Aula 15

Valores Máximo e Mínimo, Teorema do Valor Extremo, Teorema de Fermat, Método do

Intervalo Fechado

Valores Máximo e Mínimo

Definição. Uma função tem máximo

absoluto (ou máximo global) em se

para todo em onde é o

domínio de O número é chamado

valor máximo de em .

Valores Máximo e Mínimo

Analogamente, tem mínimo absoluto

(ou mínimo global) em se

para todo em e o número é

denominado valor mínimo de em .

Os valores máximo e mínimo de são

chamados valores extremos de .

Ilustração

valor mínimo ( ), valor máximo ( )f a f d

Máximo e Mínimo Local

Definição. Uma função tem máximo local(ou máximo relativo) em se quando estiver nas proximidades de .Analogamente, tem um mínimo local(ou mínimo relativo) em sequando estiver próximo de .

Ilustração

( ) é o valor máximo local de em ( , )f b f a c( ) é o valor mínimo local de em ( , )f c f b d

Exemplo 1

assume seu valor máximo(local e absoluto) 1 um número infinito devezes, uma vez que e Da mesma forma,

é seu valor mínimo, onde é qualquernúmero inteiro.

cos2 1n n 1 cos 1 .x x

Exemplo 2

pois

é o valor mínimo absoluto (e local) de .

.x

valor mínimo 0,

nenhum máximo

Exemplo 3

Nenhum mínimo,

nenhum máximo

Exemplo 4

Gráfico

Exemplo 4

(1) 5 é um máximo local, enquanto ( 1) 37

é máximo absoluto que não é um máximo local, pois

ocorre em um extremo do intervalo.

f f

(0) 0 é mínimo local, e (3) 27 é tanto

um mínimo local como um mínimo absoluto.

f f

Observe que em 4, não tem um máximo local

nem um máximo absoluto.

x f

Teorema do Valor Extremo

Se for contínua em um intervalo fechado então assume um valor máximo

absoluto e um valor mínimo absoluto

em certos números e em

Ilustração

Observação

Uma função pode não possuir valoresextremos se for omitida uma das duashipóteses (continuidade ou intervalofechado) do Teorema do Valor Extremo.

Ilustração

Esta função tem um valor mínimo (2) 0,

mas não tem valor máximo.

f

Ilustração

Esta função contínua não tem nem máximo

nem mínimo.

Teorema de Fermat

Se tiver um máximo ou mínimo local em

e se existir, então

Ilustração

Exemplo 5

3

O fato de que (0) 0 significa simplesmente

que a curva tem uma reta tangente

horizontal em (0,0).

f

y x

Exemplo 6

tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0,

contudo, esse valor não pode ser encontrado

tomando ( ) 0, pois (0) não existe

.

f

f x f

Número Crítico

Definição: Um número crítico de uma

função é um número no domínio de

onde ou ou não existe.

Exemplo 7

Encontre os números críticos de

Solução

se isto é,

e não existe quando

os números críticos são e 0.

Reformulação do Teorema de Fermat

Se tiver um máximo ou mínimo local em

então é um número crítico de .

Observação

O método a seguir é útil para encontrar os

valores máximo e mínimo absolutos de uma

função contínua em um intervalo fechado Esse procedimento é chamado Método do Intervalo Fechado.

Método do Intervalo Fechado

1. Encontre os valores de nos númeroscríticos de em2. Encontre os valores de nasextremidades do intervalo.3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é ovalor máximo absoluto, ao passo que omenor desses valores é o valor mínimoabsoluto.

Exemplo 8

Encontre os valores máximo e mínimo

absolutos da função

Solução

se ou (são os únicos números críticos e estão nointervalo ). Note que

valor máximo absoluto

valor mínimo absoluto

Gráfico

Exemplo 9

Encontre os valores máximo e mínimo

absolutos da função

( ) 2sen , 0 2 .f x x x x

Solução

quando e isso ocorrequando ou (pontos críticos) Note que e

( ) 2senf x x x ( ) 1 2cosf x x ( ) 0f x

( / 3) 2sen 3 0,6848533 3 3

f

5 5 5(5 / 3) 2sen 3 6,968039

3 3 3f

(valor mínimo absoluto)

(valor máximo absoluto)

Gráfico

Exemplo 10

O telescópio espacial Hubble foi colocadoem órbita em 24 de abril de 1990 peloônibus espacial Discovery. Um modelo paraa velocidade do ônibus durante essa missão,do lançamento em até a ejeção dofoguete auxiliar em é dado por

(em metros/segundos). Usando essemodelo, estime os valores máximo e mínimoabsolutos da aceleração do ônibus entre olançamento e a ejeção do foguete auxiliar.

Ilustração

Solução

(o único número

crítico)Note que (0) 7,196a

2

1( ) 6,56 m/sa t 2(126) 19,16 m/s )a

(aceleração mínima)

(aceleração máxima)

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