AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1

8/18/2019 AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1

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Trigonometria - Parte 1

Unidades de Medida de Arcos e ÂngulosMedidas de arcos

Para comparar os tamanhos de dois arcos MA e JR , devemos estabelecer um método para verificar qual deles é

maior ou se são iguais.

Veja:

A medida de um arco MA em relação a um arco unitário x (x não nulo e de mesmo raio que MA ) é a quantidade que

exprime quantas vezes o arco x cabe no arco MA .

Notamos, assim, na figura a seguir, que o arco x cabe quatro vezes no arco MA . Logo, a medida do arco MA é 4,

ou seja, arco MA = 4 . arco x.

Unidades

Grau

Uma das unidades de medida de arco é o grau: 1° (um grau) é cada parte de uma circunferência que foi dividida em

3360 partes iguais. Dizemos, então, que a circunferência mede 360° (trezentos e sessenta graus).

Grau: É um arco unitário igual a1

360 da circunferência que contém o arco a ser medido.

A medida de um arco AB (em destaque) é igual à medida do ângulo central AÔB correspondente,

isto é, do ângulo com vértice no centro O e lados que contêm A e B. No exemplo da figura:

med ( AB ) = 60° e med (AÔB) = 60°

O grau tem submúltiplos:

1’ (1 minuto) = 1

60 do grau; 1’’ (1 segundo) =

1

60 do minuto.

Radiano

CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA

Aula 19 – Prof Raul Brito



2CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1

Para medir arcos e ângulos, também usamos o radiano. Na Grécia Antiga, já se sabia que em qualquer circunferência

a razão entre o perímetro C e o raio r é uma constante. Mais tarde, a metade dessa constante foi nomeada pela letra grega

. Então,

1 C

2 r ou C = 2r unidades de comprimento. Também para arcos determinados por um mesmo ângulo central,

a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência que o contém é constante e representa a medida do

arco, em radiano.

Assim, 1 rad (um radiano) é um arco que tem comprimento igual ao raio da circunferência que o contém, ou seja, o

comprimento do arco dividido pelo raio da circunferência é 1.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Responda:

a) Quantos radianos um ângulo raso tem?

Um ângulo raso AÔB determina uma semicircunferência de raio OB .

Logo: med (AÔB) = med ( AB ) =

OBrad

OB

b) Qual é o comprimento de uma circunferência de raio 6 cm?

C = 2 . 6 C = 37,68 cm

c) Calcule o comprimento do arco AB de 45° de uma circunferência de 10 cm de raio.

Um ângulo de 45° corresponde à oitava parte da circunferência (360° + 8 = 45°).

Logo:

med ( AB ) = 1 1

2 r 2 10 med(AB) 7,85cm8 8

Relação entre graus e radianos

Vimos que um ângulo raso determina uma semicircunferência, ou seja, 180°

correspondem a rad. Um arco de 2 rad é, portanto, um arco de volta completa,

correspondendo a dois ângulos rasos, ou seja, 360°.

A tabela a seguir fornece a relação entre as medidas em grau e em radiano de alguns

ângulos. Observe também a figura ao lado.

Grau 0 45 90 135 180 270 360

Radiano 0

4

2

3

4

3

2 2

Exemplos:




• Quantos graus tem um arco de

3 rad?

180 _____ rad 180 rad180 rad 3x x 60

x radx ________ radrad3

3

• E quantos radianos equivalem a 300°?

rad_____180 rad 180 300 rad 5x x rad

x ________ 300 x 300 180 3

• Um arco de circunferência mede 40 cm e o raio da circunferência mede 10 cm.

Calcule a medida do arco em radianos.

[Medida de AB em rad] =

Comprimento do arco AB 40 cm4 rad

Comprimento do raio 10 cm

• Sobre uma circunferência de raio 20 cm, marca-se um arco AB , tal que a corda AB mede 20 cm. Calcule a medida

do arco em radianos.

O segmento AB é lado do hexágono regular inscrito na circunferência, logo, o menor arco

mede1

6 da circunferência, isto é:

12 rad rad

6 3

Dado um ângulo aÔb, consideremos uma circunferência de centro O e raio r . Sejam M

e A os pontos onde os lados do ângulo aÔb interceptam à circunferência.

A cada arco MA corresponde, dessa maneira, um único ângulo central aÔb e vice-

versa.

Sabemos que = aÔb = MA .

Ângulo central

Verificamos, então, que:

Ângulo de 1° – É um ângulo central correspondente a um arco de 1°, isto é, um ângulo central que determina na

circunferência um arco igual a1

360 desta.

Ângulo de 1 rad – É um ângulo central correspondente a um arco de 1 rad, isto é, um ângulo central que determina

na circunferência um arco cujo comprimento é igual ao do raio.

Ângulo de 30° – É um ângulo central correspondente a um arco de rad.

Ângulo de rad – É um ângulo central correspondente a um arco de rad.

Querendo medir, em radianos, um ângulo aÔb, devemos construir uma circunferência

de centro O e raio r e verificar quantos radianos mede o arco MA .

Para isso, calcularmos o quociente entre o comprimento do arco MA e o raio r da

circunferência.




( em radianos)r

Notemos que, fixado um ângulo central aÔb de medida rad e construídas as

circunferências de centro O e raios r 1, r 2, r 3, ..., os arcos correspondentes a aÔb

comprimentos 1, 2, 3, ... tais que:

31 2

1 2 3

...r r r

Exemplos:

• Calcule, em graus, a medida do ângulo aÔb da figura.

Solução:

4

rad.r 12

Convertendo a graus:

4rad 180 180

6012x 19 5 '54''43,1416rad x

12

• Calcule o comprimento do arco AB , definido em uma circunferência de raio r = 10 cm, por um ângulo central de 45°.

Solução:

Convertido a radianos, o ângulo central aÔb tem medida

8 rad, então:

r 10

r 8

Portanto:

31,416

3,925 cm8

Ângulo entre os ponteiros de um relógio

Em 1 minuto, o ponteiro dos minutos percorre 6 graus e o das horas, 0,5 grau. Veja:

Tempo = 5 minutos Tempo = 1h = 60 min

M

30v 6°/min

5 min

H

30v 0,5°/min

60 min

Velocidade Velocidade

Assim, a cada minuto, o ponteiro dos minutos percorre 6° – 0,5° = 5,5° a mais que o das horas. Daí, em M minutos,

o ponteiro dos minutos percorre 5,5 . M graus a mais que o das horas.




Perceba também que a medida de um ângulo entre os ponteiros das horas e o dos minutos às H horas (hora exata)

é igual a 30 . H graus.

Exemplos:

a) 4 horas b) 10 horas

Assim, fica fácil calcular o ângulo entre os ponteiros às H horas e M minutos. Note:

• Às H horas, o ângulo entre os ponteiros mede 30 . H graus.

• M minutos após as H horas, o ponteiro dos minutos percorre 5,5 M graus a mais que o ponteiro das horas. Assim, o ângulo entre os ponteiros será:

= 30H – 5,5M, se 30H 5,5M

ou

= 5,5M – 30H, se 30H < 5,5M

Logo, podemos usar a seguinte fórmula matemática para o cálculo de :

= |30 . H – 5,5M|

Em que:

• H {0, 1, 2, ..., 1}

• 12 horas 0 hora; 13 horas 1 hora; 14 horas 2 horas; ..., 23 horas 11 horas e 24 horas 0 hora.

• 0 M < 60

O Sistema Trigonométrico e o Estudo da Circunferência Trigonométrica




Circunferência Trigonométrica

Considere uma circunferência de raio 1 com centro na origem de um sistema cartesiano

ortogonal xy, como na figura ao lado.

Baseado nela, convencionaremos os seguintes fatos:

• O ponto A(1,0) será a origem de todos os arcos que mediremos na circunferência;

• A medição no sentido horário terá sinal negativo;

• A medição no sentido anti-horário terá sinal positivo;

• As quatro regiões em que a circunferência ficou dividida pelos eixos x e y serão chamadas de quadrantes.

Assim:

Arcos Trigonométricos

• Quando partimos de A, no sentido anti-horário, associamos os pontos A, B, C e D aos valores mostrados a seguir.

• Quando partimos de A, no sentido horário, associamos os pontos A, B, C e D aos valores mostrados a seguir.

Localização de arcos na circunferência




Exemplo 1:

Localize o quadrante no qual está a extremidade do arco de 1.475°.

Solução:

Inicialmente, dividimos 1.475° por 360°.

1.475° 360°

– 1.440° 4

35°

O quociente 4 corresponde ao número de voltas completas na circunferência e o resto, 35°, corresponde à

extremidade do arco de 1.475°, que se localiza no 1o quadrante.

Exemplo 2:

Localize o quadrante no qual está localizada a extremidade do arco de –19

4 rad.

Solução:

Note que:

19 4

3 4 , isto é,

19 34

4 4

Daí, 19 3 34 1354 4 4

Duas voltas completas no sentido negativo (zero).

Logo,

19

2254

3o quadrante.

Exemplo 3:

Consideremos o ciclo trigonométrico sobreposto ao mostrador de um relógio circular, ambos concêntricos. Consideremos

ainda que o ponteiro dos minutos esteja inicialmente apontando para 1 h. Qual o arco que esse ponteiro percorre em 15

minutos? Que posição estará indicando após percorrer 450°?

Solução:

Após 15 minutos, o ponteiro dos minutos estará apontando para 4h. Agora, após percorrer 450°, que é o mesmo que uma

volta mais 90° ou uma volta mais 15 minutos, o ponteiro também estará apontando para 4h.




Simetria

Observe a figura a seguir. Nela, o ponto P determina um arco AP de medida 30°.

Na figura ao lado, consideremos os seguintes pontos L, simétrico de P em relação

ao eixo vertical y, M, simétrico de P em relação à origem, e N, simétrico de P em relação

ao eixo horizontal x.

Vamos, agora, determinar as medidas associadas aos pontos L, M e N.

• O ponto L corresponde a 180° – 30° = 150°.

• O ponto M corresponde a 180° + 30° = 210°.

• O ponto N corresponde a 360° – 30° = 330°.

De forma geral, dado um ponto P ao qual associamos uma medida tal que 0° 360°, os pontos L, M e N são

assim determinados:

Resumindo:

Na figura ao lado, sendo med( AP ) = rad, temos:

• P e P’ são simétricos em relação ao eixo y (têm abscissas opostas e

ordenadas iguais); med( AP' ) = ( – )rad;

• P e P’’ são simétricos em relação a O (têm abscissas opostas e ordenadas

opostas); med( AP'' ) = ( + )rad;

• P e P’’’ são simétricos em relação ao eixo x (têm abscissas iguais e

ordenadas opostas); med( AP''' ) = (2 – )rad.Se as extremidades de dois arcos são pontos que apresentam uma dessas

simetrias, dizemos que esses são arcos simétricos.




EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Determine a medida dos arcos simétricos ao arco de

6 rad em relação aos eixos das ordenadas e das abscissas e

em relação à origem.

Solução:

Os arcos simétricos ao arco de

6rad medem:

• em relação ao eixo das ordenadas (eixo y):

5rad rad

6 6

• em relação ao eixo das abscissas (eixo x):

112 rad rad

6 6

• em relação à origem (O):

7rad rad

6 6

Veja a solução gráfica no ciclo trigonométrico ao lado.

02. Determine a medida dos arcos simétricos ao arco de 60° em relação aos eixos das ordenadas e das abscissas e,

também, a medida dos simétricos aos seus simétricos.

Solução:

Acompanhando o ciclo trigonométrico ao lado, percebemos que os arcos simétricos ao arco de 60° medem:

• em relação ao eixo das ordenadas (eixo y): 180° – 60° = 120°

• em relação ao eixo das abscissas (eixo x): 360° – 60° = 300°O arco de 240° é simétrico aos arcos:

• de 120°, em relação ao eixo x;

• de 300°, em relação ao eixo y;

• de 60°, em relação à origem: 180° + 60° = 240°.

Relações trigonométricasSeno e cosseno de um arco trigonométrico

Seno de um arco trigonométrico

Considere, no ciclo trigonométrico a seguir, um arco de medida AP x.

No triângulo OQP, destacado a seguir, podemos perceber:




senx =OQ

OP

Como OP = 1, temos que sen x = OQ .

Do exposto, podemos afirmar que a medida algébrica do segmento OQ , que é projeção ortogonal do segmento OP

sobre o eixo vertical, corresponde ao seno do arco trigonométrico x.

Senos dos arcos notáveis do ciclo trigonométrico

Os arcos

6 rad,

4 rad,

3 rad, 0 rad,

2 rad, rad,

3

2 rad e 2 rad são considerados arcos notáveis. A seguir

veremos o valor do seno desses arcos.

• Arco

6rad • Arco

4rad

sen

1

6 2 sen

2

4 2

• Arco

3rad • Arco 0 rad

sen

3

3 2 sen0 = 0

• Arco

2rad • Arco rad




sen

12

sen = 0

• Arco3

2rad • Arco 2 rad

sen

31

2 sen2 = 0

Arco 0

6

4

3

2

3

2 2

Seno 01

2

2

2

3

2 1 0 –1 0

Cálculo de senos por simetria

Exemplo 1:

Determine o sen120°

Observe que 120° 2° quadrante e corresponde no 1o quadrante, por simetria, ao arco 60°.

• A figura nos mostra que o sen120° = sen60° =3

2

• Note que: OAP OAQ




Exemplo 2:

Calcule o sen210°. O arco 210° 3o quadrante e seu correspondente no 1o quadrante é 30°.

A partir da congruência dos triângulos da figura, concluímos que OB OA , mas seus valores são opostos. Assim:

sen120° = – sen30° =

1

2.

Exemplo 3:Determine o sen765°. Nesse caso, obtemos a primeira determinação positiva do arco de 765°, que é 45°, pois 765° = 2 .

(360°) + 45°. Concluímos que 45° e 765° são côngruos e, portanto, sen765° = sen45° =2

2.

Cosseno de um arco trigonométrico

Observe a figura a seguir. A partir dela, podemos escrever acerca do OPM:

OMcos x cos x OM

OP

O segmento OM, projeção ortogonal do segmento OP sobre o eixo horizontal, corresponde ao cosseno do arco

trigonométrico x.

Cosseno de arcos notáveis do ciclo trigonométrico

• Arco

6rad • Arco

4rad

cos

3

6 2 cos

2

4 2




• Arco

3rad • Arco 0 rad

cos

1

3 2 cos0 = 1

• Arco

2

rad • Arco rad

cos

02

cos = –1

• Arco3

2rad • Arco 2 rad

cos

30

2 cos2 = 1

Arco 0

6

4

3

2

3

2 2

Cosseno 13

2 2

2

1

2 0 –1 0 1




Cálculo de cossenos por simetria

Exemplo 1:

Determine o cos150°. O arco de 150° 2o quadrante e seu correspondente

simétrico do 1o quadrante é 30°. Veja a figura:

Os triângulos OAM e OBN são congruentes e os módulos de OM e ON são iguais.

Então:

cos150° = –cos30° = – 3

2

Exemplo 2:

Calcule o cos1.140°. A primeira determinação positiva do arco de 1.140° é 60°, pois 1.140° = 3.(360°) + 60°. Assim,

60° e 1.140° são arcos côngruos e cos1.140° = cos60° =1

2.

Relação dos eixos coordenados com o ciclo trigonométrico

Consideremos, na circunferência trigonométrica, um arco AM de medida , 0° < < 90°.

No triângulo retângulo OMP, temos:

•

OPcos OP

1

•

MPsen MP

1

Note que as medidas OP e MP são, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto M.

Veremos a seguir como ampliar os conceitos de seno e de cosseno de um arco (ou ângulo) para qualquer arco

trigonométrico.

Dado um arco trigonométrico AM de medida , chamam-se cosseno e seno de a abscissa e a ordenada do ponto

M, respectivamente:

• cos = abscissa de M = xM

• sen = ordenada de M = yM

Tome Nota

Note que: OA OB OC OD 1

(O é o centro da circunferência trigonométrica)

Desse modo, podemos escrever: –1 sen 1 e –1 cos 1.




Estudo de sinais

Variação de sinal do seno e do cosseno

O seno de um arco é a ordenada da extremidade desse arco. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1o

e 2o quadrante e os pontos de ordenadas negativas são os do 3o e 4o quadrantes, temos o seguinte quadro de sinais para

o seno:

Concluímos:

Seno

1o e 2o quadrantes 3o e 4o quadrantes

+ –

O cosseno de um arco é a abscissa da extremidade desse arco. Com os pontos

de abscissas positivas são os do 1o e 4o quadrantes, e os pontos de abscissas negativas

são os do 2o e 3o quadrantes, temos o seguinte quadro de sinais para o cosseno:

Concluímos:Cosseno

1o e 4o quadrantes 2o e 3o quadrantes

+ –

Arcos no 2o quadrante – A tangente é negativa para arcos do 2o quadrante. Nesse quadrante, dado x > y, teremos

tg x > tg y e tg = 0.

Arcos no 3o quadrante – A tangente é positiva para arcos do 3o quadrante. Nesse quadrante, dado x > y, teremos

tg x > tg y. Para x =3

2, a tangente de x não existe.




Arcos no 4o quadrante – A tangente é negativa para arcos do 4o quadrante. Nesse quadrante, dado x > y, teremos

tg x > tg y e tg2 = 0.

Arco 0

6

4

3

2

3

2 2

Tangente 03

3 1 3 0 0

• A tangente pode ser calculada por simetria, assim como o seno e o cosseno. Vale lembrar aqui que tg x =senx

cosx

, em

que os cos 0, como estudado anteriormente.

• A tangente obedece ao intervalo de variação – < tgx < + , ou seja, a tg x pode assumir qualquer valor real.

Exercícios Resolvido

01. Qual o sinal da tangente do arco de medida38

3?

Solução:

Considere:

38 36 2

3 3 3

212

3

(120°)

6 voltas

Resposta: Como 120° está no 2o quadrante e nesse quadrante a tangente é negativa, o sinal será negativo.







EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM




QUESTÃO 01

(UEL) O valor da expressão

2 3 5cos sen tg

3 2 4

é:

a)2 3

2

b)

1

2

c) 0

d)1

2

e)3

2

QUESTÃO 02

(UNEMAT) Quanto ao arco 4 555°, é correto afirmar que:

a) pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo oângulo de 55°.

b) pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o

ângulo de 75°.

c) pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o

ângulo de 195°.

d) pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o

ângulo de 3.115°.

e) pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o

ângulo de 4.195°.

QUESTÃO 03(UFAL) O seno de um arco de medida 2 340° é igual a:a) –1

b)

1

2

c) 0

d)3

2

e)1

2

QUESTÃO 04(UFR) Efetuando a expressão

2

2

sen 270 cos180 sen90

tg 45, temos como resultado:

a) 0b) 2c) 3d) –1e) 1




QUESTÃO 05




(UNIFOR) O valor de sen( –4.380°) é:

a) 3

2

b) 2

2

c)

1

2

d)1

2

e)3

2

QUESTÃO 06(UF-UBERLÂNDIA) Simplificando a expressão

86 112 cos 3 tg

3 4, obtém-se:

a) –4

b) 2 3

c) 2

d) 1 + 3 e) 3

QUESTÃO 07

(FESP) A expressão

5cos90 4cos180

2sen270 2sen90 vale:

a)5

2

b) –1

c) 94

d) 1e) N.D.A.

QUESTÃO 08(UFRS) Qual é a expressão geral, em radianos, dos arcos deextremidade nos pontos indicados?

a)

3

2k , com k4

b)

3

k , com k4

c)

3 k , com k4 2

d)

k , com k4

e) N.D.A.

QUESTÃO 09

(UEL) O valor da expressão

8sen cos5

3

13tg

6

é:

a)3 2 3

2

b)3 2 2 3

2




c) 3 2 3




d) 3 2 2 3

e) 3 2 3

QUESTÃO 10(FATEC-SP) O valor numérico de D, em que

D = (sen x + cos x)2

+

senx

cosx , para x =

2

3 , é:a) 1

b)2 3 3

2

c)2 3 3

2

d)6 5 3

6

e)6 5 3

6

QUESTÃO 11(UEL-PR-2011) Um relógio marca 20 minutos para o meio-dia. Então, o MENOR ângulo formado pelos ponteiros dashoras e dos minutos é:a) 90°b) 100°c) 110°d) 115°e) 125°

QUESTÃO 12

(PUC Minas)Se cos =

1

4 e é um ângulo do terceiro

quadrante, então o valor de sen é igual a:

a)

15

4

b)

13

4

c)

11

4

d)13

4

e) 15

4

QUESTÃO 13(UFRGS-RS) Os ponteiros de um relógio duas horas e vinteminutos. O MENOR ângulo entre os ponteiros é:a) 45°b) 50°c) 55°d) 60°e) 65°




QUESTÃO 14




(UFOP-MG) Um ciclista de um prova de resistência devepercorrer 500 km em torno de uma pista circular de raio 200m. O número aproximado de voltas que ele deve dar é:a) 100b) 200c) 300d) 400

e) 500

QUESTÃO 15(UFMG) A medida, em graus, de um ângulo que mede 4,5rad é:

a)

4,5

b) 4,5

c)

810

d) 810e) 810

QUESTÃO 16(Mackenzie-2014) Seja g(x) = x2 + x . cos + sen . Se

g(x) = 0 e =3

2, então x vale:

a) somente 1.b) somente – 1.c) –1 ou 0.d) –1 ou 1.e) 1 ou 0.

QUESTÃO 17

(Enem-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, oesqueitista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”,conseguiu realizar a manobra denominada “900”, namodalidade esqueite vertical, tornando-se o segundo atletano mundo a conseguir esse feito. A denominação “900”refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em tornode seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:a) uma volta completa.b) uma volta e meia.c) duas voltas completas.d) duas voltas e meia.e) cinco voltas completas.

QUESTÃO 18(Enem-2009) Considere um ponto P em uma circunferênciade raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal deP sobre o eixo x, como mostra a figura, a suponha que oponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distânciad r sobre a circunferência.




Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada




por:

a)

dr 1 sen

r

b)

dr 1 cos

r

c)

d

r 1 tg r

d)

r r sen

d

e)

r r cos

d

QUESTÃO 19(UFJF-MG) A figura a seguir mostra, no plano cartesiano,uma circunferência centrada na origem, de raio igual a 1,passando pelos pontos B e C. Nessa figura, os pontos O, C

e D são colineares, os segmentos de retas AC e BD sãoparalelos ao eixo y, e é o ângulo que o segmento de retaOD faz como o eixo x

Com respeito a essa figura, é CORRETO afirmar que:a) AO = sen b) OC = cos

c) BD = AC

OA

d) AC OD

BD OB

e) OB2 + BD2 = 1

QUESTÃO 20(UEL-PR) Seja x a medida de um arco em radianos. O

número real a que satisfaz as sentenças sen x = 3 a e

cos x =a 2

2, é tal que:

a) a 7b) 5 a < 7c) 3 a < 5d) 0 a < 3e) a < 0




EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO




QUESTÃO 01(Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terraé atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu,aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo queem Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia dosolstício de verão, um bastão vertical não apresentava

sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nasmesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito.O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia dosolstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra edeterminou o ângulo θ entre as direções do bastão e deincidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido apartir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de,aproximadamente, 7500 km.

O mês em que foram realizadas as observações e o valoraproximado de θ são(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre

Assuã e Alexandria 900 km; 3.π )a) junho; 7°.b) dezembro; 7°.c) junho; 23°.d) dezembro; 23°.e) junho; 0,3°.

QUESTÃO 02(G1 - IFSC 2015) É CORRETO afirmar que o menor ânguloformado pelos ponteiros da hora e dos minutos às 8h 20min

é:a) Entre 80 e 90

b) Maior que 120

c) Entre 100 e 120 d) Menor que 90 e) Entre 90 e 100

QUESTÃO 03

(Uern 2015) Considerando que 2 3sen ,

4α com

0 90 ,α então o valor da expressão

cos sen tg2

α

α α

é

a)1.

b) 3.

c) 3.

d) 2 3.




QUESTÃO 04




(Espcex (Aman) 2015) O valor de (cos 165º + sen 155º + cos145º - sen 25º + cos 35º + cos 15º) é:a) 2.

b) 1.

c) 0. d) 1.

e) 1.

2

QUESTÃO 05(G1 - IFCE 2014) Considere um relógio analógico de dozehoras. O ângulo obtuso formado entre os ponteiros queindicam a hora e o minuto, quando o relógio marcaexatamente 5 horas e 20 minutos, éa) 330°.b) 320°.c) 310°.d) 300°.

e) 290°.QUESTÃO 06(Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede, com 40cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.

Usando a aproximação 3,π a medida, em cm, do arcoexterno do relógio determinado pelo ângulo central agudoformado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horáriomostrado, vale aproximadamentea) 22.b) 31.c) 34.d) 29.e) 20.

QUESTÃO 07(Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS

está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP e

AQ têm medidas iguais a α e ,β respectivamente, com

0 .α β π




Sabendo que cos 0, 8,α pode-se concluir que o valor de




cosβ é:

a) −0, 8.b) 0, 8.c) −0, 6.d) 0, 6.e) −0, 2.

QUESTÃO 08(FGV 2013) No círculo trigonométrico de raio unitário

indicado na figura, o arco AB mede .α Assim, PM é igual a:

a) 1 tg α

b) 1 cos α

c) 1 cos α

d) 1 sen α

e) 1 cotgα

QUESTÃO 09(IFSP 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio

6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa circunferência,sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5 cm.π A

medida do ângulo central ˆ AOB, correspondente ao arco ABconsiderado, éa) 120°.b) 150°.c) 180°.d) 210°.e) 240°.

QUESTÃO 10(Espcex (Aman) 2013) Os pontos P e Q representados nocírculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidadesde dois arcos, ambos com origem em (1,0), denominadosrespectivamente α e ,β medidos no sentido positivo. O valor

de tg α β é:




a)3 3

3




b)3 – 3

3

c) 2 3

d) 2 3

e) 1 3

QUESTÃO 11 A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica

em que MN é diâmetro e o ângulo α mede5

6

π

radianos.

A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é:

a) 26 3.

b) 3.

c)3.

2

d)3.

3

QUESTÃO 12O valor numérico da expressão

2sec1320 532 cos tg2220

2 3

π

é:

a) 1 b) 0

c)1

2

d) 1e)

3

2




QUESTÃO 13




O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunosque colocassem suas calculadoras científicas no modo

“radianos” e calculassem o valor de sen .2

π

Tomando um

valor aproximado, Artur digitou em sua calculadora o número1,6 e, em seguida, calculou o seu seno, encontrando o valor

A. Já Bia calculou o seno de1,5,

obtendo o valor B.Considerando que

2

π

vale aproximadamente 1,5708,

assinale a alternativa que traz a correta ordenação dos

valores A, B e sen .2

π

a) sen A B.2

π

b) A sen B.2

π

c) A B sen .2

π

d) B sen A.2

π

e) B A sen .2

π

QUESTÃO 14Considere dois ângulos agudos cujas medidas a e b, emgraus, são tais quea b 90 e 4 sen a 10 sen b 0.

Nessas condições é correto concluir que:

a) tg a 1 e tg b 1.

b) tg a 4 e1

tg b .4

c)1

tg a4

e tg b 4.

d)2

tg a5

e5

tg b .2

e)5

tg a2

e2

tg b .5

QUESTÃO 15

Na figura, P e Q são pontos da circunferênciatrigonométrica de centro O e raio unitário.







sen :α ordenada do ponto P

cos :α abscissa do ponto P

sen :β ordenada do ponto Q

cos :β abscissa do ponto Q

O valor de α β em radianos, éa) 2

b)11

6

π

c)13

6

π

d)25

12

π

QUESTÃO 16

O número 2

3 cos180 4 sen 210 2 tg135N

6 sen 45

pertence ao intervalo:

a) ] -4 , -3 [b) [ -3 , -2 [c) [ -2 , -1 ]d) ] -1 , 0 ]

QUESTÃO 17O valor de y cos150º sen 300 tg 225 cos90 é:

QUESTÃO 18

Se θ for um ângulo tal que 0 90 θ e 1cos ,5

θ é

CORRETO afirmar que:

a) 0 30 .θ b) 30 45 .θ c) 45 60 .θ d) 60 75 .θ e) 75 90 .θ

QUESTÃO 19I) cos225 cos215

II) 5 5tg sen12 12

π π

III) sen160 sen172

Das afirmações acima:

a) todas são verdadeiras.b) todas são falsas.c) somente II e III são verdadeiras.d) somente II é verdadeira.e) somente I e II são verdadeiras.

QUESTÃO 20

O seno de um arco de medida 2340° é igual a:a) -1b) - 1/2c) 0d) ½




RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DE CASA

Questão 01:

Resolução 01:Sob o ponto de vista da disciplina de Geografia

Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto:

360 9007,2

2 3 7500θ

A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 21 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer.

Resolução 02:Sob o ponto de vista da disciplina de Matemática

Considere a figura.

Como os raios solares são paralelos, segue que AOB e, portanto,

AB

OA

900

7500

0,12rad

0,12 180

7,2 .3

Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junhonesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho.

Resposta: Alternativa A




Questão 02:Resolução: Do enunciado, temos:

O menor anglo formado pelos ponteiros do relógio será 4 30 x,

portanto, maior que120 .

Resposta: Alternativa B

Questão 03:

Resolução: Sabendo que 2 3sen ,

4α pode-se escrever:

2 2 2 23 1 1sen cos 1 cos 1 cos cos 60

4 4 2

Substituindo e desenvolvendo a expressão dada, tem-se:

2

60cos sen 60 tg 60 cos30 sen 60 tg 60

2

3 3 2 3 33 3 3

2 2 2



cos 165 sen155 cos 145 sen25 cos 35 cos 15

cos15 sen25 cos 35 sen25 cos 35 cos15 0

Resposta: Alternativa C

Questão 05:

Resolução: O ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 20 minutos corresponde a20

10 .2

Desse modo, o

menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas, às 5 horas e 20 minutos, é igual a 30 10 40 . Emconsequência, o maior ângulo formado por esses ponteiros é igual a 360 40 320 .

Observação: Dizemos que um ângulo é obtuso se 90 180 .






Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, 60 6 66 .α

Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos:

60min 30

54min

β

Logo, 27 ,β portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.

Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:

93 2 2031cm (considerando, 3)

360

π

π


Questão 07:Resolução: Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Como POQ 90 , segue-se que 90 . Além disso, sabendo que cos 90 sen ,

2 2sen cos 1 e cos 0, 8, com 0 180 , temos:

cos cos 90 cos sen cos 0,6 .


Questão 08:Resolução: Considere a figura.

Como o menor arco AS mede 90 e AQS é um ângulo inscrito, segue-se que AQS 45 . Daí, como BMQ 90 , vem

QPM 45 e, portanto, MQ PM. Além disso, OA OQ 1. Donde podemos concluir que OM 1 PM.

Por outro lado, como AQ BM, segue que M é o ponto médio de BM. Assim, tomando a potência do ponto M em

relação à circunferência de centro O, obtemos

2MB MN MQ MA MB PM (2 PM).




Adicionalmente, tem-se QOB QB 180 .α Logo, do triângulo retângulo OBM, encontramos

MBsen(180 ) sen MB

OBα α

e, portanto,

2 2 2

2 2

sen PM (2 PM) (PM 1) 1 sen

(PM 1) cos

PM 1 cos .

α α

α

α

Porém, como 90 180α implica em cos 0,α segue-se que PM 1 cosα (pois PM 1).



Medida do arco em rad:5

rad.6

π

5rad 150°.

6

π


Questão 10:

Resolução: Como P pertence ao segundo quadrante e2

sen 45 ,2

segue que 45 90 135 .α Por outro lado,

sabendo que Q é do terceiro quadrante e 1cos 60 ,2

vem 60 180 240 .β

Portanto,

2 2

tg tg(135 240 )

tg(360 15 )

tg15

tg( 45 30 )

tg 45 tg 30

1 tg 45 tg 30

31

3 3 (3 3) 9 6 3 3 6(2 3 )3 2 3.63 3 3 (3 3) 3 ( 3 )

1 13

α β

Resposta: Alternativa D





AB =5 3

cos6 2

π

AC =5 1

sen6 2

π

Portanto:

3

AB 23.

1 AC

2


Questão 12:Resolução: Do enunciado, temos que:

sec1320 sec(3 360 240 )

sec240

sec60

2,

53 5cos cos 4 2

3 3

5cos

3

cos

31

2

π π

π

π

π

e

tg 2220 tg(6 360 60 )

tg60

3.

Portanto,

2 2sec1320 53 2 1

2 cos (tg2220 ) 2 ( 3)2 3 2 2

1 1 3

1.

π

Resposta: Alternativa D




Questão 13:

De acordo com a figura a seguir, concluímos que:

Circunferência trigonométrica

sen1,5 < sen1,6 < 1.

Logo, B A sen .2

π

Resposta: Alternativa E

Questão 14: Resolução: Do enunciado, temos:Passo 1: Se a b 90 , então: sen a cosb eq1 e senb cosa eq2 .

Da expressão dada, temos:

4 sen a 10 sen b 0 4 sen a 10 sen b eq3 .

Passo 2: Substituindo (eq1) em (eq3):4 sen b 4 2

4 sen a 10 sen b 4 cosb 10 sen b tg b tg b10 cosb 10 5

.

Passo 3: Substituindo (eq2) em (eq3):sen a 10 10 5

4 sen a 10 sen b 4 sen a 10 cosa tg a tg acosa 4 4 2

.


Questão 15:Resolução: Da figura, temos:

Passo 1: Note que é do 1º quadrante, então:1

sen2

e3

cos2

. Concluímos 30 ou6

.

Passo 2: Note que é do 3º quadrante, então: 1sen2

e 3cos2

. Concluímos 11330 ou6

.

Assim, temos:11 12

26 6 6

.

Resposta: Alternativa A

Questão 16:Resolução: Fazendo a redução ao 1º quadrante, temos:

2 2

13 4 2

3 1 4 sen 30 2 13 cos180 4 sen 210 2 tg 135 2N N N

26 sen 452 66 4

2

3 2 2 3 N N N 1.

12 3

4





Questão 17:Resolução: Fazendo a redução ao 1º quadrante, temos:

y cos150º sen 300 tg 225 cos90 y cos30º sen 60 tg 45 0

3 3 3 3 y 1 y 1 y 1.2 2 2 2

Resposta: y 1 .





Questão 20:Resolução: Para ângulos maiores que 360°, fazemos o seguinte procedimento:Passo 1: Dividimos o ângulo por 360° não efetuando divisão com quociente decimal, em outras palavras, não“terminamos a divisão”, sempre olhando para o resto. Passo 2: Pegamos o resto da divisão (por isso não efetuamos a divisão por completo), esses ângulos são chamados dearcos côngruos.Passo 3: Fazemos a redução ao 1º quadrante, com o resto da divisão.Vamos lá:Pelo passo 1, encontramos:

Pelo passo 2, encontramos: sen 2340 sen180 .

Note que 180° é um ângulo notável, então colocamos o valor diretamente, sem nos preocuparmos em reduzir ao 1ºquadrante, assim:sen 2340 sen 180 sen 2340 0


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AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1