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AULA 17 ESTATÍSTICA Professor: João Alessandro MEDIDAS SEPARATRIZES

Aula 17 medidas separatrizes

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Estatística: Medidas Separatrizes: Quartis, Quintis, Decis e Percentis em Dados Não-Agrupados e Agrupados, exercícios.

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Page 1: Aula 17   medidas separatrizes

AULA 17ESTATÍSTICA

Professor: João Alessandro

MEDIDAS SEPARATRIZES

Page 2: Aula 17   medidas separatrizes

MEDIDAS SEPARATRIZES

São números que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série.

Desta forma, a mediana que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um deles contendo 50% dos valores da seqüência, é também uma medida separatriz.

Além da mediana, as outras medidas separatrizes que destacaremos são: quartis, quintis, decis e percentis.

Page 3: Aula 17   medidas separatrizes

QUARTIS Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma

ficará com seus 25% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são chamados de

quartis.Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por Q1, separa a

seqüência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e 75% de seus valores à direita.O segundo quartil, que indicaremos por Q2, separa a seqüência ordenada deixando 50% de seus valores à esquerda e 50% de seus valores à direita.

Note que o Q2 é a Mediana da série.O terceiro quartil Q3 obedece a mesma regra dos anteriores.

Q1 Q2 Q3 Q4

25% 25% 25% 25%

Page 4: Aula 17   medidas separatrizes

QUINTISSe dividirmos a série ordenada em cinco partes, cada

uma ficará com seus 20% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são

chamados de quintis.Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1,

separa a seqüência ordenada deixando 20% de seus valores à esquerda e 80% de seus valores à direita.

De modo análogo são definidos os outros quintis.

20% 20% 20% 20% 20%

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

Page 5: Aula 17   medidas separatrizes

DECIS Se dividirmos a série ordenada em dez partes, cada

uma ficará com seus 10% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são

chamados de decis.Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1,

separa a seqüência ordenada deixando 10% de seus valores à esquerda e 90% de seus valores à direita.

De modo análogo são definidos os outros decis.

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%

Page 6: Aula 17   medidas separatrizes

PERCENTISSe dividirmos a série ordenada em cem partes,

cada uma ficará com 1% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são

chamados de centis ou percentis.Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por

P1, separa a seqüência ordenada deixando 1% de seus valores à esquerda e 99% de seus valores à direita.

De modo análogo são definidos os outros percentis.

P1 P2 A P100

1% 99%

Page 7: Aula 17   medidas separatrizes

PERCENTISSe observarmos que os quartis, quintis e decis são

múltiplos dos percentis, então basta estabelecer a fórmula de cálculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser identificadas como percentis. Ou seja:

QUARTIS- PERCENTIS QUINTIS-PERCENTIS DECIS - PERCENTIS

Q1 = P25

Q2 = P50

Q3 = P75

K1 = P20

K2 = P40

K3 = P60

K4 = P80

D1 = P10

D2 = P20

D3 = P30

D4 = P40

D5 = P50

D6 = P60

D7 = P70

D8 = P80

D9 = P90

Page 8: Aula 17   medidas separatrizes

DADOS NÃO-AGRUPADOSIdentificamos à medida que queremos obter com o percentil

correspondente, Pi.Calculamos i% de n para localizar a posição do percentil i

no Rol, ou seja:i x n 100

Em seguida, identificamos o elemento que ocupa esta posição.

Note que se o elemento for um número inteiro, então Pi que estamos procurando identificar é um dos elementos da seqüência ordenada.

Se não for um número inteiro, isto significa que Pi é um elemento intermediário entre os elementos que ocupam as posições aproximadas por falta ou por excesso do valor calculado. Neste caso, Pi é definido como sendo a média dos valores que ocupam estas posições aproximadas.

Page 9: Aula 17   medidas separatrizes

DADOS NÃO-AGRUPADOS - EXEMPLOS

Dada a série de valores, Calcule Q1

1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15.

Solução: Q1 = P25.

Calculamos 25% de 12 que é o número de elementos da série obtendo:

25 x 12 = 3 100

Este valor indica a posição do P25 no Rol, isto é, o P25 é o terceiro elemento do Rol. Observando o terceiro elemento do Rol obtém-se 5.

Portanto Q1 = P25 = 5.Interpretação: 25% dos valores desta seqüência são valores

menores que 5 e 75% dos valores desta seqüência são valores maiores que 5.

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DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE

Identificamos à medida que queremos obter com o percentil correspondente, Pi.

Calculamos i% de n(Σfi) para localizar a posição do percentil i no Rol, ou seja:

i x Σfi

100

xi fi Fi

2

4

5

7

10

3

5

8

6

2

3

8

16

22

24

Σfi = 24

Exemplo: Calcule o D4 para a série

Page 11: Aula 17   medidas separatrizes

xi fi Fi

2

4

5

7

10

3

5

8

6

2

3

8

16

22

24

Σfi = 24

Solução: D4 = P40.

Calculamos 40% de 24 que é o número de elementos da série obtendo:

40 x 24 = 9,6 100

Este valor indica a posição do P40 é um valor compreendido entre o nono e o décimo elemento da série.

Observamos que o nono e o décimo elementos é o número 5. Assim:

D4 = 5

Interpretação: 40% dos valores desta seqüência são valores menores ou iguais que 5 e 60% dos valores desta seqüência são valores maiores ou iguais que 5.

DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE

Page 12: Aula 17   medidas separatrizes

DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE

Para obtermos a fórmula geral para o cálculo dos percentis, vamos generalizar a fórmula de mediana:

i x n - F(ant) x hPi = li + 100

fi

Sendo:

Pi – Percentil i (1, 2, 3, ..., 99);li - limite inferior da classe que contém o percentil;n – número de elementos da série (Σfi);F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o percentil;fi - freqüência simples da classe que contém o percentil;h - amplitude do intervalo da classe mediana

Page 13: Aula 17   medidas separatrizes

Exemplo: Calcule o Q3 para a série.

DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE

i Intervalo de Classe fi Fi

1

2

3

4

5

0 ⌐ 10

10 ⌐ 20

20 ⌐ 30

30 ⌐ 40

40 ⌐ 50

16

18

24

35

12

16

34

58

93

105

Solução: Q3 = P75.

75 x 105 = 78,75 100

A classe que contém o elemento que ocupa a posição 78,75 na série é a quarta classe. Esta é a classe que contém o P75.

Page 14: Aula 17   medidas separatrizes

Substituindo os valores na fórmula obtém-se:

DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE

75 x 105 - 58 x 10P75 = 30 + 100 = 35,93

35

Portanto Q3 = P75 = 35,93.

Interpretação: 75% dos valores desta seqüência são valores menores ou iguais a 35,93 e 25% dos valores desta seqüência são valores maiores ou iguais que 35.93.

Page 15: Aula 17   medidas separatrizes

EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES

1- Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o número aproximado de elementos que situam:

a) Acima do P20;b) Abaixo do K3;c) Acima do Q3;d) Abaixo do P90;e) Entre o P10 e o P90;f) Entre o Q1 e o Q3;g) Entre o Q3 e o P80.

Page 16: Aula 17   medidas separatrizes

EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES

2- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule:

a) Q1;b) K2;c) D3;d) P98.

i Aluguel

(R$)

fi

1

2

3

4

5

0 ⌐ 200

200 ⌐ 400

400 ⌐ 600

600 ⌐ 800

800 ⌐ 1000

30

52

28

7

3

Σ = 120

Page 17: Aula 17   medidas separatrizes

i Consumo por nota

(R$)

fi

1

2

3

4

5

6

0 ⌐ 50

50 ⌐ 100

100 ⌐ 150

150 ⌐ 200

200 ⌐ 250

250 ⌐ 300

10

28

12

2

1

1

Σ = 54

3- A distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. Calcule:

a) Q3;b) K4;c) D7;d) P75.

EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES

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4 - Tomando como base o exercício anterior, o gerente

desta loja decidiu premiar a nível promocional com um

brinde diário, 10% dos fregueses que mais consumirem,

nos próximos 30 dias. A partir de qual valor de consumo

da nota fiscal os clientes seriam premiados?

EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES

Page 19: Aula 17   medidas separatrizes

i Preço unitário (R$)

fi

1

2

3

4

5

6

0 ⌐ 10

10 ⌐ 20

20 ⌐ 30

30 ⌐ 40

40 ⌐ 50

50 ⌐ 60

4.000

13.500

25.600

43.240

26.800

1.750

Σ = 54

5- A tabela ao lado representa a venda de livros didáticos em uma editora na primeira semana de março. Calcule:

a) Q1;b) Q3;c) P90;d) P10.

EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES