PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: ENG2033 – TEORIA DAS ESTRUTURAS II

Prof. Luiz Álvaro de Oliveira Júnior

AULA 34 – PROCESSO DE CROSS

Formulação

A Figura 1 mostra uma estrutura constituída por quatro barras conectadas umas às outras por

um nó comum, o nó A. Quando se aplica ao nó A da estrutura um momento de valor M no

sentido anti-horário ocorre nesse nó e nesse mesmo sentido uma rotação cujo valor é θ.

Devido a essa rotação, surgem nas extremidades das barras 1, 2, 3 e 4 os seguintes momentos

fletores: �� = ��,� ∙ �, � = �,� ∙ �, � = �,� ∙ �, �� = ��,� ∙ �.

Figura 1 – Aplicação de um momento externo em um nó com rotação liberada.

A compatibilidade estática exige que a soma dos momentos fletores em cada barra no nó A

seja igual ao momento externo aplicado a esse nó. Assim, temos a equação (1), a partir da qual

obtemos a equação (2) após substituir os valores de cada um dos momentos atuantes nas

barras 1, 2, 3 e 4 no nó A na equação (1).

�1 + �2 + �3 + �4 = � (1)

� ∙ ���,� + �,� + �,� + ��,�� = � (2)

Os termos entre parênteses na equação (2) representam a soma dos coeficientes de rigidez

das barras 1, 2, 3 e 4 no nó A. Assim, a equação (2) pode ser reescrita na forma da equação (3),

de onde obtemos o valor da rotação do nó A, dado pela equação (4).

� ∙ ∑ �� = � (3)

� = �∑ ��

(4)

Levando em consideração a equação (4), podemos determinar a fração do momento externo

aplicado em A que vai para cada barra, assim teremos a equação (5), a partir da qual podemos

concluir que um momento externo será distribuído entre as diversas barras concorrentes em

um nó de maneira proporcional à rigidez de cada uma das barras neste nó.

�� = ��∑ ��

∙ � (5)

A relação entre a rigidez de uma barra em um determinado nó e a soma da rigidez das barras

concorrentes no mesmo nó é chamada de coeficiente de distribuição e é dado pela equação

(6), a partir da qual decorre a equação (7).

�� = ��∑ ��

(6)

�� = �� ∙ � (7)

É evidente que a soma dos coeficientes de distribuição em torno de um nó deve ser igual a 1

para garantir que o momento fletor total no nó seja igual ao momento externo aplicado.

Convenção de sinais

A convenção de sinais adotada é coerente com a adotada no método dos deslocamentos. Nesse

método, trabalhamos com os momentos exercidos pelos nós sobre as barras (momentos

atuantes) e atribuímos sinal positivo caso eles estejam orientados no sentido anti-horário.

Entretanto, no Processo de Cross, trabalharemos com os momentos exercidos pelas barras

sobre os nós (momentos equilibrantes), de modo que para sermos coerentes com a convenção

de sinais adotada no método dos deslocamentos, precisamos invertê-la e considerar positivos

os momentos das barras sobre os nós que estiverem no sentido horário.

Entretanto, no Processo de Cross, trabalharemos sempre com os momentos exercidos no

sistema principal pelas barras sobre os nós, que possuem mesmo valor e sentido oposto ao

dos momentos de engastamento perfeito, que são os momentos exercidos pelos nós sobre as

barras.

Figura 2 - Análise dos sinais dos momentos fletores para equilibrar uma carga momento.

Assim, pela convenção de sinais adotada, os momentos equilibrantes em um determinado nó

sempre terão sinais contrários ao momento atuante nesse nó.

No Processo de Cross, valem os mesmos coeficientes de rigidez utilizados no método dos

deslocamentos para barras a cujos nós imporemos rotações unitárias.

Procedimento de solução

O procedimento de solução do problema é bastante simples e direto para os casos em que há

apenas uma deslocabilidade incógnita. Nesse caso, os momentos finais são obtidos

multiplicando o momento atuante no nó pelos coeficientes de distribuição obtidos da equação

(6) para cada nó onde houver deslocabilidades incógnitas. Por outro lado, a solução se torna

iterativa para os casos com mais de uma incógnita, pois ao equilibrar um nó, desequilibramos

o(s) outro(s) nós da estrutura.

É importante ressaltar que o cálculo se desenvolve sem que seja calculada a deslocabilidade

incógnita. Esta é uma particularidade do Processo de Cross que se repete nos problemas

envolvendo mais de uma deslocabilidade incógnita.

Os exercícios de aplicação abaixo esclarecem o processo de cálculo.

Exemplo 1 – Estrutura indeslocável com uma rotação desconhecida

Traçar o diagrama de momento fletor do pórtico abaixo submetido ao carregamento indicado.

Considere que as barras são inextensíveis e que a rigidez à flexão vale �� = 30000 �� ∙ �.

a) Coeficientes de rigidez de cada barra no nó central:

�� = 3��� �� = 3��

5

� = 4��� � = 4��

4

� = 4��� � = 4��

6

! � = 3��5 + 4��

4 + 4��6 ! � = 34��

15

�� = ��∑ � �� = 3��

515

34�� �� ≅ 0,26

� = �∑ � � = 4��

415

34�� � ≅ 0,44

� = �∑ � � = 4��

615

34�� � ≅ 0,30

b) Momentos de engastamento

�# = $�

12 �# = 10 ∙ 6

12 �# = 30 �� ∙ �

�% = − $�

12 �% = − 10 ∙ 6

12 �% = −30 �� ∙ �

c) Solução

�� = −30 ∙ 0,26 �� = −7,8 �� ∙ �

� = −30 ∙ 0,44 � = −13,2 �� ∙ �

� = −30 ∙ 0,30 � = −9,0 �� ∙ �

d) Momentos finais

�#,� = 0 − 7,8 �#,� = −7,8 �� ∙ �

�#, = 0 − 13,2 �#, = −13,2 �� ∙ �

�#, = 30 − 9 �#, = 21,0 �� ∙ �

�%, = −30 − 4,5 �%, = −34,5 �� ∙ �