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1 Transferência de Calor e Massa 2013 2 Professor Adelson Aula 6 Aplicação da Equação de Laplace na análise matemática da condução bidimensional de calor 09 de setembro de 2013 Introdução Para analisar uma situação de condução estacionária bidimensional de calor (sem envolver geração de caloR, a Equação de Laplace é aplicável A equação de Laplace na sua forma usual em coordenadas cartesianas: A solução para a Equação (1) vai dar a temperatura de um corpo bidimensionalcomo uma função de duas coordenadas espaciais independentes x e y.

Aula 6 Equação de Laplace aplicada a análise da condução bidimensional de calor

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Transferência de Calor e Massa

2013 2 Professor Adelson

Aula 6

Aplicação da Equação de Laplace na

análise matemática da condução

bidimensional de calor

09 de setembro de 2013

Introdução

Para analisar uma situação de condução

estacionária bidimensional de calor (sem

envolver geração de caloR, a Equação de

Laplace é aplicável

A equação de Laplace na sua forma usual em

coordenadas cartesianas:

A solução para a Equação (1) vai dar

a temperatura de um corpo

bidimensionalcomo uma função de

duas coordenadas espaciais

independentes x e y.

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Em seguida, o fluxo de calor nas

direções x e y pode ser calculado a

partir das equações de Fourier:

Considerar a placa rectangular

mostrado na Figura 1.

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y

x

T = T1

T = T1

T = T1

T = f (x)

(W,0)

(0, H)

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As curvas representam isotermas

Três lados da placa sãomantido a uma

temperatura constante T1, e o lado superior

apresenta uma distribuição de temperatura.

Esta distribuição pode ser simplesmente um

temperatura constante ou algo mais

complexo, como, por exemplo, uma

distribuição representada por uma onda

sinusoidal.

Devemos considerar ambos os

casos.

Para resolver a equação (1), vamos

aplicar o método de separação de

variáveis ou também conhecido como

Método de Fourier

O ponto essencial deste método é que a

solução da equação toma a forma de

um produto.

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Primeiro vamos denominar os lados da placa

como fronteiras, e estudar o caso em que uma

distribuição de temperatura representada por uma

onda sinusoidal emerge da fronteira superior da

placa.

Observa-se que

T = T1 para y = 0

T = T1 para x = 0 (5)

T = T1 para x = W

para y = H

Onde Tm é a amplitude da onda sinusoidal.

Substituindo (4) em (1) temos

O truque algébrico usado para

separar as variáveis é o seguinte:

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ou

Observe-se que cada um dos lados da

Equação (6) é independente do outro

porque x e y são variáveis

independentes.

Isto requer que cada um dos lados seja

igual a uma constante e poderemos,

assim, obter duas equações diferenciais

ordinárias em termos desta constante,

Onde é denominada constante de

separação.

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O seu valor tem de ser determinado

pela condições de contorno (ou

condições de fronteira) .

Note-se que a forma da solução para

as equações (7) e ( 8) vai depender

do sinal de λ2; uma forma diferente

resultaria também se λ2 fosse zero.

A única maneira capaz de determinar a

forma correta da equação é através da

aplicação das condições de contorno

do problema.

Então, vamos primeiro anotar todos as

possíveis soluções e, em seguida, ver qual se

encaixa no problema em consideração.

1. Para λ2 = 0:

Implica em

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Esta função não pode caber a condição de

contorno função seno, então a λ2 = 0 solução

podem ser excluídas.

2. Para λ2 < 0

Mais uma vez, a condição de contorno

da função seno não pode ser satisfeita,

pelo que esta solução é excluídos

também.

3. Para λ2 > 0

Agora, é possível satisfazer a condição

de contorno da função seno.

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Vamos agora tentar satisfazer as outras

condições.

Fazendo uma substriuição de variável

(θ = T - T1)

Observe que a equação diferencial e a

solução mantem a mesma forma com a

nova variável θ, e precisamos apenas

transformar as condições de contorno.

Assim:

em

em

em

em

Aplicando essas condições nos

teremos:

em

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em

em

em

Consecutivamente, de [a] e [b], temos

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De [c], temos

O que impõe que

Onde pode ser expresso como

Onde n é um número inteiro.

A solução da equação diferencial pode a

ser escritacomo uma soma de soluções

para cada valor de n. Esta é uma soma

infinita, de modo que a solução final é a

série infinita

(15)

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onde as constantes foram

recombinadas e os termos

exponenciais convertidos em função

hiperbólica.

A condição final de fronteira pode

agora ser aplicada:

Essa equação impõe que:

para qualquer que seja

E a solução final é

(16)

O campo de temperatura para este

problema é mostrado na Figura 1.

Note-se que aslinhas de fluxo de

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calor são linhas perpendiculares aos

isotermas.