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Aula 16, Cálculo Vetorial e Tensorial

PROF. ROLDÃO DA ROCHA

1UFABC

15 Maio 2020

PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC

Resolva a equação de Navier-Stokeshttps://www.claymath.org/millennium-problemsUS$ 1.000.000,00

I



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Resolva a equação de Navier-Stokes...

I Resolva a equação de Navier-Stokes,

−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v), (1)

para um fluido viscoso, laminar, longitudinal, em um tubo cilíndrico de raio R.I A velocidade do escoamento é

v = v(ρ) k̂ (2)

onde v(ρ) é uma função da coordenada radial, ρ, que denota a direção radial, apartir do eixo do tubo (ρ = 0) até a superfície do tubo (ρ = R). Aqui η denota aviscosidade do fluido e ρ0 sua densidade.

A velocidade do escoamento é dada por v(0) = vm k̂ e v(R) = ~0.



I Resolva a equação de Navier-Stokes,

−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v), (1)

para um fluido viscoso, laminar, longitudinal, em um tubo cilíndrico de raio R.I A velocidade do escoamento é

v = v(ρ) k̂ (2)

onde v(ρ) é uma função da coordenada radial, ρ, que denota a direção radial, apartir do eixo do tubo (ρ = 0) até a superfície do tubo (ρ = R). Aqui η denota aviscosidade do fluido e ρ0 sua densidade.

A velocidade do escoamento é dada por v(0) = vm k̂ e v(R) = ~0.



I Equação de Navier-Stokes,

−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v),

⇒ v =?

I Primeiro, calculemos o rotacional de v: coordenadas cilíndricasx = ρ cos θ,

y = ρ sin θ,

z = z

I

∇× v =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

vρ ρvθ vz

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

0 0 v(ρ)

∣∣∣∣∣∣ = · · · (3)




−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v),

⇒ v =?


y = ρ sin θ,

z = z

I

∇× v =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

vρ ρvθ vz

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

0 0 v(ρ)

∣∣∣∣∣∣ = · · · (3)




−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v),

⇒ v =?


y = ρ sin θ,

z = z

I

∇× v =1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

vρ ρvθ vz

∣∣∣∣∣∣=

1ρ

∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ

∂∂θ

∂∂z

0 0 v(ρ)

∣∣∣∣∣∣ = · · · (3)




−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v), (4)

I Agora, para que resolvamos o lado direito, lembremos que para qualquer campovetorial F de classe C2, temos que

∇2F = ∇×∇× F−∇(∇ · F). (5)

I Tomando-se o cmapo vetorial F = ∇× v, então o lado direito da Eq. (4) fica:

∇2(∇× v) = ∇× (∇× (∇× v))−∇(∇ · (∇× v))= ∇× (∇× (∇× v)), (6)

pois o divergente do rotacional de um campo vetorial de classe C2 é nulo.




−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v), (4)


∇2F = ∇×∇× F−∇(∇ · F). (5)


∇2(∇× v) = ∇× (∇× (∇× v))−∇(∇ · (∇× v))= ∇× (∇× (∇× v)), (6)





−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v), (4)


∇2F = ∇×∇× F−∇(∇ · F). (5)


∇2(∇× v) = ∇× (∇× (∇× v))−∇(∇ · (∇× v))= ∇× (∇× (∇× v)), (6)



Resolva a equação de Navier-Stokes

I

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