Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Aula 2

    Introdução:

    Propriedades dos Fluidos

    Prof. Guilherme José de CastilhoDEPro – Departamento de Engenharia de Processos

    FEQ/Unicamp

    EQ541 - FENÔMENOS DE TRANSPORTE I

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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      Na última aula...

    05/03/2015 09:07 21 - Apresentação

    •  Sinônimo de Fenômenos de Transferência de Quantidade deMovimento (ou Transferência de Momentum);

    (faz parte da “família de Fenômenos de Transporte”, que ainda

    inclui Transferência de Calor e Transferência de Massa)

    • Também referenciado como “Mecânica dos Fluidos”. 

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Disciplinas básicas vs. de aplicação

        F    T    I  

    Transferênciade Quantidadede Movimento

        F    T    I    I  

    Transferênciade Calor     F

        T    I    I    I  

    Transferênciade Massa

    05/03/2015 09:07 31 - Apresentação

        O    P    I  

    SistemasFluidodinâmicos

    e Particulados    O    P    I    I  

    SistemasEnergéticos     O

        P    I    I    I  

    Operações deTransferência de

    Massa

    Fenômenos deTransporte

    OperaçõesUnitárias

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    O que é um fluido? (Definição formal para engenheiros)

    • Sólido: resiste à tensão de cisalhamento aplicada deformando-se. A

    tensão é proporcional à deformação.

    05/03/2015 09:07 41 - Apresentação

     F 

     A

     

    Solid

     F V 

     A h  

    Fluid

    •   Fluido: deforma continuamente sob ação de tensões de cisalhamento. Atensão é proporcional à taxa de deformação.

    O sólido para de deformar-se

    num certo ângulo

    O fluido nunca para de

    deformar-se

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    O que é um fluido?

    05/03/2015 09:07 51 - Apresentação

    • O Fluido se deforma continuamentedevido à Tensão de Cisalhamento, por

    menor que ela seja;• À uma tensão de cisalhamentoconstante, o fluido nunca para dedeformar;

    • Taxa de Deformação éFunção da Tensão.

    F = A

    Taxa de Deformação = u/y 

    = µ (u/y) 

    µ = viscosidade

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    O que é um fluido?

    05/03/2015 09:07 61 - Apresentação

    Condição de não-escorregamento (Princípio da Aderência)

    O fluido em contato direto com umsólido “gruda” na superfície devido aos

    efeitos viscosos e não háescorregamento.

    Propriedade responsável: viscosidade

    Responsável pelo desenvolvimento doperfil de velocidade.

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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      Na aula de hoje:

    05/03/2015 09:07 71 - Apresentação

    1. Conceito e definições (2 horas) •Introdução•Fluido e continuum•Propriedades em um ponto

    Massa específica Tensão Pressão em um fluido estático 

    •Unidades•

    Revisão Matemática2. Estática dos fluidos (4 horas) 3. Descrição de um fluido em movimento (2 horas) 4. Conservação da massa (4 horas) 5. Segunda Lei de Newton (4 horas) 6. Conservação da energia (8 horas) 

    7. Tensão nos fluidos (4 horas) 8. Equações diferenciais do escoamento de fluidos (10 horas) 9. Análise dimensional e similaridade (6 horas) 10.Escoamento em tubos (10 horas) 11.Teoria da camada limite (4 horas) 12.Escoamento turbulento (4 horas) 

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    O Fluido como um Contínuo (continuum)

    Estamos familiarizados com os fluidos e os tratamos como

    sendo “lisos e suaves”

    • A matéria é constituída de átomos, que são amplamenteespaçados na fase gasosa;

    • É conveniente desconsiderar a natureza atômica de uma

    substância;• Considerar que as propriedades variam continuamente

    no espaço sem saltos de descontinuidade = contínuo.

    05/03/2015 09:07 82 - Propriedades dos Fluidos

    É válido quando o menor volume de fluido de interesse contém um número

    suficiente de moléculas que torna as médias estatísticas significativas.

    “A massa específica da água num copo é a mesma em qualquer ponto”  

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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     Qual é o mínimo volume, δV, que um “ponto” C deve ter, deforma a podermos falar sobre propriedades de fluido

    contínuo, tal como a massa específica de um ponto?

    05/03/2015 09:07 92 - Propriedades dos Fluidos

    O Fluido como um Contínuo (continuum)

     Ar

    d d

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    05/03/2015 09:07 102 - Propriedades dos Fluidos

    Propriedades em um PontoMassa específica

    (kg/m³)

    O conceito de massa específica em um ponto matemático (ΔV→  0) é irreal, masconsiderando o elemento δV muito pequeno, podemos escrever δV → δV’ → 0. Essa éuma aproximação bastante útil, pois nos permite descrever o escoamento dos fluidos

    em termos de funções contínuas.

    d d

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    • a massa específica varia grandemente, mas acima de umvolume δV’, a massa específica torna-se estável .

    05/03/2015 09:07 112 - Propriedades dos Fluidos

    Propriedades em um PontoMassa específica

    (kg/m³)

    P i d d P

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    05/03/2015 09:07 122 - Propriedades dos Fluidos

    Propriedades em um PontoMassa específica

    (kg/m³)Massa específica

    Densidade(ou densidade relativa ou gravidadeespecífica)

    SG mercúrio = 13,6

    Peso específico N/m³  γH2O = 9,81 kN/m³

     ρH20 = 1000 kg/m3

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Forças atuando em um fluido

    • Forças de superfície 

     – Geradas pelo contato com outras partículas ou comsuperfícies sólidas

    •  pressão e tensão cisalhante são originadas por forças desuperfície normal e tangencial, respectivamente.

    Forças de campo

     – Agem através das partículas, sem contato físico.

    • Força de campo gravitacional, eletromagnética

    05/03/2015 09:07 132 - Propriedades dos Fluidos

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Tensão em um Meio Contínuo

    Considere a força δF atuando sobre o elemento δA de um corpo:

    05/03/2015 09:07 142 - Propriedades dos Fluidos

    A força por unidade de área ou tensão num ponto, édefinida por:

    δA  → menor área possível para ahipótese do continuum

    lim→0

     

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Tensão em um Meio Contínuo

    A força δF, agindo sobre δA, pode ser decomposta em duas

    componentes, uma normal e a outra tangente à área

    05/03/2015 09:07 152 - Propriedades dos Fluidos

    Tensão normal:

    Tensão tangencial ou de cisalhamento:

      = lim→0

     

      = lim→0

     

    n → vetor unitário 

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Tensão em um Ponto

    05/03/2015 09:07 162 - Propriedades dos Fluidos

    ã =  ç  íá  çã   ç 

    Notação:

    Duplo índice:

    τxy x = plano o qual a tensão atuay = direção na qual a tensão atua

    Ex: τxy  → tensão de cisalhamento que agena direção y em um plano perpendicular a x(plano yz)

     grandezatensorial

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Tensão em um Ponto

    Um número infinito de planos pode passar pelo ponto C.

    05/03/2015 09:07 172 - Propriedades dos Fluidos

    O estado de tensão pode ser completamente descrito pela especificação dastensões atuantes em três planos quaisquer  ortogonais entre si que passam

    pelo ponto C.

     Especificada por 9

    componentesTensor tensão

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Tensão em um Ponto

    05/03/2015 09:07 182 - Propriedades dos Fluidos

    Tensões

    Positiva: o seu sentido e o do plano no qual atua

    são ambos positivos ou ambos negativos;

    Negativa: quando seu sentido tem sinal opostoao sinal do plano no qual atuam.

    Convenção de sinais:

    Planos: positivos ou negativos de acordocom sua normal em relação ao eixocoordenado.

    Ex: O plano superior, é um plano y :

    O plano posterior é um plano z:

    positivo

    negativo

    Ex : τyx = 5lbf/in2

    Plano y (+), sentido x (+)

    Plano y (-), sentido x (-)

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Pressão em um Ponto em um Fluido Estático

    • Pressão: é a força de compressão por unidade deárea.

    05/03/2015 09:07 192 - Propriedades dos Fluidos

      = 0 

    • a pressão em qualquer ponto de um fluido é igual em

    todas as direções → grandeza escalar. 

    Pressão num ponto em um fluido estático ou em repouso :

    Aplicação da 2ª lei de Newton:

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Pressão em um Fluido Estático

    05/03/2015 09:07 202 - Propriedades dos Fluidos

    Fluido estático → não há tensões de cisalhamento ou forças tangenciais

    As únicas forças que atuam no elemento de volume de fluido da figura sãonormais. O elemento de fluido em repouso está sob ação da gravidade e de

    tensões ou forças normais.

    Consideremos um elemento de fluido e vamos tomar o limite quando esse

    elemento de fluido tende a zero. 

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Pressão em um Ponto em um Fluido Estático

    05/03/2015 09:07 212 - Propriedades dos Fluidos

    Peso do elemento de fluido: ∆∆∆

    2

     

    Dividindo por ΔyΔz e tomando o limite quando ΔV →0

    −  +  = 0 

      =

     

    Decomposição das forças na direção x:

    −∆   + ∆  = 0 

    −∆   + ∆ ∆∆  = 0 

    =∆

    ∆ 

      = 0 

    lim∆→0 −∆∆∆   +

    ∆∆∆  = 0 

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Pressão em um Ponto em um Fluido Estático

    05/03/2015 09:07 222 - Propriedades dos Fluidos

    Decomposição das forças na direção y:   = 0 

    Δ − Δ  − Δ Δ Δ

    2  = 0 

      =Δ

    Δ 

    lim∆→0 ∆∆∆ −

    ∆∆∆ −

    Δ2  = 0 

    Tomando o limite para ΔV→ 0 da equação e dividindo por ΔxΔz 

     −   = 0 

      =  

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Pressão em um Ponto em um Fluido Estático

    05/03/2015 09:07 232 - Propriedades dos Fluidos

      =  

     =  

    o ângulo θ não aparece nas equações, então a tensão normal em um ponto emum fluido estático é independente da direção, sendo, portanto, umaquantidade escalar, σ. 

    =   = =  

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Pressão em um Ponto em um Fluido Estático

    Medindo a F/A atuando num elemento submerso, teremos

    um valor denominado pressão, P.

    05/03/2015 09:07 242 - Propriedades dos Fluidos

     = −1

    33 

    = − 

     A pressão em um ponto de um fluido tem a mesmaintensidade em todas as direções

    Para um fluido em movimento as tensões normais não são independentes dadireção, sendo:

      ≠   ≠  

     = −1

    3  +  +  A pressão é definida por:

    Para um fluido em repouso:

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Revisão Sobre Unidades

    Dimensões e Unidades

    • Dimensões: quantidades físicas tais como comprimento,tempo, massa e temperatura;

    05/03/2015 09:07 252 - Propriedades dos Fluidos

    Primárias ou fundamentais: massa (m), comprimento (L),

    temperatura (T), tempo (t); Secundárias ou derivadas: velocidade (V), energia (E), volume (V).

    • Unidades: nomes arbitrários dados às dimensõesprimárias adotadas como padrões de medidas.

    Ex.: a dimensão primária de comprimento pode ser medida emunidades de metros, pés, jardas ou milhas.

    (1 milha = 5280 pés = 1609 metros)

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Sistema de

    Dimensões Sistema de Unidades

    Força

    F

    Massa

    M

    Comprimento

    L

    Tempo

    t

    Temperatura

    T

    a.  MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K

    b.  FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R

    c.  FMLtT Sistema Inglês de Engenharia lbf lbm ft s °R

    Revisão Sobre Unidades

    05/03/2015 09:07 262 - Propriedades dos Fluidos

    Sistema Internacional – SI (a) - MLtT:É uma extensão e um refinamento do sistema métrico tradicional (+ de 30 países)A força é uma unidade secundária e a sua unidade, o Newton (N) é definida pela 2ªlei de Newton:

    1 ≡ 1 ∙ /2 

    Sistema métrico absoluto: grama, centímetro, segundo, Kelvin

    1 ≡ 1 ∙ /2 

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Sistema de

    Dimensões Sistema de Unidades

    Força

    F

    Massa

    M

    Comprimento

    L

    Tempo

    t

    Temperatura

    T

    a.  MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K

    b.  FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R

    c.  FMLtT Sistema Inglês de Engenharia lbf lbm ft s °R

    Revisão Sobre Unidades

    05/03/2015 09:07 272 - Propriedades dos Fluidos

    Sistema Gravitacional Britânico - GB (b) - FLtT:Como a massa é uma dimensão secundária, a sua unidade, o slug, édefinida em termos da 2ª lei de Newton

    1 = 1 ∙

    2

    /  

    Sistema Gravitacional: kgf, utm, m, s, Kutm = unidade técnica de medida

    é a massa que submetida a 1kgf

    adquire a aceleração de 1 m/s 2

     Slug

    é a massa que submetida a 1lbfadquire a aceleração de 1 ft/s 2

    1 = 1 ∙ 2/ 

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Sistema de

    Dimensões Sistema de Unidades

    Força

    F

    Massa

    M

    Comprimento

    L

    Tempo

    t

    Temperatura

    T

    a.  MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K

    b.  FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R

    c.  FMLtT Sistema Inglês de Engenharia lbf lbm ft s °R

    Revisão Sobre Unidades

    05/03/2015 09:07 282 - Propriedades dos Fluidos

    Sistema Inglês de Engenharia - EE (c) - FMLtT:Posto que ambas, força e massa, foram escolhidas como unidades primárias, a 2ª leide Newton é escrita como:

      =

     

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Revisão Sobre Unidades

    05/03/2015 09:07 292 - Propriedades dos Fluidos

    Sistema Inglês de Engenharia (c) - FMLtT:

    A libra-força (1 lbf) é a força que dá à massa de um libra-massa (1 lbm) umaaceleração igual à aceleração-padrão da gravidade na Terra, 32,2 ft/s2.

    1 =1 × 32,2 /2

     

    = 32,2  ∙ ( ∙ 2)  

    1 = 32,2  

      =

     

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Exercício

    05/03/2015 09:07 302 - Propriedades dos Fluidos

    O rótulo em um pote de pasta de amendoim indica que o seu peso líquido é de 510 g.

    Expresse sua massa e peso em unidades SI, GB e EE.

    Dados : g = 9,81 m/s2 = 32,2 ft/s2

    gc = 32,2 ft.lbm/(lbf.s2)1 lbm = 0,454 kg1 slug = 32,2 lbm

    Sistema de

    DimensõesSistema de Unidades

    Força

    F

    Massa

    M

    Comprimento

    L

    Tempo

    t

    Temperatura

    T

    a.  MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K

    b. 

    FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R

    c.  FMLtT Sistema Inglês de Engenharia lbf lbm ft s °R

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Revisão Matemática

    05/03/2015 09:07 312 - Propriedades dos Fluidos

    z

    P

    O

    x

    yJ

    r

    k

    i

    Considere o seguinte sistema cartesiano:

    O vetor posição do ponto P, de coordenadas(x, y, z) é definido por:

    a) Vetor posição

    , sendo O elemento de volume dV  corresponde auma variação elementar (dx , dy , dz ):

    k  z   j yi x P Or 

    k dz   jdyidxr d 

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Revisão Matemática

    05/03/2015 09:07 322 - Propriedades dos Fluidos

    z

    P

    O

    x

    yJ

    r

    k

    i

     b.1) Gradiente:  Seja um escalar, que é umafunção contínua da posição.

    b) Operadores Vetoriais:

    O gradiente de α é um vetor, tal que :

    k  z 

     j y

    i

         

      

    x grad

     z 

    v

     y

    v

     x

    vvv

     z  y x

     

    .div

    b.2) Divergente: Dada a função , a divergência deé um escalar:

      

      r v

    v

    á

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Revisão Matemática

    05/03/2015 09:07 332 - Propriedades dos Fluidos

    z

    P

    O

    x

    yJ

    r

    k

    i

    Para

    k v  jvivv   z  y x

    b.3) O rotacional de é:v

    b.4) O laplaciano de é: 

    k  y

    v

     x

    v j

     x

    v

     z 

    vi

     z 

    v

     y

    vvv

      x y z  x y z   

     

      

     

     

      

     

     

      

     

    rot

    2

    2

    2

    2

    2

    22 graddivlap

     z  y x  

         

       

    ã á

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Revisão Matemática

    05/03/2015 09:07 342 - Propriedades dos Fluidos

    Dada a função vetorial , o grad será um tensor  , com componentescartesianas:

    r v

    v

    G~

    c) Gradiente de um vetor:

     

     

     

     

     z v

     yv

     xv

     z 

    v

     y

    v

     x

    v

     z 

    v

     y

    v

     x

    v

    G

     z  z  z 

     y y y

     x x x

     

    ~

    i ã á i

  • 8/18/2019 Aula 2_Propriedades Dos Fluidos

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    Revisão Matemática

    05/03/2015 09:07 352 - Propriedades dos Fluidos

    d) Divergência de um tensor:

    Seja um tensor com componentes cartesianas r T   ~

     

     

     

     

    Tzz TzyTzx

    Tyz TyyTyx

    Txz TxyTxx

     

    ~

    k  z

     y

     x

    T  j

     z

     y

     x

    T i

     z

     y

     x

    T T T 

      zz zy zx yz yy yx xz xy xx  

     

      

     

     

      

     

     

      

     

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    ~ div

    R i ã M á i

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    Revisão Matemática

    05/03/2015 09:07 362 - Propriedades dos Fluidos

    Dados os vetores u, v e o escalar ϕ:

     Algumas identidades

    R i ã M á i

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    Revisão Matemática

    05/03/2015 09:07 372 - Propriedades dos Fluidos

    Para sistemas em coordenadas cilíndricas e esféricas,consultar a “ Apostila Vetores Operadores”. 

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    Bibliografia utilizada

    05/03/2015 09:07 382 - Propriedades dos Fluidos

    Fox, Robert W.; Alan T. McDonald; Philip J. Pritchard, Introdução àmecânica dos fluidos, 7.ed., Rio de Janeiro, RJ: Livros Técnicos eCientíficos, 2010.

    Welty, James R. Welty et al., Fundamentals of momentum, heat, and masstransfer , 5.ed., Hoboken, NJ: John Wiley, 2008.

    E í i

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    Exercício

    A distribuição de velocidade para o escoamento laminardesenvolvido entre placas paralelas é dada por:

    á   = 1 −

    2ℎ

    2

     

    Na qual h  é a distância que separa as placas, e a origem estásituada na linha mediana entre as placas. Considere umescoamento de água a 15 °C, com umáx  = 0,10 m/s e h = 0,1 mm.

    Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seusentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numaseção transversal do canal.