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PROAB 2010 AULA 1 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS ANÁLISE COMBINATÓRIA É UM CONJUNTO DE PROCEDIMENTOS QUE POSSIBILITA A CONSTRUÇÃO DE GRUPOS DE DIFERENTES FORMATOS POR UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO, SOB CERTAS CIRCUNSTÂNCIAS.

Aula 1 - RAC. LÓGICO

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PROAB 2010

AULA 1

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ANÁLISE COMBINATÓRIA É UM CONJUNTO DE PROCEDIMENTOS QUE POSSIBILITA A CONSTRUÇÃO DE GRUPOS DE DIFERENTES FORMATOS POR UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO, SOB CERTAS

CIRCUNSTÂNCIAS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ARRANJOS, PERMUTAÇÕES OU COMBINAÇÕES, SÃO OS TRÊS TIPOS PRINCIPAIS DE AGRUPAMENTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

OBSERVAÇÃO

É COMUM ENCONTRARMOS NA LITERATURA, TERMOS COMO: ARRANJAR, COMBINAR OU

PERMUTAR, MAS TODO O CUIDADO É POUCO COM OS MESMOS, QUE ÀS VEZES SÃO UTILIZADOS

EM CONCURSOS DE UMA FORMA DÚBIA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ARRANJOS

SÃO AGRUPAMENTOS FORMADOS COM p ELEMENTOS, (p<m) DE FORMA QUE OS p ELEMENTOS SEJAM

DISTINTOS ENTRE SÍ PELA ORDEM OU PELA ESPÉCIE.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ARRANJOS PODEM SER CLASSIFICADOS COMO:

• SIMPLES• COM REPETIÇÃO• CONDICIONAL

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ARRANJO SIMPLES

É O TIPO DE ARRANJO SEM REPETIÇÃO EM QUE UM GRUPO É DIFERENTE DE OUTRO PELA ORDEM OU

PELA NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA

ESTA FÓRMULA MOSTRA QUE OS ARRANJOS DOSn ELEMENTOS TOMADOS DE p A p, PODENDO SER

ESCRITO UTILIZANDO-SE FATORIAL.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SEJA C = {A,B,C,D}, FORMAR ARRANJOS SIMPLES DESSES 4 ELEMENTOS, TOMADOS DE 2 A 2, FORMANDO GRUPOS

QUE NÃO POSSAM TER A REPETIÇÃO DE QUALQUER ELEMENTO MAS QUE POSSAM APARECER NA ORDEM

TROCADA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DO EXEMPLO:

A (4,2) = 4! / (4 – 2)!

A (4,2) = 4! / 2!

A (4,2) = 24 / 2

A (4,2) = 12

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:

A (4,2) = {AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ARRANJO COM REPETIÇÃO

É O TIPO DE ARRANJO AONDE TODOS OS ELEMENTOSPODEM APARECER REPETIDOS EM CADA GRUPO DE

p ELEMENTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA

A(n,p) = np

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SEJA C = {A,B,C,D}, FORMAR ARRANJOS COM REPETIÇÃO DESSES 4 ELEMENTOS, TOMADOS DE 2 A 2, FORMANDO

GRUPOS ONDE POSSAM APARECER ELEMENTOS REPETIDOS EM CADA GRUPO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DO EXEMPLO:

A (4,2) = 42

A (4,2) = 16

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:

A (4,2) = {AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ARRANJO CONDICIONAL

É O TIPO DE ARRANJO AONDE TODOS OS ELEMENTOSAPARECEM EM CADA GRUPO DE p ELEMENTOS, MAS EXISTE UMA CONDIÇÃO QUE DEVE SER SATISFEITA

ACERCA DE ALGUNS ELEMENTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA

N=A(n1,p1).A(n-n1,p-p1)

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

QUANTOS ARRANJOS COM 4 ELEMENTOS DO CONJUNTO {A,B,C,D,E,F,G}, COMEÇAM COM DUAS LETRAS

ESCOLHIDAS NO SUBCONJUNTO {A,B,C}?

AQUI TEMOS UM TOTAL DE n = 7 LETRAS, PARA FORMAR ARRANJOS DE p = 4 LETRAS, COM UM SUBCONJUNTO

ESCOLHIDO DE n1 = 3 ELEMENTOS PARA FORMAR ARRANJODO SUBCONJUNTO DE p1 = 2.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

COM AS LETRAS A,B e C, TOMADAS DE 2 A 2, POSSUÍMOS6 GRUPOS DE ARRANJOS.

A (3,2) = 3! / (3 – 2)!

A (3,2) = 6 / 1 = 6

FORMANDO OS GRUPOS

A = {AB,AC,BA,BC,CA,CB}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

COM AS LETRAS D,E,F e G, TOMADAS DE 2 A 2, POSSUÍMOS12 GRUPOS DE ARRANJOS.

A (4,2) = 4! / (4 – 2)!

A (3,2) = 24 / 2 = 12

FORMANDO OS GRUPOS

A = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DO EXEMPLO:

N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

USANDO A REGRA DO PRODUTO, TEREMOS 72 POSSIBILIDADES OBTIDAS PELA JUNÇÃO DE UM

ELEMENTO DO CONJUNTO PABC COM UM ELEMENTODO CONJUNTO PDEFG.

UM TÍPICO ARRANJO PARA ESTA SITUAÇÃO É O CAFG.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PERMUTAÇÕES

SÃO AGRUPAMENTOS FORMADOS COM p ELEMENTOS, (p=m) DE FORMA QUE OS p ELEMENTOS SEJAM

DISTINTOS ENTRE SÍ PELA ORDEM.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PERMUTAÇÕES PODEM SER CLASSIFICADOS COMO:

• SIMPLES• COM REPETIÇÃO• CIRCULARES

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PERMUTAÇÃO SIMPLES

É O TIPO DE AGRUPAMENTO ORDENADO, SEM REPETIÇÃO EM QUE ENTRAM TODOS OS ELEMENTOS EM CADA

GRUPO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA

P(n) = n!

O NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES QUE SE PODE FORMAR COM n ELEMENTOS É IGUAL AO

FATORIAL DE n.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SEJA C = {A,B,C}, FORMAR ARRANJOS SIMPLES DESSES 3 ELEMENTOS, FORMANDO GRUPOS QUE NÃO POSSAM TER A

REPETIÇÃO DE QUALQUER ELEMENTO MAS QUE POSSAM APARECER NA ORDEM TROCADA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DO EXEMPLO:

A (3) = 3!

A (3) = 6

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:

A (3) = {ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

É O TIPO DE AGRUPAMENTO ORDENADO, COM REPETIÇÃO EM QUE ENTRAM TODOS OS ELEMENTOS EM CADA

GRUPO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA

P(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

ANAGRAMA

É UMA OUTRA PALAVRA CONSTRUÍDA COM AS MESMAS LETRAS DA PALAVRA ORIGINAL TROCADAS DE

POSIÇÃO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

QUANTOS SÃO OS ANAGRAMAS POSSÍVEIS COM AS LETRAS DA PALAVRA ARARA?

AUXÍLIO: A LETRA “A” APARECE 3 VEZES E A LETRA “R” APARECE 2 VEZES.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DO EXEMPLO:

p1 = n(A) = 3 p2 = n(R) = 2 N = Pr (5;3+2)

N = (3 + 2)! / (3! x 2!)N = 120 / (6 x 2)

N = 120 / 12N = 10

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:

A (5) = {AAARR,AARAR,AARRA,ARAAR, ARARA, ARRAA, RAAAR, RAARA, RARAA, RRAAA}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

É O TIPO DE AGRUPAMENTO QUE OCORRE QUANDO TEMOS GRUPOS COM n ELEMENTOS DISTINTOS FORMANDO UMA

CIRCUNFERÊNCIA DE CÍRCULO.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA

P(n) = (n-1)!

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SEJA UM CONJUNTO COM 4 PESSOAS C = {A,B,C,D}. DE QUANTOS MODOS DISTINTOS ESTAS PESSOAS

PODERÃO SENTAR-SE JUNTO A UMA MESA CIRCULAR PARA REALIZAR O JANTAR SEM QUE HAJA

REPETIÇÃO DAS POSIÇÕES?

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SE CONSIDERÁSSIMOS TODAS AS PERMUTAÇÕES SIMPLES POSSÍVEIS COM ESTAS 4 PESSOAS,

TERIAMOS 24 GRUPOS, APRESENTADOS NO CONJUNTO:

{ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, BCAD, BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,

DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

ACONTECE QUE JUNTO A UMA MESA CIRCULAR TEMOS AS SEGUINTES POSIÇÕES REPETIDAS:

{ABCD = BCDA = CDAB = DABCABDC = BDCA = DCAB = CABDACBD = CBDA = BDAC = DACBACBD = CDBA = DBAC = BACDADBC = DBCA = BCAD = CADBADCB = DCBA = CBAD = BADC}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DO EXEMPLO:

P(4) = 3! = 6

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:

EXISTEM SOMENTE 6 GRUPOS DISTINTOS, DADOS POR:

{ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMBINAÇÕES

SÃO AGRUPAMENTOS FORMADOS COM p ELEMENTOS, (p<m) DE FORMA QUE OS p ELEMENTOS SEJAM

DISTINTOS ENTRE SÍ APENAS PELA ESPÉCIE.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMBINAÇÕES PODEM SER CLASSIFICADOS COMO:

• SIMPLES• COM REPETIÇÃO

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMBINAÇÃO SIMPLES

É O TIPO DE AGRUPAMENTO AONDE NÃO OCORRE A REPETIÇÃO DE QUALQUER ELEMENTO EM CADA

GRUPO DE p ELEMENTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA

C(n,p) = n! / [(n - p)! x p!]

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SEJA C = {A,B,C,D}, FORMAR COMBINAÇÕES SIMPLES DESSES 4 ELEMENTOS, TOMADOS DE 2 A 2, QUE NÃO

POSSAM TER A REPETIÇÃO DE QUALQUER ELEMENTO E NEM POSSAM APARECER NA ORDEM TROCADA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DO EXEMPLO:

C (4,2) = 4! / [2! x 2!]

C (4,2) = 24 / 4

C (4,2) = 6

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:

A (4,2) = {AB,AC,AD,BC,BD,CD}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO

É O TIPO DE AGRUPAMENTO AONDE TODOS OS ELEMENTOS PODEM APARECER REPETIDOS EM CADA GRUPO ATÉ

p VEZES.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA

C(n,p) = C(n + p - 1,p)

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SEJA C = {A,B,C,D}, FORMAR COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO DESSES 4 ELEMENTOS, TOMADOS DE 2 A 2, QUE POSSAM TER TODAS AS REPETIÇÕES POSSÍVEIS

DE ELEMENTOS EM GRUPO DE 2 ELEMENTOS NÃO PODENDO APARECER O MESMO GRUPO COM

A ORDEM TROCADA.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DO EXEMPLO:

C(4 + 2 – 1,2)

C (5,2) = 5! / [3! x 2!]

C (5,2) = 120 / 12

C (5,2) = 10

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:

A (5,2) = {AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES

QUANTOS NÚMEROS DIFERENTES COM 1 ALGARISMO, PODEMOS FORMAR COM OS ALGARISMOS: 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

AUXÍLIO = N1 = A(n,p)

SOLUÇÃOA(9,1) = 9! / (9-1)!

A(9,1) = 9! / 8!9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320A(9,1) = 362.880 / 40320 = 9

RESPOSTA : 9 NÚMEROS DIFERENTES.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES

QUANTOS NÚMEROS DISTINTOS COM 2 ALGARISMOS DIFERENTES, PODEMOS FORMAR COM OS ALGARISMOS:

0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

AUXÍLIO = OS NÚMEROS INICIADOS POR 0 NÃO TERÃO 2 ALGARISMOS E SUA QUANTIDADE CORRESPONDE A A(9,1).

N2 = A(n,p)

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES

SOLUÇÃOA(10,2) – A(9,1) = 10! / (10-2)! - 9! / (9-1)!

A(10,2) – A(9,1) = 10! / 8! – 9! / 8!

10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.8009! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320A(10,2) = 3.628.800 / 40.320 = 90

A(9,1) = 362.880 / 40320 = 9A(10,2) – A(9,1) = 90 – 9 = 81

RESPOSTA : 81 NÚMEROS DISTINTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES

USANDO APENAS OS ALGARISMOS 1,3,5,7 e 9, QUANTOS NÚMEROS COM 3 ALGARISMOS PODEM SER MONTADOS?

AUXÍLIO = A(n,p) = n! / (n-p)!

SOLUÇÃOA(5,3) = 5! / (5-3)!

A(5,3) = 5! / 2!5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2! = 2 x 1 = 2A(5,2) = 120 / 2 = 60

RESPOSTA : 60 NÚMEROS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES

USANDO-SE AS 26 LETRAS DO ALFABETO: A,B,C,D,....,Z QUANTOS ARRANJOS DISTINTOS COM 3 LETRAS PODEM

SER MONTADOS?

AUXÍLIO = A(n,p) = n! / (n-p)!

SOLUÇÃOA(26,3) = 26! / (26-3)!

A(26,3) = 26! / 23!26! = 26 x 25 x 24 = 15600

A(5,2) = 15.600

RESPOSTA : 15.600 ARRANJOS.

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AULA 1

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO COM REPETIÇÃO

QUANTOS NÚMEROS COM 4 ALGARISMOS PODEMOS FORMAR COM OS ALGARISMOS 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?

AUXÍLIO = A(n,p) = np

SOLUÇÃO

A(10,4) = 104

A(10,4) = 10 x 10 x 10 x 10A(10,4) = 10.000

RESPOSTA : 10.000 NÚMEROS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO COM REPETIÇÃO

QUANTOS PALAVARS COM 3 LETRAS PODEMOS FORMAR COM AS 26 LETRAS DO NOSSO ALFABETO?

AUXÍLIO = A(n,p) = np

SOLUÇÃO

A(26,3) = 263

A(26,3) = 26 x 26 x 26A(26,3) = 17.576

RESPOSTA : 17.576 NÚMEROS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO COM REPETIÇÃO

QUANTOS NÚMEROS COM 3 DÍGITOS PODEM SER FORMADOS COM 5 ALGARISMOS?

AUXÍLIO = A(n,p) = np

SOLUÇÃO

A(5,3) = 53

A(5,3) = 5 x 5 x 5A(5,3) = 125

RESPOSTA : 125 NÚMEROS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO CONDICIONAL

QUANTOS ARRANJOS DOS ELEMENTOS A,B,C,D,E,F e GTOMADOS 4 A 4, COMEÇAM COM DUAS LETRAS DENTRE

A,B e C?

AUXÍLIO = A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

m = 7, p = 4, m1 = 3, p1 = 2

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO CONDICIONAL

SOLUÇÃO

N = A(3,2) x A(7-3,4-2)

N = A(3,2) x A(4,2)N = 3! / (3-2)! x 4! / (4-2)!

N = 3! / 1! x 4! / 2!N = 6/1 x 24/2

N = 6 X 12N = 72

RESPOSTA : 72 ARRANJOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO CONDICIONAL

QUANTOS ARRANJOS DOS ELEMENTOS A,B,C e D TOMADOS 3 A 3, QUANTOS CONTEM JUNTOS AS LETRAS

A e B?

AUXÍLIO = A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

m = 4, p = 3, m1 = 2, p1 = 2

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE ARRANJO CONDICIONAL

SOLUÇÃO

N = A(2,2) x A(4-2,3-2)

N = A(2,2) x A(2,1)N = 2! / (2-2)! x 2! / (2-1)!

N = 2! / 0! x 2! / 1!N = 2/1 x 2/1

N = 2 X 2N = 4

RESPOSTA : 4 ARRANJOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO SIMPLES

DE QUANTOS MODOS DISTINTOS PODEMOS COLOCAR 3 LIVROS JUNTOS EM UMA ESTANTE DE BIBLIOTECA?

AUXÍLIO = P(n) = n!

SOLUÇÃO

P(3) = 3!P(3) = 3 x 2 x 1 = 6

RESPOSTA : DE 6 MODOS DISTINTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO SIMPLES

DE QUANTOS MODOS DISTINTOS 5 PESSOAS PODEM SENTAR-SE EM UM BANCO DE JARDIM COM 5

LUGARES?

AUXÍLIO = P(n) = n!

SOLUÇÃO

P(5) = 5!P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

RESPOSTA : DE 120 MODOS DISTINTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO SIMPLES

QUAL É O NÚMERO POSSÍVEL DE ANAGRAMAS QUE SE PODE MONTAR COM AS LETRAS DA PALAVRA AMOR?

AUXÍLIO = P(n) = n!

SOLUÇÃO

P(4) = 4!P(4) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

RESPOSTA : 24 ANAGRAMAS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO SIMPLES

QUANTOS NÚMEROS COM 5 ALGARISMOS PODEMOS CONSTRUIR COM OS NÚMEROS ÍMPARES 1,3,5,7 e 9?

AUXÍLIO = P(n) = n!

SOLUÇÃO

P(5) = 5!P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

RESPOSTA : 120 NÚMEROS.

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AULA 1

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

QUANTOS SÃO OS ANAGRAMAS POSSÍVEIS COM AS LETRAS DA PALAVRA AMA?

AUXÍLIO = P(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

SOLUÇÃO

p1 = n(A) = 2 p2 = n(M) = 1 N = Pr (3;2+1)

N = (2 + 1)! / (2! x 1!)N = 6 / (2 x 1)

N = 6 / 2N = 3

RESPOSTA : 3 ANAGRAMAS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO CIRCULAR

DE QUANTOS MODOS DISTINTOS 5 PESSOAS PODEM SENTAR-SE EM VOLTA DE UMA MESA RETANGULAR?

AUXÍLIO = N = P(n-1) = (n-1)!

SOLUÇÃO:P(5-1) = (5-1)! = 4! = 24

RESPOSTA: 24 MODOS DISTINTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE COMBINAÇÃO SIMPLES

QUANTOS GRUPOS DE 3 PESSOAS PODEM SER MONTADOS COM 8 PESSOAS?

AUXÍLIO = C(n,p) = n! / [p!(n-p)!] n = 8 e p = 3

SOLUÇÃO:C(8,3) = 8! / [3! x (8-3)!]

C(8,3) = 8! / [3! x 5!]C(8,3) = (8 x 7 x 6) / (3 x 2 x 1)

C(8,3) = 336 / 6 = 56

RESPOSTA: 56 GRUPOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

DETERMINE O NÚMERO DE COMBINAÇÕES COM 4 ELEMENTOS TOMADOS COM A REPETIÇÃO DE 7 LIVROS.

AUXÍLIO = C(n,p) = C(n+p-1,p), n=7, p=4

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AULA 1

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

SOLUÇÃO:

C(7,4) = C(7+4-1,4)C(7,4) = C(10,4)

C(10,4) = 10! / [(10-4)! x 4!]C(10,4) = 3.628.800 / [720 x 24]

C(10,4) = 3.628.800 / 17.280C(10,4) = 210

RESPOSTA: 210 COMBINAÇÕES.