Aula 16 - Polinômios - 1 slide por folha - UNEMATsinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7624aula_16... · 18 Pode ser difícil achar os zeros de polinômios degrautrêsougrausuperior.Entretanto,conhecido

Polinômios

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Polinômios

1.Introdução

2.Técnicas de fatoração

3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior

4.Teorema do zero racional

3

Nesta aula, vamos apresentar algunsassuntos de interesse, relativo aos polinômios, quevão subsidiar a disciplina de Cálculo I.

1. Introdução

4

O Teorema Fundamental da Álgebra afirmaque todo polinômio de grau n

anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0

tem precisamente n zeros. (Os zeros podem serrepetidos ou imaginários.) O problema de achar oszeros de um polinômio é equivalente ao dedecompor o polinômio em fatores lineares.

2. Técnicas de fatoração

5

2.1. Fórmula quadrática

22

2 2

40

2

4 40

2 2

b b acax bx c x

a

b b ac b b acx x

a a

− ± −+ + = ⇒ =

− + − − − −− ⋅ − =

Exemplo:

( ) ( )

±− + = ⇒ =

− + = ⇒ − ⋅ − =

2

2

5 15 6 0

25 6 0 3 2 0

x x x

x x x x

6

2.2. Produtos especiais

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2

4 4 2 2

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

x a x a x a

x a x a x ax a

x a x a x ax a

x a x a x a x a

− = − +− = − + ++ = + − +− = − + +

Exemplos:

2

3 2

3 2

4 2

9 ( 3)( 3)

8 ( 2)( 2 4)

64 ( 4)( 4 16)

16 ( 2)( 2)( 4)

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

− = − +− = − + ++ = + − +− = − + +

7


( )( )( )( )( )( )

2 2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

4 4 3 2 2 3 4

2

2

3 3

3 3

4 6 4

4 6 4

x a x ax a

x a x ax a

x a x ax a x a

x a x ax a x a

x a x ax a x a x a

x a x ax a x a x a

+ = + +

− = − +

+ = + + +

− = − + −

+ = + + + +

− = − + − +

8


Exemplos:

( )( )( )( )( )( )

2 2

22 4 2

3 3 2

3 3 2

4 4 3 2

4 4 3 2

3 6 9

5 10 25

2 6 12 8

1 3 3 1

2 8 24 32 16

4 16 96 256 256

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

+ = + +

− = − +

+ = + + +

− = − + −

+ = + + + +

− = − + − +


Se expandirmos (a + b)n para n = 0, 1, 2, 3, 4e 5, obteremos as expressões abaixo:

0

1

2

3

4

5

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a b

a b

a b

a b

a b

a b

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

1 0 0 1

2 0 1 1 0 2

3 0 2 1 1 2 0 3

4 0 3 1 2 2 1 3 0 4

5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

+

+ +

+ + +

+ + + +

+ + + + +


Os coeficientes binomiais na expansão de(a + b)n são os valores de

, para 0, 1, 2, 3, 4, , n r

nC r n

r

= =

…

onde

,!

!( )!n r

n nC

r r n r

= = −

sendo n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 1, sendo 0! = 1 e1! = 1


A expansão de

( )n fatores

( )( )( ) ( )n

a b a b a b a b a b+ = + + + +…��

consiste em todos os possíveis produtos quepodemos formar com as letras, no caso a e b. Onúmero de maneiras para formar o produto arbn-r éexatamente o mesmo número de maneiras paraescolher r fatores para serem expoentes de a e,consequentemente, complementá-lo com relação an, para serem os expoentes de b. Esse número demaneiras é

,!

!( )!n r

n nC

r r n r

= = −


Se eliminarmos os símbolos de adição e aspotências das variáveis a e b na forma triangular,deixando apenas os coeficientes, é possível montaro triângulo abaixo:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Linha 0

Linha 1

Linha 2

Linha 3

Linha 4

Linha 5

⋮


Para qualquer inteiro positivo n,

0 1 1 2 2

1 1 2 2

Binômio de Newton

( )0 1 2

( )0 2

n n n n n r r n n n

n n n n n r r n

n n n n na b a b a b a b a b a b

r n

n n na b a a b a b a b b

r

− − − −

− − −

+ = + + + + + +

+ = + + + + + +

… …

… …

��

14


Exemplo:

5 0 5 1 5 1 2 5 2 3 5 3 4 5 4 5 5 5

5 5 4 2 3 3 2 4 5

( ) 1 5 10 10 5 1

( ) 5 10 10 5

x a a x a x a x a x a x a x

x a x ax a x a x a x a

− − − − −+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ = + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 1 24 3 22 4 2 2 2

3 41 02 2

2 4 4 3 2 4 6 8

(2 ) 1 2 4 2 6 2

4 2 1 2

(2 ) 16 32 24 8

x y x y x y x y

x y x y

x y x x x y xy y

− = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

− = − + − +

15

2.4. Fatoração por grupamento

Exemplo:

3 2 2 2( ) ( ) ( )( )acx adx bcx bd ax cx d b cx d ax b cx d+ + + = + + + = + +

3 2 2 23 2 6 4 (3 2) 2(3 2) ( 2)(3 2)x x x x x x x x− − + = − − − = − −

16

Exemplo 1: Aplique a Fórmula Quadrática paraachar todos os zeros dos seguintes polinômios.(a) 4x2 + 6x + 1, (b) x2 + 6x + 9 e (c) 2x2 – 6x + 5.

2.5. Exemplos

2

2

2

4 6 36 16 6 20 6 2 5 3 5( )

2 8 8 8 4

4 6 36 36 6( ) 3

2 2 2

4 6 36 40 6 4( )

2 4 4

b b aca x

a

b b acb x

a

b b acc x

a

− ± − − ± − − ± − ± − ±= = = = =

− ± − − ± −= = = − = −

− ± − ± − ± −= = =

No exemplo 1, os zeros na parte a são irracionais, eos zeros na parte c são imaginários. Em ambos os casos aquadrática se diz irredutível, porque não pode serdecomposta em fatores lineares, com coeficientes racionais.

17

Exemplo 2: Ache os zeros dos seguintes polinômiosquadráticos. (a) x2 - 5x + 6, (b) x2 - 5x - 6 e(c) 2x2 + 5x - 3.

Os zeros são (a) x = 2 e x = 3, (b) x = -1 ex = 6 e (c) x = 1/2 e x = -3.

2.5. Exemplos

2

2

2

( ) 5 6 ( 2)( 3)

( ) 5 6 ( 1)( 6)

( ) 2 5 3 (2 1)( 3)

a x x x x

b x x x x

c x x x x

− + = − −

− − = + −

+ − = − +

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Pode ser difícil achar os zeros de polinômiosde grau três ou grau superior. Entretanto, conhecidoque seja um dos zeros de um polinômio, pode-seutilizar este zero para reduzir o grau do polinômio.Por exemplo, se x = 2 é um zero do polinômio x3 – 4x2

+ 5x – 2, sabemos que (x – 2) é um fator e, pordivisão, podemos fatorar o polinômio como segue:

x3 – 4x2 + 5x – 2 = (x – 2)(x2 – 2x + 1) = (x – 2)(x – 1)2

Como alternativa, muitos preferem utilizar adivisão sintética para reduzir o grau de umpolinômio.

3. Fatoração de polinômios deterceiro grau ou de grau superior

19

Dado x = x1 é um zero de ax3 + bx2 + cx + d.

3.1. Divisão sintética para umpolinômio cúbico

a

a b c dx1

0

Coeficientes para o fator quadrático

Padrão vertical:Somar termos

Padrão diagonal:Multiplicar por x1

20

Por exemplo, efetuando a divisão sintéticano polinômio x3 – 4x2 + 5x - 2, utilizando o zerox = 2, obtemos o seguinte:


11 -2

2 -4 2

1 -4 5 -22

0

(x – 2)(x2 - 2x + 1) = x3 – 4x2 + 5x - 2



21

Ao utilizar a divisão sintética, leve em contatodos os coeficientes – mesmo que alguns sejamzero. Por exemplo, se sabemos que x = -2 é umzero de x3 + 3x + 14, podemos aplicar a divisãosintética como segue:


71 -2

-2 4 -14

1 0 3 14-2

0

(x + 2)(x2 - 2x + 7) = x3 + 3x + 14



22

Uma forma sistemática de achar os zerosracionais de um polinômio consiste em aplicar oTeorema do Zero Racional.

Se um polinômio

anxn + an-1xn-1 + … + a1x + ao

tem coeficientes inteiros, então todo zero racionalé da forma x = p/q, onde p é um fator de a0 e q éum fator de an.

4. Teorema do zero racional

23

Exemplo 3: Ache todos os zeros reais daexpressão 2x3 + 3x2 – 8x + 3.

Fatores do termo constante: ± 1, ± 3

Fatores do coeficiente líder: ± 1, ± 2

Os zeros racionais possíveis são os fatoresdo termo constante divididos pelos fatores docoeficiente líder.

1, -1, 3, -3, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2


24

Testando esses zeros possíveis, vemos quex = 1 é um deles.

2(1)3 + 3(1)2 – 8(1) + 3 = 2 + 3 – 8 + 3 = 0


-32 5

2 5 -3

2 3 -8 31

0

(x – 1)(2x2 + 5x - 3) = 2x3 + 3x2 - 8x + 3



25

Finalmente, fatorando a quadrática

2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x + 3),

temos

2x3 + 3x2 – 8x + 3 = (x – 1)(2x – 1)(x + 3)

e podemos concluir que os zeros são x = 1, x = 1/2e x = -3.


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