Aula 5. Teste de Hipóteses II. Capítulo 12, Bussab&Morettin Estatística Básica 7ª Edição

Aula 5. Teste de Hipóteses II.

Capítulo 12, Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição

Procedimento teste de hipótese para proporção. Resumo.

(1) Estabelecer as hipóteses:

H: contra uma das alternativas

A: , A: ou A: .

(2) Escolher um nível de significância .

(3) Determinar a região crítica RC da forma

, ou ,

respectivamente às hipóteses alternativas, onde é número de elementos na amostra com o atributo desejado, .

(4) Selecionar uma amostra aleatória e determinar o número de elementos na amostra com o atributo desejado.

(5) Decidir, usando a evidência , ao nível de significância , e concluir.

RC rejeitamos H. RC não rejeitamos H.

Procedimento teste de hipótese para proporção. Resumo.

Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica.

Estatística do teste é que é número de elementos na

amostra com o atributo desejado, a distribuição de é a

distribuição binomial . A região crítica é determinada

em forma , ou ,

respectivamente às hipóteses alternativas, que depende de

nível de significância do teste e da estatística do teste

Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica.

Estatística do teste pode ser também a proporção

em que , como antes, é número de elementos na amostra

com o atributo desejado. Neste caso a região crítica é

determinada em forma

respectivamente às hipóteses alternativas

Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal.

Estatística do teste pode ser também -estatística

em que , como antes, é número de elementos na amostra

com o atributo desejado. Neste caso a região crítica é

determinada em forma

(1) H:

A:



ou

onde estatística do teste



onde estatística do teste


Achamos pela tabela da distribuição normal

(4) Selecionar uma amostra aleatória e determinar o

número de elementos na amostra com o atributo

desejado.

(5) Decidir, usando a evidência

rejeitamos H. não rejeitamos H.

(4) Calcular o valor observado da estatística do teste


Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal.

Exemplo: A proporção de analfabetos em um município era de 15% na gestão anterior. No início da sua gestão, o prefeito atual implantou um programa de alfabetização e após 2 anos afirma que reduziu a proporção de analfabetos.

Para verificar a afirmação do prefeito, n = 200 cidadãos foram entrevistados.

Seja o número de analfabetos entre os 200 cidadãos entrevistados e , sendo a proporção atual de analfabetos no município (após o programa de alfabetização).


(1) Estabelecer as hipóteses:

H: contra alternativa

A: .

H: A proporção de analfabetos no município não se alterou

(a afirmação do prefeito está incorreta).

A: A proporção de analfabetos no município diminuiu

(a afirmação do prefeito está correta).




onde achamos pela tabela da distribuição normal

Então, a região crítica RC é

(4) Buscar a evidência na amostra para concluir. Se observamos 20 analfabetos entre os 200 entrevistados, qual a conclusão?


Calculemos a estatística do teste


(5) Decisão e conclusão:

decidimos por rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%.

Concluímos que temos evidência suficiente para afirmar que a proporção de analfabetos (após o programa de alfabetização) é inferior a 15%, isto é, há evidência suficiente de que a afirmação do prefeito seja correta.

Procedimento teste de hipótese para média populacional.

amostra

populaçãonormal

: sãoindependentes e

2

2

)(

2)(

2

2

x

exf

𝑋 1 , 𝑋 2 , …,𝑋𝑛

𝑋 𝑖 𝑁 (𝜇 ,𝜎2)

Nosso objetivo agora é apresentar procedimentos estatísticos simples para verificar se um conjunto de dados amostrais dá ou não suporte à uma conjectura sobre o valor médio (desconhecido) de uma característica de interesse, observável em “indivíduos” de uma população (normal).


Mais precisamente, procedimentos para testar hipóteses sobre , tomando como base o valor médio dessa característica, observado em uma amostra casual simples de tamanho desses “indivíduos”.

Exemplo: Em períodos de pico, os clientes de um banco são obrigados a enfrentar longas filas para sacar dinheiro nos caixas eletrônicos. Dados históricos de vários anos de operação indicam que o tempo de transação nesses caixas tem distribuição normal com média igual a 270 segundos.

Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das transações realizadas nesses caixas.


As etapas a serem cumpridas para este teste de hipóteses são as mesmas que vimos anteriormente.

(1) Formular as hipóteses nula H e a alternativa A

Hipótese Nula : afirmação ou conjectura sobre contra a qual estaremos buscando evidência nos dados amostrais.

Hipótese Alternativa : afirmação ou conjectura sobre que suspeitamos (ou esperamos) ser verdadeira.

H: contra uma das alternativas

A: , A: ou A:


H: seg.

A: seg.

(2) Fixar o nível de significância do teste. Seja .



ou

ou

ou

respectivamente às hipóteses alternativas

A estatística do teste ou vai ser definida dependendo do conhecimento de variância populacional como

caso é conhecida, e

caso é desconhecida


Valores e são definidos pelas hipóteses e :

ou usando tabela normal

ou

ou usando tabela T-Student


No exemplo supomos não que sabemos variância populacional então usaremos a estatística do teste

Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das 24 transações realizadas nesses caixas.

Achamos de condição

RC


(4) Buscar a evidência na amostra para concluir:

Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das 24 transações realizadas nesses caixas.

Amostra de 24 trasações oferece seguintes dados:

Valor observado da estatística do teste é

(5) Decisão e conclusão:

decidimos por rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%.

Concluímos que temos evidência suficiente para afirmar que a média de transição diminuiu nas novos caixas eletrônicos


Ou seja, queremos testar H: O processo está sob controle. A: O processo não está sob controle.

Exemplo: Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz 90% de peças dentro das especificações. O IPEM deseja investigar se esse processo de fabricação está sob controle.

Seja a proporção de peças produzidas dentro das especificações.

H: A:

As hipóteses de interesse são:

Selecionamos uma amostra aleatória de 15 itens e observamos o número de itens satisfatórios.

Então:

Região crítica: RC= { X k }

Para temos e RC

Para temos e RC

Nível descritivo. Introdução.

Crítica: Arbitrariedade na escolha da RC (ou do nível de significância).

a) 10 RC Rejeitamos H ao nível de significância de 6%.

Se observamos x = 10 peças satisfatórias, então:

Sugestão: Determinar o nível de significância associado à evidência experimental, que é denominado nível descritivo ou p-valor.

b) 10 RC Não rejeitamos H ao nível de significância de 1%.

Nível descritivo. Introdução.

No exemplo, a região crítica é da forma RC .

Para ,o nível descritivo ou valor é calculado por:

O valor é igual à probabilidade de ocorrerem valores de tão ou mais desfavoráveis para a hipótese nula do que o valor observado .

Assim, se o processo estivesse sob controle, a probabilidade de encontrarmos uma amostra de 15 peças com 10 ou menos peças satisfatórias é de apenas 1%.

Isso sugere que a hipótese nula deve ser rejeitada.

Nível descritivo. P-valor.

Se o valor é “pequeno”, então é pouco provável observarmos valores iguais ou mais extremos que o da amostra, supondo a hipótese nula verdadeira. Assim, há indícios de que a hipótese nula não seja verdadeira e tendemos a rejeitá-la.

Assim, P “pequeno” rejeitamos H P “não pequeno” não rejeitamos H

Quão “pequeno” deve ser o valor de P para rejeitarmos H ?

Por outro lado, para valores “não tão pequenos” de , não fica evidente que a hipótese nula seja falsa, portanto tendemos a não rejeitá-la.


rejeitamos não rejeitamos

Se , dizemos que a amostra forneceu evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula .

Lembrando que a ideia inicial de era considerar um nível de significância associado à evidência amostral, podemos compará-lo a um nível de significância fixado, de modo que:

PP

rejeitamos H não rejeitamos H


No exemplo: P = 0,0127.

Adotando = 0,05, temos que P < , portanto

rejeitamos H ao nível de significância 5%.

Assim, o processo não está sob controle.

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Observações:

• Quanto menor o valor P, maior é a evidência contra a hipótese nula H contida nos dados.

• Quando a hipótese nula é rejeitada para um nível de significância fixado, dizemos também que a amostra é significante ao nível de significância .

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