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Trigonometria II

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Trigonometria II

1.Arcos de mais de uma volta

2.Fórmulas de adição e de subtração de arcos

3.Fórmulas do arco duplo

4.Transformação em produto

5.Funções trigonométricas

6.Inequação trigonométrica

7.Funções circulares inversas

3

1. Arcos de mais de uma volta

Vamos generalizar o conceito de arco,admitindo que este possa dar mais de uma voltacompleta na circunferência.

4

1.1. Expressão geral de arcoscom uma mesma extremidade

Seja α0, , a medida de um arco APda circunferência trigonométrica. Chama-se ex-pressão geral dos arcos que têm extremidade emP, o conjunto de todos os valores de α definidospor:

00 2α π≤ <

0 2 ( )k kα α π= + ⋅ ∈ℤ

5


Cada valor de α, extraído da expressãogeral, é a medida de um arco com extremidade emP. Note que, na expressão, ,cada valor de k define a medida de um arco quepode dar mais de uma volta completa nacircunferência, mas cuja extremidade cai sempreno mesmo ponto P.

0 2 ,k kα α π= + ⋅ ∈ℤ

6


Por exemplo, para k = 2, temos:

Nesse caso, α é a medida de um arco que dáduas voltas completas na circunferência, nosentido anti-horário, antes de “parar” no ponto P.

0 02 2 4α α π α α π= + ⋅ ⇒ = +

7

1.2. Primeiras determinaçõesde um arco

Fazendo k = 0 na expressão

Obtemos α = α0, com . Tal valor édenominado 1ª determinação positiva do arco.

0 2kα α π= + ⋅

00 2α π≤ <

8


Fazendo k = -1, temos

valor este chamado 1ª determinação nega-tiva do arco.

0 2α α π= −

9


Por exemplo, os valores e , istoé, , são as primeiras determinações positiva enegativa, respectivamente, dos arcos que têmextremidade no ponto B da figura. A expressãogeral desses arcos é:

2π

22π π−

32π−

2 ( )2

k kπα π= + ⋅ ∈ℤ


Exercício 1: Obtenha as primeiras determinações,positiva e negativa, dos arcos de medidas:

49) 450 b)

5oa

π


Exercício 2: Dê a expressão geral de cada um dosarcos que satisfazem as equações:

) sen 1

) cos 1

) sen 1

) cos 1

a x

b x

c x

d x

=== −= −

12

1.3. Expressões do tipo

Expressões representam des-locamentos de 2π em 2π sobre a circunferência edefinem sobre ela um único ponto, o qual é aextremidade de toda uma família de arcos.

Do mesmo modo, a expressão ,onde e , representa deslocamentos de2π/n em 2π/n sobre a circunferência. Como 2πrepresenta uma volta inteira, 2π/n representa aenésima parte da circunferência. Desse modo,deslocamentos de 2π/n em 2π/n dividem acircunferência em n partes iguais.

0

2kn

πα α ⋅= +

0 2kα α π= + ⋅

0

2kn

πα α ⋅= +k ∈ℤ *n ∈ℕ

13


Por exemplo, analisando a expressão .

0

2kn

πα α ⋅= +

24 3

kπ πα ⋅= +

004

Para kπα= ⇒ =

1

1 21

4 3Para k

π πα ⋅= ⇒ = +

2

2 22

4 3Para k

π πα ⋅= ⇒ = +

3

3 23 2

4 3 4Para k

π π πα π⋅= ⇒ = + = +

14


Note que essa expressão define umaextremidade em π/4 (α0) e a partir desse ponto eladivide a circunferência em 3 partes iguais, isto é,ela representa deslocamentos de 2π/3 em 2π/3.Observe, também, que de k = 3 em diante ela passaa repetir as extremidades já definidas para k = 0,1 e 2.

0

2kn

πα α ⋅= +

1.3. Expressões do tipo 0

2kn

πα α ⋅= +

Exercício 3: Dê a solução geral de cada umadestas equações:

2

2

2 2

) sen 0

) cos 0

) sen cos 0

) tg 1

) tg 3

) cos 3sen

a x

b x

c x x

d x

e x

f x x

==⋅ =

=

=

=

16

2. Fórmulas de adição e desubtração de arcos

Para que possamos determinar asexpressões para adição e subtração de arcos, énecessário conhecer a fórmula que permitecalcular a distância entre dois pontos.

17

2.1. Distância de dois pontos

Sejam A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontosquaisquer do plano cartesiano. Então, a distânciade A e B (dAB) é dada por:

( ) ( )2 2

AB A B A Bd x x y y= − + −

18


A distância entre A e B é representada nafigura como a hipotenusa do triângulo retânguloABP. As medidas dos catetos desse triângulo são:

BP = (xA – xB) e AP = (yA – yB)

19


Então, pelo teorema de Pitágoras,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22AB A B A BAB BP AP d x x y y= + ⇒ = − + −

( ) ( )2 2

AB A B A Bd x x y y= − + −


Exercício 4: Calcule a distância de P e Q nacircunferência trigonométrica abaixo.

21

2.2. Cosseno da diferença:cos (a-b)

Sejam P e Q as extremidades dos arcos demedidas a e b. Então . Sendo d a distânciaentre P e Q, vamos expressar d2 com o auxílio dafórmula da distância de dois pontos, e depois como auxílio da lei dos cossenos. Comparando os doisresultados, obteremos a fórmula procurada.

POQ a b= −⌢

22


1) Note que as coordenadas dos pontos P eQ são:

cos

cosP P

Q Q

x a e y sen a

x b e y sen b

= = = =

23


( ) ( )2 2cos cosPQd d a b sen a sen b= = − + −

2 2 2 2 2cos 2 cos cos cos 2d a a b b sen a sen a sen b sen b= − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ +

( )2 2 2 2 2

1 1

cos cos 2 cos cosd sen a a sen b b a b sen a sen b= + + + − ⋅ ⋅ + ⋅��

( )2 2 2 cos cos (1)d a b sen a sen b= − ⋅ ⋅ + ⋅

24


2) Pela lei dos cossenos, no triângulo OPQtemos:

2 2 2

2

1 1 2 1 1 cos ( )

2 2 cos ( ) (2)

d a b

d a b

= + − ⋅ ⋅ ⋅ −= − ⋅ −

25


Da igualdade entre (2) e (1), teremos:

2 2 cos ( ) 2a b− ⋅ − = ( )2 cos cosa b sen a sen b− ⋅ ⋅ + ⋅

2− cos ( ) 2a b⋅ − = − ( )cos cosa b sen a sen b⋅ ⋅ + ⋅

cos ( ) cos cosa b a b sen a sen b− = ⋅ + ⋅

26

2.3. Cosseno da soma:cos (a+b)

Uma vez estabelecida a fórmula paracos (a – b), podemos deduzir a fórmula paracos (a + b). Para tanto, é preciso lembrar que:

cos (-α) = cos (α) e sen (-α) = -sen (α)

Então, temos:[ ]cos ( ) cos ( )

cos ( ) cos cos ( ) ( )

cos ( ) cos cos ( )

cos ( ) cos cos

a b a b

a b a b sen a sen b

a b a b sen a sen b

a b a b sen a sen b

+ = − −

+ = ⋅ − + ⋅ −+ = ⋅ + ⋅ −

+ = ⋅ − ⋅

27

2.4. Arcos complementares:cos (ππππ/2 – a) e sen (ππππ/2 - a)

Vamos provar que:

Pela fórmula do cos (a – b), temos:

cos cos2 2

a sen a e sen a aπ π − = − =

cos cos cos2 2 2

cos 0 cos 12

cos2

a a sen sen a

a a sen a

a sen a

π π π

π

π

− = ⋅ + ⋅

− = ⋅ + ⋅

− =

28


Pela igualdade já estabelecida,

Vamos substituir x por π/2 - a. Então,

cos2

sen x xπ = −

cos2 2 2

cos2 2 2

cos2

x x

sen a a

sen a a

sen a a

π π π

π π π

π

− = − −

− = − +

− =

� �

29


cos2 cos

2

ba sen

bsen

a

π απ α α

α

− = ⇒ − = =

2 cos2

cos

csen

a senca

π απ α α

α

− = ⇒ − = =


Exercício 5: Se cos a = 12/13, 0 < a < π/2, ecos b = -3/5, π/2 < b < π, calcule sec (a + b)


Exercício 6: Calcule cos 15º.


Exercício 7: Calcule o valor de cada uma destasexpressões:

( ) ( )2 2

) cos72 cos27 sen72 sen27

) cos36 cos9 sen36 sen9

o o o o

o o o o

a

b

⋅ + ⋅

+ + −


Exercício 8: Simplifique as expressões abaixo:

cos80 cos10 sen80 sen10)

cos8 cos12 sen8 sen12

) tg44 tg45 tg46

o o o o

o o o o

o o o

a

b

⋅ + ⋅⋅ − ⋅

⋅ ⋅

34

2.5. Seno da soma e seno dadiferença: sen (a+b) e sen (a-b)

Para deduzir a fórmula de sen (a + b) vamospartir da igualdade

cos2

( ) cos ( )2

( ) cos2

( ) cos cos2 2

( ) cos cos

( ) cos cos

sen x x

sen a b a b

sen a b a b

sen a b a b sen a sen b

sen a b sen a b a sen b

sen a b sen a b sen b a

π

π

π

π π

= −

+ = − +

+ = − −

+ = − ⋅ + − ⋅

+ = ⋅ + ⋅+ = ⋅ + ⋅

35


Para o seno da diferença, temos:

cos2

( ) cos ( )2

( ) cos2

( ) cos cos2 2

( ) cos cos

( ) cos cos

sen x x

sen a b a b

sen a b a b

sen a b a b sen a sen b

sen a b sen a b a sen b


π

π

π

π π

= −

− = − −

− = − +

− = − ⋅ − − ⋅

− = ⋅ − ⋅− = ⋅ − ⋅

36


Exercício 9: Dados sen a = 24/25, π/2 < a < π, esen b = 4/5, 0 < b < π/2, calcule cossec (a – b).

37


Exercício 10: Se α + β = π/3, calcule o valor de:(sen α + cos β)2 + (sen β + cos α)2.

38


Exercício 11: Calcule sen 105º.

39


Exercício 12: Calcule:

sen65 cos20 sen20 cos65

cos36 cos9 sen36 sen9

o o o o

o o o o

⋅ − ⋅⋅ − ⋅

40

2.6. Tangente da soma e dadiferença: tg (a+b) e tg (a-b)

Partindo da definição de tangente:

( )( )

cos ( )

cos cos( )

cos cos

sen a btg a b

a b

a b b asen sentg a b

a b a sen bsen

++ =+

⋅ + ⋅+ =⋅ − ⋅

41


Dividindo o numerador e o denominador daúltima expressão por cos a . cos b, teremos:

cos coscos cos cos cos

( ) ( )cos cos

1cos cos cos cos

cos

( )

a b b a a bsen sen sen sena b a b

tg a b tg a ba b a sen b a sen bsen sen

a b a b

a bsen

tg a b

⋅ + ⋅ +⋅+ = + =

⋅ − ⋅ − ⋅⋅

⋅

+ =cos cosa b⋅

cosb asen ⋅+

cos a cos

cos

b

a

⋅cos b⋅

cos a cos b⋅

( )1

cos cos

tg a tg btg a b

tg a tg ba sen bsena b

++ =− ⋅⋅−

⋅

42


De modo semelhante, obtém-se:

( )1tg a tg b

tg a btg a tg b

−− =+ ⋅

43


Exercício 13: Calcule tg 75º.


Exercício 14: Se tg a = 3 e tg (a – b) = 5, calculetg b.

( )1

35

1 3

5 15 3

15 3 5

16 2

8 1

18

tga tgbtg a b

tga tgb

tgbtgb

tgb tgb

tgb tgb

tgb

tgb

tgb

−− =+ ⋅

−=+ ⋅

+ ⋅ = −⋅ + = −⋅ = −

⋅ = −

= −


Exercício 15: Na figura, calcule tg β.

46

3. Fórmulas do arco duplo

Para deduzir as fórmulas de sen 2a, cos 2a etg 2a, basta substituir b por a nas fórmulas desen (a + b), cos (a + b) e tg (a + b).

47

3.1. Seno do arco duplo

( ) cos cos

( ) cos cos

2 2 cos


sen a a sen a a sen a a

sen a sen a a

+ = ⋅ + ⋅+ = ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅

48

3.2. Cosseno do arco duplo

2 2

cos ( ) cos cos

cos ( ) cos cos

cos 2 cos

a b a b sen a sen b

a a a a sen a sen a

a a sen a

+ = ⋅ − ⋅+ = ⋅ − ⋅

= −

Sendo cos2a = 1 - sen2a e sen2a = 1 - cos2a,podemos escrever cos 2a em função somente decos a, ou somente de sen a.

49

3.2. Cosseno do arco duplo

2 2

2 2

2 2

2

cos 2 cos

cos 2 cos (1 cos )

cos 2 cos 1 cos

cos 2 2 cos 1

a a sen a

a a a

a a a

a a

= −= − −= − +

= ⋅ −

2 2

2 2

2 2

2

cos 2 cos

cos 2 (1 )

cos 2 1

cos 2 1 2

a a sen a

a sen a sen a

a sen a sen a

a sen a

= −= − −= − −

= − ⋅

50

3.3. Tangente do arco duplo

2

( )1

( )1

22

1

tg a tg btg a b

tg a tg b

tg a tg atg a a

tg a tg a

tg atg a

tg a

++ =− ⋅

++ =− ⋅

⋅=−

51

Exercício 16: Dado sen a = 4/5, 0 < a < π/2,calcule:


) sen2

) cos2

) cossec 2

) cotg2

a a

b a

c a

d a

52

Exercício 17: Calcule o valor de:


2

sen cos8 8π π +

Exercício 18: Dê a solução geral de cada uma dasequações abaixo:


( )2

4 4

2

) sen cos 1

2) cos sen

2) 2sen cos sen 0

a x x

b x x

c x x x

+ =

− =

− =

54

3.4. Fórmulas do arco metade

Note que as fórmulas do arco duplo tambémpodem ser interpretadas como fórmulas do arcometade. Para tanto, basta observar que:

Com isso, temos:

2 2cos 2 2 cos 1 cos 2 cos 12x

a a x = ⋅ − ⇒ = ⋅ −

2 2cos 2 1 2 cos 1 22x

a sen a x sen = − ⋅ ⇒ = − ⋅

22

22 2

21 1

2

xtg

tg atg a tg x

xtg a tg

⋅ ⋅ = ⇒ =− −

= =se 2 então 2x

a x a

Exercício 19: Calcule cos (22º30’).

3.4. Fórmulas do arco metade

56

4. Transformação em produto

Nas fórmulas de adição e subtração dearcos, vamos fazer a + b = p e a – b = q.

Resolvendo o sistema

obtém-se

a b p

a b q

+ = − =

2 2p q p q

a e b+ −= =

57


Por outro lado, sabemos que:

( ) cos cos (1)sen a b sen a b sen b a+ = ⋅ + ⋅

( ) cos cos (2)sen a b sen a b sen b a− = ⋅ − ⋅

cos ( ) cos cos (3)a b a b sen a sen b+ = ⋅ − ⋅

cos ( ) cos cos (4)a b a b sen a sen b− = ⋅ + ⋅

58


Somando as igualdades (1) e (2), obtemos:

( ) ( ) cos cossen a b sen a b sen a b sen b a+ + − = ⋅ + ⋅ cos cossen a b sen b a+ ⋅ − ⋅

( ) ( ) cos cos

( ) ( ) 2 cos

2 cos2 2 2 2 2 2

2 cos2 2

sen a b sen a b sen a b sen a b

sen a b sen a b sen a b

p q p q p q p q p q p qsen sen sen

p q p qsen p sen q sen

+ + − = ⋅ + ⋅+ + − = ⋅ ⋅+ − + − + − + + − = ⋅ ⋅

+ − + = ⋅ ⋅

59


Fazendo (1) - (2), teremos:

( ) ( ) cossen a b sen a b sen a b+ − − = ⋅ cos cossen b a sen a b+ ⋅ − ⋅ cos

( ) ( ) cos cos

( ) ( ) 2 cos

2 cos2 2 2 2 2 2

2 cos2 2

sen b a

sen a b sen a b sen b a sen b a


p q p q p q p q p q p qsen sen sen

p q p qsen p sen q sen

+ ⋅

+ − − = ⋅ + ⋅+ − − = ⋅ ⋅+ − + − − + + − − = ⋅ ⋅

− + − = ⋅ ⋅

60


Fazendo (3) + (4), teremos:

cos ( ) cos ( ) cos cosa b a b a b sen a sen b+ + − = ⋅ − ⋅ cos cosa b sen a sen b+ ⋅ + ⋅

cos ( ) cos ( ) cos cos cos cos

cos ( ) cos ( ) 2 cos cos

cos cos 2 cos cos2 2 2 2 2 2

cos cos 2 cos cos2 2

a b a b a b a b

a b a b a b

p q p q p q p q p q p q

p q p qp q

+ + − = ⋅ + ⋅+ + − = ⋅ ⋅+ − + − + − + + − = ⋅ ⋅

+ − + = ⋅ ⋅

61


Fazendo (3) - (4), teremos:

cos ( ) cos ( ) cos cosa b a b a b+ − − = ⋅ cos cossen a sen b a b− ⋅ − ⋅

cos ( ) cos ( )

cos ( ) cos ( ) 2

cos cos 22 2 2 2 2 2

cos cos 22 2

sen a sen b

a b a b sen a sen b sen a sen b

a b a b sen a sen b

p q p q p q p q p q p qsen sen

p q p qp q sen sen

− ⋅

+ − − = − ⋅ − ⋅+ − − = − ⋅ ⋅+ − + − + − + − − = − ⋅ ⋅

+ − − = − ⋅ ⋅


Exercício 20: Resolva estas equações para x ∈ ℜ.

) cos3 cos 0

) sen5 sen 0

) sen3 sen cos2 0

a x x

b x x

c x x x

+ =− =− + =


Exercício 21: Calcule o valor de sen224º - sen26º,sabendo que:

5 1sen18

4o −=

64

5. Funções trigonométricas

Vamos apresentar o comportamento dasfunções seno, cosseno, tangente, cotangente,secante e cossecante.

65

5.1. Função seno

Chama-se função seno afunção definida de ℜ em ℜ porf(x) = sen x.

66

5.1. Função seno

Para analisar o compor-tamento da função seno,imagine que a extremidade Pde um arco, partindo daorigem, percorra a circunfe-rência trigonométrica no sen-tido anti-horário.

67

5.1. Função seno

Nesse suposto desloca-mento da extremidade do arco,observamos que:

• De 0 a π/2 o seno cresce de0 a 1.

• De π/2 a π o seno decrescede 1 a 0.

• De π a 3π/2 o seno decrescede 0 a -1.

• De 3π/2 a 2π o seno crescede -1 a 0.

68

5.1. Função seno

Supondo que a extremidade P continue se deslocandoindefinidamente, a cada nova volta na circunferênciatrigonométrica o seno assumirá, em idênticas condições,todos os seus valores da primeira volta. Numa linguagemsimples, podemos dizer que a função f(x) = sen x repete-seperiodicamente de 2π em 2π.

69

5.1. Função seno

Na linguagem matemática escrevemos:

ou ainda

( 4 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 4 )sen x sen x sen x sen x sen xπ π π π= − = − = = + = + =… …

, ( 2 )x e k sen x sen x k π∀ ∈ ∀ ∈ = + ⋅ℝ ℤ

70

5.1. Função seno

Então dizemos que: “A função f(x) = sen (x) é umafunção periódica de período igual a 2π”. De um modo geral,uma função f é denominada periódica sempre que existe umnúmero T > 0, tal que, para todo x do domínio de f tem-se:

( ) ( )f x f x T= +

71

5.1. Função seno

O menor valor (positivo) de T que satisfaz essaigualdade é chamado período da função. O gráfico de sen xé chamado senóide.

[ ]( )

( )Im( ) 1;1

D ff x sen x

f

== ⇒ = −

ℝ

72

5.2. Função do tipof(x) = αααα sen (ax)

Explicaremos esse tipo de função através deexemplos:

73


a) Esboçar o gráfico de f(x) = 3.sen(x) nointervalo [0; 2π].

Inicialmente note que,uma vez que sen(x) assumevalores entre -1 e 1, 3.sen(x)assumirá valores entre -3 e3.

É importante observarque o período de f(x) =3.sen(x) é igual a 2π. Todafunção do tipo f(x) =α.sen(x), com α ≠ 0, tem pe-ríodo igual a 2π.

3

1 1 3 3 3sen x sen x×

− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ⋅ ≤

74


b) Esboçar o gráfico de f(x) = sen(3x) nointervalo [0; 2π].

Quando 3x variar nointervalo de 0 a 2π, a funçãof(x) = sen(3x) terá comple-tado um período. Porém, paraque 3x varie de 0 a 2π, x teráque variar apenas de 0 a2π/3.

Isto é, basta x assumirvalores entre 0 e 2π/3 paraque 3x assuma valores entre0 e 2π, conforme mostra atabela seguinte:

32

0 3 2 03

x xππ

÷

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

75


x 0 ππππ/6 ππππ/3 ππππ/2 2ππππ/3

3x 0 π/2 π 3π/2 2π

sen 3x 0 1 0 -1 0

Assim concluímosque o período da funçãoé igual a 2π/3.

76


A função f(x) = sen(3x) é um exemplo daseguinte propriedade: Se y = f(x) é uma funçãoperiódica de período T, então a função y = f(ax),a ≠ 0, é periódica de período

' TT

a=


Exercício 22: Determine o período de cada umadestas funções:

( )

( )

( ) ( )

) 1 sen 4

) 3sen2

) 2 sen

) sen5 3

3 1) cos 3x sen 3

2 2

a y x

xb y

c y x

xd y

e y x

π

= +

=

= − + −

− = +

= +

5.3. Função cosseno

Assim como analisamos afunção seno, vamos analisar ocomportamento de f(x) =cos(x) para x variando de 0 a2π.

• De 0 a π/2 o cosseno de-cresce de 1 a 0.

• De π/2 a π o cosseno de-cresce de 0 a -1.

• De π a 3π/2 o cosseno crescede -1 a 0.

• De 3π/2 a 2π o cossenocresce de 0 a 1.


Da segunda volta emdiante, o cosseno passa arepetir, em idênticas condi-ções, os valores da primeiravolta. Isto é,

Então dizemos que afunção f(x) = cos (x) é umafunção periódica de períodoigual a 2π.

, cos cos ( 2 )x e k x x k π∀ ∈ ∀ ∈ = + ⋅ℝ ℤ


O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide.Note, na figura, que a cossenóide nada mais é do que asenóide deslocada de π/2 unidades, na direção horizontal,para a “esquerda”. Essa característica da cossenóide podeser traduzida assim:


, cos2

x x sen xπ ∀ ∈ = +

ℝ

[ ]( )

( ) cosIm( ) 1;1

D ff x x

f

== ⇒ = −

ℝ


Exercício 23: Determine os períodos das funções:

( )) 2cos

) cos 3

) cos4

) cos 2x5

a y x

b y x

xc y

d yπ

==

= −

= +

83

5.4. Função tangente

Chama-se função tangente a função definida por

( ) , ,2

f x tg x x k kπ π= ≠ + ∈ℤ

84


A função tangente também é periódica. Porém,enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a2π, a função tangente tem período igual a π.

85


Isso significa que a cada meia-volta a funçãotangente repete-se em idênticas condições. Isto é,

, ( )2

x e k x k tg x tg x kπ π π ∀ ∈ ∀ ∈ ≠ + ⇒ = +

ℝ ℤ

86


• De 0 a π/2 a tangente cresce de 0 a +∞.

• De π/2 a π a tangente cresce de -∞ a 0.

87


Daí em diante, a cada meia-volta, a tangentecomporta-se exatamente como na primeira meia-volta.

88


( ) / ( )( ) 2

Im( )

D f x x k kf x tg x

f

π π = ∈ ≠ + ∈ = ⇒ =

ℝ ℤ

ℝ


Exercício 24: Determine o domínio e o período decada uma destas funções:

2

) ( ) tg6

) ( ) tg 34

2tg) ( )

1 tg

a f x x

b f x x

xc f x

x

π

π

= +

= −

=−


Exercício 25: Dê o domínio da função abaixo:

1( )

tgf x

x=

91

5.5. Funções cotangente, se-cante e cossecante

Por serem menos importantes que as demaisfunções trigonométricas, serão apresentadas deforma resumida, enfatizando-se o domínio e oconjunto-imagem das funções cotangente, secantee cossecante.

92


{ }( ) / ( )( )

Im( )

D f x x k kf x cotg x

f

π = ∈ ≠ ∈= ⇒ =

ℝ ℤ

ℝ

P = π

93


P = 2π

{ }

( ) / ( )2( ) sec

Im( ) / 1 1

D f x x k kf x x

f y y ou y

π π = ∈ ≠ + ∈ = ⇒ = ∈ ≤ − ≥

ℝ ℤ

ℝ

94


P = 2π

{ }{ }

( ) / ( )( ) cossec

Im( ) / 1 1

D f x x k kf x x

f y y ou y

π = ∈ ≠ ∈= ⇒ = ∈ ≤ − ≥

ℝ ℤ

ℝ


Exercício 26: Determine m para que a igualdadesec x = 2m – 3 seja possível.

96

6. Inequação trigonométrica

Explicaremos as inequações trigonométricaspor meio de exemplos:

97


a) Dar a solução geral da inequação .

Observando que , temos:

1cos

4sen x x⋅ ≥

2cos

2sen x

sen x x⋅ =

22 1 12

2 4 2sen x

sen x×

≥ ⇒ ≥

98


Então é preciso encontrar qual é o intervalode arcos da circunferência trigonométrica quepossui seno maior ou igual a 1/2.

Na primeira volta, no sentido positivo,verificamos de imediato que o seno é maior ou iguala 1/2 para arcos de medidas compreendidas entreπ/6 e 5π/6, incluindo estes dois. Então,

99


1 5 52 2 2 2

2 6 6 12 12sen x k x k k x k

π π π ππ π π π≥ ⇒ + ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ⇒ + ⋅ ≤ ≤ + ⋅

5/ ,12 12

S x k x k kπ ππ π = ∈ + ⋅ ≤ ≤ + ⋅ ∈

ℝ ℤ

100


b) Resolver em ℜ a inequação .

Como , a inequação dadase transforma em:

cos 2 2 cos 1 0x x+ ⋅ + >

2cos 2 2 cos 1x x= ⋅ −

101


22cos 1x − 2 cos 1x+ ⋅ +2

2

0

2cos 2 cos 0

cos cos 0

x x

x x

>+ ⋅ >

+ >

Fazendo cos x = y, a última desigualdade setransforma em:

102

Resolvendo esta inequação, obtemos:

E como y = cos x,


2 0y y+ >

1 0y ou y< − >

Observando que a desigualdade (1) éimpossível, basta determinar o intervalo em quecos x > 0.


1 cos 1 (1)

0 cos 0 (2)

y x

y x

< − ⇒ < −> ⇒ >

104


/ 2 2 ,2 2

S x k x k kπ ππ π = ∈ − + ⋅ < < + ⋅ ∈

ℝ ℤ

105


c) Dar a solução geral de .

Na circunferência trigonométrica encontra-mos dois intervalos em que essa desigualdade severifica. Na solução geral, esses dois intervalospodem ser representados nesta sentença.

6tg x tg

π≥

106

De fato, note que para k = 0 essa sentençaequivale a


6 2k x k

π ππ π+ ⋅ ≤ < + ⋅

6 2x

π π≤ <

107

e para k = 1


7 36 2 6 2

x xπ π π ππ π+ ≤ < + ⇒ ≤ <

/ ,6 2

S x k x k kπ ππ π = ∈ + ⋅ ≤ < + ⋅ ∈

ℝ ℤ


Exercício 27: Nos exercícios abaixo, dê a soluçãogeral de cada inequação.

( )2

1) cos x

2) tgx 1

2) cos x

5 2

2 2) sen 3

2 2

) 4cos 2 3

a

b

c

d x

e x

π

≥ −

<

+ >

− ≤ ≤

− >


Exercício 27: Nos exercícios abaixo, dê a soluçãogeral de cada inequação.

( )

2

2

2

tg) 0

1 tg

1) sen cos

2

) 2sen sen 1 0

) cos2 3cos 2 0

xf

x

g x x

h x x

i x x

≤−

+ >

− − >+ + >

110

7. Funções circulares inversas

As funções trigonométricas inversas sãotambém conhecidas como funções arco. Nessanotação:

sen-1 x = arc sen x cos-1 x = arc cos x

tg-1 x = arc tg x cotg-1 x = arc cotg x

sec-1 x = arc sec x cossec-1 x = arc cossec x

111

7.1. Função arco-seno

A função de domínio ℜ definida porf(x) = sen x não admite função inversa por não serinjetora(*).

Nota: Uma função f é chamada injetora se cada elemento de seu conjunto-imagem é imagem de um único elemento do domínio.

112


Porém, restringindo o domínio da funçãoseno ao intervalo [- π/2, π/2] é possível definirsua inversa, que é chamada função arco-seno e édenotada pelo símbolo arc sen.

Por exemplo, a sentença

significa:

1arc sen

6 2π =

1 é o arco cujo seno é igual a

6 2π

113


Definição:

Para , a função arco-seno é definida pela sentença

y = arc sen x ⇔ sen y = x

[ ]1; 1 e ;2 2

x yπ π ∈ − ∈ −

114


Veja estes exemplos:

Este esquema mostra que a função arco-seno é a inversa da função seno:

1 1) arc sen , pois sen

6 2 6 2

) - arc sen( 1), pois sen 12 2

a

b

π π

π π

= =

= − − = −

115


Gráfico de f(x) = arc sen x

116


Se considerarmos a função seno restrita aointervalo [-π/2, π/2] e com contradomínio [-1, 1],isto é,

g: [-π/2, π/2] → [-1, 1]

tal que g(x) = sen x, a função g admitirá inversa eg-1 será denominada função arco-seno. Notemosque g-1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [-π/2,π/2] e associa a cada x ∈ [-1, 1] um y ∈ [-π/2, π/2]tal que y é um arco cujo seno é x (indica-sey = arc sen x). Temos, portanto, que:

y = arc sen x ⇔ sen y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2

117


118

7.2. Função arco-cosseno

A exemplo da função seno, a função cossenonão admite inversa quando seu domínio é oconjunto ℜ. Assim, para definir a inversa dafunção cosseno, vamos restringir o seu domínio aointervalo [0; π].

119


A inversa da função cosseno é chamadafunção arco-cosseno e é denotada por arc cos.

Definição:

Para , a função arco-cosse-no é definida pela sentença

y = arc cos x ⇔ cos y = x

[ ] [ ]1; 1 e 0;x y π∈ − ∈

120


Veja estes exemplos:

Este esquema mostra que a função arco-cosseno é a inversa da função cosseno:

( )

3 3) arc cos , pois cos

6 2 6 2

) arc cos( 1), pois cos 1

a

b

π π

π π

= =

= − = −

121


Gráfico de f(x) = arc cos x

122


Se considerarmos a função cosseno restritaao intervalo [0, π] e com contradomínio [-1, 1], istoé,

g: [0, π] → [-1, 1]

tal que g(x) = cos x, a função g admitirá inversa eg-1 será denominada função arco-cosseno. Notemosque g-1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [0, π] eassocia a cada x ∈ [-1, 1] um y ∈ [0, π] tal que y éum arco cujo cosseno é x (indica-se y = arc cos x).Temos, portanto, que:

y = arc cos x ⇔ cos y = x e 0 ≤ y ≤ π

123


124

7.3. Função arco-tangente

Para definir o inverso da função tangente,vamos restringir o inverso da mesma ao intervalo(-π/2, π/2). Observe o gráfico seguinte e note que,nesse intervalo, a função tangente é bijetora.

125


A inversa da função tangente é chamadafunção arco-tangente e é denotada por arc tg.

Definição:

Para , a função arco-tan-gente é definida por

y = arc tg x ⇔ tg y = x

e ;2 2

x yπ π ∈ ∈ −

ℝ

126


Observe estes exemplos:

( )) arc tg 1 , pois tg 14 4

) - arc tg( 3), pois tg 33 3

a

b

π π

π π

= =

= − − = −

127


Gráfico de f(x) = arc tg x

128


Se considerarmos a função tangenterestrita ao intervalo aberto (-π/2, π/2) e comcontradomínio ℜ, isto é,

g: (-π/2, π/2) → ℜ

tal que g(x) = tg x, a função g admitirá inversa e g-1

será denominada função arco-tangente. Notemosque g-1 tem domínio ℜ, contradomínio (-π/2, π/2) eassocia a cada x ∈ ℜ um y ∈ (-π/2, π/2) tal que y éum arco cuja tangente é x (indica-se y = arc tg x).Temos, portanto, que:

y = arc tg x ⇔ tg y = x e -π/2 < y < π/2

129



Exercício 28: Calcule o valor de cada expressãoabaixo:

( )

12) tg arc sen

13

4) cos 2arc sen

5

3) sen arc cos -

5

) tg 2arc tg2

a

b

c

d

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