Aula 14 matrizes e determinantes (parte i )

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  • 1. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO1AULA QUATORZE: Matrizes & Determinantes (Parte I)Ol, amigos! Daremos hoje incio ao estudo de Matrizes e Determinantes. Pelo histrico das ltimasprovas elaboradas pela Esaf, este assunto tem sido exigido amide, tanto em certames denvel mdio, quanto de nvel superior. Embora seja uma matria (em tese) j vista por todos no ensino mdio (antigo 2grau), e que, por isso mesmo, possa causar algum tipo de mal-estar, convm sabermos logoque sua exigncia em concursos se restringe a certos estilos de questo, muito fceis deserem trabalhados. Dito isto, iniciemos a resoluo do dever de casa passado, para aps falarmos emMatrizes. Adiante!Dever de Casa01.(AFCE TCU 99 ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um nmero par 3/5, lanado juntamente com uma moeda no viciada. Assim, a probabilidade de se obter um nmero mpar no dado ou coroa na moeda : a) 1/5d) 3/5 b) 3/10 e) 7/10 c) 2/5Sol.: Aqui h dois eventos envolvidos: o lanamento de um dado e o lanamento de umamoeda.Foi dado que a probabilidade de se obter um nmero par 3/5. Vamos escrever demaneira mais simplificada: P(par) = 3/5.Ao lanar um dado s podemos obter dois resultados: par ou mpar. Da,P(par) + P(mpar) = 1 E: P(mpar) = 1 P(par) P(mpar) = 1 3/5 P(mpar) = 2/5 Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possveis h no lanamento de umamoeda no viciada? Dois: {cara, coroa}. Quantos resultados possveis de coroa? Apenas um. Logo, a probabilidade de, aolanarmos uma moeda, dar coroa de:1 P(coroa) =2Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um nmerompar no dado ou coroa na moeda, estar falando, obviamente, da unio entre esses doiseventos. J sabemos que a existe uma frmula prpria para esses casos. Teremos:P(mpar ou coroa) = P(mpar) + P(coroa) P(mpar e coroa)Ns j dispomos das probabilidades P(mpar) e P(coroa), mas ainda temos que calculara probabilidade: P(mpar e coroa).Os eventos mpar no dado e coroa na moeda so independentes? A questo noafirma nada sobre isso, ento podemos fazer a seguinte pergunta para descobrir se eles soindependentes: o resultado obtido no lanamento do dado influencia no resultado dolanamento da moeda? Facilmente conclumos que no, podemos jogar um dado e ele podedar par ou mpar, mas isto no influencia no resultado cara ou coroa da moeda.Assim, como so dois eventos independentes, podemos dizer que: P(mpar e coroa) = P(mpar) x P(coroa)www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos

2. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 2Substituindo essa probabilidade na expresso de probabilidade que devemos calcular,teremos: P(mpar ou coroa) = P(mpar) + P(coroa) P(mpar) x P(coroa)S precisamos substituir os valores de probabilidades que j dispomos para obter aresposta da questo:P(mpar ou coroa) = 2/5 + 1/2 2/5 x 1/2Da, P(mpar ou coroa) = 6/10 2/10E, P(mpar ou coroa) = 4/10Resposta!02.(Anal. Oramento MARE 99 ESAF) So lanadas 4 moedas distintas e no viciadas. Qual a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?a) 25%b) 37,5%c) 42%d) 44,5%e) 50%Sol.:O evento o lanamento de uma moeda. Ele se repetir por quatro vezes. Os resultados possveis para esse evento so apenas dois: cara ou coroa. E soresultados excludentes! Finalmente, a questo pergunta pela probabilidade de que nos quatro lanamentosobtenha-se cara por exatamente duas vezes e coroa exatamente duas vezes. No havianecessidade de dizer que o resultado coroa deve ocorrer exatamente duas vezes, pois como jest se dizendo que nos quatro lanamentos ocorre exatamente duas caras claro que vaiocorrer duas coroas.Novamente, aqui, esto presentes todas as caractersticas de uma questo deProbabilidade Binomial.Vamos encontrar os elementos que lanaremos na frmula da Probabilidade Binomial.Como so quatro lanamentos, ento N=4. A questo pede exatamente dois resultados cara, ento podemos considerar quecara o evento sucesso, e S=2.Conseqentemente, coroa o evento fracasso, e F=2.Certo?Da, calcularemos a probabilidade de um evento sucesso e a de um evento fracasso.Teremos: P(cara)=(1/2)(So dois resultados possveis, e somente um satisfaz a exigncia que seja cara).Segundo o mesmo raciocnio, teremos:P(coroa)=(1/2)Finalmente, aplicando a equao da Probabilidade Binomial, teremos:P(de s eventos sucesso)=[CombinaoN, S]x [P(sucesso)S] x [P(fracasso)F] P(de 2 caras)=(C4,2) x [P(cara)2] x [P(coroa)2]www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 3. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 34! 4 3 2!Da:C 4, 2 = ==6 2!.2! 2!.2!1 1 3E: P(de 2 caras)= 6 x [(1/2)2] x [(1/2)2] = 6 =4 4 8Chegamos a:P(de 2 caras) = 3/8 = 37,5% Resposta!03.(TFC 1995) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas : a) 3/8b) 1/2 c) 6/8d) 8/6e) 8/3Sol.: O evento o nascimento de uma criana. Ora, para esse evento s h dois resultadospossveis: ou ser menino ou ser menina. Alm disso, um resultado exclui o outro. Observemque o enunciado est desconsiderando a possibilidade de gmeos. Assim, se for um menino porque no foi uma menina, e vice-versa. (Resultados excludentes!)Por fim, o evento se repetir por quatro vezes, e a questo pergunta pela probabilidadede o resultado nascer um menino se repita por exatamente duas vezes. Obviamente, senascem exatamente dois meninos entre as quatro crianas, porque as outras duas crianasso duas meninas. Como podemos verificar, esse enunciado traz todas as caractersticas de uma questode Probabilidade Binomial. Ficou entendido?Vamos encontrar os elementos que lanaremos na frmula da Probabilidade Binomial.Como so quatro crianas, ento N=4.A questo pede exatamente dois meninos, ento podemos considerar que menino oevento sucesso, e S=2.Conseqentemente, menina o evento fracasso, e F=2. Certo? Pois bem! Sabendo disso, nosso prximo passo ser calcular duas probabilidades: a deocorrncia de um evento sucesso, e a de ocorrncia de um evento fracasso! Faremos: P(menino)=?Ora, se vai nascer uma criana, ento so dois os resultados possveis! Queremos que seja menino. Quantos resultados satisfazem essa exigncia? Somenteum, claro! Da, teremos: P(menino)=(1/2)Com isso, j encontramos a probabilidade do evento sucesso!Resta-nos calcular a probabilidade do outro resultado. Teremos: P(menina)=?Seguindo o mesmssimo raciocnio acima, encontramos que: P(menina)=(1/2)Finalmente, aplicando a equao da Probabilidade Binomial, teremos:P(de s eventos sucesso)=[Combinao N, S]x [P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 4. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO4 P(de 2 meninos)=(C4,2) x [P(menino)2] x [P(menina)2] 4! 4 3 2!Da: C 4, 2 = ==62!.2! 2!.2!1 1 3E:P(de 2 caras)= 6 x [(1/2)2] x [(1/2)2] = 6 =4 4 8Chegamos a: P(de 2 caras) = 3/8 Resposta!04.(AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade so selecionadas, ao acaso e com reposio. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado :a) (0,1)7 (0,9)3b) (0,1)3 (0,9)7c) 120 (0,1)7 (0,9)3d) 120 (0,1) (0,9)7e) 120 (0,1)7 (0,9)Sol.: O evento pesquisar se uma pessoa possui um carro importado. Ele se repetir por dezvezes, pois dez pessoas foram selecionadas. Os resultados possveis para esse evento so apenas dois: possui carro importadoou no possui carro importado. E como um a negao do outro, claro que soresultados excludentes!Finalmente, a questo pergunta pela probabilidade de que exatamente 7 das 10pessoas selecionadas possuam carro importado.Novamente, aqui, esto presentes todas as caractersticas de uma questo deProbabilidade Binomial.Vamos encontrar os elementos que lanaremos na frmula da Probabilidade Binomial!Como dez pessoas foram selecionadas para ver se tem carro importado, ento N=10. A questo pede exatamente sete resultados possui carro importado, entopodemos considerar que possui carro importado o evento sucesso, e S=7.Conseqentemente, no possui carro importado o evento fracasso, e F=3.Certo?Da, calcularemos a probabilidade de um evento sucesso e a de um evento fracasso.Teremos: P(possui carro importado) = (10%) = 0,10Pois, foi informado no enunciado da questo que 10% das pessoas (10 em cada 100pessoas) possuem carro importado.Como um evento a negao do outro, temos a seguinte relao entre eles: P(no possuir carro importado) + (possuir carro importado) = 1Da, P(no possuir carro importado) = 1 0,10 = 0,90www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 5. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 5Finalmente, aplicando a equao da Probabilidade Binomial, teremos:P(de s eventos sucesso)=[CombinaoN, S]x [P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]P(de 7 importados)=(C10,7)x[P(possui carro importado)2]x[P(no possui carro importado)2] 10! 10 9 8 7!Da: C10,7 = = = 120 7!.3!7!.6E: P(de 7 importados)= 120 x [(0,10)7] x [(0,90)3]Chegamos a: P(de 7 importados) = 120 (0,1)7 (0,9)3Resposta!05. (MPU 2004.2 ESAF) Maria ganhou de Joo nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e trs delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de jias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com Joo, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jias. Ela v, ento, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informaes, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de Joo igual aa) 1/3.d) 4/5.b) 1/5.e) 3/5.c) 9/20.Sol.:Temos as seguintes informaes retiradas do enunciado:Maria ganhou de Joo 9 pulseiras:4 de prata e 5 de ouroMaria ganhou de Pedro 11 pulseiras: 8 de prata e 3 de ouroTotal de pulseiras = 20 (sendo 12 de prata e 8 de ouro) A questo solicita: Qual a probabilidade de que a pulseira de prata que Mariaretirou seja uma das pulseiras que ganhou de Joo? Mas observe que foi dada uma informao que se deve levar em considerao noclculo da probabilidade solicitada: Ela v, ento, que retirou uma pulseira de prata. Compondo a probabilidade solicitada com o fato dado, formamos a seguinte pergunta aqual buscaremos a resposta: Qual a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de Joo, dado que ela retirou uma pulseira de prata?Lembram como se chama essa probabilidade acima? claro que a conhecida e bemsolicitada probabilidade condicional!Antes de passarmos para a frmula da probabilidade condicional, vamos fazer umanotao mais simplificada da probabilidade requerida acima: P(a pulseira seja uma das que ganhou de Joo dada que de prata) = ?A frmula da probabilidade condicional dada por:P(A dado B) = P(A e B)P(B)Assim teremos que calcular:www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 6 P(a pulseira seja uma das que ganhou de Joo e seja de prata) = ?P(seja de prata)Passemos ao clculo das probabilidades que esto no numerador e no denominador!Clculo da probabilidade do numerador:Pela definio fundamental de probabilidade (n de casos favorveis/n de casos possveis)vamos calcular a probabilidade:P(a pulseira seja uma das que ganhou de Joo e seja de prata) = 4 de prata que Joo deu 20 pulseiras no totalP(a pulseira seja uma das que ganhou de Joo e seja de prata) = 4/20 = 0,2Clculo da probabilidade do denominador:P(seja de prata) =12 de prata= 12/20 = 0,6 20 pulseiras no totalCom estes resultados podemos calcular a probabilidade condicional que pedida naquesto. P(a pulseira seja uma das que ganhou de Joo e seja de prata) = 0,2 = 1/3 (resposta!) P(seja de prata)0,606. (MPU 2004.2 ESAF) Lus prisioneiro do temvel imperador Ivan. Ivan coloca Lus frente de trs portas e lhe diz: Atrs de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrs de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles est. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que no escolheste, atrs da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. A, se quiseres, poders mudar a tua escolha. Lus, ento, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas no-escolhidas por Lus e lhe mostra um tigre. Lus, aps ver a fera, e aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: Temvel imperador, no quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu no havia escolhido, aquela que no abriste. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Lus tenha escolhido a porta que conduz barra de ouro igual aa) 1/2.c) 2/3.e) 1.b) 1/3.d) 2/5.Soluo:Vamos designar as portas por: P1, P2 e P3. E vamos fazer a seguinte considerao:atrs de P1 tenha a barra de ouro,atrs de P2 tenha um tigre eatrs de P3 tenha um tigre.H 3 possibilidades na 1 escolha da porta por Lus: ou P1 ou P2 ou P3, comprobabilidades de escolha de 1/3 para cada porta.Vamos analisar as situaes possveis: Se a primeira escolha for a porta P1 (a porta do ouro), ento o imperador poder abrir aporta P2 ou P3 (ambas do tigre), e assim a segunda escolha de Lus poder ser ou a porta P3ou a porta P2. Desta forma, Lus no encontrar o ouro.www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 7Se a primeira porta escolhida for a porta P2 (a porta de um dos tigres), ento o imperadorabrir a porta P3 (a do outro tigre) e assim a segunda escolha de Lus ser a porta P1 (doouro). Desta forma, Lus encontrar o ouro.Se a primeira porta escolhida for a porta P3 (a porta de um dos tigres), ento o imperadorabrir a porta P2 (a do outro tigre) e assim a segunda escolha de Lus ser a porta P1 (doouro). Desta forma, Lus encontrar o ouro.Pela anlise acima, Lus s descobrir a porta do ouro, se a primeira escolha for a porta dotigre (duas possibilidades em trs), ou seja, a probabilidade de 2/3 (resposta!).Para um melhor entendimento da soluo da questo, as situaes supracitadas estorepresentadas no diagrama de rvore abaixo: 1 Escolha2 Escolhade Lus de LusP2(Lus escolhe a porta do tigre) 1/2P11/2 P3(Lus escolhe a porta do tigre)1/31/31P2P1(Lus escolhe a porta do ouro) 1/3 x 1 = 1/31/3 1P3P1(Lus escolhe a porta do ouro) 1/3 x 1 = 1/3Da, a probabilidade de Lus escolher a porta do ouro, com estas duas chances de escolha : 1/3 + 1/3 = 2/3 (resposta!)Agora, sim, falemos sobre Matrizes!# Conceito: Dito da forma mais simples possvel, uma Matriz nada mais que uma tabela, queserve para a organizao de dados numricos.Esta tabela ser limitada por colchetes, dentro dos quais estaro dispostos os valoresnumricos. Assim, teremos que so exemplos de Matrizes:3 5 3 1a)2 -31b) 2 c) 34 71 4 2 3 A princpio, precisamos saber que todas as Matrizes tm uma dimenso! E esta serdefinida da seguinte forma:Dimenso da matriz = Nmero de linhas x Nmero de colunas.Assim, diremos que a matriz do exemplo (a) acima: www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 8. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 8 3 5 3a) 2 -31 uma Matriz 3x3 (l-se matriz trs por trs). 1 4 2 Significa isso que ela tem trs linhas e trs colunas! imprescindvel que guardemos essa ordem: linhas e colunas. Para efeitosmnemnicos, podemos gravar a palavra LI-CO, designando a ordem linha e coluna. Dependendo de qual seja a dimenso de uma matriz, ela poder receber determinadasnomenclaturas. Alguns nomes dados a certas matrizes so os seguintes: Matriz Quadrada: aquela que tem o mesmo nmero de linhas e de colunas. Vejamos: 3 5 3a) 2 -31 uma Matriz 3x3, por isso, chamada de Matriz Quadrada de Ordem 3. 1 4 2Ou ainda: Matriz Quadrada de 3 Ordem, ou simplesmente Matriz de 3 Ordem. Jficar subentendido que estamos falando de uma Matriz Quadrada, formada por trs linhas etrs colunas. Outros exemplos de Matrizes Quadradas so os seguintes: 5-3b) uma Matriz Quadrada de 2 Ordem, ou Matriz de 2 Ordem. -24 Matriz Linha: aquela, como o prprio nome sugere, formada por apenas uma linha!Vejamos alguns exemplos:a) 3 4 7 uma Matriz Linha, de dimenso 1x3, ou seja, tem 1 linha e 3 colunas.b) 3 5 uma Matriz Linha, de dimenso 1x2, ou seja, tem uma linha e duas colunas. Matriz Coluna: aquela que apresenta uma nica coluna. Por exemplo: 3a) 5 uma Matriz Coluna, de dimenso 3x1, ou seja, formada por 3 linhas e uma coluna. 2 Matriz Nula: aquela cujos elementos so todos iguais a zero! Exemplos: 0 0a) uma Matriz Nula de 2 Ordem. 0 0 www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 9. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO9 0 0 0b) uma Matriz Nula de dimenso 2x3, ou seja, duas linhas e trs colunas. 0 0 0# Ainda Sobre a Matriz Quadrada:Convm sabermos que toda matriz quadrada tem duas diagonais, que sero ditasdiagonal principal e diagonal secundria. Pelos desenhos abaixo, aprenderemos a reconhecercada uma delas. Vejamos: 3 5 3 2 -31 1 4 2 Diagonal Principal 3 5 3 2 -31 1 4 2 Diagonal SecundriaA diagonal principal, portanto, comea do elemento esquerda na primeira linha, e vaidescendo para o sentido da direita. O inverso ocorre com a diagonal secundria. fundamental que tenhamos em mente os nomes dessas duas diagonais. Somenteratificando: s falaremos nelas (nas diagonais) quando estivermos trabalhando com MatrizesQuadradas! Certo?Pois bem! J estamos prontos para conhecer outros tipos especficos de Matrizes.Vejamos: Matriz Identidade: aquela cujos elementos da diagonal principal so todos iguais a 1, eos demais elementos da matriz, iguais a 0 (zero). Vejamos: 1 0a) uma Matriz Identidade de 2 Ordem, designada por I2. 0 1 1 0 0b) 0 1 0 uma Matriz Identidade de 3 Ordem, designada por I3. 0 0 1 Mais adiante, quando estudarmos operaes com matrizes, veremos a importncia dese reconhecer uma matriz identidade! www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 10. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO10Matriz Diagonal: aquela matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal sodiferentes de zero, e todos os demais elementos so iguais a zero. Vejamos alguns exemplos:3 02 00 30 0 00 20 30 02 0 0 0 0 400 1 000 0 2 Matriz Triangular: aquela matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal sotodos iguais a 1 (como na matriz identidade), e cujos elementos de um dos tringulos criadospela diagonal principal so iguais a zero. Vejamos:1 3a) uma Matriz Triangular de 2 Ordem.0 11 0 0b)3 1 0 uma Matriz Triangular de 3 Ordem.2 5 1# Elementos da Matriz e Lei de Formao de uma Matriz: Cada elemento de uma matriz mora em um endereo certo! Ou seja, cada posio damatriz pode ser designada por um endereo. muito fcil aprender a localizar a posio de umelemento na Matriz. Por exemplo, se estamos trabalhando com a matriz A (em geral, matrizes sochamadas por letras maisculas), de dimenso 3x3, seus elementos sero os seguintes:a11 a12 a13 A= a21 a22 a23a31 a32 a33 Observem que cada elemento (designado por uma letra minscula) acompanhado dedois ndices (dois nmeros): o primeiro deles indicar a linha a qual pertence o elemento; asegunda, a coluna.Assim, se temos o elemento a11, este ser o que ocupa a primeira linha e a primeiracoluna da matriz. Por sua vez, o elemento a32 ser aquele que ocupa a terceira linha e asegunda coluna da matriz. Ficou entendido? Nada mais fcil. Precisaremos conhecer essa nomenclatura para acertarmos um tipo de questo muitofreqente em provas de raciocnio lgico. Ora, muitas vezes as questes j trazem as matrizesprontas, com seus respectivos valores numricos. Outras vezes, a questo apresenta apenasuma lei de formao da matriz. Neste caso, cabe a ns construirmos a matriz, obedecendoquela lei.Como isso? Vejamos alguns exemplos. www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 11. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO11Exemplo 1) Se a questo trouxer, em seu enunciado, a matriz quadrada de 3 ordem X=xi,j , tal que xi,j=(i+j)2 O que significa isso? Significa que teremos que calcular elemento por elemento (xi,j) damatriz X, sempre obedecendo essa relao apresentada.Ora, se a questo disse que se trata de uma matriz quadrada de 3 ordem, seuselementos sero os seguintes:x11x12 x13 X= x21 x22x23x31x32 x33Observem que os ndices i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna doelemento que estar sendo calculado. Assim, teremos que: x11= (1+1)2 = 22 = 4 x12= (1+2)2 = 32 = 9 x13= (1+3)2 = 42 = 16 x21= (2+1)2 = 32 = 9 x22= (2+2)2 = 42 = 16 x23= (2+3)2 = 52 = 25 x31= (3+1)2 = 42 = 16 x32= (3+2)2 = 52 = 25 x33= (3+3)2 = 62 = 36E agora sim, acabamos de compor nossa matriz X, que a seguinte:4 916X=9162516 2536 De posse dessa matriz, podemos fazer com ela tudo o que a questo vier a solicitar.Som-la com outra, multiplic-la por outra (ou por uma constante), encontrar sua matriztransposta, e mais uma poro de outras coisas. S no sairamos do canto, se nosoubssemos constru-la.Exemplo 2) Construir a matriz quadrada de 2 ordem Y=yi,j , tal que yi,j=(i)j.Sendo uma matriz de 2 ordem, seus elementos sero os seguintes:y11y12Y=y21y22Obedecendo lei de construo desta matriz, teremos:www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO12 y11= (1)1 = 1 y12= (1)2 = 1 y21= (2)1 = 2 y22= (2)2 = 4 11Teremos, pois, que a matriz Y ser a seguinte: Y = 24# Operaes com Matrizes:Aprenderemos agora alguns tipos de operaes que podem ser realizadas entre duas oumais matrizes.Igualdade de Matrizes: Duas matrizes seroditas iguais quando apresentarem todos os elementoscorrespondentes iguais.Exemplo 1) 5 38 5 3 8 4 21 = 4 2 1 7 6276 2Se duas matrizes so ditas iguais, ento iguais so os seus elementos correspondentes!S isso e mais nada!Adio de Matrizes:Trata-se da operao mais fcil. A primeira coisa a ser dita a seguinte: s possvelsomar matrizes de mesma dimenso! E mais: o resultado da soma entre matrizes ser sempreuma outra matriz, de mesma dimenso daquelas que foram somadas!Com isso, j matamos a seguinte charada: suponhamos que um enunciado diga que, aosomarmos as matrizes A e B, tal soma resultar numa matriz Z, de 2 ordem. Ora, com isso,saberemos imediatamente que as matrizes A e B so tambm matrizes quadradas de 2ordem! E vejam que isso no foi dito expressamente pela questo! Essa informao estava nasentrelinhas! Entendido? Para somarmos duas matrizes, s teremos que somar os elementos que estejam nasposies correspondentes! Vejamos um exemplo:Sejam as matrizes A e B, tais que: 2 54 3A= e B= 3 82 1Qual ser a Matriz S resultante da soma A+B?Teremos:www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 13. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO1325 4 36 8+ =38 2 159 As cores servem para ajudar. Vejam: o elemento que ocupa a posio 11 (primeiralinha e primeira coluna) na matriz A ser somado exatamente ao elemento correspondente damatriz B. E assim por diante! O resultado da soma ocupar a mesma posio dos elementossomados. Ou seja: s11 = a11 + b11 s12 = a12 + b12 s21 = a21 + b21 s22 = a22 + b22Enfim, no h segredo algum na soma de matrizes! Vejamos mais alguns exemplos:Exemplo 1) Somar as matrizes A e B: -5 3 7-6A= e B= -8 -24-3Teremos:-5 37-6 (-5+7)(3-6) 2-3+ = =-8-2 4 -3 (-8+4) (-2-3) -4 -5Exemplo 2) Somar as matrizes A e B:A= -9 5e B= 4 -8Teremos: -9 5+4 -8 = [-5 -3 ]Pois bem! S com o que aprendemos at aqui, j temos condies de resolver algumasquestes de provas recentes de Raciocnio Lgico, elaboradas pela Esaf. Seno, vejamos!# Exerccios Resolvidos:01.(AFC-SFC 2001) A matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que aij = i2 +j2 e que bij = 2ij, ento: a soma dos elementos s31 e s13 igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 14. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO14Sol.: Comecemos pela seguinte anlise: o enunciado diz que a matriz S a que resulta dasoma de duas outras matrizes, e que se trata de uma matriz quadrada de terceira ordem. Da,concluiremos que as duas matrizes que esto sendo somadas so igualmente matrizesquadradas de terceira ordem! Ora, a questo no nos deu as matrizes A e B j construdas. Em vez disso, forneceu-nos as respectivas leis de formao de uma e de outra. Teramos, pois, a princpio, ter queconstruir estas duas matrizes, para depois som-las. Ocorre que, numa leitura mais atenta do enunciado, percebemos que a respostaprocurada diz respeito apenas a dois elementos da matriz soma, quais sejam, s31 e s13. Assim,nem ser necessrio construir toda a matriz A ou toda a matriz B. Claro que no!Apenas nos lembraremos que:S13 = A13 + B13e S31 = A31 + B31 Da, encontraremos os elementos correspondentes s posies 13 e 31 nas duasmatrizes que esto sendo somadas. Teremos:A13 = (1)2+(3)2A13 = 1 + 9A13 = 10A31 = (3)2+(1)2A31 = 9 + 1A31 = 10B13 = 2x1x3 = 6B31 = 2x3x1 = 6Com isso, chegaremos a:S13 = A13 + B13S13 = 10 + 6S13=16 eS31 = A31 + B31S31 = 10 + 6S31=16Finalmente, chegaremos ao que nos pede a questo, da seguinte forma:S13 + S31 = 16 + 16 = 32 Resposta!02. (Tcnico MPU Administrativa 2004 ESAF) A matriz S = sij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i2 +j2 e que bij = ij, ento a razo entre os elementos s22 e s12 determinante da matriz S igual aa) 1.b) 3.c) 4.d) 2.e) 6.Sol.: Observem que esta questo foi de 2004, enquanto a anterior foi de 2001. Mas sopraticamente iguais! Quase nenhuma diferena entre as duas!Seguindo, pois, idntico raciocnio, teremos que:S12 = A12 + B12e S22 = A22 + B22 Da, encontraremos os elementos correspondentes s posies 13 e 31 nas duasmatrizes que esto sendo somadas. Teremos:A12 = (1)2+(2)2A12 = 1 + 4A12 = 522A22 = (2) +(2) A22 = 4 + 4A22 = 82B12 = 1 = 1B22 = 22 = 4Com isso, chegaremos a:www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 15. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 15 S12 = A12 + B12S12 = 5 + 1S12= 6 e S22 = A22 + B22S22 = 8 + 4S22=12 Finalmente, chegaremos ao que nos pede a questo, da seguinte forma: S22 / S12 = 12 / 6 = 2 Resposta! Produto de uma Constante por uma Matriz:Este tipo de operao tambm no tem nenhum segredo. Apenas multiplicaremos aconstante por cada um dos elementos da matriz. E chegaremos matriz resultante! Vejamos um exemplo:4 3 12 9 3 x=2 16 3 Compreendido? Fcil, no? Faclimo!Produto entre Matrizes: Aqui se costuma fazer alguma confuso! Embora seja igualmente muito fcil semultiplicar duas matrizes. Vamos aprender com calma.Antes de qualquer coisa, convm sabermos que h uma exigncia para que se possamultiplicar duas matrizes. Ou seja, no so quaisquer duas matrizes que podem sermultiplicadas! Para que seja possvel se efetuar o produto de duas matrizes, preciso que severifique o seguinte: que o nmero de linhas da primeira matriz seja igual ao nmerode colunas da segunda matriz. Se essa exigncia se verificar, ento o produto possvel. Caso contrrio, nada feito! Outra coisa importante: ao se multiplicar duas matrizes, qual ser a dimenso damatriz resultante? Aprenderemos da seguinte forma: suponhamos que pretendemosmultiplicar a matriz A, de dimenso 3x2, com a matriz B, de dimenso 2x5. Teremos, ento, que analisar os valores das dimenses das duas matrizes, da seguinteforma:(A3x2) x(B2x5)(3x2) x(2x5) meiosextremos Funciona assim: para que o produto de duas matrizes seja possvel, compararemos asdimenses dos meios. Se forem iguais, ento diremos que possvel, sim, realizar esseproduto! Se os meios, ao contrrio, fossem diferentes, j nem poderamos multiplicar asmatrizes!Uma vez constatado que o produto possvel, verificaremos os extremos: e a nstemos qual ser a dimenso da matriz produto!www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 16. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO16Neste nosso exemplo acima, teremos que a matriz resultante do produto entre A e Bser uma matriz de dimenso 3x5.Compreendido? Reprisando: os meios dizem se possvel o produto; os extremosdizem a dimenso da matriz resultado do produto.Pois bem! Precisamos agora aprender como se faz essa multiplicao. Tomemos oexemplo seguinte:2 1 1 2 3Exemplo 1) Multipliquemos (se possvel) as duas matrizes A = 3 2 e B = .5 43 1 2Sol.: O se possvel do enunciado serve para lembrarmos de que nem sempre poderemosmultiplicar duas matrizes. preciso que se verifique uma exigncia, j nossa conhecida. Da,comearemos fazendo justamente isso: averiguando a possibilidade do produto, e qual seria adimenso da matriz resultante. Teremos: (A3x2)x (B2x3) (3x2) x (2x3) meios extremosConcluso: o produto possvel, e a matriz resultante ter dimenso 3x3.Ou seja, teremos:2 1 P11P12P133 2 x 1 2 3 = 3 1 2 P21P22P235 4 P31P32P33 Usamos as designaes dos elementos da matriz produto todas em letras maisculas,para podermos enxergar melhor! Os ndices desses elementos da matriz produto tero uma interpretao especial.Temos que saber o seguinte: para achar um elemento da matriz produto, estaremos sempremultiplicando uma linha da primeira matriz por uma coluna da segunda matriz.Sempre assim! Da, na hora de calcular o valor do elemento P11, faremos o produto entre oselementos da 1 linha da 1 matriz, com os elementos da 1 coluna da 2 matriz. Ou seja, osndices desse elemento P11 (da matriz produto) significam o seguinte: P11 1 linha da 1 matriz 1 coluna da 2 matrizwww.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 17. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO17Assim, na hora de calcular o elemento P11, faremos: 21 1 2 3 32 x P11=(2x1)+(1x3)=2+3=5 3 12 54 Observem que, na hora de fazer esse produto, multiplicamos o (1 elemento da linhapelo 1 elemento da coluna), e somamos com o produto do (2 elemento da linha pelo 2elemento da coluna).Vamos adiante, para fixarmos melhor esse procedimento do produto de matrizes.Encontremos agora o elemento P12. Faremos: P12 1 linha da 1 matriz2 coluna da 2 matriz 21 1 2 3 32 x P12=(2x2)+(1x1)=4+1=5 3 12 54Calculemos agora o P13. Teremos: P13 1 linha da 1 matriz3 coluna da 2 matriz 21 1 2 3 32 x P13=(2x3)+(1x2)=6+2=8 3 1 2 54Calculemos o P21. Teremos: P21 2 linha da 1 matriz1 coluna da 2 matrizwww.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 18. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO18 211 2 3 32 xP21=(3x1)+(2x3)=3+6=93 1 2 54 Calculemos o P22. Teremos: P22 2 linha da 1 matriz 2 coluna da 2 matriz 311 2 3 32 xP21=(3x2)+(2x1)=6+2=83 1 2 54 Calculemos o P23. Teremos: P23 2 linha da 1 matriz 3 coluna da 2 matriz 411 2 3 32 xP21=(3x3)+(2x2)=9+4=133 1 2 54 Calculemos o P31. Teremos: P31 3 linha da 1 matriz 1 coluna da 2 matriz 511 2 3 32 xP21=(5x1)+(4x3)=5+12=173 1 2 54www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 19. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO19Calculemos o P32. Teremos: P32 3 linha da 1 matriz2 coluna da 2 matriz 6112 3 32 x P21=(5x2)+(4x1)=10+4=1431 2 54Calculemos, finalmente, o P33. Teremos: P33 3 linha da 1 matriz3 coluna da 2 matriz 7112 3 32 x P21=(5x3)+(4x2)=15+8=2331 2 54 Com isso, chegamos ao nosso resultado final, ou seja, matriz produto P, que aseguinte:5 5 8P= 9 8 13 17 14 23 Pois bem! Ser sempre esse o caminho utilizado para se fazer o produto de duasmatrizes! Com um pouquinho de calma e ateno, logo estar assimilado. Agora que j sabemos multiplicar matrizes, vejamos o que ocorre se uma das matrizesque estiverem sendo multiplicadas for a matriz identidade. Faamos um exemplo:1 21 0Exemplo) Multiplique as matrizes A= e B= 0 1 .3 4 Sol.: Observem que o enunciado no diz expressamente que a matriz B a a matrizidentidade de 2 ordem! Isso voc j tem que saber! Da, o primeiro passo ser averiguar se mesmo possvel fazer esse produto e, em caso afirmativo, qual ser a dimenso da matrizproduto. Faremos:www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 20. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 20 (A2x2) x(B2x2)(2x2) x (2x2)meiosextremos Concluso: o produto possvel, e a matriz resultante ter dimenso 2x2. Passemos, agora, ao clculo de cada elemento da matriz P (Produto). Teremos: P111 linha da 1 matriz 1 coluna da 2 matriz1210xP11=(1x1)+(2x0)=1+0=13401 P121 linha da 1 matriz 2 coluna da 2 matriz1210xP12=(1x0)+(2x1)=0+2=23401 P212 linha da 1 matriz 1 coluna da 2 matriz1210xP21=(3x1)+(4x0)=3+0=33 4 01www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 21. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO21P22 2 linha da 1 matriz 2 coluna da 2 matriz 1210 xP22=(3x0)+(4x1)=0+4=4 34011 2E chegamos finalmente ao seguinte: P= .3 4Ora, se observarmos bem, veremos que a matriz produto P exatamente igual matrizA. No foi coincidncia! Com esse exemplo, concluiremos que sempre que multiplicarmosuma matriz A qualquer pela matriz identidade, o resultado ser a prpria matriz A.Essa informao pode ser til na hora de resolver alguma questo de prova, comoveremos daqui a pouco!# Matriz Transposta: Trata-se de um conceito muito visado pelas elaboradoras! E tambm um conceito muitosimples. Se temos uma matriz A qualquer, diremos que a matriz transposta de A, designadapor At, ser aquela que resultar de uma transposio entre linhas e colunas da matriz original. Dito de uma forma mais fcil: para chegarmos matriz transposta, tomaremos a matrizoriginal e, nesta ltima, quem linha vai virar coluna! S isso!Vejamos por meio de alguns exemplos:1 2Exemplo) Encontre a matriz transposta da matriz A= .3 4Sol.:1 2Muito simples! Quem a primeira linha da matriz A? Vejamos: A= 3 4Pois bem! Vai virar primeira coluna da transposta! Teremos:1 At = 21 2Agora, quem a segunda linha da matriz A? Vejamos: A= 3 4Vai virar segunda coluna da matriz transposta! Teremos:3 At = 4www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 22. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 22Enfim, apenas isso: na matriz transposta, quem era linha virou coluna! E s!Vejamos:1 2t1 3 Se A= , ento, a matriz A = 2 43 4 Passemos a mais uma questo de prova, que rene alguns dos conceitos j aprendidosat aqui.# Questo Resolvida:(ESAF/AFTN/98) - Sejam as matrizes0 1 3 / 5 7 / 8 0 0 A = ,B=4 / 7 25 / 4 , C = 3 / 7 29 / 41 0 e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se amatriz Y dada por Y = (AB) + C, ento o valor de x :a) - 7/8b) 4/7c) 0d) 1e) 2Sol.:Essa caiu no Fiscal da Receita de 1998. No questo difcil. Vejamos.O enunciado pede alguma coisa relacionada com elementos de uma matriz Y, e afirmaque essa matriz Y dada por Y=(A.B)+C. Ora, seria bem trabalhoso termos que fazer o produto entre as matrizes A e B, nofosse pelo fato de a matriz A ser a prpria matriz identidade! Todos viram isso?Claro! E assim sendo, j sabemos que esse produto desnecessrio, pois acabamos deaprender que o resultado dessa multiplicao ser a prpria matriz B.Da, conclumos que: Y=B+C.Precisamos agora somar essas matrizes B e C. E isso faclimo. Teremos: 3 / 5 7 / 8 0 0 3 / 5 7 / 8 3 / 5 7 / 8Y= + 3 / 7 29 / 4 = 7 / 7 4 / 4 = 1 4 / 7 25 / 4 1 Pois bem! Dispondo agora da matriz Y, precisamos encontrar a sua transposta.Teremos: 3/ 5 1Yt = 7 / 8 1 Finalmente, pede o enunciado que somemos os elementos da segunda coluna dessamatriz transposta que acabamos de encontrar. Teremos: 3/ 5 1Yt = 1+(-1) = 0 Resposta! 7 / 8 1www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 23. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO23Restam ainda alguns conceitos de matrizes, os quais devemos conhecer para concluirnosso estudo. Todavia, para chegarmos a estud-los, convm antes falarmos acerca dosDeterminantes!# Determinantes:Um determinante , por assim dizer, como um resultado de uma matriz quadrada! Observem que s h que se falar em determinante se estivermos trabalhando com umamatriz quadrada!Precisamos, pois, conhecer os mtodos para clculo dos determinantes. Faremos isso,progredindo com as respectivas dimenses das matrizes quadradas.Determinante de uma Matriz Quadrada de 1 Ordem: Se a matriz quadrada de 1 ordem, significa que ela tem apenas uma linha e umacoluna. Trata-se de uma matriz de dimenso 1x1. Ora, em tal matriz s h um nicoelemento!E seu determinante ser o prprio elemento que compe a matriz!Assim, teremos: Se A=[2], ento det A=2 Se B=[-5], ento det B=-5Determinante de uma Matriz Quadrada de 2 Ordem: Ser calculado em dois passos. No primeiro passo, multiplicaremos os elementos dadiagonal principal e os elementos da diagonal secundria. No segundo, subtrairemos essesresultados do primeiro passo: (produto da diagonal principal menos produto da diagonalsecundria). realmente muito fcil. Vejamos alguns exemplos:3 3Exemplo) Calcule o determinante da matriz A= 1 2Sol.:Reconhecendo as diagonais e fazendo o produto de seus elementos, teremos: 3 3 1 2 Diag. Principal: 3x2=6 3 3 12Diag. Secundria: 3x1=3Da, teremos que: det A = (6) (3) = 3www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 24. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO24 1 2Exemplo) Calcule o determinante da matriz B= . 3 4Sol.: 1 2Faremos: 3 4 Da, teremos que: det B = 4 6 = -2(2x3)=6 (1x4)=4 1 3Exemplo) Calcule o determinante da matriz C= . 4 5Sol.: 1 3Faremos: 4 5Da, teremos que:det C=-5(-12)=-5+12=7 (-3x4)=-12(1x-5)=-5Determinante de uma Matriz Quadrada de 3 Ordem:H vrios mtodos que podem ser utilizados neste caso. Apresentaremos um que nosparece o mais simples. Seguiremos os passos abaixo, mostrados nos exemplos abaixo.Vejamos: 1 3 2 Exemplo) Calcular o determinante da matriz A= 2 2 1 1 1 2 Sol.:1 Passo) Tomaremos os elementos extremos da primeira linha e os projetaremospara baixo, colocando-os numa quarta linha fictcia. Da seguinte forma: 1 3 2 2 2 1 1 12 12 2 Passo) Faremos o mesmo com os elementos extremos da terceira linha, s queprojetando-os para cima, para uma fictcia nova primeira linha! Assim: 1 2 1 3 2 2 2 1 1 12 12www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 25. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 25 Com esses dois passos iniciais, como se passssemos agora a trabalhar com umamatriz de cinco linhas (embora a primeira nova linha e a ltima nova linha sejam incompletas)!Vejamos:1 21 3 22 2 11 1 21 2Pois bem! Com isso, olhando atentamente, seremos capazes de identificar trsdiagonais, no mesmo sentido da diagonal principal. Vejamos:1 21 3 22 2 11 1 21 2 3 Passo) Calcularemos os produtos dos elementos de cada uma das trs diagonaisidentificadas acima, e somaremos esses resultados. Teremos:1 21 3 22 2 11 1 21x3x1=31 21x2x2=4 2x1x2=4Soma = 11 4 Passo) Identificaremos agora as trs diagonais, s que no sentido da diagonalsecundria. Da, uma vez identificadas, encontraremos os produtos de cada uma delas, e ossomaremos.Assim, teremos:www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 26. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO2612 1 32 2 2 12x3x2=1211 22x2x1=4 1 21x1x1=1Soma = 17 5 Passo) Fazer a diferena entre os resultados encontrados no dois passosanteriores, ou seja, a diferena entre as diagonais principais e as diagonais secundrias.Teremos:det A = 11 17 = -6 Percebamos que, a cada vez que aumenta a dimenso da matriz quadrada, piora oclculo do determinante. Assim, parece-nos realmente invivel, na hora de uma prova, queseja exigido o clculo de um determinante de uma matriz de 4 ordem!Todavia, h algo importante que precisamos saber. Vejamos:# IMPORTANTE: Se estivermos trabalhando com uma matriz diagonal ou com uma matriztriangular, o seu determinante ser calculado como o produto doselementos da diagonal principal.Esses conceitos matriz diagonal e matriz triangular foram vistos mais no incio destaaula de hoje. Quem estiver meio esquecido, s dar uma conferida! Vejamos algunsexemplos:1 0 0 2 0 det = 2 x 3 = 6det 0 2 0 =1x2x3=6 0 3 0 0 3 2 4 1 0 0 det = 2 x 3 = 6 0 3det 3 2 0 =1x2x3=6 4 5 3 Com essa informao, somos capazes de resolver a seguinte questo, cobrada muitorecentemente em concurso elaborado pela Esaf.Vejamos:www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 27. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO27 2 2 b 0 0 a a a(Tcnico MPU/2004-2) O determinante da matriz X= , onde a e b so 0 0 5 b 0 0 0 6 inteiros positivos tais que a>1 e b>1, : a) -60a b) 0 c) 60a d) 20ba2 e) a(b-60)Sol.:Ora, tudo o que precisvamos era ter percebido que essa matriz X fornecida peloenunciado uma matriz triangular. Vejamos novamente: 2 2 b 0 0 a a aX= 0 0 5 b 0 0 0 6 Com isso, teremos que o determinante da matriz ser igual ao produto dos elementosde sua diagonal principal.Ou seja: 2 2 b 0 0 a a aX= 0 0 5 b 0 0 0 6 det X = 2x(-a)x5x6 = -60aResposta!Resoluo em um minuto ou menos! Trs conceitos de matrizes ainda restam ser estudados por ns: matriz dos cofatores,matriz adjunta e matriz inversa! Temos tambm algumas propriedades de determinantes paracomentar. Mas esses tpicos faltantes ficaro mesmo para a prxima aula.Por hoje, j aprendemos (ou relembramos) muita coisa! Seguem as questes do Dever de Casa. importante, como sempre frisamos, quevocs faam o possvel para tentar resolver essas questes!Um forte abrao a todos! E fiquem com Deus!www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 28. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO 28Dever de Casa01. (TFC-97) Se A, B e C so matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e(4x2), ento a expresso [A . (B . C)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 121 2 2a 02. (TFC 1995) Dada as matrizes A = , B = e X = , assinale os valores de a0 1 1 b e b, de modo que AX=B a) a=0 e b=1 b) a=1 e b=0 c) a=0 e b=0 d) a=1 e b=1 e) a=0 e b=-103. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode serrepresentado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elementose localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, a matriz resultante da soma dasmatrizesA = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, ento oproduto dos elementos x31 e x13 igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 16904. (Tcnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Sejam as matrizes 1 4 1 3 4 5 A = 2 6 e B = 3 31 2 3 4 e seja xij o elemento genrico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto , a matriz X amatriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razo entre x31 e x12 igual aa) 2.b) 1/2.c) 3.d) 1/3.e) 1.05. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante iguala 5. O determinante da matriz 2A igual a:a) 5b) 10c) 20d) 40e) 80 www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos 29. CURSO ONLINE RACIOCNIO LGICO29 06. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer aquela que se obtm trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, ento o determinante do dobro de sua matriz transposta igual a:a) 2b) 1/2c) 4d) 8e) 1007. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante iguala 3. Sabendo-se que a matriz Z a transposta da matriz X, ento a matriz Y = 3Z temdeterminante igual aa) 1/3b) 3c) 9d) 27e) 81www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos