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Capítulo 2. REVISÃO DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS
2.1. Sistemas com 1 Grau de Liberdade
2.1.1. Sistemas Livres sem Amortecimento
2.1.2. Sistemas Livres com Amortecimento
2.1.3. Sistemas Forçados com Excitação Harmônica
2.1.4. Sistemas Forçados com Excitação Periódica
2.2. Sistemas com N Graus de Liberdade
2.2.1. Sistemas com 2 GDL
2.2.2. Equação Matricial do Movimento
2.2.3. Determinação de Freqüências naturais e Formas Modais
2.2.4. Vibração Forçada de Sistemas com 2 GDL
2.2.5. Equações de Lagrange
2
2.1. SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE
2.1.1. Sistemas Livres Sem Amortecimento
Não há forças externas agindo no sistema
O sistema só entrará em movimento devido à aplicação de
uma condição inicial de deslocamento e/ou velocidade
Não há amortecimento (C = 0 ou =0)
3
Sistema Massa-Mola de 1 GDL:
x(t)
Determinação do equação do movimento:
1) Utilizando a 2a Lei de Newton
2) Utilizando o Método da Conservação da Energia
Dados k, m e as condições iniciais de deslocamento e de velocidade
Determinar o modelo matemático (equação diferencial do movimento) e a resposta
Somente uma coordenada para descrever a posição do sistema: a coordenada x(t)
.
4
Obtenção do Modelo Matemático a partir da 2a Lei de Newton:
1. Selecionar uma coordenada adequada:
Linear para descrever a translação de um ponto da massa rígida (normalmente o centro de massa) ou Angular para descrever a rotação de um corpo rígido.
2. Definir a posição de equilíbrio estático do sistema e usá-la como origem da coordenada escolhida.
3. Desenhar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) da massa rígida para uma posição de deslocamento e velocidade positivas. Identificar todas as forças que atuam sobre a massa.
4. Aplicar a 2a Lei de Newton:
5
Coordenada x(t) que é medida a partir da posição de equilíbrio estático P.E.E., sendo seu valor positivo para à direita.
Determinação da Eq. do movimento usando a 2ª Lei de Newton
Posição genérica do sistema,
mas, de deslocamento positivo.
Diagrama de Corpo Livre: isolar a massa e identificar as forças atuantes na mesma.
Fk(t)= k x(t)
2ª Lei de Newton:
( )ma t F ( ) ( ) 0mx t kx t ( ) ( )kmx t F t( )F ma t
( )mx t F( ) ( )mx t kx t
Eq. do movimento ou Modelo matemático
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Resposta da Equação do Movimento do Sistema livre Sem Amortecimento (Expressão da Movimento Vibratório)
( ) ( ) 0k
x t x tm
( ) ( ) 0mx t kx t 2 ( ) ( ) 0nx t x t Equação do Movimento
Supondo solução do tipo:
(Rever método dos coeficientes a determinar – um método de solução de
equações diferenciais)
taetx )(
Derivando a solução proposta duas vezes:
a e constantes a serem determinadas
teatx )( teatx 2)(
e substituindo na equação do movimento, chega-se a equação característica: 0 22 nque fornece duas raízes: nj 2,1
7
Portanto, chega-se a duas soluções particulares:tjt neaeatx 111
1)( e tjt neaeatx 2222)(
Logo, a solução total é dada por:tjtj nn eaeatxtxtx 2121 )()()(
Utilizando as relações de Euler :
sencos
sencos
je
jej
j
)sen(cos)sen(cos)( 21 tjtatjtatx nnnn
tjaataatx nn sen)(cos)()( 2121
Finalmente, a solução da equação diferencial do movimento, que representa a expressão do movimento de vibração (oscilação) é dada por:
tAtAtx nn sencos)( 21
8
tAtAtx nn sencos)( 21
A1 e A2 dependem das condições iniciais de deslocamento e/ou velocidade: 00 )0( )0( xxexx
01 xA n
xA 02
tx
txtx nn
n
sencos)( 00
ou )sen( )( tAtx n
202
022
21
n
xxAAA
arctg0
0
x
x n
Para determinar as expressões de A1 e A2, aplicam-se as condições de contorno (condições iniciais) na expressão do movimento de resposta vibratória. Desta forma, obtém-se:
Logo, as expressões do movimento são dadas por
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RESUMO SOBRE SISTEMAS COM 1 GDL COM MOVIMENTO TRANSLACIONAL
Eq. do Movimento ou Modelo Matemático:
Solução ou Resposta, que fornece a expressão do movimento vibratório:
0 kxxm 0 2 xx n
tx
txtx nn
n
sencos)( 00
ou
ou )sen( )( tAtx n
202
022
21
n
xxAAA
arctg0
0
x
x n
10
Molas Associadas em Paralelo:
Molas Associadas em Série:
21 kkmg
)( 21 eqkkkmg
eqkmg
21 kkkeq
Generalizando para n molas em paralelo:
n
iieq kk
eqk
mg
11 k
mg
21
22 k
mg
21 k
mg
k
mg
k
mg
eq 21
111
kkkeq
Generalizando para n molas em série:
n
i ieq kk
11
11
Molas Equivalentes
Na análise de sistemas vibratórios é conveniente substituir elementos elásticos por molas equivalentes.
Molas Tipo Vigas:
1) Viga engastada com massa concentrada em sua extremidade:
EI
L 3
3
EI
mgL
Na condição de equilíbrio estático:
3
3 eq
EIk mg k
L
2) Viga bi-engastada com carga localizada no centro:
3) Viga bi-apoiada :
EI
L3
192 eqEI
kL
2
3
( )eq
EILk
ab
a b
L 3
48, para eq
EIk a b
L
12
Massas Efetivas
(Quando Considera-se a Massa da Mola)
Se mm m, despreza-se mm e rad/s m
keqn
Se mm não for desprezível em relação a m, então rad/s
ef
eqn m
k
Para molas helicoidais: mef mmm3
1
Para molas tipo viga:
Viga bi-apoiada com carga central
Viga engastada
mef mmm35
17
mef mmm 23,0
13
Sistemas Livre Sem Amortecimento de 1 Grau de Liberdade
com Movimentos Angulares
2a Lei de Newton para sistema torcionais:
)( tJM oo
Somatório dos momentos (ou torques) em torno do eixo de rotação é igual ao momento de inércia de massa do corpo sob oscilação (em torno do eixo que passa por ‘o’- o centro de rotação’) vezes a aceleração angular do corpo
)()( tktJ to 0 to kJ
rad/s o
tn J
k
Equação do Movimento
Freqüência Natural
o
14
2.1.2. Sistemas Livres Amortecidos
0)()()( tkxtxctxm
a) Amortecedores em paralelo: n
iieq cc
n
i ieq cc
11b) Amortecedores em série:
Equação do Movimento:
Sistema oscila devido às condições
iniciais
* Fator de Amortecimento ():km
c
m
c
c
c
nc 22
Podemos escrever a equação do movimento em termos de e n (em vez de m, c e k):
0)()(2)( 2 txtxtx nn Equação do Movimento:
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Supondo solução do tipo e substituindo-a juntamente com as suas derivadas na equação do movimento, tem-se a seguinte equação característica:
tBetx )(
02 22 nn
Cujas raízes são dadas por:
122,1 nn
Dependendo do valor de as raízes podem reais ou complexas. Para haver oscilação do sistema, as raízes devem ser complexas. Pois, uma exponencial complexa pode ser escrita em termos de funções harmônicas (já que estas descrevem um movimento oscilatório)
1o Caso: 1
1 e 2 são reais, distintas e negativas, desde que 12
121 nn 12
2 nn
Autovalores do sistema
16
1 21 2( ) t tx t B e B e
tt nnnn eBeBtx )1(2
)1(1
22)(
Como as raízes são negativas, o movimento diminui com o tempo
O movimento é dito ser SUPERAMORTECIDO
O movimento não é oscilatório (vibratório)
17
2o Caso: = 1 n 21
tt netBBetBBtx )()()( 21211
Novamente tem-se uma exponencial decrescente, logo, o movimento diminui com o tempo
O movimento é dito ser CRITICAMENTE AMORTECIDO
O movimento não é oscilatório (vibratório)
18
3o Caso: < 1 122,1 nn
2222 11)1()1)(1(01 j
22,1 1 nn j
dn j 2,1
21 nd
Freqüência Natural Amortecida
nd
Autovalores do sistema (parte real deve ser negativa)
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tjtj dndn eBeBtx )(2
)(1)(
tjttjt dndn eeBeeBtx 21)(
)()( 21tjtjt ddn eBeBetx
]sen)(cos)[()( 2121 tjBBtBBetx ddtn
)sencos()( 21 tAtAetx ddtn
01 xA d
nxxA
002
A1 e A2 determinados através das condições iniciais
(Usando as eq’s de Euler)
Solução
20
)sen()( tAetx dtn
A resposta também pode ser escrita por:
O movimento é harmônico de freqüência d e amplitude que decresce exponencialmente
O movimento é oscilatório (vibratório)
O movimento é dito ser SUBAMORTECIDO
22
21 AAA
21 /arctg AA