aula 3 - geometria descritiva

Curso de Especialização Tecnológica ( CET )

Condução e Acompanhamento de Obra

DESENHO TÉCNICO

Arq. Pedro Lemos Cordeiro



Capítulo 1 – Desenho Técnico

1.4. Geometria Descritiva



OBJECTIVOS- Introdução aos fundamentos do método de Monge- Identificação e estudo dos elementos fundamentais da Geometria

Descritiva:- O ponto- A recta- O plano

- Introduzir métodos de representação bidimensional da realidade tridimensional

- Desenvolver a capacidade de descrição de objectos por via da sua representação bidimensional

- Apresentação da disciplina de Geometria Descritiva enquanto fundamento teórico da disciplina de Desenho Técnico



1.4.1. Introdução à Geometria Descritiva

1.4.2. Representação das projecções do ponto. Alfabeto do Ponto

1.4.3. Segmento de recta

1.4.3.1. Posições do segmento de recta em relação aos planos de projecção

1.4.4. Recta

1.4.4.1. Projecções da recta. Traços da recta nos planos de projecção e bissectores

1.4.4.2. Rectas projectantes

1.4.4.3. Rectas não projectantes

1.4.4.4. Quadro resumo das rectas

1.4.4.5. Posição relativa de duas rectas

1.4.5. Figuras Planas

1.5.1. Figuras contidas em planos horizontais

1.5.2. Figuras contidas em planos de frente

1.5.3. Figuras contidas em planos de perfil



1.4..6. Plano

1.4.6.1. Definição do plano

1.4.6.2. Traços do plano e rectas notáveis

1.4.6.3. Posição de um plano em relação aos planos de projecção

1.4.6.4. Quadro resumo dos planos

1.4.6.5. Pontos e rectas pertencentes ao plano

1.4.7. Intersecção (plano/plano, recta/plano)

1.4.7.1. Intersecção de dois planos projectantes horizontais

1.4.7.2. Intersecção de dois planos projectantes verticais

1.4.7.3. Intersecção de dois planos projectantes de tipo contrário (horizontal/vertical)

1.4.7.4. Método geral da intersecção de planos

1.4.7.5. Intersecção de dois planos de rampa

1.4.7.6. Intersecção recta/plano

1.4.7.7. Quadro resumo das relações recta/plano

1.4.1. Introdução à Geometria Descritiva





Geometria Descritiva é a disciplina que tem por objecto de estudo os métodos de representação da realidade num sistema bidimensional.

A Geometria Descritiva constitui a base teórica para as representações que são criadas no âmbito do Desenho Técnico.

Gaspard Monge inicia no final do século XVIII o primeiro curso de Geometria Descritiva, onde apresenta uma sistematização de um método capaz de “representar com exactidão por meio de desenhos que têm duas dimensões os objectos que têm três e que são capazes de definição rigorosa” (Monge, Géométrie Descriptive. Leçons Données aux Écoles Normales l’an 3 de la République)



Sistema de representação diédrica do espaço

4 semi-planos, 4 quadrantes (ou diedros) Semiplano vertical ou frontal

Reb

atim

ento



Passagem à figura plana - linhas de referência



A cota do ponto P é igual, na figura planificada, a P’’P0 ou à distância de P’’ à linha de terra; o afastamento é igual a P’P0 ou à distância de P’ à linha de terra.




4 semi-planos, 4 quadrantes (ou diedros) Semiplano vertical ou frontal

Reb

atim

ento




Planos Bissectores (β13 e β24) dividem Quadrantes em Octantes



Designam-se por planos bissectores ou simplesmente bissectores os planos que fazem ângulos de 45º com os planos coordenados e contêm a linha de terra.O bissector que atravessa o 1º e 3º diedros é designado por primeiro e representa-se por ß13.

O bissector que atravessa o 2º e 4º diedros é designado por segundo e representa-se por ß24.





1.4.2. Representação das projecções do ponto. Alfabeto do Ponto.




Um ponto será definido por:

Abcissa P0 – distância ao plano de perfil 0

Afastamento P’ ou (P1) – distância ao plano vertical φ0

Cota P’’ ou (P2) – distância ao plano horizontal 0

Representa-se o ponto nas notações

P(P0,P1,P2) ou

P(P0,P’,P’’)




Um ponto será definido por: Abcissa P0 – distância ao plano de

perfil 0

Afastamento P1 – distância ao plano vertical φ0

Cota P2 – distância ao plano horizontal 0



Alfabeto do pontoPosições do ponto H – no plano 0 C=0

V – no plano φ0 A=0 A – 1º octante A+C+ B – 2º octante A+C+ C – 3º octante A-C+ D – 4º octante A-C+ E – 5º octante A-C- F – 6º octante A-C- G – 7º octante A+C- J – 8º octante A+C- Q– plano β13 A=C I – plano β24 A=C



Alfabeto do ponto

Posições do ponto

H – no plano 0 C=0 V – no plano φ0 A=0 A – 1º octante A+C+ B – 2º octante A+C+ C – 3º octante A-C+ D – 4º octante A-C+ Q – plano β13 A=C I – plano β24 A=C



Posições do ponto H – no plano 0 C=0 V – no plano φ0 A=0 E – 5º octante A-C- F – 6º octante A-C- G – 7º octante A+C- J – 8º octante A+C- Q – plano β13 A=C I – plano β24 A=C



1.4.3. Segmento de Recta



Definição e projecções

[A’B’] – projecção horizontal do segmento [AB][A’’B’’] – projecção vertical do segmento [AB]



Posições particulares do segmento de recta

Segmento de nível Todos os pontos de [AB] têm mesma cota

[A’B’] – projecção horizontal do segmento [AB] representa a sua verdadeira grandeza

Segmento de frente (ou frontal) Todos os pontos de [AB] têm mesmo afastamento

[A’’B’’] – projecção frontal (vertical) do segmento [AB] representa a sua verdadeira grandeza



Oblíquo – [AB]

Perpendicular a φ0 – [AA’’] e [BB’’]

Perpendicular a 0 – [AA’] e [BB’]



1.4.4. Recta



Traços de recta - Definição e Notações

Definição Definida por dois pontos Definida por um ponto e uma direcção

Notação Recta definida por letras latinas minúsculas r, s, t, …

Projecção horizontal definida por r1 ou r’

Projecção vertical definida por r2 ou r’’

Traço horizontal – ponto H de intersecção da recta com plano 0

Traço vertical – ponto V de intersecção da recta com plano φ0



Definição

Definida por dois pontos A e B

Definida por um ponto e uma direcção

Notação

Recta definida por letras minúsculas r, s, t

Projecção horizontal definida por r’

Projecção vertical definida por r’’

Traço horizontal – ponto H de intersecção da recta com plano 0

Traço vertical – ponto V de intersecção da recta com plano φ0

Q – intersecção da recta com plano β13

I – de intersecção da recta com plano β24 no IV quadrante

Definição e Notações



Rectas projectantesAlfabeto da recta – recta projectante horizontal ou recta vertical



Alfabeto da recta – recta projectante vertical ou recta de topo



Rectas não projectantes

Alfabeto da recta – recta horizontal ou recta de nível



Alfabeto da recta – recta de frente



Alfabeto da recta – recta fronto-horizontal



Alfabeto da recta – recta oblíqua



Alfabeto da recta – recta passante



Alfabeto da recta - recta perfil







Posição relativa de duas rectas – rectas complanares

Duas rectas são complanares se têm um ponto comum próprio, isto é, se se intersectam (rectas secantes)




Rectas complanares pertencentes a um plano frontal

Rectas complanares pertencentes a um plano projectante vertical

Rectas complanares, pertencentes a um plano de perfil



Duas rectas são complanares se têm um ponto comum impróprio, isto é, se são paralelas




Rectas paralelas pertencentes a um plano projectante vertical


Rectas paralelas pertencentes a um plano de perfil

Rectas de topo paralelas, pertencentes a um plano projectante vertical



Posição relativa de duas rectas – rectas não complanares

Rectas não complanares são rectas que não se intersectam



1.4.5. Figuras planas



Se uma figura plana tiver os seus elementos constituintes (segmentos no caso dos polígonos e circunferências no caso dos círculos) paralelos a um dos planos de projecção, a figura está em Verdadeira Grandeza nessa projecção

Nesta situação é possível determinar de forma directa as projecções de figuras planas, na medida em que estão em verdadeira grandeza numa projecção e na outra projectam-se sobre uma única linha



Quadrado [EFGI] mede 3 unidades de lado - contido no plano horizontal ν0, tem cota nula, os vértices F e G tem 2 unidades de afastamento.

Os lados [FG] e [EI] são paralelos a X

Os lados [EF] e [IG] são segmentos de topo

Projecção vertical - [E’’I’’] e [F’’G’’] em X

Projecção horizontal - [E’F’G’I’] coincide com o próprio quadrado [EFGI] apresenta-se em verdadeira grandeza

Figuras planas contidas em planos horizontais



Circunferência - contida num plano horizontal com uma unidade de cota, tem 2 unidades de raio e o seu centro tem 3 unidades de afastamento

Projecção vertical – [A’’B’’] paralelo a X

Projecção horizontal – é a verdadeira grandeza da circunferência



Quadrado [ABCD] mede 3 unidades de lado – contido num plano horizontal com 2 unidades de cota, o seu vértice B tem afastamento nulo, e o lado [BC] faz com X um ângulo de 600 de

abertura para a direita

Projecção vertical – [A’’C’’] paralelo a X

Projecção horizontal – é a verdadeira grandeza do quadrado



Figuras planas contidas em planos de frente

Triângulo [EFG] equilátero de 4 unidades de lado, [EF] é vertical e o vértice G situa-se mais à direita.

Projecção horizontal – [F’G’] paralelo a X

Projecção vertical – é a verdadeira grandeza do triângulo



Figuras planas contidas em planos de perfil

Uma figura geométrica plana contida num plano de perfil apresenta as suas projecções ortogonais em 0 e em φ0 reduzidas a segmentos de recta perpendiculares a X

A terceira projecção ortogonal sobre o plano de perfil de referência 0 apresenta-nos a sua verdadeira grandeza, permitindo obter o conhecimento completo da figura







1.4.6. Plano



Um plano fica completamente definido por um dos três conjuntos de elementos:

- Três pontos não colineares (não alinhados)

- Um ponto e uma recta

- Duas rectas complanares (concorrentes ou paralelas)

Os planos são representados por letras gregas minúsculas: α, β, ω, , φ, , …

Algumas destas letras são reservadas para planos particulares (planos de projecção, planos de perfil)



2 recta paralelas 2 rectas concorrentes

1 recta e 1 ponto3 pontos não colineares



Traços e rectas notáveis do plano Rectas e direcções importantes no estudo de um plano qualquer que o caracterizam e simplificam a sua representação:

- Traços dos planos nos planos de projecção – lugar geométrico dos pontos do plano com cota nula (traço horizontal) e de afastamento nulo (traço vertical); são as rectas de intersecção do plano com os planos de projecção

- Traços dos planos nos planos bissectores – lugar geométrico dos pontos do plano com cota e afastamento iguais em valor algébrico (β13) e iguais em valor absoluto (β24); são as rectas de intersecção do plano com os planos bissectores

- Direcções das rectas frontais do plano

- Direcções das rectas horizontais do plano

- Direcção da recta de maior declive

- Direcção da recta de maior inclinação



Construção dos traços de um plano definido por duas rectas complanares, nos planos de projecção



Construção dos traços, de um plano definido por duas rectas, nos planos de projecção

(H’,H’’) – projecções do traço horizontal H da recta AB e da recta BC (projecções do ponto de cota nula de cada uma das rectas)

h - traço horizontal do plano

h’’ - projecção horizontal do traço horizontal do plano

(V’,V’’) – projecções do traço vertical V das rectas(projecções do ponto de afastamento nulo de cada uma das rectas)

v - traço vertical do plano

v’’ - projecção vertical do traço vertical do plano

N - ponto de intersecção do plano com a linha de terra (cota nula e afastamento nulo)



Construção dos traços de um plano α definido por duas rectas paralelas a e b



f,h - Traços dos planos nos planos de projecção

q - Traços dos plano no plano bissector β13

f – direcção das rectas frontais



n – direcção das rectas horizontais ou de nível

d – direcção das rectas de maior declive

i – direcção das rectas de maior inclinação



Construção das rectas horizontais ou de nível de um plano

As projecções horizontais das rectas horizontais de um plano são todas paralelas entre si, logo paralelas ao traço horizontal do plano



Construção da direcção das rectas de maior declive

d1 – projecção horizontal da recta de maior declive (é perpendicular ao traço horizontal do plano)



Construção da direcção das rectas de maior declive ( máximo declive - rectas do plano dado que fazem um maior ângulo com H, de maior inclinação são as rectas do plano dado que fazem o maior ângulo com F ) de um plano definido por duas rectas complanares



r1, r2 – projecções da recta r

s1, s2 – projecções da recta s

Recta auxiliar de nível n pertencente ao plano definindo por r e por s

A projecção horizontal de n, n1, é, por definição, paralela ao traço horizontal do plano definido por r e por s

A projecção horizontal da direcção de maior declive d, d1, é perpendicular ao traço horizontal do plano, sendo consequentemente perpendicular à projecção horizontal da recta de nível n, n1

As intersecções da projecção horizontal de d, d1, com duas outras rectas pertencentes ao plano permitem determinar as projecções verticais de dois pontos da projecção vertical de d, d2



Posição do plano em relação aos planos de projecção

Plano projectante horizontal – plano perpendicular ao plano horizontal de projecção que pode apresentar-se relativamente ao plano vertical de projecção

Oblíquo Paralelo Perpendicular

Plano Vertical Plano Frontal Plano de Perfil



O plano projectante horizontal é representado no método da dupla projecção ortogonal pelo seu traço vertical perpendicular ao eixo X, com traço horizontal qualquer



O plano frontal é representado no método da dupla projecção ortogonal pelo seu traço horizontal paralelo a X, contendo todas as projecções do plano



O plano de perfil é representado no método da dupla projecção ortogonal pelos seus traços horizontal e vertical coincidentes e perpendiculares ao eixo X, contendo todas as projecções do plano



Plano projectante vertical (ou frontal) – plano perpendicular ao plano vertical de projecção que se pode apresentar relativamente ao plano de projecção horizontal de três formas

Oblíquo Paralelo Perpendicular

Plano de Topo Plano de Nível Plano de Perfil



O plano de topo pode ser representado no método da dupla projecção ortogonal pelo seu traço horizontal perpendicular ao eixo X , com traço vertical qualquer



O plano de nível pode ser representado no método da dupla projecção ortogonal pelo seu traço vertical paralelo a X, contendo todas as projecções do plano

Plano horizontal ou de nível com cota positiva



Planos não projectantes – os planos não projectantes são oblíquos a ambos os planos de projecção; são designados por

Plano Paralelo a LT ou Plano de Rampa

Plano Oblíquo



Um plano oblíquo pode ser representado no método da dupla projecção ortogonal do seguinte modo



Para o plano de rampa, os traços representam-se paralelos a LT e localizam-se acima ou abaixo dependendo do quadrante em que o plano se situaO plano de rampa pode atravessar o I, II e IV quadrantes

I Quadrante



O planos de rampa pode ainda atravessar: I, II e III quadrantes de projecção; II, III e IV quadrantes de projecção e I, III e IV quadrantes de projecção

II Quadrante III Quadrante IV Quadrante





Pontos e rectas pertencentes ao plano

Obtenção de um ponto pertencente a um plano

A condição para que um ponto pertença a um plano é que pertença a uma recta do plano.



O raciocínio e execução é idêntico para um plano definido por os seus traços, por duas rectas concorrentes ou paralelas, por uma recta e um ponto ou por três pontos.

f, h - traços vertical e horizontal do plano nos planos de projecção

f1, f2 – projecções verticais e horizontais de uma recta frontal de afastamento x pertencente ao plano.

Obtenção de um ponto com afastamento x e cota y pertencente a um plano através da intersecção de uma recta horizontal ou de nível e uma frontal



Identificar o ponto de cota y na recta frontal de afastamento x pertencente ao plano

Considerar-se uma recta de nível do plano de cota y.

As duas rectas irão intersectar-se segundo um ponto que verifica simultaneamente as duas condições ter afastamento x e cota y.

A1, A2 – projecções verticais e horizontais pertencentes ao plano



Se o plano for projectante, basta marcar a coordenada respectiva do ponto sobre o traço do plano, no plano de projecção relativamente ao qual é projectante. A outra coordenada marca-se na respectiva linha de referência.



Determinação de um plano passando por uma recta

Para que uma recta pertença a um plano basta que os traços da recta pertençam aos traços do mesmo nome do plano, isto é, que os traços do plano contenham os traços da recta.



Exemplo: determinação de um plano projectante passando por uma recta dada

f, h - traço vertical e horizontal do plano de topo

nos planos de projecção

f, h - traço vertical e horizontal do plano vertical

nos planos de projecção



Intersecção de dois planos projectantes horizontais



Intersecção de dois planos projectantes verticais



Intersecção de planos projectantes vertical e horizontal



Método geral de intersecção de planos



Intersecção de dois planos de rampaOs traços paralelos dos planos de rampa obrigam a rebater as suas projecções num plano de perfil, por exemplo π0



Método geral para intersecção de dois planos cujos traços não se intersectam recorrendo a planos projectantes auxiliares (1)

Recorre-se a um plano projectante vertical π, a partir do qual se determinam as rectas de intersecção deste com os dois planos de rampa.

A intersecção destas duas rectas identifica um ponto que pertence simultaneamente a π e aos dois planos de rampa, pertencendo consequentemente à recta de intersecção dos dois planos de rampa.



Método geral para intersecção de dois planos cujos traços não se intersectam recorrendo a planos projectantes auxiliares (2)



Intersecção Recta-PlanoMétodo geral de intersecção de uma recta com um plano projectante

Construção usando um plano proj. vertical auxiliar βDeterminar os traços do plano projectante vertical β que contém a recta r (r’’≡vβ)Determinar a recta i de intersecção dos dois planosDeterminar o ponto de intersecção T das rectas r e i



Método geral de intersecção de uma recta com um plano projectante

Construção usando um plano proj. horizontal auxiliar β

Determinar os traços do plano projectante horizontal β que contém a recta r (r’≡hβ)

Determinar a recta i de intersecção dos dois planos

Determinar o ponto de intersecção T das rectas r e i





Bibliografia

- Cunha, Luís Veiga da – “Desenho técnico”, Ed. Fundação Calouste Gulbenkian, 1991

- Ricca, Guilherme – “Geometria Descritiva – Método de Monge”, Ed. Fundação Calouste Gulbenkian, 2006

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