Aula 2 – Teoria dos Conjuntos Prof. Anderson … · Exercícios Resolvidos 1 Utilizar os símbolos ∈e ∉, relacionando os elementos com os conjuntos A = ... AULA 2 – TEORIA

MATEMÁTICA

Aula 2 – Teoria dos Conjuntos

Prof. Anderson

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSCONCEITO

Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma

coleção de objetos bem definidos.

Estes objetos são chamados de elementos ou membros do

conjunto.

Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros

conjuntos, etc.

Por exemplo, 4 é um número do conjunto dos números inteiros.

Os conjuntos podem ter um número infinito de elementos.

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSREPRESENTAÇÃO

A representação de um conjunto é feita por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Seus integrantes, são denominados de elementos, são colocados entre chaves separados por vírgulas.

Exemplos:

• A ={a, e, i, o, u}

• B = {2, 3, 5}

O conjunto dos números naturais menores que 6 será:

• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

O conjunto pode ser determinado através de uma sentença.

• A = {x/x é uma letra do alfabeto}

• B = {y/y é um número}

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSREPRESENTAÇÃO

Para facilitar o entendimento de exercícios sobre Teoria dos Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada.

Tal representação recebe o nome de Diagrama de Venn.

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSPERTINÊNCIA

Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a A, ou que x está em A. Neste caso, escrevemos x A. (O símbolo “ " é derivado da letra grega épsilon, "ε", introduzida por Giuseppe Peano em 1888). O símbolo é às vezes usado para escrever x A, ou "x não pertence a A".

Exemplos:

• A = {2, 4, 6, 8}

No conjunto A, temos que:

• 2 pertence a A: 2 A

• 3 não pertence a A: 3 A

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSIGUALDADE E DESIGUALDADE

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

• A = B

Exemplo:

• Dados os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = {x / x é ímpar, positivo, menor que 7}, temos que: A = B

Dois conjuntos são diferentes quando existe pelo menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao outro.

• A ≠ B

Exemplo:

• Dados os conjuntos A = {9, 11, 13, ...} e B = {x � x é ímpar, positivo, maior ou igual a 7}, temos que: A ≠ B

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Resolvidos

1 Utilizar os símbolos ∈ e ∉, relacionando os elementos com os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, d, f, g}.

a a e A

b u e B

c c e B

d d e A

Soluçãoa a ∈ A

b u ∉ B

c c ∈ B

d d ∉ A


2. Representar abreviadamente e por extenso o conjunto A dos múltiplos negativos de 3.

SoluçãoAbreviadamente: A = {x ⏐ x < 0 e x é múltiplo de 3}Por extenso: A { ..., -12, -9, -6, -3}

3. Relacionar os conjuntos utilizando os símbolos de = ou ≠.a A = {1, 3, 5, 7} e B = {x ⏐ x é um número ímpar, positivo e

menor que 9}b A = {verde, amarelo} e B = {x ⏐ x é uma cor da bandeira do

Brasil}Solução

A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7}; portanto A = BA = {verde, amarelo} e B = {verde, amarelo, azul e branco}; portanto A ≠ B.

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSINCLUSÃO – SUBCONJUNTOS

Um conjunto “A” diz Sub-conjunto de um conjunto “B”, e escreve-se A ⊂ B se, e somente se, todo elemento de “A” for também elemento de “B”.

Onde:

A ⊂ B

Lê-se: A é subconjunto de B ou A está contido em B.

Observações:

A ⊃ B significa que "A contém B"

A ⊄ B significa que "A não está contido em B"

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSINCLUSÃO – SUBCONJUNTOS

Teorema: O conjunto vazio é sub-conjunto de qualquer conjunto.

Simbolicamente

∅ ⊂ A, ∀ A

Atenção

Para relacionar elemento com conjunto, usam-se os símbolos ∈e ∉.

Para relacionar conjunto com conjunto, usam-se os símbolos (⊂e ⊄ ).

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercício Resolvido

Utilizar os símbolos ⊂ ou ⊄, relacionando os conjuntos: A = { x ⏐x é letra do alfabeto latino}, B = {a, e, i, o, u} e C = { x ⏐ x éconsoante do alfabeto latino}

a A e B

b A e C

c B e C

d C e A

e a e B

f {a} e A

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercício Resolvido

Solução

a A ⊄ B (nem todo elemento de A pertence ao conjunto B)

b A ⊄ C (nem todo elemento de A pertence ao conjunto C)

c B ⊂ A (cada elemento de B também pertence ao conjunto A)

d C ⊂ A (cada elemento de C também pertence ao conjunto A)

e a ⊄ B ( a é um elemento, e como tal não pode ser sub-conjunto)

f {a} ⊂ A (o conjunto formado pelo elemento a está contido no conjunto A pois cada elemento do conjunto pertence também a A)

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSUNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS

Dados dois conjuntos "A" e "B", chama-se. união desses conjuntos e escreve-se A ∪ B ao conjunto constituído pelos elementos de "A" ou de "B".

A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}

Exemplos

a) A = {1, 2, 3, 4) B = {4, 5, 6}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Observe que o conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B possui 3 elementos. No entanto a união de A e B possui 6 elementos, onde se conclui que a união de dois conjuntos não é a soma dos elementos de cada um deles.


Diagrama:

A B

4 1 3 2

5 6

Isso se deve ao fato dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos não poderem ser contados duas vezes. Portanto pode-se dizer que o número de elementos de A ∪ B é a soma dos elementos de A com B, descontados os elementos que pertencem aos dois conjuntos.


b) A = (3, 4, 5) B = {7, 8}

A ∪ B = (3, 4, 5, 7, 8)

Diagrama:

A 346

B 78


Dados dois conjuntos "A" e "B", chama-se intersecção desses conjuntos e escreve-se A ∩ B ao conjunto constituído pelos elementos comuns de "A" e de "B".

A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}

Exemplos

Achar o conjunto intersecção nos casos seguintes:

A = {1, 4, 6, 8, 10}

B = {2, 3, 5, 8, 10}

Então: A ∩ B = {8, 10}


Diagrama:

A B

8 10

1 4 6

235


A = {2, 4, 6, 8, 9}

B = {4, 6}

A ∩ B={4,6}=B

Diagrama:

A B

9 2 4 6 8


Observação

"Se A ∩ B = ∅, diz-se que A e B são Disjuntos".

Exemplo

A = {a, b, c}; B = {e, i, o}

A ∩ B = ∅ → São Disjuntos


1 Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4} e C = {1, 3, 5}, determinar os seguintes conjuntos:

a A ∪ B

b A ∪ C

c B ∪ C

d A ∩ B

e A ∩ C

f B ∩ C


Solução

a A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

b A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

c B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

d A ∩ B = {0, 2, 4}

e A ∩ C = {1, 3, 5}

f B ∩ C = {}

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Propostos

1 Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄, relacione os conjuntos A = {0, -1, -3, -5}, B = {-3, 5} e C = {0, -1}

a A e B

b B e A

c A e C

d C e A


Solução:

a A B

b B A

c A C

d C A

⊄

⊂

⊃

⊄


2 Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B = {x ⏐ x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em F(falso) ou V(verdadeiro).

a 2 ∈ B

b {4, 5} ∈ C

c B ⊂ A

d A ⊂ B

e {2, 3, 4} ⊂ (A ∪ C)

f {2, 3} ∉ C

g 2 ⊄ A


2 Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B = {x ⏐ x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em F(falso) ou V(verdadeiro).

a 2 ∈ B V

b {4, 5} ∈ C F o conjunto está contido em C

c B ⊂ A F B não está contido em A

d A ⊂ B V Obs: 0 é par por convenção

e {2, 3, 4} ⊂ (A ∪ C) V

f {2, 3} ∉ C F o conjunto está contido em C

g 2 ⊄ A F 2 pertence a A

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSDIFERENÇA DE CONJUNTOS

Dados dois conjuntos “A” e “B”, chama-se diferença entre "A" e "B" ao conjunto dos elementos de "A" que não pertençam a "B".

A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B}

Exemplos

{a, b, c, d} - {a, b, c} = {d}

{1, 2, 3} - {2, 3, 4} = {1}

{5, 6, 8} - {5, 6, 8} = ∅

AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSDIFERENÇA DE CONJUNTOS

O complemento (ou complementar) de um conjunto "B" em relação a um conjunto "A", assim se define:

Para B ⊂ A

CBA= A – B

Exemplo

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 4, 5}

CBA = A – B = { 1, 3 }


1 Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2} e C = {0, -1, -2}, obter os conjuntos:

a CAB

b CAC

c CBA

d CCA


Solução

a CAB = B – A = ∅

a CAC = C – A = ∅

c CBA = A – B = {-2, -1}

c CCA = A – C = {1, 2}


1 Dados os conjuntos A = {0, -1, -2, -3, -4}, B = {0, -1} e C = {-2, -3, -4}, obter os conjuntos:

a CAB

b CAC

c CBA

d CCA


Solução

a CAB = B – A = ∅

a CAC = C – A = ∅

c CBA = A – B = {-2, -3, -4}

c CCA = A – C = {0, -1}

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