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Sinais e Sistemas Discretos
2COP231Processamento Digital de Sinais
Aula 1Sinais e Sistemas Discretos
Conteúdo:
1) Introdução;
2) Sinais Discretos e Propriedades e operações com sinais;
3) Sequências (Sinais) básicos;
4) Sistemas Discretos;
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
5) Propriedades de Sinais Discretos;
6) Sistemas Lineares Invariantes com (no) Tempo (LIT);
7) Propriedades de Sistemas LIT;
8) Exercícios;
2COP231Processamento Digital de Sinais
2) Sinais Discretos e Propriedades e operações com sinais;
6) Sistemas Lineares Invariantes com (no) Tempo (LIT);
1) Introdução
Sinais são informações que podem ser transmitidas ou processadas.
Para a Engenharia podem ser de tempo contínuo ou discreto, ainda podendo ser analógicos ou digitais
Exemplo – Microfone transformando sinal de voz (onda sonora em uma tensão variável (sinal analógico) e amostrando para
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
em uma tensão variável (sinal analógico) e amostrando para processamento (sinal digital).
2COP231Processamento Digital de Sinais
são informações que podem ser transmitidas ou processadas.
Para a Engenharia podem ser de tempo contínuo ou discreto, ainda digitais.
Microfone transformando sinal de voz (onda sonora – mecânica) em uma tensão variável (sinal analógico) e amostrando para
em uma tensão variável (sinal analógico) e amostrando para
http://karbosguide.com/hardware/module7c1.htm
1) Introdução
Exemplos de Sinais:- Analógico:a) Som como onda mecânica no ar, água ou fio;b) Potencial elétrico, sendo esta a diferença de potencial elétrico entre
dois fios;c) O nível de óleo do carro utilizando uma régua para fazer a medição.
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
- Digital:a) Arquivo de áudio MP3 armazenado com 44100 amostras por
segundo e 16bits de resolução a cada amostra;b) Redes de Computadores, onde a camada física recebe uma
sequência de bits;
2COP231Processamento Digital de Sinais
a) Som como onda mecânica no ar, água ou fio;b) Potencial elétrico, sendo esta a diferença de potencial elétrico entre
c) O nível de óleo do carro utilizando uma régua para fazer a medição.
a) Arquivo de áudio MP3 armazenado com 44100 amostras por segundo e 16bits de resolução a cada amostra;b) Redes de Computadores, onde a camada física recebe uma
1) Introdução
Matematicamente um sinal pode ser representado por uma função em um domínio específico.
O exemplo do microfone pode representar o sinal em função do tempo pela tensão capturada.
Para que um sinal possa ser manipulado pelo
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
Para que um sinal possa ser manipulado pelo discretizá-lo. O sinal discreto é aquele que pode ser representado apenas por valores específicos de um domínio, como por exemplo números inteiros.
2COP231Processamento Digital de Sinais
um sinal pode ser representado por uma função em um
do microfone pode representar o sinal em função do tempo pela
Para que um sinal possa ser manipulado pelo processador é preciso
Para que um sinal possa ser manipulado pelo processador é preciso O sinal discreto é aquele que pode ser representado
apenas por valores específicos de um domínio, como por exemplo
1) Introdução
Matematicamente um sinal pode ser representado por uma função em um domínio específico.
O exemplo do microfone pode representar o sinal em função do tempo pela tensão capturada.
Para que um sinal possa ser manipulado pelo
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
Para que um sinal possa ser manipulado pelo discretizá-lo. O sinal discreto é aquele que pode ser representado apenas por valores específicos de um domínio, como por exemplo números inteiros.
2COP231Processamento Digital de Sinais
um sinal pode ser representado por uma função em um
do microfone pode representar o sinal em função do tempo pela
Para que um sinal possa ser manipulado pelo processador é preciso
Para que um sinal possa ser manipulado pelo processador é preciso O sinal discreto é aquele que pode ser representado
apenas por valores específicos de um domínio, como por exemplo
2) Sinais Discretos
É representado por uma sequência numérica, um vetor. Esta sequência é representada por n, n ∈ Z*, ou seja, inteiros.
Exemplo, discretizar uma imagem:- Não é amostrada em função do tempo e sim em função das distâncias horizontal e vertical, de um ponto tomado como origem;- Uma imagem pode ser definida como uma função bidimensional
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
- Uma imagem pode ser definida como uma função bidimensional que define a intensidade ou nível de cinza - Os elementos do vetor que forma uma imagem é chamado de elementos pictóricos, pels, ou pixels
Uma função discreta pode ser obtida por meio de uma função contínua através da operação de amostragem
x[n] = xx[n]: é o vetor discreto; xcn: é a amostra; Ta: é o período de amostragem.
2COP231Processamento Digital de Sinais
É representado por uma sequência numérica, um vetor. Esta sequência é , ou seja, inteiros.
Não é amostrada em função do tempo e sim em função das distâncias horizontal e vertical, de um ponto tomado como origem;Uma imagem pode ser definida como uma função bidimensional f(x, y),
Uma imagem pode ser definida como uma função bidimensional f(x, y), nível de cinza da imagem no ponto x e y.
que forma uma imagem é chamado de pixels.
Uma função discreta pode ser obtida por meio de uma função contínua amostragem:
x[n] = xc(nTa )
c(t): é a função analógica;: é o período de amostragem.
2) Sinais Discretos
Exemplo:Seja xc(t) = cosπt e Ta = 0,1s
n nTa xc (nTa ) x[n]
0 0,0 1 1
1 0,1 cos(0,1π) cos(0,1π)
2 0,2 cos(0,1π) cos(0,1π)
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
2 0,2 cos(0,1π) cos(0,1π)
3 0,3 cos(0,1π) cos(0,1π)
... ... ... ...
2COP231Processamento Digital de Sinais
Fonte: (Nalon, 2009)
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Operações Algébricas:- As operações algébricas devem ser feitas amostra por amostra:Adição: y[n] = x1[n] + x2[n]Subtração: y[n] = x1[n] – x2[n]Multiplicação: y[n] = x1[n] x2[n]Divisão: y[n] = x1[n] / x2[n], se x
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
Mudança de Escala de Amplitude:- Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um
y[n] =
O efeito de tal operação é a modificaçãox<1, a sequência terá amplitudemaior.
Em um arquivo de áudio tal mudançaarmazenado. O efeito fade (in/out)
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Propriedades e operações com Sinais Discretos
As operações algébricas devem ser feitas amostra por amostra:[n]
[n], se x2[n] ≠ 0.
Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um escalar.
y[n] = cx[n]
modificação na amplitude das amostras x[n]. Semenor, caso x>1 a amplitude será
mudança reflete no volume do som(in/out) utiliza tal conceito.
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Mudança de Escala de Amplitude:
Utilizando o software Audacity para diminuir a amplitude de um arquivo de áudio.
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
2COP231Processamento Digital de Sinais
Propriedades e operações com Sinais Discretos
para diminuir a amplitude de um arquivo
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Mudança de Escala do Tempo:- Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um
y[n] = x[Mn], M
M: número inteiro, M<0 resultará em um origem, M>1 irá realizar a compressão
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
origem, M>1 irá realizar a compressão realizar a operação de expansão (adicionando 0 quando o elemento não existir).
Deslocamento no Tempo:- Também chamado de atraso no tempo, é definido como:
y[n] = x[n
k: é o atraso aplicado à sequência
2COP231Processamento Digital de Sinais
Propriedades e operações com Sinais Discretos
Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um escalar.
y[n] = x[Mn], M ∈ Z*
resultará em um espelhamento do sinal com relação a compressão o sinal, M sendo uma fração é possível
compressão o sinal, M sendo uma fração é possível (adicionando 0 quando o elemento não existir).
Também chamado de atraso no tempo, é definido como:
y[n] = x[n-k], k ∈ Z*
é o atraso aplicado à sequência
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Diferenças e Acumulação:Diferença é análoga à diferenciação (derivada), que pode ser dita como a diferença entre a amostra e sua subseqüente, descrita em:
∆x[n] = x[n]
A segunda diferença, seria a “diferença da diferença”
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
A segunda diferença, seria a “diferença da diferença”
∆2 y[n] =
A diferença é utilizada para calcular a derivada de uma função contínua amostrada a um período
dxc (t) / dt ≅
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Propriedades e operações com Sinais Discretos
Diferença é análoga à diferenciação (derivada), que pode ser dita como a diferença entre a amostra e sua subseqüente, descrita em:
x[n] = x[n] - x[n-1]
A segunda diferença, seria a “diferença da diferença”
A segunda diferença, seria a “diferença da diferença”
y[n] = ∆(∆ x[n])
A diferença é utilizada para calcular a derivada de uma função contínua amostrada a um período Ta
≅ ∆xc(t) / ∆t
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Diferenças e Acumulação:A acumulação é definida como a soma das amostras ao longo do tempo discreto até um instante específico.
∑=
=n
k
ny ][
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Desta forma podemos afirmar que:
∑=k
∑−∞=
∆n
k
kx[
2COP231Processamento Digital de Sinais
Propriedades e operações com Sinais Discretos
A acumulação é definida como a soma das amostras ao longo do tempo discreto até um instante específico.
∑−∞=
n
kx ][
∑−∞=
= nx ][]
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Parte real e imaginária:Uma sequência complexa pode ser decomposta em partes real e imaginária:
O complexo conjugado é:
][][ nxnx R=
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
O complexo conjugado é:
[][* nxnx R=
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Propriedades e operações com Sinais Discretos
Uma sequência complexa pode ser decomposta em partes real e
][njxI+
][] njxn I−
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Paridade e Simetria Conjugada:Uma sequência real é par se satisfaz a seguinte condição:
Uma sequência é ímpar quando:
[][ xnx =
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Uma sequência x[n] = 0 é a única que não é nem par nem ímpar. Uma sequência pode ser decomposta em parte par
][ xnx −=
])[][(2
1][ nxnxnxe −+=
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Propriedades e operações com Sinais Discretos
se satisfaz a seguinte condição:
][ n−
é a única que não é nem par nem ímpar. Uma sequência pode ser decomposta em parte par xe e parte ímpar xo:
][ nx −
])[][(2
1][ nxnxnxo −−=
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Paridade e Simetria Conjugada:Exemplo:
−=
84cos][
ππnnx
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Em (a), o sinal x[n], em (b) a parte par xe[n] e em (c) a parte ímpar xo[n].
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Propriedades e operações com Sinais Discretos
Fonte: (Nalon, 2009)
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Periodicidade: Diz-se que uma sequência é periódica quando após um intervalo inteiro constante (período) a função repete as mesmas amostras na mesma sequência. Matematicamente:
[][ xnx =
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Onde N é o período da sequência.É chamada de frequência fundamental o mesmo período N da sequência original, descrita como:
ω2
0 =
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Propriedades e operações com Sinais Discretos
se que uma sequência é periódica quando após um intervalo inteiro ) a função repete as mesmas amostras na mesma
]Nn +
é o período da sequência.fundamental a sequência senoidal que tem
o mesmo período N da sequência original, descrita como:
N
π2
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Periodicidade: Exemplo:
nsennx4
][π
= [nx
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4
=N
Nπ
Operação com sinais periódicos normalmente resultam em outros sinais periódicos, com períodos diferentes
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Propriedades e operações com Sinais Discretos
44]
+=+ NnsenNnππ
8
2
44
=
=
N π
Operação com sinais periódicos normalmente resultam em outros sinais periódicos, com períodos diferentes
2) Propriedades e operações com Sinais Discretos
Energia de um Sinal: Exemplo:A energia de um sinal pode ser calculada com base na teoria dos circuitos, descrevendo:
∑∞
= xE
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
∑−∞=
=n
xE
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Propriedades e operações com Sinais Discretos
A energia de um sinal pode ser calculada com base na teoria dos
nx ²][
nx ²][
3) Sequências Básicas
- Desejável decompor um problema em outros menores;- Reduzir a complexidade e aumentar a capacidade de análise;
- Impulso UnitárioTambém chamado de delta de Kroenecker
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≠
==
0,0
0,1][
nse
nsenδ
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Desejável decompor um problema em outros menores;Reduzir a complexidade e aumentar a capacidade de análise;
Kroenecker;
Imagem 1.6
3) Sequências Básicas
- Impulso UnitárioDecomposição de um sinal como uma soma de impulsos deslocados:
[1]1[2][ −+= nnnx δδ
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Decomposição de um sinal como uma soma de impulsos deslocados:
]2[3]1[1] −+−+ nnn δδ
3) Sequências Básicas
- Degrau UnitárioÉ definida como:
=,0
,1][
se
senu
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Imagem 1.9
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<
≥
0
0
nse
nse
Imagem 1.9
3) Sequências Básicas
- Sequência ExponencialÉ definida como:
Se A e α são números reais, então a sequência será real.
Anx =][
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Se 0 < α < 1 e A é positivo então a sequência tem o valor positivo e descrescente.
Se -1 < α < 0, a sequência é decrescente, mas o sinal das amostras se alternarão.
Se | α | > 1, então a sequência será crescente em magnitude.
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são números reais, então a sequência será real.
nAα
< 1 e A é positivo então a sequência tem o valor positivo e
< 0, a sequência é decrescente, mas o sinal das amostras se
| > 1, então a sequência será crescente em magnitude.
3) Sequências Básicas
- Sequência ExponencialSe α for um número complexo, então a sequência será complexa, e escreve-se α como:
α re=
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
A freqüência da oscilação é definido por
Uma série exponencial também pode ser chamada como geométrica.
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for um número complexo, então a sequência será complexa, e
ωjre
A freqüência da oscilação é definido por ω.
Uma série exponencial também pode ser chamada como série
3) Sequências Básicas
- Sequência SenoidaisUma sequência senoidal é definida como:
cos(][ = Anx
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Onde, ω é a frequência em radianos; radianos.No tempo contínuo, a função senoidal sempre é periódica.
cos(][ =+ ANnx
rN πω 2=
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Uma sequência senoidal é definida como:
)cos( θω +n
em radianos; θ é o ângulo de fase em
No tempo contínuo, a função senoidal sempre é periódica.
))(cos( θω ++ Nn
ω
πrN
2=
3) Sequências Básicas
- Sequência SenoidaisExemplo:
ω π/4,
cos(][nx =
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Onde, ω=π/4, assim temos:
rN
4/
2=π
π
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)4
cos( nπ
r84=
4) Sistemas Discretos
Algumas operações são realizadas por sistemas de processamento de sinais digitais, exemplos:- Transmissão de Vídeo;- Transmissão de Áudio;- Armazenamento de música e imagem;- Enriquecimento e recuperação de imagens degradadas pelo tempo;- Posicionamento de dispositivos;
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
- Posicionamento de dispositivos;- Reconhecimento de Padrões;- Detecção de Características;
O objetivo de um sistema é transformar um sinal de entrada x[n] em um sinal de saída y[n].
Matematicamente um sistema é representado pela transformação dada por:
][ Hny =
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Algumas operações são realizadas por sistemas de processamento de
Armazenamento de música e imagem;Enriquecimento e recuperação de imagens degradadas pelo tempo;
O objetivo de um sistema é transformar um sinal de entrada x[n] em um
Matematicamente um sistema é representado pela transformação dada por:
]}[{ nxH
4) Sistemas Discretos
Representação de um sistema de processamento:
x[n] H y[n]
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo:
][(3
1][ += xnxny
Imagem 1.13
2COP231Processamento Digital de Sinais
Representação de um sistema de processamento:
x[n] H y[n]
])2[]1[ −+− nxnx
Imagem 1.13
4) Propriedades de Sistemas Discretos
As propriedades descritas são propriedades de
- Linearidade:Um sistema é linear quando satisfaz os princípios da:a) Homogeneidade;
]}[{ naxH =
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
b) Superposição;
]}[{ naxH =
]}[][{ 21 HnxnxH =+
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Propriedades de Sistemas Discretos
As propriedades descritas são propriedades de sistemas discretos.
Um sistema é linear quando satisfaz os princípios da:
]}[{ nxaH
]}[{ nxaH
]}[{]}[{ 21 nxHnxH +
4) Propriedades de Sistemas Discretos
De forma compacta:
][1
nxaH ii
N
i
∑=
=
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Imagem 1.14
2COP231Processamento Digital de Sinais
Propriedades de Sistemas Discretos
]}[{1
nxHa ii
N
i
∑=
Imagem 1.14
4) Propriedades de Sistemas Discretos
- Invariância com o Tempo:O atraso na sequência da entrada não causa distorções na saída, apenas um atraso da mesma magnitude na saída.
{}{ Hkny =−
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Esta propriedade é chamada de invariância com o deslocamento.
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Propriedades de Sistemas Discretos
O atraso na sequência da entrada não causa distorções na saída, apenas um atraso da mesma magnitude na saída.
]}[{ knx −
invariância com o deslocamento.
4) Propriedades de Sistemas Discretos
- MemóriaQuando as amostras da sequência da saída dependem de amostras passadas, seja da sequência de entrada, seja da própria saída.
Se o sistemas precisa armazenar amostras do sinal de entrada ou do sinal de saída para obter a próxima amostrada da saída.
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
com k diferente de 0.
[][ nxny =
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Propriedades de Sistemas Discretos
Quando as amostras da sequência da saída dependem de amostras passadas, seja da sequência de entrada, seja da própria saída.
Se o sistemas precisa armazenar amostras do sinal de entrada ou do sinal de saída para obter a próxima amostrada da saída.
]kn −
4) Propriedades de Sistemas Discretos
- CausalidadeO sistema é causal se as amostras do sinal de saída dependem apenas da amostra atual e das amostras passadas do sinal de entrada.
Sistemas de tempo real são invariavelmente causais, uma vez que é impossível, em tempo real, obter amostras futuras do sinal de entrada.
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
]1[(3
1][ += nxny
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Propriedades de Sistemas Discretos
O sistema é causal se as amostras do sinal de saída dependem apenas da amostra atual e das amostras passadas do sinal de entrada.
Sistemas de tempo real são invariavelmente causais, uma vez que é impossível, em tempo real, obter amostras futuras do sinal de entrada.
])1[][ −++ nxnx
4) Propriedades de Sistemas Discretos
- RealimentaçãoQuando a amostra atual do sistema de saída depende de outra
amostra passada do sistema de saída.
Para que as amostrar possam ser aproveitadas, utiliza
][1
][ = nxny
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
][2
1][ = nxny
Imagem 1.15
2COP231Processamento Digital de Sinais
Propriedades de Sistemas Discretos
Quando a amostra atual do sistema de saída depende de outra amostra passada do sistema de saída.
Para que as amostrar possam ser aproveitadas, utiliza-se a memória.
]1[1
] −− ny
]1[4
1] −− ny
Imagem 1.15
4) Propriedades de Sistemas Discretos
- EstabilidadeInstabilidade: quando a saída apresenta distorções.Existem vários critérios para determinar a estabilidade, o mais comum
é o “entrada limitada, saída limitada”.Sistemas lineares sem realimentação e com memória limitada não
terão problemas de estabilidade, pois o número de amostras é limitado.
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
limitado.Sistemas realimentados podem ser instáveis, pois elementos de saída
são utilizados para recomposição.Realimentação ampliada na saída transforma o sistema em um
instável.
2COP231Processamento Digital de Sinais
Propriedades de Sistemas Discretos
quando a saída apresenta distorções.Existem vários critérios para determinar a estabilidade, o mais comum
é o “entrada limitada, saída limitada”.Sistemas lineares sem realimentação e com memória limitada não
terão problemas de estabilidade, pois o número de amostras é
Sistemas realimentados podem ser instáveis, pois elementos de saída são utilizados para recomposição.
Realimentação ampliada na saída transforma o sistema em um
4) Propriedades de Sistemas Discretos
- Invertibilidade:É a capacidade de retornar ao sinal original com base no sinal de
saída.Se dada saída obtida de um sistema de processamento for possível
recuperar o sinal de entrada, dizemos que o sinal é
[{{1 nxHH −
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H-1 é chamado de inverso de H.
[{{1 nxHH −
2COP231Processamento Digital de Sinais
Propriedades de Sistemas Discretos
É a capacidade de retornar ao sinal original com base no sinal de
Se dada saída obtida de um sistema de processamento for possível recuperar o sinal de entrada, dizemos que o sinal é inversível.
][]}} nxn =
][]}} nxn =
5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)
- Resposta ao ImpulsoSistemas LIT podem ser descritos pela sua resposta ao impulso.
Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, podemos
][ Hnh =
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, podemos descrever como ele se comporta para qualquer entrada.
2COP231Processamento Digital de Sinais
Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)
Sistemas LIT podem ser descritos pela sua resposta ao impulso.
Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, podemos
]}[{ nH δ
Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, podemos descrever como ele se comporta para qualquer entrada.
5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)
- ConvoluçãoA convolução é representada por um “*” (asterisco).
∑∞
−∞=
=k
nhnx ][*][
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
A saída de um sistema pode ser dado pela sua resposta ao impulso;
A convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas Transformadas de Fourier no Domínio da Freqüência.
2COP231Processamento Digital de Sinais
Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)
A convolução é representada por um “*” (asterisco).
∑−∞
− knhkx ][][
A saída de um sistema pode ser dado pela Convolução da entrada pela
A convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas Transformadas de Fourier no Domínio da Freqüência.
5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)
- Filtros LinearesSistemas que convertem x[n] em y[n] recebem o nome de porque um H{x[n]}, normalmente é utilizado para selecionar características do sinal.
Se o sistema é linear, o filtro é chamado de
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Quando o filtro é linear, as características selecionadas e filtradas são frequências componentes do sinal.
Todo sinal pode ser decomposto em um somatório de cossenos com frequências determinadas.
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Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)
Sistemas que convertem x[n] em y[n] recebem o nome de Filtro, isso porque um H{x[n]}, normalmente é utilizado para selecionar
Se o sistema é linear, o filtro é chamado de filtro linear.
Quando o filtro é linear, as características selecionadas e filtradas são do sinal.
Todo sinal pode ser decomposto em um somatório de cossenos com
5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)
- Filtros LinearesOs filtros podem ser:- Filtro passa-baixas: A saída apresenta apenas baixas - Filtro passa-altas: A saída apresenta somente altas - Filtro passa-faixas: Permite apenas - Filtro rejeita-faixas: Bloqueia certas - Filtro ideal: Rejeita frequências
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
- Filtro ideal: Rejeita frequênciasidêntica da banda desejada.
A principal característica de um filtro é sua
ωc. Os filtros passa-baixas e passaimpulso:
n
nsennh c
π
ω=][
2COP231Processamento Digital de Sinais
Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)
A saída apresenta apenas baixas frequências;A saída apresenta somente altas frequências;Permite apenas frequências intermediárias;Bloqueia certas frequências;
frequências indesejadas e mantém a amplitude
frequências indesejadas e mantém a amplitude
A principal característica de um filtro é sua frequência de corte, chamada
passa-altas ideais tem resposta ao
n
nsennh c
π
ω)1(][ −=
6) Propriedades de Sistemas LIT
Sistemas LIT são representados pela convolução com a resposta ao impulso h[n] e apresentam várias propriedades
- Elemento Neutro:Em uma operação o elemento neutro é aquele que quando é um dos operandos, faz com que o resultado da operação seja o outro operando.
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Por exemplo o elemento neutro da convolução seria a função impulso, ou seja:
[*][ nnx δ
2COP231Processamento Digital de Sinais
Sistemas LIT são representados pela convolução com a resposta ao impulso h[n] e apresentam várias propriedades
Em uma operação o elemento neutro é aquele que quando é um dos , faz com que o resultado da operação seja o outro operando.
Por exemplo o elemento neutro da convolução seria a função impulso,
][] nx=
6) Propriedades de Sistemas LIT
- Extensão:Considerando x[n] e h[n] com sequências
o resultado de y[n] = x[n]*h[n] será uma sequência com Ny -1 amostras.
[*][ nnx δ
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
[*][ nnx δ
2COP231Processamento Digital de Sinais
sequências, contendo Nx e Nh amostras, o resultado de y[n] = x[n]*h[n] será uma sequência com Ny = Nx +
][] nxn =
][] nxn =
6) Propriedades de Sistemas LIT
- Comutatividade:A ordem em que os operando estão não tem importância.
A convolução é comutativa.
Sua representação matemática é:
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
][*][ nhnx =
2COP231Processamento Digital de Sinais
A ordem em que os operando estão não tem importância.
Sua representação matemática é:
][*][ nxnh=
6) Propriedades de Sistemas LIT
- Distributividade ou Paralelismo:A convolução é distributiva:
])[][(*][ 21 xnhnhnx =+
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos
Imagem 1.19
2COP231Processamento Digital de Sinais
][*][][*][ 21 nhnxnhnx +
Imagem 1.19
6) Propriedades de Sistemas LIT
- Associativa ou Cascateamento:Sistemas subseqüentes podem ser combinados em um único sistema por meio da propriedade do cascateamento
Por exemplo os processos de amplificação e cancelamento de eco para arquivos de áudio.
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])[*])[*][( 21 nhnhnx =
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Sistemas subseqüentes podem ser combinados em um único sistema cascateamento.
Por exemplo os processos de amplificação e cancelamento de eco para
])[*][(*][ 21 nhnhnx=
Imagem 1.20
6) Propriedades de Sistemas LIT
- CausalidadeUm sistema LIT será causal se e somente se:
A contribuição de cada uma das amostras futuras do sinal de entrada deve ser nula, independente das propriedades do sinal.
,0][ =nh
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deve ser nula, independente das propriedades do sinal.
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Um sistema LIT será causal se e somente se:
A contribuição de cada uma das amostras futuras do sinal de entrada deve ser nula, independente das propriedades do sinal.
0,0 <n
deve ser nula, independente das propriedades do sinal.
6) Propriedades de Sistemas LIT
- EstabilidadeUm sistema LIT é estável se:
∑∞
≤ nxnh [||][|
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Ou seja, a resposta ao impulso deve ser
∑−∞=k
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− khkn .|][||]
Ou seja, a resposta ao impulso deve ser absolutamente somável.
6) Propriedades de Sistemas LIT
- Resposta a Sinais SenoidaisUma propriedade importante é a fidelidade
A resposta de um LIT é uma senóidepossivelmente com amplitude e fase modificada.
enx jwn == cos][
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Para uma frequência fixa ω, portanto,determinado.O resultado é uma função senoidalamplitude e fase modificada. Por essechamadas de auto-funções deautovetores e autovalores da álgebra
A função H(ω) é chamada como resposta em
enx == cos][
jwneH ω)(
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fidelidade das funções senoidais.
senóide de mesma frequência, possivelmente com amplitude e fase modificada.
njsenn ωω +cos
portanto, H(ω) será um valor único e
senoidal de mesma frequência ω, comesse motivo as funções senoidais sãosistemas lineares, analogamente a
álgebra matricial.
) é chamada como resposta em frequência do LIT.
njsenn ωω +cos
jwneα=
Referências:
NALON, J.A. - INTRODUÇAO AO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS(http://books.google.com.br/books?id=SeCBPgAACAAJ)
Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I
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INTRODUÇAO AO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS(http://books.google.com.br/books?id=SeCBPgAACAAJ)