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Sistemas lineares Aula 2 - Sistemas

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Sistemas linearesAula 2 - Sistemas

Conceitos

Classificação de sistemas

Descrição de sistemas

Definição

Sistemas:

Modelo matemática de um processo físico que relaciona o sinal de entrada

(excitação) com o sinal de saída (resposta).

Transformação (mapeamento) de x em y

Sistemax(t) y(t)

Sinal de

entrada

Sinal de

saída

SISO (Single Input – Single Output)

Uma entrada – Uma saída

MIMO (Multiple Input – Multiple Output)

Múltiplas entradas – Múltiplas saídas

Definição

Sistemas:

Representação:

Matemática: operador linear T*

Diagrama de blocos

Sistema

x1(t) y1(t)

Sistemax(t) y(t)

x𝑁(t) yM(t)

.

.

.

.

.

.

Classificação

Em relação ao tempo:

Contínuo:

Entrada(s) e saída(s) são sinais de tempo contínuo

Discreto:

Entrada(s) e saída(s) são sinais ou sequências de tempo discreto

Em relação à memória:

Sem memória:

A saída depende apenas da entrada em cada instante de tempo. Ex.: resistor

𝑣 𝑡 = 𝑅. 𝑖(𝑡)

Com memória:

Caso contrário. Ex. Capacitor

𝑣 𝑡 =1

𝐶 −∞

𝑡

𝑖 𝜏 𝑑𝜏

Classificação

Em relação à causalidade:

Causal:

A saída em um tempo arbitrário 𝑡 = 𝑡0 só depende da entrada para 𝑡 ≤ 𝑡0. Não depende de valores futuros.

Não causal:

Caso contrário

Em relação à transformação da entrada em saída:

Linear:

Obedece ao princípio da superposição (homogeneidade e aditividade)

Não linear:

Caso contrário

Classificação

Princípio da superposição:

Admitindo 𝑇𝑥1 = 𝑦1 e 𝑇 𝑥2 = 𝑦2

Aditividade:𝑇 𝑥1+ 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2

Homogeneidade:𝑇 𝑥1 = 𝛼𝑦1

Superposição:𝑇 𝛼𝑥1+ 𝛽𝑥2 = 𝛼𝑦1+ 𝛽𝑦2

classificação

Em relação à variação no tempo:

Invariante:

Entrada deslocada no tempo provoca a mesma saída deslocada no tempo.

𝑇 𝑥 𝑡 − 𝑡0 = 𝑦(𝑡 − 𝑡0)

Variante:

Caso contrário.

Em relação a estabilidade (interna ou externa):

Estável – Entrada limitada e saída limitada (BIBO)

Para qualquer entrada limitada 𝑥(𝑡) ≤ 𝑘1, a saída será limitada 𝑦(𝑡) ≤ 𝑘2, Onde k1 e k2 são constante reais finitas.

Instável:

Caso contrário.

classificação

Em relação à inversibilidade

Inversível:

A entrada aplicada ao sistema pode ser recuperada a partir da sua saída do sistema inverso:

Não Inversível:

Caso contrário.

Sistema

T

x(t) y(t) Sistema

T-1

x(t)

Descrição de sistemas

Modelo do Sistema:

Descrição matemática do comportamento dinâmico do sistema.

Relação Entrada-Saída:

Equação Diferencial;

Resposta em frequência, 𝐻(𝜔)

Característica:

Externa: Resposta ao impulso, ℎ(𝑡) (medida nos terminais externos do sistema)

Interna: Espaço de estados (descrição completa)

Exemplos

Circuito RC:

Situação 1:

Entrada: 𝑥 𝑡 = 𝑣𝑠 𝑡

Saída: 𝑦 𝑡 = 𝑣𝑐 𝑡

Situação 2:

Entrada: 𝑥 𝑡 = 𝑣𝑠 𝑡

Saída: 𝑦 𝑡 = 𝑖(𝑡)

AC

RC

+

-vc(t)

+

-vs(t)

i(t)

Exemplos

Circuito RLC:

Usando L = 1 H, R = 3 Ω e C = 0,5 F, determine a equação diferencial que

relaciona a Entrada-Saída, considerando 𝑣𝑠(𝑡) como sinal de entrada e i(t)

como sinal de saída.

AC

RC

+

-vc(t)

+

-vs(t)

i(t)

L

Exercícios para estudo

Livro Haykin – Cap. 1:

1.1

1.3

1.4

1.12

1.13

1.15

1.16

1.17

1.28

1.32

1.35

Livro Lathi – Cap. 1:

Exemplo 1.6

Exemplo 1.7

Exercício E1.7

Exercício E1.8

Problema1.2-1

Problema1.2-2

Problema1.4-1

Problema1.4-2

Problema1.7-2

Problema1.7-7