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Objetivos da aula

� Mostrar como determinar as forças nos membros de treliças

usando o método dos nós e o método das seções.

Análise estrutural

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Treliças simples

Treliça é uma estrutura de vigas conectadas entre si em suas

extremidades.

As vigas normalmente usadas em construções consistem de escoras

de madeira ou barras de metal. A treliça mostrada na Figura a seguir é

um exemplo típico de treliça de telhado.

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Como esse peso atua no mesmo plano da treliça, as análises das forças

desenvolvidas nos membros da treliça serão bidimensionais.

Treliças simples

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No caso de uma ponte, o peso no tabuleiro é primeiro transmitido

para as longarinas e para as vigas de piso e, finalmente, para os nós

das duas treliças laterais.

Treliças simples

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Assim como no telhado, as forças na ponte de treliça também são

coplanares.

Treliças simples

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Considerações

Para projetar os membros e as conexões de uma treliça, é

necessário primeiro determinar a força desenvolvida em cada

membro quando a treliça está sujeita a um determinado

carregamento. Para isso, faremos duas hipóteses importantes:

� Todas as cargas são aplicadas nos nós.

� Os membros são unidos por pinos lisos.

Devido a esses dois pressupostos, cada

membro de treliça agirá como um membro

de duas forças e, portanto, a força

atuando em cada extremidade do membro

será direcionada ao longo do eixo do

membro.

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Se os três membros são conectados por pinos em suas extremidades,

eles formam uma treliça triangular que será rígida.

Treliças simples

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Unir dois ou mais membros e conectá-los a um novo nó D forma uma

treliça maior que continua a ser simples.

Treliças simples

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O método dos nós

Para analisar ou projetar uma treliça, é necessário determinar a força

em cada um de seus membros. Uma maneira de fazer isso é usar o

método dos nós.

Como os membros de uma treliça plana são membros de duas forças

retos situados em um único plano, cada nó está sujeito a um sistema

de forças que é coplanar e concorrente.

Por exemplo, três forças atuam sobre

o pino B, a saber, a força de 500 N e

as forças exercidas pelos membros

BA e BC.

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O diagrama de corpo livre do pino é mostrado na Figura a seguir.

O método dos nós

Os efeitos são claramente

demonstrados isolando-se o nó

com pequenos segmentos do

membro conectados ao pino.

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Ao usar o método dos nós, sempre comece em um nó que tenha pelo

menos uma força conhecida e, no máximo, duas forças

desconhecidas.

Desse modo, a aplicação de ΣFx = 0 e ΣFy = 0 produz duas equações

algébricas que podem ser resolvidas para as duas incógnitas. Ao

aplicar essas equações, o sentido correto de uma força de membro

desconhecida pode ser determinado.

O método dos nós

O sentido correto da direção de uma força do membro incógnito

pode, em muitos casos, ser determinado ‘por observação’.

Em casos mais complexos, o sentido de uma força do membro

incógnito pode ser assumido.

Uma vez que uma força de membro incógnito é encontrada, use sua

intensidade e sentido corretos no diagrama de corpo livre do nó

subsequente.

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Procedimentos para análise

� Desenhe o diagrama de corpo livre de um nó tendo pelo menos

uma força conhecida e no máximo duas forças desconhecidas. (Se

esse nó estiver em um dos suportes, então pode ser necessário

primeiro calcular as reações externas no suporte.)

� Oriente os eixos x e y de modo que as forças no diagrama de corpo

livre possam ser facilmente decompostas em suas componentes x e

y e, depois, aplique as duas equações de equilíbrio de força ΣFx =

0 e ΣFy = 0. Resolva para as duas forças de membro

desconhecidas.

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Membros de força zero

Os membros de força zero são usados para aumentar a estabilidade da

treliça durante a construção e para fornecer um apoio adicional se o

carregamento for alterado.

Em geral, os membros de força zero de uma treliça podem ser

determinados por observação de cada um dos nós.

Por exemplo: No nó A teremos

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De modo semelhante, considere o diagrama de corpo livre do nó D:

Membros de força zero

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A partir dessas observações, podemos concluir que, se apenas dois

membros formam um nó de treliça e nenhum peso externo ou reação

de suporte é aplicado ao nó, os dois membros só podem ser membros

de força zero.

O peso sobre a treliça na figura é, portanto, sustentado por apenas

cinco membros.

Membros de força zero

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Outro exemplo: O diagrama de corpo livre do pino no nó D é

mostrado na figura à direita:

Membros de força zero

E o pino no nó C ?

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Orientando o eixo y ao longo dos membros DC e DE e o eixo x ao

longo do membro DA, podemos ver que DA é um membro de força

zero. Note que esse também é o caso para o membro CA:

Membros de força zero

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A treliça mostrada na figura da direita (d), portanto, é adequada para

sustentar o peso P no lugar da treliça inicial da figura (a).

Membros de força zero

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Exemplo 1 (6.10)

� Determine a força em cada membro da treliça e indique se os

membros estão sob tração ou compressão. Considere P1= 4 kN e

P2 = 0

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Exemplo 1

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Exemplo 1

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O método das seções

Quando precisamos encontrar a força em apenas alguns membros de

uma treliça, podemos analisar a treliça usando o método das seções.

Este método se baseia no princípio de que se uma treliça está em

equilíbrio, então qualquer segmento dela também está em equilíbrio.

Por exemplo, considere os dois membros de treliça mostrados no lado

esquerdo dessa Figura:

Claramente pode-se ver que

membros sob tração estão

sujeitos a forças de tração

internas e que membros sob

compressão estão sujeitos a

forças de compressão internas

(ao cortar e manter o equilibrio)

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Portanto, o método das seções também pode ser usado para ‘cortar’

ou seccionar os membros de uma treliça inteira.

Como apenas três equações de equilíbrio independentes podem ser

aplicadas ao diagrama de corpo livre de qualquer segmento (ΣFx = 0,

ΣFy = 0, ΣMO = 0), então, tentaríamos escolher uma seção que passe

por não mais que três membros em que as forças são desconhecidas.

O método das seções

exemplo

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Por exemplo, considere a treliça na figura abaixo onde queremosdeterminar as forças em BC, CG e FG. Cortamos segundo a-a

O método das seções

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Os diagramas de corpo livre dos dois segmentos são mostrados nas

Figuras a seguir:

O método das seções

O sentido correto de uma força de membro desconhecida pode, em

muitos casos, ser determinado ‘por observação’. Em casos mais

complicados, o sentido de uma força de membro desconhecida pode

ser assumido.

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Procedimentos para análise

Diagrama de corpo livre

� Decida sobre como ‘cortar’ ou seccionar a treliça através dos

membros onde as forças devem ser determinadas.

� Antes de isolar a seção apropriada, pode ser necessário primeiro

determinar as reações de apoio da treliça.

� Desenhe o diagrama de corpo livre do segmento da treliça

seccionada que possui o menor número de forças agindo.

� Use um dos dois métodos descritos anteriormente para estabelecer

o sentido das forças de membro desconhecidas.

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Exemplo 2 (6.34)

� Determine a força nos membros JK, CJ e CD da treliça e indique

se os membros estão sob compressão ou tração

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Exemplo 2

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Treliças espaciais

Uma treliça espacial ou treliça 3D consiste de membros conectados

em suas extremidades para formar uma estrutura tridimensional

estável.

A forma mais simples desta treliça é a espacial simples que forma um

tetraedro conectando seis membros.

Adicionando membros e nós

criamos treliças espaciais simples

de maior tamanho.

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Considerações

Os membros de uma treliça espacial podem ser tratados como

membros de duas forças, já que o peso externo é aplicado aos nós.

Esse pressuposto é justificado se as conexões soldadas ou

aparafusadas dos membros conectados se interceptarem em um ponto

comum e o peso dos membros puder ser desprezado. Nos casos em

que o peso de um membro precisa ser incluído na análise,

normalmente é satisfatório aplicá-lo como uma força vertical, com

metade de sua intensidade aplicada em cada extremidade do membro.

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Método dos nós

� Se as forças em todos os membros da treliça precisam serdeterminadas, então o método dos nós é mais adequado para aanálise.

� Lembre-se de que a resolução de muitas equações simultâneaspode ser evitada se a análise de força começar em um nó tendo pelomenos uma força conhecida e no máximo três forçasdesconhecidas.

� Se a geometria tridimensional do sistema de forças no nó for difícilde visualizar, é recomendado que uma análise vetorial cartesianaseja usada para a solução (decomposição de forças).

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Método das seções

� Se apenas algumas forças de membro precisam ser determinadas, o

método das seções pode ser usado.

� Através da correta escolha da seção e dos eixos para somar as

forças e momentos, muitas das forças de membro desconhecidas

em uma treliça de espaço podem ser calculadas diretamente,

usando uma única equação de equilíbrio.

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Exemplo 3 (6.56)

Determine a força em cada membro da treliça espacial e indique se osmembros estão sob compressão ou tração. A treliça é sustentada por juntasesféricas em A, B e E. Considere F = 800 j.

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Exemplo 3

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Exemplo 3

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Exercício 1 (6.11)

� Determine a força em cada membro da treliça e indique se os

membros estão sob tração ou compressão. Considere P1= 3 kN e

P2 = 2 kN

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Exercício 2 (6.51)

� Determine a força em cada membro da treliça e indique se os

membros estão sob tração ou compressão. Considere P1 = 40 kN e

P2 = 20kN

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Exercício 3 (6.57)

Determine a força em cada membro da treliça espacial e indique se os

membros estão sob compressão ou tração. A treliça é sustentada por

juntas esféricas em A, B e E. Considere F = -200 i + 400 j.