Portanto, 64 não é primo. Alternativa falsa.

(I) maior que 70.

64 não é maior que 70. Alternativa falsa.

(J) divisível por 6.

64 não é divisível por 6. Alternativa falsa. Resposta: Letra A. Questão 16 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Engenheiro/2008

Analise as afirmativas a seguir:

Assinale:

(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (B) se somente a afirmativa II estiver correta. (C) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. (D) se somente a afirmativa I estiver correta. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. Vamos à análise das alternativas:



I – 6 é maior que 5/2. Quanto é 6 ? Sabemos que 6 não é um quadrado perfeito. Quadrados perfeitos são os números resultados de outros números elevados ao quadrado. Por exemplo: 22 = 4, 34 = 9... Para extrair a raiz de 6 (será um número decimal) devemos os seguir 3 passos: PASSO 1: achar um quadrado perfeito próximo. Qual o quadrado perfeito mais próximo de 6 ? Temos que 22 = 4, e 32 = 9. 4 é mais próximo de 6 do que 9. Vamos usar o 4. Resposta: 4 = 22. PASSO 2: vamos trabalhar com: 6 = a raiz que queremos; 4 = quadrado perfeito mais próximo; 2 = raiz mais próxima. PASSO 3: fazer uma divisão:

Assim:

6 4 10

2,52 2 4x

+= =

Temos que 6 é aproximadamente 2,5. Pela calculadora, encontramos 2,449. É uma boa aproximação, não acham? Agora, passamos à análise da alternativa. 5/2 é exatamente igual a 2,5. A questão diz que 6 é maior que 2,5. Pelo nosso cálculo, encontramos os 2,5. Mas sabemos que não é um valor exato. Nesse caso, passaríamos para a próxima alternativa, pois talvez sabendo as próximas não precisemos saber essa para resolver a questão.

NO NUMERADOR: A RAIZ QUE EU QUERO + QUADRADO PERFEITO MAIS PRÓXIMO NO DENOMINADOR: 2 (SEMPRE) X A RAIZ MAIS PRÓXIMA



II – 0,555... é um número racional. Todas as dízimas periódicas são números racionais. Dízimas periódicas são resultado de frações com divisão inexata. Por isso, são racionais. Alternativa correta. III – Todo número inteiro tem antecessor. O conjunto dos números Inteiros é dado por: � = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Como o conjunto dos números Inteiros começa em - ∞ , todo número inteiro realmente tem antecessor, uma unidade inferior. Sabemos, portanto, que a II e a III estão corretas. Isso resulta na letra E. Reparem que não existe alternativa que diga que a I, a II e a III estão certas. Portanto, não teríamos nem dúvida. A resposta é a letra E. Resposta: Letra E. Questão 17 – CEPERJ/Pref. Cantagalo/Professor/2010

A análise dessas afirmativas indica que: (A) nenhuma é verdadeira. (B) apenas uma é verdadeira. (C) apenas duas são verdadeiras. (D) apenas três são verdadeiras. (E) todas são verdadeiras. Vamos analisar cada item:

I – Para todo número real x tem-se 2x x= .

Tem-se que 2x x= .

Isso porque, para números negativos, o seu quadrado é positivo e sua raiz também.



Por exemplo:

2x x=

2( 2) 2 2− = − =

Por isso, a alternativa está errada. II – Para todo número real x tem-se x2 > x. Essa é pegadinha. A maioria das pessoas acredita que o quadrado de um número é sempre maior que o próprio número, o que não é verdade. Para números fracionários (e decimais menores do que 1), o quadrado do número é menor do que o próprio número. Por exemplo:

2

2

0,5 0,25

1 13 9

=

=

Portanto, a alternativa está errada. III - 20 80 180+ = : Vamos calcular:

220 5.4 5.2= =

480 20.4 5.4.4 5.2= = =

2 2180 18.10 2.9.2.5 2 .5.3= = = Assim: 20 80 180+ =

2 4 2 25.2 5.2 2 .5.3+ =

2 5 4 5 6 5+ =



Alternativa correta. IV – A quantidade de números naturais de 100 algarismos é 9.10100. Já fizemos uma questão hoje, de outra banca, que fala sobre a quantidade de algarismos de um número. Mostrei a vocês a seguinte tabela:

Sequência Quantidade de

algarismos por

número

Quantidade total de números

Quantidade total de

algarismos

0 – 9 1 10 10 10 – 99 2 90 180 100 – 999 3 900 2700 1000 – 9999 4 9000 36000

Portanto, temos: Números com 1 algarismo = 10 (9 se desconsiderarmos o 0) Números com 2 algarismos = 90 = 9.10 Números com 3 algarismos = 900 = 9.102 Números com 4 algarismos = 9000 = 9.103 ... Números com n algarismos = 9.10n-1. Portanto, números com 100 algarismos são em 9.10100-1 = 9.1099. Alternativa errada. Portanto, temos apenas 1 alternativa correta. A resposta é a letra B. Resposta: Letra B. Questão 18 – CEPERJ/SEDUC-RJ/Professor/2011

Sobre os números reais a e b sabe-se que a + b = 6 e que O valor de a 2 + b2 é:

(A) 18

(B) 22



(C) 28

(D) 36

(E) 48 Temos que a + b = 6. Podemos elevar toda a equação ao quadrado para que ela gere os termos a2 e b2 pedidos como resposta: (a + b = 6)2 (a + b)2 = 62 a2 + 2ab + b2 = 36 a2 + b2 = 36 – 2ab Portanto, precisamos descobrir o valor de ab para substituir na equação acima. Vamos usar a outra expressão dada no enunciado para isso:

1 1 32

2 2 32

2( ) 3

2( )3

a b

b a ab

ab

a b ab

a bab

+ =

+ =

+ =

+=

Sabemos que a + b = 6, portanto:

2( )3

2.64

3

a bab

ab

+=

= =

Substituindo o 4 na equação: a2 + b2 = 36 – 2ab

a2 + b2 = 36 – 2(4) = 28



Portanto, a resposta é a letra C. Resposta: Letra C. Questão 19 – CEPERJ/Pref. São Gonçalo/Professor/2008

Dois números reais a e b são tais que a + b = 6 e 1 1 4

5a b+ = . Então, a2 + b2 é

igual a: (A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 21 (E) 24 Questão igual a anterior. Temos que a + b = 6, novamente. Elevando a equação ao quadrado: (a + b = 6)2 (a + b)2 = 62 a2 + 2ab + b2 = 36 a2 + b2 = 36 – 2ab Utilizando a outra equação para descobrir ab:

1 1 45

5 5 45

5 5 4

5( )4

a b

b a ab

ab

b a ab

a bab

+ =

+ =

+ =

+=

Sabemos que a + b = 6, portanto:



5( )4

5.67,5

4

a bab

ab

+=

= =

Substituindo o 7,5 na equação: a2 + b2 = 36 – 2(7,5)

a2 + b2 = 36 – 15 = 21 Portanto, a resposta é a letra D. Resposta: Letra D. Questão 20 – CEPERJ/ Pref. Resende/Professor/2007

A fração irredutível x = a/b é a solução da equação 1

63

25

4x

=

−

−

. O valor de

a + b é: (A) 81 (B) 73 (C) 66 (D) 58 (E) 49 Essa questão de álgebra possui o que chamamos de muitos “algebrismos”, ou seja, muitos rearranjos matemáticos. Primeiro, vamos começar com a parte mais inferior da fração:

5 4 54

x

x x

−− =

Agora, fazemos o mesmo com a parte inferior da equação, colocando a fração acima:

4 52. 3

32

4 5 4 5

x

x

x x

x x

− −

− =− −



Agora, ficamos com a fração:

14 5

2. 3

4 5

x

x

x

x

− −

−

Fazemos uma técnica chamada “extremos pelos meios”, que serve para simplificar uma divisão de frações. Multiplicam-se os extremos (no caso, 4 5x

x

− e 1), e divide-se pelos meios (no caso,

4 52. 3

x

x

− −

e 1):

4 5

4 52. 3

x

xx

x

−

− −

Voltando à equação, tudo isso acima é igual a 6:

4 5

64 5

2. 3

x

xx

x

−

=−

−

Passamos a parte inferior da equação para a direita, multiplicando pelo 6: 4 5 4 5

6. 2. 3x x

x x

− − = −

Vamos ajeitar o lado direito, começando pelos parênteses e passando depois para os colchetes:



4 5 8 106. 3

4 5 8 106. 3

4 5 8 10 36.

4 5 48 60 18

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

− − = −

− − = −

− − − =

− − −=

Vamos retirar os “x” que dividem ambos os lados da equação. É como se multiplicássemos os dois lados da fração por “x”: 4 5 48 60 18

4 5 48 60 18

30 4 60 5

26 55

5526

x x x

x x

x x x

x

x

x

− − −=

− = − −

− = −

=

=

O enunciado diz que x = a/b, uma fração irredutível, e pede a soma a + b. 55 + 26 = 81. Resposta: Letra A. Questão 21 – CEPERJ/FESP/Professor/2008 Sejam a e b números reais, tais que a2 + b2 = 6ab. Um valor possível para a razão a/b é:

(A) 2 3+

(B) 2 3 2+

(C) 3 3+

(D) 3 2 2+



(E) 3 2 3+ Questão parecida, porém com resolução um pouco diferente das anteriores. Precisamos da razão a/b, mas não temos isso em nenhuma equação do enunciado. Nesse caso, parece uma boa saída dividir o que temos por algo com o termo b, para chegarmos no a/b. Como os termos estão ao quadrado, vamos dividir por b2: a2 + b2 = 6ab

2 2

2 2 2

6a b ab

b b b+ =

Vamos ajeitar a equação acima:

2

2

2

2

2

2

61

.

61

61 0

a ab

b bb

a a

bb

a a

bb

+ =

+ =

− + =

Percebam que, agora, temos o termo a/b duas vezes: uma elevado ao quadrado, e outra de forma simples. Podemos substituir o a/b por um x qualquer e tratar a equação como se fosse uma equação de segundo grau ax2 + bx + c = 0:

2 6 1 0x x− + = Calculando o ∆ = b2 – 4ac: (-6)2 – 4(1)(1) = 36 – 4 = 32 Portanto, temos:

x = 5 2( 6) 32 6 2 6 2 2

3 2 22 2(1) 2 2

b

a

− ± ∆ − − ± ± ±= = = = ±



Portanto, x = a/b pode ser tanto 3 2 2+ quanto 3 2 2− . 3 2 2+ está na letra D. Resposta: Letra D. Questão 22 – CEPERJ/SEDUC-RJ/Professor de Matemática/2011

Considere a igualdade . A soma a + b é:

(A) 10 (B) 15 (C) 21 (D) 27 (E) 34

Quando, numa fração, aparece algo do tipo:

x y

x y

+

−

Vocês já podem ter quase certeza de que a resolução se dá da seguinte forma: lembram do produto notável (a + b).(a - b) = a2 - b2? Pois então, numa fração, podemos multiplicar o numerador e o denominador por quaisquer x/x. Afinal, estamos multiplicando em cima e embaixo por algo que não afetará o resultado final. Assim, quando temos a fração acima, multiplicamos a fração toda por algo igual ao denominador, mas com o sinal trocado, para chegarmos no produto notável (a + b).(a - b) = a2 - b2. Esse procedimento chama-se Racionalização do denominador. Na fração acima, isso fica:

2 2

2

2.

x y x y x y x x y y

x yx y x y x y

+ + + + += =

−− − +

É um procedimento muito utilizado. Vamos fazer isso na fração da questão:

2

5 3 5 3 2 3 10 5 3 2 3 3 7 3 3. 7 3 3

4 32 32 3 2 3 2 3

− − + + − − += = = = +

−−− − +



Melhorou muito, agora já sabemos que: 7 3 3a b+ = + Portanto, basta colocar o “3” para dentro do radical, elevando-o ao quadrado:

27 3 .3

7 27

a b

a b

+ = +

+ = +

Pronto, já temos a resposta da questão. a + b = 7 + 27 = 34. Resposta: Letra E. Questão 23 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011 Sabendo-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + b - 2c = 9 , o valor de a +b + c é: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Questões como essa são mais fáceis do que parecem. A primeira coisa a se fazer é olhar as somas. Percebam que são somas baixas. Somando os coeficientes da primeira equação 2a + 3b + 4c = 17, tem-se 2+3+4 = 9. Ou seja, se a=b=c=1, a soma daria 9, e não 17. Então, algum dos números, ou todos, deve ser maior que 1, mas não muito maior, porque 17 nem é tão mais do que 9. Vamos aumentar 1 unidade do número que possui o maior coeficiente nesta equação, no caso o c. Se a=b=1 e c=2, temos 2(1) + 3(1) + 4(2) = 13. Ou sejam, ficam faltando 4 unidades para chegar ao valor real da equação, que é 17. Para aumentar 4 unidades dessa equação, precisamos ou aumentar o valor de c em uma unidade (c=3), ou aumentar o valor de a em 2 unidades (ao invés de 1, a=3).



Testando c=3, teremos 2(1) + 3(1) + 4(3) = 17. Precisamos, então, testar esses valores na outra equação, ver se satisfazem: 4(1) + (1) – 2(3) = -1. Portanto, não satisfez, pq a equação dá 9. Vamos testar o a=3: 4(3) + (1) – 2(2) = 9. Portanto, a equação foi satisfeita. a=3, b=1 e c=2, a soma a+b+c = 6. Resposta: Letra D. Questão 24 – CEPERJ/ Pref. Resende/Professor/2007 O valor de x na equação 2372 + 5x = 2382 é: (A) 95 (B) 96 (C) 97 (D) 98 (E) 99 Primeiramente, vamos ajeitar os dados, para ver como resolver a questão: 2372 + 5x = 2382

5x = 2382 - 2372 O 2382 - 2372 não lembra algo? O a2 – b2? Que, por sua vez, é igual a (a + b).(a – b)? Pois bem, é através disso que resolvemos a questão. Temos: 5x = 2382 - 2372 5x = (238 – 237).(238 + 237) 5x = (1).(238 + 237) x = 475/5 = 95 Resposta: Letra A. Questão 25 – CEPERJ/SEE-RJ/Professor de Matemática/2011



Sabe-se que . Tem-se que (x + y)2 é:

(A) 0 (B) 1 (C) 16 (D) 256 (E) 525

Já vimos questão muito parecida. Sabemos que, nesse caso, a solução se dá através da Racionalização do Denominador: Vamos fazer na fração da questão:

2

4 2 4 2 1 2 4 4 2 2 2 2 3 2. 2 3 2

11 21 2 1 2 1 2

+ + − − + − −= = = = − +

−−+ + −

Portanto, basta colocar o “3” para dentro do radical, elevando-o ao quadrado:

22 3 .2

2 18

x y

x y

+ = − +

+ = − +

Assim, (x + y)2 = (-2 + 18)2 = 162 = 256. Resposta: Letra D. Questão 26 – CEPERJ/Iraboraí/Professor/2011

Considere a expressão 155

x

x

+

+, onde x > 0. O número máximo de valores

inteiros de x que tornam a expressão dada também um número inteiro é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Mais uma questão de valores baixos, cuja forma mais fácil de resolver é por tentativa e erro.



Temos de tentar satisfazer o que o enunciado pede com números maiores do que 0. Começando com x = 1, temos 16/6. x = 2, 17/7, x = 3, 18/8, x = 4, 19/9 e x = 5, 20/10 = 2. Portanto, achamos 1 número que satisfaz o que o enunciado diz. Vamos tentar achar mais números, seguindo a lógica do 5: vamos ver o que acontece se x for múltiplos de 5, ou seja, x = 10, 15, 20, 25... etc. Para x = 10, 25/15. Para x = 15, 30/20, para x = 20, 35/25... Assim, o único número que satisfaz a equação é o número divisor dos números 5 e 15, o próprio 5. Resposta: Letra B. Questão 27 – CEPERJ/ FESP-RJ/Professor/2007 Sejam A o conjunto dos números naturais de 3 algarismos e N o conjunto dos números naturais. A função f: A → N é definida por: f(n) = soma dos algarismos de n. O número de valores de n tais que f(n) = 4 é: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 Primeiramente, vamos entender o enunciado, que é enrolado. A é o conjunto dos números naturais de 3 algarismos, ou seja, 100, 101, 102... até 999. A função f(n), cujo domínio é o conjunto A e a Imagem é qualquer número Natural, é dada por f(n) = soma dos números de n. Ou seja, se n = 100, f(n) = 1, se n = 101, f(n) = 2... assim por diante. A questão quer saber os valores de n que satisfazem f(n) = 4. Assim, quer-se saber, basicamente, quais os números de 3 algarismos cuja soma é igual a 4. Para a soma de um número de 3 algarismos ser 4, os números que o foram podem ser: 1, 3 e 0 -> Exemplo 130. 1, 1 e 2 -> Exemplo 112. 2, 2 e 0 -> Exemplo 220.



4, 0 e 0 -> Exemplo 400. Portanto, devemos ver quantos números de cada tipo acima podem ser formados: 1, 3 e 0 -> 130, 310, 103, 301. 1, 1 e 2 -> 112, 211, 212. 2, 2 e 0 -> 220, 202. 4, 0 e 0 -> 400. São, portanto, 10 números formados. Resposta: Letra E. Questão 28 – CEPERJ/FESP/Professor/2008 Considere a função f: R → R definida por

2

2 se x<0

( )

se x 0

x

f x

x

= ≥

Considere as afirmações: Considere as afirmações: (I) f é crescente. (II) f é sobrejetora. (III) Para qualquer número real c, a equação f (x) = c tem solução. Pode-se afirmar que: (A) Apenas I é verdadeira. (B) Apenas I e II são verdadeiras. (C) Apenas II é verdadeira. (D) Apenas I e III são verdadeiras. (E) Todas as afirmações são verdadeiras. Vamos analisar cada alternativa:

(I) f é crescente. Função crescente é a que sempre cresce (y sempre maior para x maior), já funções decrescentes são aquelas que decrescem (y menor para x maior). A função é:



2

2 se x<0

( )

se x 0

x

f x

x

= ≥

Assim, vamos testar com alguns valores. Vou começar do –5, até o 5:

x f(x) -5 -10 -4 -8 -3 -6 -2 -4 -1 -2 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25

Colocando os números acima num plano cartesiano, como vimos na aula, tem-se:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-6 -4 -2 0 2 4 6

Portanto, a função é realmente crescente, pois, para x maiores, y é sempre maior. Alternativa verdadeira.

(II) f é sobrejetora. Como vimos, são sobrejetoras as funções em que a Imagem é igual ao Contradomínio. No caso da questão, qualquer número pode ser o valor de y, tudo depende do x utilizado. Não há nenhum número que possa ficar de fora de y: qualquer número pode ser y, dependendo do valor de x.



Por isso, a função é sobrejetora. Além disso, como, para cada x, há um y diferente, ela também é injetora. Ou seja, é sobrejetora, injetora e, portanto, bijetora. Alternativa verdadeira. (III) Para qualquer número real c, a equação f (x) = c tem solução. Qualquer número real pode assumir o valor de x, e, como dissemos na alternativa anterior, haverá um f(x) para esse x. Portanto, a função sempre tem solução. Alternativa verdadeira. Portanto, como todas as respostas estão corretas, a alternativa certa é a letra E. Resposta: Letra E. Questão 29 – CEPERJ/ Pref. São Gonçalo/Professor/2008

Considere a função 2 1

( )1

xf x

x

+=

−, para x ≠ 1. A solução da equação f o f (x) =

1 é: (A) x = 1/4 (B) x = 1/3 (C) x = 2/3 (D) x = 3/4 (E) x = -1 Agora temos uma questão sobre as funções compostas. f o f (x) é o mesmo que f(f(x)). Portanto, vamos fazer f(f(x)):

2 1 4 2 12 14 2 1 5 11 1( ( ))

2 1 ( 1)2 1 2 1 1 2111

x x xx x xx xf f x

x xx x x x

xx

+ + + −+ + + − +− −= = = =+ − −+ + − + +

− −−

Assim, a função composta de f(x) é f(f(x)) = 5 1

2x

x

+

+.

O enunciado questiona o valor de x para que a função acima seja igual a 1:



5 11

2

5 1 2

4 1

1 / 4

x

x

x x

x

x

+=

+

+ = +

=

=

.

A resposta é letra A. Resposta: Letra A. Questão 30 – CEPERJ/Pref. Itaboraí/Professor/2011 Sobre os gráficos das funções f: R → R (R é o conjunto dos números reais) definida por f (x) = x e g : R → R definida por g (x) = x2 - 3x + 2, é correto afirmar que se interceptam em: (A) um único ponto de abscissa positiva (B) um único ponto de abscissa negativa (C) dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários (D) dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal (E) mais de dois pontos Duas funções se interceptam em algum ponto do domínio x em que a imagem de ambas é igual. Ou seja, é um ponto tal que f(x) = g(x) Portanto, basta igualar as funções:

2

2

( ) ( )

3 2

4 2 0

f x g x

x x x

x x

=

= − +

− + =

Calculando o ∆ = b2 – 4ac: (-4)2 – 4(1)(2) = 16 – 8 = 8 Portanto, temos:

x = ( 4) 8 4 2 2

2 22 2(1) 2

b

a

− ± ∆ − − ± ±= = = ±



Portanto, as funções se interceptam nos pontos 2 2+ e 2 2− , dois pontos de mesmo sinal positivo. A resposta é a letra D. Resposta: letra D. Questão 31 – CEPERJ/Iraboraí/Professor/2011

O domínio da função f(x) = 2x x− + + é: (A) [-2;2] (B) [-1;0] (C) [0;+∞[ (D) [-2; +∞[ (E) ]-1;0[ O melhor a fazer, em questões que pedem a análise do domínio, é testar a função para os pontos das alternativas. Portanto, vamos testar a função para os casos de x igual a 0, -1, -2, 1 e 2. Também vamos testar algum valor acima de 2 (por exemplo, 3), para ver o que acontece no caso de +∞ . Começando: Para x = 0:

4(0) 0 0 2 2 2f = − + + = = A função possui uma Imagem real. 0 é domínio da função. Para x = -1:

( 1) ( 1) 1 2 1 1 2f − = − − + − + = + =

A função possui uma Imagem real. -1 é domínio da função.

Para x = -2:

( 2) ( 2) 2 2 2 0 2f − = − − + − + = + =

A função possui uma Imagem real. -2 é domínio da função.

Para x = 1:

(1) (1) 1 2 1 3f = − + + = − +



Agora, precisamos avaliar se 1 3− + é maior ou igual a zero ou não. Isso porque, se esse valor for menor que zero, a função não terá uma Imagem Real, e 1 não poderá ser domínio. Para isso, basta pensar: 1 é igual a 1, e 4 é igual a 2. Assim, a 3 deve

ser algum valor entre 1 e 2. Esse valor será diminuído de 1 em 1 3− + , mas nunca será menor do que 0. Por isso, f(1) é uma Imagem real, e 1 é domínio. Para x = 2:

(2) (2) 2 2 2 4 2 2 0f = − + + = − + = − + =

A função possui uma Imagem real. 2 é domínio da função. Agora testamos com o 3 para saber o que ocorre com os valores maiores que 2. Para x = 3:

(3) (3) 3 2 3 5f = − + + = − +

Agora, fazemos a mesma análise que fizemos antes. A 4 é igual a 2. A próxima raiz inteira é a 9 = 3. Portanto, 5 é algum valor entre 2 e 3.

Portanto, a soma 3 5− + é com certeza um número negativo, e a raiz

3 5− + não é um número real. Portanto, 3 não é um número do domínio da função. Agora, vamos às alternativas: (A) [-2;2]: Correto, pois a função é válida nesses extremos, incluindo esses pontos. (B) [-1;0]: Falso, pois a função também é válida nos pontos –2, 1, 2. (C) [0;+∞[: Falso, pois a função também é válida nos pontos –2, -1 e não vai até +∞ , chegando apenas até o ponto +2. (D) [-2; +∞[: Falso, pois a função não vai até +∞ . (E) ]-1;0[: Falso, pois a função é válida nos pontos 1 e 2. Resposta: Letra A. Questão 32 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011



Se 2

( )1

f xx

=−

, a raiz da equação fof (x) = 10 é:

(A) 1/3 (B) 4/3 (C) 5/3 (D) 7/3 (E) 8/3 Questão semelhante a alguma que vimos anteriormente, sobre função composta. Vamos fazer f(f(x)):

2 2 2 2 2.( 1)( ( ))

2 ( 1) 2 1 32 311 1 11

xf f x

x x x x

x x xx

−= = = = =

− − − + − − − − − −−

O enunciado questiona o valor de x para que a função acima seja igual a 10: 2.( 1)

103

15

3

1 5(3 )

1 15 5

6 16

16 / 6 8 / 3

x

x

x

x

x x

x x

x

x

−=

−

−=

−

− = −

− = −

=

= =

Resposta: Letra E. Questão 33 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011

Considere a função de variável real f(x) = 3 82x +

. O valor de f-1 (10) é:

(A) 1/19 (B) 6 (C) 0,25 (D) 4



(E) 19 Nessa questão, o tema é a função inversa. Vimos que a função inversa é a função em que x assume o lugar de y, e y assume o lugar de x. Assim, precisamos saber qual f-1, e, para isso, vamos inverter x e y:

1

3 8( )

2

3 82

3 8 2

2 8( )

3

xf x y

yx

y x

xf x y−

+= =

+=

+ =

−= =

Para descobrir o valor de f-1 = 10 substituímos esse valor no x da função inversa encontrada:

1 2(10) 8 20 8 12(10) 4

3 3 3f − − −

= = = =

Resposta: Letra D. Questão 34 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011 O valor máximo da função f(x) = a(x – 1)(x – 9) é igual a 80. O valor do coeficiente a é: (A) -5 (B) -4 (C) -8 (D) -2 (E) -6 A função trata do ponto de máximo. Como a função de segundo grau básica é da forma f(x) = ax2 + bx + c, ou seja, também possui um “a”, vou substituir o “a” da questão por outra letra, para não confundir na explicação. Vou chamar de “z”. Assim, a função do enunciado é f(x) = z(x – 1)(x – 9)



Primeiramente, vamos ajeitá-la: f(x) = z(x – 1)(x – 9) f(x) = (zx – z)(x – 9) f(x) = zx2 –9zx – zx + 9z = zx2 – 10zx + 9z A função é f(x) = zx2 – 10zx + 9z A função de 2o grau básica é: f(x) = ax2 + bx + c, em que o ponto de máximo é dado por x = -b/2a. A questão fala que o valor máximo da função é 80. Portanto, esse é o valor de y máximo. Precisamos descobrir o valor de x no ponto máximo, e substituir na função. Temos: x = -b/2a = -(-10z)/2(z) = 5 Assim, o valor máximo da função se dá no ponto x = 5. Vamos substituir na equação, igualando-a a 80: f(5) = 80 = z(5)2 – 10z(5) + 9z 80 = 25z – 50z + 9z z = -80/16 = -5 Resposta: letra A. Questão 35 – CEPERJ/ Pref. São Gonçalo/Professor/2008 A reta que contém o ponto P = (-1, 1) e é paralela à reta que passa pelos pontos A = (5, 4) e B = (8, 6) tem a seguinte equação: (A) 2x + 3y -1 = 0 (B) 3x + 2y +1 = 0 (C) x - 2y + 3 = 0 (D) 2x - 3y + 5 = 0 (E) 2x - 3y +1 = 0 A questão fornece um par de pontos que pertencem a uma reta, e outro ponto pertencente a reta paralela.



Primeiramente, vamos descobrir qual reta que passa pelos pontos A = (5, 4) e B = (8, 6). Ou seja, temos que, quanto x = 5, y = 4: y = ax + b 4 = a.5 + b Além disso, quando x = 8, y = 6: 6 = 8a + b Portanto, chegamos a um sistema com duas equações e duas incógnitas: 5a + b = 4 8a + b = 6 Neste tipo de sistema (com duas incógnitas) podemos utilizar, para resolver uma alternativa mais simples do que a Regra de Cramer. Basta multiplicar uma das equações por um número que faça as equações, somadas, zerarem uma das incógnitas. Por exemplo, multiplicando a primeira equação por (-1): 5a + b = 4 -> (* -1) -5a – b = -4 Agora somamos a equação acima com a segunda equação: -5a – b = -4 8a + b = 6 3a = 2 a = 2/3 Para encontrar o valor de b, substituímos em alguma das equações: 8(2/3) + b = 6

b = 6 16 103 3− −

=



Portanto, a equação da reta é y = 2 103 3x −

Vimos que duas equações são paralelas quando possuem o mesmo coeficiente angular. A equação que passa pelo ponto (-1,1) e é paralela à equação acima possui a = 2/3. É da forma:

y = 23x b+

Vamos substituir o par de pontos que temos (-1, 1) para descobrir o valor de b:

21 ( 1)

3

21

3

2 3 2 51

3 3 3

b

b

b

= − +

−= +

+= + = =

Portanto, a equação pedida no enunciado é:

y = 2 53 3x +

Como nas respostas não há fração, multiplicamos tudo por 3: 3y = 2x + 5 2x –3y + 5 = 0 Resposta: letra D. Questão 36 – CEPERJ/Pref. Belford Roxo/Professor/2011 O ponto A (m2 - 2m – 15, – 2) pertence ao eixo Y, e o ponto B (3, m2 - 7m + 10) pertence a eixo x. O valor de m é: (A) - 2 (B) - 3 (C) 5 (D) 2 (E) 7



Para pertencer a um eixo, o ponto precisa possuir alguma de suas coordenadas iguais a zero. Para pertencer ao eixo x, o ponto precisa possuir y = 0. Já para pertencer ao eixo y, o ponto precisa possuir x = 0. Se o ponto A pertence ao eixo Y, é porque possui x = 0 = m2 - 2m – 15. Por sua vez, se o ponto B pertence ao eixo X, é porque ele possui y = 0 = m2 - 7m + 10. Assim, o valor de m deve satisfazer as duas equações acima. Vamos resolver as equações de segundo grau: Equação 1: m2 - 2m – 15 = 0 Calculando o ∆ = b2 – 4ac: (-2)2 – 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 Portanto, temos:

m = ( 2) 64 2 8

2 2(1) 2b

a

− ± ∆ − − ± ±= =

m1 = 5 e m2 = -3. Vamos ver o que ocorre com a segunda equação: Equação 1: m2 - 7m + 10 = 0 Calculando o ∆ = b2 – 4ac: (-7)2 – 4(1)(10) = 49 - 40 = 9 Portanto, temos:

m = ( 7) 9 7 3

2 2(1) 2b

a

− ± ∆ − − ± ±= =

m1 = 5 e m2 = 4. O único número que satisfaz ambas as equações é o 5. Portanto, ele é o valor procurado. Resposta: Letra C.



Questão 37 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011 Para cada número real t, o ponto P = (x, y), definido pelas equações

2 13 4

x t

y t

= +

= −, pertence à reta r.

O ponto P = (7, k) pertente à reta r. O valor de k é: (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 9 O ponto P = (7,k) pertence à reta r, e suas coordenadas são regidas pelas equações acima. Dessa forma, o ponto 7 é regido pela equação 2t + 1. 2t + 1 = 7 t = 3 Sabendo o valor de t, basta utilizá-lo na segunda equação, para descobrir qual o ponto k: 3t – 4 = y = k 3.(3) – 4 = k k = 5. Portanto, k vale 5. Resposta: letra B. Até a próxima aula. Abraços, Karine



3. Memorex

Números Descrição Exemplos Inteiros São os números que não são

frações Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,

...}

OBS!

= não é um número inteiro

Naturais São os números inteiros positivos (inclusive o zero)

N = {0, 1, 2, ...}

OBS!

, -2 = não são números naturais

Racionais São os números (de qualquer sinal) que podem ser

expressados por frações

- = números racionais

1,333333... (e demais dízimas períodicas) = são números racionais

(1,333333... = )

OBS! 1,376983987... = não é

número racional = Número Irracional (são números que não são dízimas periódicas e

possuem número infinito de casas decimais)

Reais São todos os números racionais e irracionais

Todos os números que vimos acima são reais

Intervalos Numéricos Tipo de intervalo Descrição Simbologia

Fechado Os dois extremos estão incluídos

[p;q] = {x R | p ≤ x ≤ q}

Fechado à esquerda O extremo à esquerda está incluído, o extremo à direita está excluído

[p;q[ = {x R | p ≤ x < q}

Fechado à direita O extremo à direita está ]p;q] = {x R | p < x ≤



incluído, o extremo à esquerda está excluído

q}

Aberto Ambos extremos estão excluídos

]p;q[ = {x R | p < x < q}

Semifechado O intervalo vai de infinito até um valor p ou q, incluindo estes

]- ;q] = {x R | x ≤ q}

(neste caso, x é menor ou igual a q)

[p;+ ] = {x R | x ≥

p}

(neste caso, x é maior ou igual a p)

Semiaberto O intervalo vai de infinito

até um valor p ou q, excluindo estes

]- ;q[ = {x R | x < q}

(neste caso, x é menor do que q)

]p;+ [ = {x R | x >

p}

(neste caso, x é maior do que p)

1º Parênteses ( )

PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Colchetes [ ]

3º Chaves { }



• (a + b).(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a – b).(a – b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 • (a + b).(a - b) = a2 - b2

∆ = b2 – 4ac

x = 2

b

a

− ± ∆

Vértice: x = –b/2a

1º Potenciação e Radiciação

PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Multiplicação ou Divisão

3º Adição ou Subtração



4. Lista das questões abordadas em aula Questão 1 – ESAF/SUSEP/Analista Técnico/2010 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam A ∩ B, A ∪ B e A \ B, respectivamente, as operações de interseção, união e diferença entre eles. Seja ∅ o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja Ac = U \ A. A opção correta é: a) (A ∩ B) ∪ (Ac ∪ Bc)c = U b) (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ Bc)c = ∅ c) (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ Bc) = ∅ d) (A ∩ B) ∪ (Ac ∪ Bc) = A ∪ B e) (A ∪ B) ∪ (Ac ∪ Bc)c = U Questão 2 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos da Engenharia/2010 O denominado Índice de Massa Corporal - IMC de uma pessoa é determinado pelo quociente entre o peso P da pessoa, medido em kilogramas, e a altura H da pessoa, medida em metros, ao quadrado, isto é IMC = P/H2. Determine o valor mais próximo do IMC de uma pessoa com 1,75 m de altura e 70 Kg de peso. a) 21,7 b) 25,2 c) 26,1 d) 22,9 e) 23,8 Questão 3 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Se uma companhia telefônica cobrasse uma taxa de assinatura básica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente à franquia, que é de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no mês? a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 Questão 4 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos.



b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. Questão 5 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009 Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$ 59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote? a) 20% b) 24% c) 30% d) 42% e) 36% Questão 6 – ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010 Dois números a e b, a ≠ 0, b ≠ 0 e b > a, formam uma razão φ tal que φ = b/a = (a+b)/b. Calcule o valor mais próximo de φ. a) 1,618 b) 1,732 c) 1,707 d) 1,5708 e) 1,667 Questão 7 – ESAF/SMF-RJ/Agente da Fazenda/2010 Considere a função real de variável real f(t) = eλt , onde λ > 0, e a função real de variável real g(t) = (1+r)t , onde r > 0. Fazendo f(t)=g(t), qual a relação decorrente entre r e λ? a) r = λ/4. b) r = √√√λ . c) r = λ. d) r = log λ. e) r = eλ - 1. Questão 8 – ESAF/SMF-RJ/Agente da Fazenda/2010 Um equipamento no valor D vai ser depreciado em n períodos, ocorrendo a primeira depreciação no fim do primeiro período, a segunda depreciação no fim do segundo período e assim por diante. Plotando-se no eixo vertical de um gráfico bidimensional os valores de Dk, onde Dk é o valor remanescente do equipamento após a k-ésima



depreciação, com k = 1, 2,..., n, os pontos (k,Dk) estarão sobre a reta que passa pelos pontos (0,D) e (n,0). Supondo n=10 e D = R$ 50.000,00, qual o valor remanescente do equipamento após a sétima depreciação? a) R$ 12.500,00 b) R$ 15.000,00 c) R$ 10.000,00 d) R$ 17.500,00 e) R$ 20.000,00 Questão 9 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos da Engenharia/2010 Considere a e b números reais. A única opção falsa é: a) |a+b|≤|a|+|b|. b) |a|+|b|≥|a−b|. c) |a−b|<|a|−|b|. d) |b−a|≥|b|−|a|. e) |b+a|≤|a|+|b|. Questão 10 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos da Engenharia/2010 Quais são os números reais x que satisfazem a condição

5 1² 8 15 3x

x x x

−=

− + −?

a) x ≠ 3 e x ≠ 5 b) x ≠ 3 c) x ≠ 3 ou x ≠ 5 d) Todos e) Todos, exceto x = 3 e x = 5 Questão 11 – ESAF/SUSEP/Analista Técnico/2010 A inequação dada por

3

2x

x

−≤

é definida no conjunto dos números reais, e tem como solução o conjunto S representado por:



Questão 12 – ESAF/RFB/Auditor-Fiscal/2009 Considere as inequações dadas por:

Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de g(x) , então o conjunto Y = A ∩∩∩ B é igual a:

Questão 13 – CEPERJ/Pref. Cantagalo/Professor/2007 Considerando os conjuntos A = {2, 3, 5} e B = {1, 4, 6}, é correto afirmar que: (A) para todos x Î A e y Î B, x < y (B) para todo x Î A, existe y Î B tal que x < y (C) existe x Î A tal que, para todo y Î B, x < y (D) para todo y Î B, existe x Î A tal que x < y (E) existem um único x Î A e um único y Î B tais que x < y Questão 14 – CEPERJ/SEE-RF/Professor/2007 Considere-se que 100,477= 3. O valor de x tal que 10x =9000 é: (A) 3,628 (B) 3,746 (C) 3,882 (D) 3,015 (E) 3,954



Questão 15 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010

Desenvolvendo obtém-se um número da forma x + y z , em que x, y e z são racionais. Nessas condições a soma x + y + z é um número

(K) cubo perfeito. (L) menor que 50. (M) primo. (N) maior que 70. (O) divisível por 6.

Questão 16 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Engenheiro/2008

Analise as afirmativas a seguir:

Assinale:

(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (B) se somente a afirmativa II estiver correta. (C) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. (D) se somente a afirmativa I estiver correta. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. Questão 17 – CEPERJ/Pref. Cantagalo/Professor/2010

A análise dessas afirmativas indica que: (A) nenhuma é verdadeira. (B) apenas uma é verdadeira. (C) apenas duas são verdadeiras. (D) apenas três são verdadeiras. (E) todas são verdadeiras. Questão 18 – CEPERJ/SEDUC-RJ/Professor/2011

Sobre os números reais a e b sabe-se que a + b = 6 e que O valor de a 2 + b2 é:



(A) 18

(B) 22

(C) 28

(D) 36

(E) 48 Questão 19 – CEPERJ/Pref. São Gonçalo/Professor/2008

Dois números reais a e b são tais que a + b = 6 e 1 1 4

5a b+ = . Então, a2 + b2 é

igual a: (A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 21 (E) 24 Questão 20 – CEPERJ/ Pref. Resende/Professor/2007

A fração irredutível x = a/b é a solução da equação 1

63

25

4x

=

−

−

. O valor de

a + b é: (A) 81 (B) 73 (C) 66 (D) 58 (E) 49 Questão 21 – CEPERJ/FESP/Professor/2008 Sejam a e b números reais, tais que a2 + b2 = 6ab. Um valor possível para a razão a/b é:

(A) 2 3+

(B) 2 3 2+

(C) 3 3+

(D) 3 2 2+



(E) 3 2 3+ Questão 22 – CEPERJ/SEDUC-RJ/Professor de Matemática/2011

Considere a igualdade . A soma a + b é:

(F) 10 (G) 15 (H) 21 (I) 27 (J) 34

Questão 23 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011 Sabendo-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + b - 2c = 9 , o valor de a +b + c é: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Questão 24 – CEPERJ/ Pref. Resende/Professor/2007 O valor de x na equação 2372 + 5x = 2382 é: (A) 95 (B) 96 (C) 97 (D) 98 (E) 99 Questão 25 – CEPERJ/SEE-RJ/Professor de Matemática/2011

Sabe-se que . Tem-se que (x + y)2 é:

(F) 0 (G) 1 (H) 16 (I) 256 (J) 525

Questão 26 – CEPERJ/Iraboraí/Professor/2011



Considere a expressão 155

x

x

+

+, onde x > 0. O número máximo de valores

inteiros de x que tornam a expressão dada também um número inteiro é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Questão 27 – CEPERJ/ FESP-RJ/Professor/2007 Sejam A o conjunto dos números naturais de 3 algarismos e N o conjunto dos números naturais. A função f: A → N é definida por: f(n) = soma dos algarismos de n. O número de valores de n tais que f(n) = 4 é: (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 Questão 28 – CEPERJ/FESP/Professor/2008 Considere a função f: R → R definida por

2

2 se x<0

( )

se x 0

x

f x

x

= ≥

Considere as afirmações: Considere as afirmações: (I) f é crescente. (II) f é sobrejetora. (III) Para qualquer número real c, a equação f (x) = c tem solução. Pode-se afirmar que: (A) Apenas I é verdadeira. (B) Apenas I e II são verdadeiras. (C) Apenas II é verdadeira. (D) Apenas I e III são verdadeiras. (E) Todas as afirmações são verdadeiras. Questão 29 – CEPERJ/ Pref. São Gonçalo/Professor/2008



Considere a função 2 1

( )1

xf x

x

+=

−, para x ≠ 1. A solução da equação f o f (x) =

1 é: (A) x = 1/4 (B) x = 1/3 (C) x = 2/3 (D) x = 3/4 (E) x = -1 Questão 30 – CEPERJ/Pref. Itaboraí/Professor/2011 Sobre os gráficos das funções f: R → R (R é o conjunto dos números reais) definida por f (x) = x e g : R → R definida por g (x) = x2 - 3x + 2, é correto afirmar que se interceptam em: (A) um único ponto de abscissa positiva (B) um único ponto de abscissa negativa (C) dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários (D) dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal (E) mais de dois pontos Questão 31 – CEPERJ/Iraboraí/Professor/2011

O domínio da função f(x) = 2x x− + + é: (A) [-2;2] (B) [-1;0] (C) [0;+∞[ (D) [-2; +∞[ (E) ]-1;0[ Questão 32 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011

Se 2

( )1

f xx

=−

, a raiz da equação fof (x) = 10 é:

(A) 1/3 (B) 4/3 (C) 5/3 (D) 7/3 (E) 8/3 Questão 33 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011

Considere a função de variável real f(x) = 3 82x +

. O valor de f-1 (10) é:



(A) 1/19 (B) 6 (C) 0,25 (D) 4 (E) 19 Questão 34 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011 O valor máximo da função f(x) = a(x – 1)(x – 9) é igual a 80. O valor do coeficiente a é: (A) -5 (B) -4 (C) -8 (D) -2 (E) -6 Questão 35 – CEPERJ/ Pref. São Gonçalo/Professor/2008 A reta que contém o ponto P = (-1, 1) e é paralela à reta que passa pelos pontos A = (5, 4) e B = (8, 6) tem a seguinte equação: (A) 2x + 3y -1 = 0 (B) 3x + 2y +1 = 0 (C) x - 2y + 3 = 0 (D) 2x - 3y + 5 = 0 (E) 2x - 3y +1 = 0 Questão 36 – CEPERJ/Pref. Belford Roxo/Professor/2011 O ponto A (m2 - 2m – 15, – 2) pertence ao eixo Y, e o ponto B (3, m2 - 7m + 10) pertence a eixo x. O valor de m é: (A) - 2 (B) - 3 (C) 5 (D) 2 (E) 7 Questão 37 – CEPERJ/SEEDUC/Professor/2011 Para cada número real t, o ponto P = (x, y), definido pelas equações

2 13 4

x t

y t

= +

= −, pertence à reta r.

O ponto P = (7, k) pertente à reta r. O valor de k é: (A) 3 (B) 5 (C) 6



(D) 7 (E) 9



5. Gabarito

1 – C

2 – D

3 – D

4 – C

5 – C

6 – A

7 – E

8 – B

9 – C

10 – E

11 – D

12 – C

13 – B

14 – E

15 – A

16 – E

17 – B

18 – C

19 – D

20 – A

21 – D

22 – E

23 – D

24 – A

25 – D

26 – B

27 – E

28 – E

29 – A

30 – D

31 – A

32 – E



33 – D

34 – A

35 – D

36 – C

37 – B

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Aula 09 - Raciocinio Logico - Aula 02