14
 1 Fenômenos de Transporte II CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE Prof. MsC. Antonio Batista de Oliveira Jr UNIFEB 2 CAPÍT ULO 4 - CONDUÇÃO TRANS IENTE Introdução Trata da transferência de calor por condução em regime não-estacionár io, ou seja, dependente do tempo. Objetivo Desenvolver procedimentos para determinar a dependência da distribuição de temperaturas no interior de um sólido em relação ao tempo durante um processo transiente; Determinar a transferência de calor entre o sólido e a vizinhança. 3 CAPÍT ULO 4 - CONDUÇÃO TRANS IENTE 4.1. Método da Capacitância Global  conv  sai  q  E  = = = = &  acu  E & Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente Admite a hipótese de que a temperat ura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente. R cond pequena R conv grande 4 acu ent sai g E E E E = + & & & & ( ) s dT Vc hA T T dt ρ ρ ρ ρ  = s Vc d hA dt ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ θ = i t s 0 Vc d dt hA θ θ θ θ θ θ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ θ θ θ θ = T T θ θ θ  = Aplicando a equação da Energia Fazendo Separando as variáveis e integrando a partir das condições iniciais e t 0 =  i T(0) T = = i i T T θ θ θ onde 4.1. Método da Capacitância Global

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1

Fenômenos de Transporte II

CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE

Prof. MsC. Antonio Batista de Oliveira Jr

UNIFEB

2

CAPÍTULO 4 - CONDUÇÃO TRANSIENTE

Introdução

Trata da transferência de calor por condução em regimenão-estacionário, ou seja, dependente do tempo.

Objetivo

● Desenvolver procedimentos para determinar adependência da distribuição de temperaturas nointerior de um sólido em relação ao tempo durante umprocesso transiente;

● Determinar a transferência de calor entre o sólido e avizinhança.

3

CAPÍTULO 4 - CONDUÇÃO TRANSIENTE

4.1. Método da Capacitância Global

 conv sai q E ====&

 acu E&

Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente

Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniformeno espaço, em qualquer instante durante o processo transiente.

R cond  pequena

R conv  grande

4

acu ent sai gE E E E= − +& & & &

( )sdT

Vc hA T Tdt

ρρρρ ∞= − −

s

Vc d

hA dt

ρ θρ θρ θρ θθθθθ= −

i

t

s 0

Vc d dthA

θθθθ

θθθθ

ρ θρ θρ θρ θθθθθ

= −

∫ ∫ 

T Tθθθθ ∞= −

Aplicando a equação da Energia

Fazendo

Separando as variáveis e integrando a partir dascondições iniciais et 0= iT(0) T=

∞= −i iT Tθθθθonde

4.1. Método da Capacitância Global

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5

s i

Vcln t

hA

ρ θρ θρ θρ θ

θθθθ= −

Efetuando as integrações

ou

5.1. Método da Capacitância Global

shAt

Vc

i i

T Te

T Tρρρρθθθθ

θθθθ

−= =

i

s

Vct ln

hAρ θρ θρ θρ θ

θθθθ=

6

( )t t ts s

Vc 1Vc R C

hA hA

ρρρρτ ρτ ρτ ρτ ρ

= = =

Interpretando como uma constantede tempo térmica:

sVc/hAρρρρ

5.1. Método da Capacitância Global

onde tR

tC- Resistência a transferência de calor por convecção

- Capacitância térmica global do sólido

7

A distribuição de temperatura fica:

5.1. Método da Capacitância Global

s

1t

VchA

i i

T Te

T T

ρρρρθθθθ

θθθθ

−= =

t t

1t

R C

i i

T Te

T T

θθθθ

θθθθ

−= =

t1 t

i i

T Te

T T

ττττθθθθ

θθθθ

− ∞

−= =

•••• Qualquer aumento em Rt ou Ct

causará uma resposta mais lentado sólido a mudanças em seuambiente térmico.

•••• Esse comportamento é análogo

ao decaimento da voltagem queocorre quando uma capacitor édescarregado através de umresistor em um circuito elétricoRC 8

t t

s0 0

Q qdt hA dtθθθθ= =∫ ∫ Para determinar o total de energia transferida Q

Substituindo da equação (5.6)

5.1. Método da Capacitância Global

θθθθ

integrando

shAt tVc

s io

Q hA e dtρρρρ

θθθθ

= ∫ 

( ) ( )

shAt

VciQ Vc 1 e ρρρρρ θρ θρ θρ θ

= −

Obs.:

tt atat

0 0

ee dt

a=∫ 

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9

ou

ou ainda

5.1. Método da Capacitância Global

( ) ( )s

1t

Vc

hAiQ Vc 1 e

ρρρρ

ρ θρ θρ θρ θ

= −

( ) ( )t t

tR C

iQ Vc 1 eρ θρ θρ θρ θ

= −

finalmente

( ) ( )t

t

iQ Vc 1 e

ττττρ θρ θρ θρ θ

= −10

5.1. Método da Capacitância Global

Q está relacionada com a variação de energiainterna do sólido

acuQ E∆∆∆∆− =

( ) ( )

= − − t

1t

acu iE Vc 1 eττττ

∆ ρ θ∆ ρ θ∆ ρ θ∆ ρ θ

11

Seja considerada a figura a seguir

5.2. Validade do Método da Capacitância Global

Para regime estacionário

( ) ( )s1 s2 s2kA

T T hA T TL ∞− = −

Rearranjando

( )

( )s1 s2 cond

s2 conv

L/kAT T R hLBi

T T 1 / hA R k∞

−= = = =

hLBi

k=

onde

É o Número de Biot

12

Para a utilização do Método daCapacitância Global, deve-se ter:

5.2. Validade do Método da Capacitância Global

chLBi 0,1

k= <

Fornece uma medida da queda de temperatura nosólido em relação a diferença de temperatura entrea superfície e o fluido

Bi −

onde

cL −Escala de comprimento correspondente amáxima diferença espacial de temperatura

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13

5.2. Validade do Método da Capacitância Global

Fornece uma medida da queda de temperatura nosólido em relação a diferença de temperatura entrea superfície e o fluido

Bi −

14

5.2. Validade do Método da Capacitância Global

onde

Por conveniência define-se:

cs

VL

A=

V −

sA −

Volume do sólido

Área superficial do sólido

15

5.2. Validade do Método da Capacitância Global

Escrevendo o expoente da equação em função de Lc 

Retomando a equação (5.6)

shAt

Vc

i i

T Te

T Tρρρρθθθθ

θθθθ

−= =

s

c

hA t ht

Vc cLρ ρρ ρρ ρρ ρ=

Multiplicando o numerador e o denominador por Lck

s c c2 2c c c

hA t hL hLht k t t

Vc cL k c kL L

αααα

ρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρ= = =

16

5.2. Validade do Método da Capacitância Global

shA tBi Fo

Vcρρρρ= ⋅

Então ( )Bi Fo

i i

T T

eT T

θθθθ

θθθθ

− ⋅∞

= =−

s c2c

hA t hL t

Vc k L

αααα

ρρρρ=

Definindo e lembrando que resulta:2c

tFo

L

αααα= chL

Bik

=

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17

Exemplo 5.1

Uma placa de alumínio [k=160W/(m o C),  ρ  ρ  ρ  ρ  = 2790 kg/m 3 ,c p =0,88kJ/(kg  o C  )  ] com L=3cm  de espessura e umatemperatura uniforme T 0 =225  o C  é repentinamente imersaem um fluido agitado, mantido a uma temperaturaconstante T oo  =25  o C . O coeficiente de transferência decalor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m 2 o C). Determineo tempo necessário para que o centro da placa atinja 50 o C.

18

Exemplo 5.1

•••• Verificação do número de Biot

A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menorque 0,1

cV L.A L

L 1,5 cmA 2.A 2

= = = =

sh. L 320.0,015Bi 0,03

k 160= = =

s

c

hhAtt

cLVc

i i

T Te e

T Tρρρρρρρρθθθθ

θθθθ

−−

−= = =

Utilizando a equação (5.6)

19

Exemplo 5.1

•••• substituindo os valores

t 239 s 4 min= ≅

i

s

Vct ln

hA

ρ θρ θρ θρ θ

θθθθ=

2790.880.0,015 225 25t ln

320 50 25

−=

c icLt ln

h

ρρρρ θθθθ

θθθθ=

20

Exercícios

Exercício 5.5 do Incropera

Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadaspelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamentolento até 400K em um ambiente com ar a T

∞=325K e

h=20W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejamk=40W/mK, ρρρρ=7800kg/m3 e c=600J/kgK. Estime o temponecessário para o processo de resfriamento.

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21

Exercícios

Exercício 5.7 do Incropera

O coeficiente de transferência de calor para o arescoando sobre uma esfera deve ser determinado pelaobservação do comportamento dinâmico da temperaturade uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esferaque possui 12,7mm de diâmetro, encontra-se a 66oCantes de ser inserida em uma corrente de ar que tem atemperatura de 27oC. Um termopar sobre a superfícieexterna da esfera indica 55oC após 69s da inserção daesfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que aesfera se comporta como um objeto espacialmenteisotérmico e calcule o coeficiente de transferência decalor.

22

5.4. Efeitos Espaciais

Quando os gradientes de temperatura no interior do meionão são desprezíveis a aplicação do Método daCapacitância Global é inadequada e outras alternativas deabordagem devem ser utilizadas.

Em problemas de condução transiente de calor umaalternativa é a solução da equação do calor desenvolvidano Capítulo 2.

No caso de coordenadas retangulares a equação de calortem a forma:

pT T T T

k k k q cx x y y z z t

ρρρρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

&

23

5.4. Efeitos Espaciais

2

2T 1 T

tx αααα

∂ ∂=

∂∂

iT(x,0) T=

x 0

T0

x =

∂=

x L

Tk h[T(L,t) T ]

x ∞=

∂− = −

Considerando uma parede plana, sistema unidimensional,sem geração interna e k  constante, a equação de calortoma a forma:

Para resolver a equação (5.26) é necessário especificaruma condição inicial e duas condições de contorno:

24

5.4. Efeitos Espaciais

As temperaturas na parede dependem de uma série deparâmetros físicos, como segue:

iT T(x, t,T ,T ,L,k, ,h)αααα∞=

Para reduzir a quantidade de parâmetros físicos e facilitar otratamento do problema a adimensionalização dasequações pode ser utilizada, como segue:

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25

5.4. Efeitos Espaciais

i i

T T*

T T

θθθθθθθθ

θθθθ∞

−= =

xx*

L=

2t

t* FoL

αααα= =

Temperaturas adimensional

Coordenada espacial adimensional

Tempo adimensional

26

5.4. Efeitos Espaciais

2

2* *

Fox*

θ θθ θθ θθ θ∂ ∂=

∂∂

*(x*,0) 1θθθθ =

x* 1

*

Bi *(1,t*)x*

θθθθ

θθθθ=

= −∂

A equação da condução de calor juntamente com ascondições de contorno na forma adimensional tomam aforma

x* 0

*0

x*

θθθθ

=

∂=

Condições iniciais e de contorno.

27

5.4. Efeitos Espaciais

A dependência funcional fica:

* f(x*,Fo,Bi)θθθθ =

iT T(x,t ,T ,T , L,k, ,h)αααα∞=

Comparando com a equação (5.30)

Para uma dada geometria a distribuição transiente detemperatura é uma função universal de ex*, Fo Bi

28

5.5. A Parede Plana com Convecção

Figura 5.6a: Sistema unidimensional com temperaturainicial uniforme submetido subitamente acondições convectivas.

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29

5.5. A Parede Plana com Convecção

5.5.1. Solução exata

A solução da equação (5.34) com ascondições iniciais e de contornodadas pelas equações de (3.35),(5.36) e (5.37) é dada por:

2n Fo

n n

n 1

* C e cos( x*)ζζζζθ ζθ ζθ ζθ ζ

=

=∑Onde:

nn

n n

4senC

2 sen(2 )

ζζζζ

ζ ζζ ζζ ζζ ζ=

+

n ntg Biζ ζζ ζζ ζζ ζ =

2t

FoL

αααα=

30

5.5. A Parede Plana com Convecção

5.5.3. Transferência total de energia

iQ c[T(x, t) T ]dVρρρρ= − −∫ Adimensionalisando com a grandeza

o iQ cV(T T )ρρρρ ∞= −

resulta

Utilizando θθθθ* dado pela Eq (5.40b) e integrando, resulta:

i

o i

Q [T(x, t) T ] dV 1(1 *) dV

Q T T V Vθθθθ

−= − = −

−∫ ∫ *1

oo 1

Q sen1

Q

ζζζζθθθθ

ζζζζ= −

31

EXERCÍCIOS

Exercício 5.37 - Incropera

Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então,resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio dereaquecimento para uma placa de aço com 100mm deespessura (ρρρρ=7830kg/m3, c=550J/kgK, k=48W/mK) que estáinicialmente a uma temperatura uniforme de Ti=200oC e deveser aquecida a uma temperatura máxima de 550oC. Oaquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, ondeprodutos de combustão a T

∞=800oC mantém um coeficiente

de transferência de calor de h=250W/m2K em ambas assuperfícies da placa. Quanto tempo a placa deve ser deixada

dentro do forno?

32

5.7

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33 34

5.7. Sólido Semi-Infinito

Idealização de um sólido finito de grande espessura

Figura 5.7: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície.

35

5.7. Sólido Semi-Infinito

Governado pela Equação (5.26)

2

2T 1 T

tx αααα

∂ ∂=

∂∂

iT(x,0) T=

iT(x , 0) T→ ∞ =→ ∞ =→ ∞ =→ ∞ =

36

5.7. Sólido Semi-Infinito

Figura 5.7: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinitopara as três condições na superfície

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37

5.7. Sólido Semi-Infinito

Caso 1: Temperatura na superfície constante ( ) sT  t ,0T  =

38

39 40

Gráfico Função Erro

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41

5.7. Sólido Semi-Infinito

Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante s oq q′′ ′′′′ ′′′′ ′′′′ ′′====

42

5.7. Sólido Semi-Infinito

Caso 3: Convecção na superfície: (((( ))))x 0

Tk h T T 0,t

x ∞∞∞∞====

∂∂∂∂ − = −− = −− = −− = − ∂∂∂∂

43 44

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47 48

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51 52

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