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Teste de hipóteses - unilateral
Profa. Dra. Juliana Garcia
Cespedes
Inferência
Distribuição desconhecida
ou
Parâmetros desconhecidos
amostra
Inferir certas características da
população
X
S2 2
p p
Intervalo
de
confiança
estimar
estimar
estimar^
Teste de hipóteses
= 100
amostra56,107X
Uma população com
média =100 conhecida
poderia produzir uma
amostra com média
107,56?
O objetivo do teste de hipóteses é verificar se os dados
amostrais trazem evidências que contrariam ou não uma
hipótese estatística formulada.
Teste de hipóteses
Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de
uma certa substância no sangue se comporta segundo
um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio
padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a
concentração média se alterada para 18 unidades/ml
com mesmo desvio padrão.
Sadios: N(14,36)
Doentes: N(18,36)
Teste de hipóteses para a média
Desejamos verificar se um determinado
tratamento é eficaz a essa doença.
Uma amostra aleatória de 31 pessoas doentes que
foram submetidas ao tratamento é selecionada.
X1, X2, ... Xn Xi ~ N( , 36)
O valor da média desta amostra vai indicar se o
tratamento foi eficaz (=14) ou não foi eficaz (=18)
Teste de hipóteses para a média
Pelo teorema do limite central, sabe-se que:
Um critério que pode ser utilizado para
decidir a qual população (=14 ou =18)
pertence a amostra é determinar um valor
crítico xc
31
36,N~X
Teste de hipóteses para a média
Se X>xc concluímos que a amostra pertence
à população doente (=18), ou seja o
tratamento não é eficaz;
Se X xc concluímos que a amostra
pertence à população sadia (=14) sendo o
tratamento considerado eficiente.
xc
= 14 = 18
xobs
Teste de hipóteses para a média
Podemos formular duas hipóteses para esse
problema:
H0: O tratamento NÃO é eficaz;
Ha: O tratamento é eficaz.
Hipótese nula
Hipótese alternativa
H0: = 18
Ha: = 14
H0: = 18
Ha: < 18
H0: = 18
Ha: 18
Hipótese simples Hipótese composta
Teste unilateral Teste bilateral
Teste de hipóteses para a média
TESTE UNILATERAL:
No caso do tratamento ser eficaz é razoável
assumirmos que ele foi capaz de fazer com
que as pessoas ficassem curadas, ou seja,
que mudassem para uma população que
X<18
TESTE BILATERAL
Para verificar se o tratamento produziu algum
efeito benéfico X<18 ou danoso X>18
H0: = 18 versus Ha: < 18
H0: = 18 versus Ha: 18
Teste de hipóteses para a média
Como X é uma estimativa (é apenas 1 de
infinitas amostras possíveis) pode-se correr o
risco de concluir incorretamente que o
tratamento é eficaz, ou decidir que o tratamento
não é eficiente quando na verdade ele é.
Devemos quantificar os possíveis erros
associados a essa decisão.
Teste de hipóteses
Rejeitar a hipótese H0, quando tal hipótese é
verdadeira
Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria
ser rejeitada
Erro tipo I
Erro tipo II
Erro tipo I Sem erro
Sem erro Erro tipo II
Rejeitar H0
Não rejeitar H0
H0 verdadeira H0 falsa
Situação
Decisão
Teste de hipóteses
= P(erro tipo I) = P(Rejeitar H0| H0 é verdadeira)
= P(erro tipo II) = P(Não rejeitar H0| H0 é falsa)
= P(concluir que o tratamento é eficaz | na verdade ele não é)
= P(concluir que o tratamento não é eficaz | na verdade ele é)
No exemplo:
Qual é o erro mais
importante de ser
evitado?
Nível de significância
Teste de hipóteses para a média
Com determinar o valor crítico xc?
)(
316
18
)18|(
.)|()( 00
c
c
c
zZP
x
n
XP
xXP
verdHHrejeitarPIerroP
Sendo que Z ~ N(0,1)
Teste de hipóteses para a média
O valor de zc é obtido na tabela da distribuição
normal, dado um valor para e o valor crítico é
calculado como:
31
618
316
18
cc
cc
zx
xz
Intervalo de confiança
para com n>30!!!
Para =0,05:
64,1
)(05,0
c
c
z
zZP
Teste de hipóteses para a média
Logo
Se Xobs < 16,23 rejeitamos H0 concluindo que o
tratamento é eficaz.
23,1631
664,118 cx
Região crítica:
RC={x : x<xc}
RC={x : x<16,23}
Teste de hipóteses para a média
Se a amostra forneceu estimativa da média
16,04 então 16,04<16,23 e rejeitamos H0 ao
nível de significância =0,05 ou =5%.
Portanto o tratamento é eficaz.
Passos para construção do TH.
Passo 1: Estabelecer as hipótese nula e
alternativa;
Passo 2: Definir a forma da região crítica, com
base na hipótese alternativa;
Passo 3: Identificar a distribuição do estimador
e obter sua estimativa;
Passo 4: Fixar e obter a região crítica;
Passo 5: Concluir o teste com base na
estimativa e na região crítica.
Exercício
Uma variável aleatória tem distribuição
normal com desvio padrão igual a 12.
Estamos testando se sua média é igual ou
menor que 20 e coletamos uma amostra de
100 valores dessa variável, obtendo uma
média amostral de 17,4.
Formule as hipóteses.
Obtenha a região crítica e dê a conclusão do
teste para os seguintes níveis de
significância: 1%, 4% e 8%.
Teste de hipóteses - bilateral
Profa. Dra. Juliana Garcia
Cespedes
Teste de hipóteses
Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de
uma certa substância no sangue se comporta segundo
um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio
padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a
concentração média se alterada para 18 unidades/ml
com mesmo desvio padrão.
Sadios: N(14,36)
Doentes: N(18,36)
Teste de hipóteses - bilateral
NOVO OBJETIVO:
Verificar se o tratamento produziu algum efeito
benéfico X<18 ou danoso X>18
H0: O tratamento NÃO é eficaz
Ha: O tratamento produz algum efeito (benéfico ou
danoso)
H0: = 18 versus Ha: 18
Teste de hipóteses - bilateral
A região crítica, ou região de rejeição para
o teste de hipóteses bilateral será dada
por:
A região de aceitação é o completar da
região crítica:
}:{ 21 cc xxouxxxRC
}:{ 21 cc xxxxRA
Teste de hipóteses - bilateral
Para fixo, encontramos os ponto críticos xc1 e xc2:
2)(
2)(
)(
316
18
316
18
316
18
)18|()18|(
.)|()(
21
21
21
21
00
cc
cc
cc
cc
zZPezZP
zZouzZP
xXou
n
xXP
xXouxXPRCXP
verdHHrejeitarPIerroP
Teste de hipóteses - bilateral
Os valores de zc1 e zc2 são obtidos na tabela da
distribuição normal, dado um valor para e o
valor crítico é calculado como:
31
618 cici zx
Intervalo de confiança
para com n > 30!!!
Para =0,05:
96,1
)(025,0
1
1
c
c
z
zZP
96,1
)(025,0
2
2
c
c
z
zZP
Teste de hipóteses - bilateral
Logo
A região crítica para =0,05 é:
11,2031
696,118
89,1531
696,118
2
1
c
c
x
x
}11,2089,15:{ xouxxRC
Teste de hipóteses - bilateral
Como Xobs não pertence a RC, aceitamos H0 a
um nível de 5% de significância. Concluímos
que o tratamento não é eficaz.
Teste de hipóteses - bilateral
Também podemos calcular a probabilidade de
acontecer o erro tipo II
Para calcular , nós conhecemos o valor de :
)18|(
.)|(
)(
00
RCXP
verdHHrejeitarP
IerroP
Teste de hipóteses - bilateral
Mas para calcular a probabilidade de ocorrer o
erro tipo II não sabemos quem é .
)18|(
)|(
)(
00
RCXP
falsaHHrejeitarNãoP
IIerroP
Quem é o
verdadeiro
valor de ?
Teste de hipóteses - bilateral
Desta forma será uma função dos valores de
definido na região da hipótese alternativa.
Então a probabilidade do erro tipo II será
denotada por ().
Por exemplo, se verdadeiro for =16
)16|11,2089,15(
)16|(
)()16(
XP
RCXP
IItipoerroP
Teste de hipóteses - bilateral
5397,0
499,00398,0
)81,310,0(
3136
1611,20
3136
16
3136
1689,15)16(
ZP
XP
Se o verdadeiro =16, estamos concluindo
equivocadamente, com probabilidade de
0,5397, que H0 é verdadeiro.
Exercício
Um relatório de uma companhia afirma que 40%
de toda a água obtida, através de poços
artesianos no nordeste, é salobra.
Mas alguns dizem que a proporção é maior,
outros que é menor.
Para diminuir as dúvidas, sortearam 400 poços
e observou-se, em 120 deles, água salobra.
Qual seria a conclusão, ao nível de 3%?