Aula 24 Teoremas e Propriedades das Séries de Fourier ... valle/Teaching/2016/MA311/  ·

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  • Aula 24Teoremas e Propriedades

    das Sries de Fourier.MA311 - Clculo III

    Marcos Eduardo Valle

    Departamento de Matemtica AplicadaInstituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica

    Universidade Estadual de Campinas

  • IntroduoNa aula anterior, apresentamos a srie de Fourier.

    Nos pontos em que ela converge, temos uma funo

    f pxq a02`

    8

    m1

    am cosmx

    L

    ` bm senmx

    L

    , (1)

    chamada srie de Fourier de f .

    A funo f dada em (1) peridica com perodo T 2L e oscoeficiente satisfazem

    am 1L

    L

    Lf pxq cos

    mxL

    dx , @m 0,1,2, . . . , (2)

    bm 1L

    L

    Lf pxq sen

    mxL

    dx , @m 1,2, . . . . (3)

  • Convergncia da Srie de FourierNa aula de hoje, vamos admitir que temos uma funoperidica f com perodo T 2L.

    Vamos admitir tambm que podemos calcular os coeficientesam e bm usando (2) e (3).

    Nosso objetivo saber se a srie de Fourier de f converge defato para a funo f num ponto x .

    Em outras palavras, conhecendo os coeficientes am e bm,determinamos a funo f?

    Existem funes cujas sries de Fourier no convergem para ovalor da funo em certos pontos.

    Podemos garantir a convergncia, em particular, considerandofunes seccionalmente contnuas.

  • Definio 1 (Funo Seccionalmente Contnua)

    Uma funo f dita seccionalmente contnua em um intervalora,bs se existe um nmero finito de pontosa x0 x1 x2 . . . xn b, chamada partio dointervalo ra,bs, tal que

    1. f contnua em cada um dos subintervalos xi1 x xi .2. Os limites laterais nas extremidades de cada subintervalo

    existem e so finitos.

  • Teorema 2 (Teorema da Convergncia)

    Seja f uma funo peridica com perodo T 2L. Se f e f 1 soseccionalmente contnuas no intervalo L x L, ento asrie de Fourier de f

    spxq a02`

    8

    m1

    am cosmx

    L

    ` bm senmx

    L

    ,

    com am e bm dados respectivamente por (2) e (3), est bemdefinida e satisfaz

    spxq 12

    limx`

    f pq ` limx

    f pq

    , @x .

    Em palavras, spxq o valor mdio dos limites esquerda e direita de f em x .

  • Considere o exemplo da aula anterior:

    Exemplo 3

    A srie de Fourier da funo peridica f , com perodo T 6,definida por

    f pxq

    $

    &

    %

    0, 3 x 1,1, 1 x `1,0, `1 x 3,

    , @x P r3,3s,

    f pxq spxq 13`

    8

    m1

    2m

    senm

    3

    cosmx

    3

    .

    Nos prximas folhas apresentamos f (preto), sn (vermelho), e oerro absoluto |f sn| (azul), em que

    snpxq 13`

    n

    m1

    2m

    senm

    3

    cosmx

    3

    .

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s1|

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s5

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s5|

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s10

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s10|

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s15

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s15|

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s20

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s20|

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s25

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s25|

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s30

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s30|

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s35

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s35|

  • -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    f

    s40

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    |f-s40|

  • Observao

    Apesar de snpxq convergir para o valor mdio dos limites esquerda e direita de f em um ponto x , observamos que asrie de Fourier apresenta oscilaes prximas aos pontos dedescontinuidade de f .

    Essas oscilaes so referidas como fenmeno de Gibbs.

    Estudos sobre o fenmeno de Gibbs podem ser encontradosem livros textos especializados em anlise de Fourier.

  • Funes Pares e mpares

    Definio 4

    Uma funo f : R R dita: par, se f pxq f pxq. mpar, se f pxq f pxq.

    Uma funo f pode no ser par nem mpar!

  • Teorema 5 (Soma e Produto)

    1. A soma (diferena) e o produto (quociente) de funespares uma funo par.

    2. A soma (diferena) de funes mpares uma funompar, mas o produto (quociente) de funes mpares uma funo par.

    3. A soma (diferena) de uma funo par e uma funompar no par nem mpar. O produto (quociente) de umafuno par por uma funo mpar uma funo mpar.

    Teorema 6

    Se f uma funo par, ento L

    Lf pxqdx 2

    L

    0f pxqdx.

    Se f uma funo mpar, ento L

    Lf pxqdx 0.

  • Definio 7 (Srie de Fourier em Cossenos)

    A srie de Fourier em cossenos de uma funo f

    a02`

    8

    m1am cos

    mxL

    . (4)

    A srie de Fourier em cossenos define uma funo par!

    Teorema 8A srie de Fourier de f coincide com a srie de Fourier emcossenos se e somente se f for uma funo par. Nesse caso,os coeficientes satisfazem

    am 2L

    L

    0f pxq cos

    mxL

    dx , @m 0,1, . . . .

  • Definio 9 (Srie de Fourier em Senos)

    A srie de Fourier em senos de uma funo f

    8

    m1bm cos

    mxL

    , (5)

    A srie de Fourier em senos define uma funo mpar!

    Teorema 10A srie de Fourier de f coincide com a srie de Fourier emsenos se e somente se f for uma funo mpar. Nesse caso, oscoeficientes satisfazem

    bm 2L

    L

    0f pxq sen

    mxL

    dx , @m 1, . . . .

  • Exemplo 11

    Seja f pxq x , para 0 x 1. Defina f no restante da reta demodo a ser peridica com perodo T 2L. Encontre a srie deFourier desta funo admitindo:(a) f par.(b) f mpar.

  • Exemplo 11

    Seja f pxq x , para 0 x 1. Defina f no restante da reta demodo a ser peridica com perodo T 2L. Encontre a srie deFourier desta funo admitindo:(a) f par.(b) f mpar.

    Resposta:(a) Se f uma funo par, ento a srie de Fourier de f

    coincide com a srie de Fourier em cossenos:

    f pxq L2` 2L2

    8

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

    (b) Se f uma funo mpar, ento a srie de Fourier de fcoincide com a srie de Fourier em senos:

    f pxq 2L

    8

    m1

    p1qm`1

    msen

    mxL

    .

  • -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    f

    s1

    Extenso peridica par de f com L 1:

    sn L2` 2L2

    n

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

  • -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    f

    s5

    Extenso peridica par de f com L 1:

    sn L2` 2L2

    n

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

  • -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    f

    s10

    Extenso peridica par de f com L 1:

    sn L2` 2L2

    n

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

  • -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    f

    s1

    Extenso peridica mpar de f com L 1:

    sn L2` 2L2

    n

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

  • -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    f

    s5

    Extenso peridica mpar de f com L 1:

    sn L2` 2L2

    n

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

  • -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    f

    s10

    Extenso peridica mpar de f com L 1:

    sn L2` 2L2

    n

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

  • -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    f

    s15

    Extenso peridica mpar de f com L 1:

    sn L2` 2L2

    n

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

  • -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    f

    s20

    Extenso peridica mpar de f com L 1:

    sn L2` 2L2

    n

    m1

    1p2m 1q2

    cos

    p2m 1qxL

    .

  • -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -2 -