AULA 5 Prof. Dr. Márcio A. Fiori - [email protected] Planejamento Experimental

AULA 5

Prof. Dr. Márcio A. Fiori - [email protected]

Planejamento Experimental

Otimização de experimentos pelo método da superfície de respostas (MSR)

Esta técnica utiliza duas etapas: Modelagem e deslocamento, que são repetidas tantas vezes quantas forem necessárias.

-A modelagem utiliza modelos lineares ou quadráticos, sendo sua escolha uma função da menor quantidade de resíduos deixados pelos mesmos.

-O deslocamento é feito no caminho de máxima inclinação da superfície, de modo a encurtar a trajetória aos pontos de máximo e de mínimo desejados no processo.

Observação: para avaliar a falta de ajuste de um modelo, necessitamos de mais níveis das variáveis envolvidas do que o número de parâmetros do modelo. Assim, para avaliar o ajuste de um modelo linear são necessários 3 níveis das variáveis estudadas.


Adição de um ponto central a um planejamento fatorial

Sem pontos centrais parte-se da suposição que a dependência entre a resposta e os fatores é linear.

Com a aplicação de pontos centrais ao planejamento há possibilidade de avaliação quanto a linearidade ou demais curvaturas na dependência entre a respostas e os fatores.

Nem sempre se conhece quais as variáveis que afetam a resposta, o que nos leva a considerar que em um primeiro estudo é mais interessante estudar o maior número possível de variáveis. Porém isto só é possível com um PLANEJAMENTO FRACIONÁRIO.

No caso de planejamentos fatoriais fracionários, são possíveis meias frações, quartos de fração, oitavos de fração, etc...

Meias frações de planejamentos fatoriais:

Como o próprio nome diz, meia fração é uma metade. Em um planejamento experimental completo, uma meia fração consiste da metade do número de experimentos que é a ele destinado.

Por exemplo: um planejamento fatorial completo 24, é constituído de 16 experimentos. Portanto, uma meia fração será constituída de 8 experimentos, sendo denotada por 24-1.

Este planejamento é correspondente a um planejamento 23 completo.


Exemplo:

Pretende-se conhecer o efeito da concentração de um reagente e da velocidade de agitação no rendimento de uma reação. Segue o planejamento experimental 22 mais 3 pontos centrais:


Ensaio C (%) V (rpm) X1 X2 Y (%)

1 45 90 -1 -1 69

2 55 90 1 -1 59

3 45 110 -1 1 78

4 55 110 1 1 67

5 50 100 0 0 68

6 50 100 0 0 66

7 50 100 0 0 69


ANOVA; Var.:Var3; R-sqr=,97207; Adj:,94415 (Spreadsheet3) 2**(2-0) design; MS Residual=1,75 DV: Var3SS df MS F p

(1)Var1 110,2500 1 110,2500 63,00000 0,004170(2)Var2 72,2500 1 72,2500 41,28571 0,0076411 by 2 0,2500 1 0,2500 0,14286 0,730615Error 5,2500 3 1,7500

Total SS 188,0000 6

Effect Estimates; Var.:Var3; R-sqr=,97207; Adj:,94415 (Spreadsheet3) 2**(2-0) design; MS Residual=1,75 DV: Var3

Effect Std.Err. t(3) p -95,% - Cnf.Limt

+95,% - Cnf.Limt Coeff. Std.Err. -

Coeff.-95,% -

Cnf.Limt +95,% - Cnf.Limt

Mean/Interc. 68,0000 0,500000 136,0000 0,000001 66,4088 69,59122 68,00000 0,500000 66,40878 69,59122(1)Var1 -10,5000 1,322876 -7,9373 0,004170 -14,7100 -6,29002 -5,25000 0,661438 -7,35499 -3,14501(2)Var2 8,5000 1,322876 6,4254 0,007641 4,2900 12,70998 4,25000 0,661438 2,14501 6,354991 by 2 -0,5000 1,322876 -0,3780 0,730615 -4,7100 3,70998 -0,25000 0,661438 -2,35499 1,85499


Fitted Surface; Variable: Var32**(2-0) design; MS Residual=1,75

DV: Var3

> 75 < 75 < 70 < 65 < 60

Fitted Surface; Variable: Var3

2**(2-0) design; MS Residual=1,75

DV: Var3

> 78 < 78 < 74 < 70 < 66 < 62 < 58

-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Var1

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Var2

Observed vs. Predicted Values

2**(2-0) design; MS Residual=1,75

DV: Var3

56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80

Observed Values

56

58

60

62

64

66

68

70

72

74

76

78

80

Pre

dict

ed V

alue

s


Novo planejamento:

Premissas:-Diminuir a variável 1-Aumentar a variável 2

Exercício: FAZER A ANÁLISE ESTATÍSTICA


1 30 115 -1 -1 86

2 40 115 1 -1 85

3 30 135 -1 1 78

4 40 135 1 1 84

5 35 125 0 0 90

6 35 125 0 0 88

7 35 125 0 0 89


Exercício: FAZER A ANÁLISE ESTATÍSTICA

Fitted Surface; Variable: Var32**(2-0) design; MS Residual=19,55952

DV: Var3

> 88 < 88 < 86 < 84 < 82 < 80

Fitted Surface; Variable: Var3

2**(2-0) design; MS Residual=19,55952DV: Var3

> 88 < 88 < 86 < 84 < 82 < 80

-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Var1

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Var2


Observação importante: -O modelo linear falha;-Mais de 58 % é devido a erro;-O R2 é muito pequeno.

ANOVA; Var.:Var3; R-sqr=,39773; Adj:0, (Spreadsheet7) 2**(2-0) design; MS Residual=19,55952 DV: Var3

SS df MS F p

(1)Var1 6,25000 1 6,25000 0,319537 0,611400

(2)Var2 20,25000 1 20,25000 1,035301 0,383830

1 by 2 12,25000 1 12,25000 0,626293 0,486516

Error 58,67857 3 19,55952

Total SS 97,42857 6


Planejamento fatorial em estrela

O PFE é uma ampliação do planejamento fatorial completo com ponto central.

O PFE é representado no espaço como um quadrado com ponto central, o planejamento estrela adiciona pontos correspondentes ao giro de 45o neste planejamento.

Estes novos pontos estão localizados a uma distância de (2n)1/4, onde n é o número de fatores.

-21/2 21/2-1 1 0

-21/2

-1

21/2

1

0



1 30 115 -1 -1 86

2 40 115 1 -1 85

3 30 135 -1 1 78

4 40 135 1 1 84

5 35 125 0 0 90

6 35 125 0 0 88

7 35 125 0 0 89

8 28 125 -21/2 0 81

9 35 139 0 -21/2 80

10 42 125 21/2 0 86

11 35 111 0 21/2 87


ANOVA; Var.:Var3; R-sqr=,98142; Adj:,96285 (Spreadsheet1) 2 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191 DV: Var3

SS df MS F p(1)Var1 (L) 18,1818 1 18,18182 33,31107 0,002195Var1 (Q) 44,3985 1 44,39853 81,34295 0,000280

(2)Var2 (L) 44,6263 1 44,62626 81,76017 0,000276Var2 (Q) 44,3985 1 44,39853 81,34295 0,0002801L by 2L 12,2500 1 12,25000 22,44333 0,005162

Error 2,7291 5 0,54582Total SS 146,9091 10

Effect Estimates; Var.:Var3; R-sqr=,98142; Adj:,96285 (Spreadsheet1) 2 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191 DV: Var3

Effect Std.Err. t(5) p -95,% - Cnf.Limt

+95,% - Cnf.Limt Coeff. Std.Err. -

Coeff.-95,% -

Cnf.Limt+95,% -

Cnf.Limt

Mean/Interc. 89,00184 0,426486 208,6865 0,000000 87,90552 90,09815 89,00184 0,426486 87,90552 90,09815

(1)Var1 (L) 3,03030 0,525039 5,7716 0,002195 1,68065 4,37996 1,51515 0,262520 0,84032 2,18998Var1 (Q) -5,68437 0,630264 -9,0190 0,000280 -7,30451 -4,06422 -2,84218 0,315132 -3,65226 -2,03211

(2)Var2 (L) -4,74747 0,525039 -9,0421 0,000276 -6,09713 -3,39782 -2,37374 0,262520 -3,04857 -1,69891Var2 (Q) -5,68437 0,630264 -9,0190 0,000280 -7,30451 -4,06422 -2,84218 0,315132 -3,65226 -2,032111L by 2L 3,50000 0,738796 4,7374 0,005162 1,60087 5,39913 1,75000 0,369398 0,80043 2,69957


Fitted Surface; Variable: Var32 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191

DV: Var3

> 85 < 85 < 80 < 75 < 70 < 65 < 60 < 55

Observed vs. Predicted Values2 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191

DV: Var3

76 78 80 82 84 86 88 90 92

Observed Values

76

78

80

82

84

86

88

90

92

Pre

dict

ed V

alue

s


Fitted Surface; Variable: Var32 factors, 1 Blocks, 11 Runs; MS Residual=,5458191

DV: Var3

> 85 < 85 < 80 < 75 < 70 < 65 < 60 < 55

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Var1

105

110

115

120

125

130

135

140

145

Var2


O modelo geral quadrático:

Y = β0 + β1X1 + β2X12 + β3X2 + β4X2

2 + β5X1X2+ β6X12X2 + β7X1X2

2

Para o exemplo:

Construa ummodelo

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