Aula 6 – INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO

A integral indefinida

Definição: Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I, se para todo x Є I, tenos F`(x)= f(x).

Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I.

Exemplos 1: F(x)= 1/3 x³ é uma primitiva da função f(x) = x², pois F´(x) = x²

2) As funções G(x) = x³/3 + 4 e H(x) = 1/3(x³ +3) também são primitivas da função f(x) = x², pois G´(x) = H´(x) = f(x).

3) A função F(x) = 1/2 sen 2x +c, onde c é ums constante, é primitiva da função f(x)= cos 2x.

Os exemplos mostram que as funções admitem mais de uma primitiva.

Proposição 1: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então se c é uma constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x)

Proposição 2: Se f´(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I.

Proposição 3: Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no internalo I, então existe uma constante c tal que F(x) – G(x) = c para todo x Є IDessa proposiçaõ, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da forma

G(x) = F(x) + c

DEFINIÇÃO: SE F(X) É UMA PRIMITIVA DE f(x), A EXPRESSÃO F(X) + C É CHAMADA INTEGRAL INDEFINIDA DA FUNÇÃO F(X) E É DENOTADO POR:

∫ f(x)dx = F(x) + c.

O símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx integrando.

Propriedades da integral indefinida:

(i) ∫ k f(x)dx = k ∫ f(x)dx(ii) ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx

1

Exemplos: a) ∫ x²dxSolução: x2+1/2+1 = x³/3 , logo ∫ x²dx = x³/3 + c

b) ∫ dxSolução: ∫ 1dx = x + c

c) ∫ (3x² + 5)dxSolução: ∫ (3x² + 5)dx = ∫ 3x²dx + ∫ 5dx= 3 ∫ x²dx + 5 ∫ dx = 3 x²+1/ 2+1 + 5x + c = = 3 x3/ 3 + 5x + c

d) = 2/ x1/3dx=

∫2. x-1/3dx=2 ∫ x-1/3dx =2. x-1/3+1/-1/3 +1 + c =2. x 2/3/ 2/3 + c=2.(3/2). x2/3 + c3. 3√x² + c

e) =

∫( 2x-3 + 3x-2 + 5) dx = ∫2x-3 dx + ∫3x-2 dx + ∫5 dx =2. x-3+1 /-3+1 + 3. x-2+1 /-2+1 + 5 + c = 2. x-2 /-2 + 3. x-1 /-1 + 5x + c =- x-2 - 3. x-1 + 5x + c

Dica: Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da soluçãoF(x) + C. Se essa derivada for igual a f(x), então a primitiva está correta; se for diferente, existe algum erro nos cálculos

Exercícios: Calcule as integrais indefinidas

a)

b) ∫ (x5+ 1/ x³ +4)dx

c)

d)

2

e) ∫ 2/√x dx

Técnicas de integração de funções trigonométricas

Exemplos:

a) ∫ cosx dx = sen x + cb) ∫ senx dx = - cosx + cc) ∫ sec²x dx = tg x + cd) ∫ cosec² x dx = - cotgx +ce) ∫ secx . tg x = secx + cf) ∫ cosecx . cotgx dx = - cosecx + cg) ∫ dx/√1-u² = arc senx + ch) ∫ dx/ 1+x² = arc tg u + c

Exercícios:

1) ∫ (3secx. tgx + cosec²x)dx = 3 ∫ secx.tgx dx + ∫ cosec²xdx= 3secx – cotgx + c

2) ∫ (-cosx)dx =

3) ∫ senx dx =

4) ∫ sec²xdx =

5)

6)

Método da substituição ou mudança de variável para integração:

Esse processo é análogo á regra da cadeia para derivação e pode ser justificado como segue:

Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F´(x) = f(x). Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos considerar a função composta Fog.

3

Pela regra da cadeia, temos:

[F(g(x))]´= F´(g(x)). g´(x) = f(g(x)). g´(x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g´(x)

Temos, então:

∫f(g(x)). g`(x) dx = F (g(x)) + c

Fazendo-se u = g(x), du = g´(x)dx e substituindo-se em na equação, temos:∫f(g(x)). g`(x) dx∫f(u).du = F(u) + c

Exemplos:

Calcule as integrais indefinidas:

a) ∫ sen²x cosx dx = Fazemos u = senx, du = cosxdx. Assim:

∫u²du = u2+1/2+1 = u³/3 + c

(Substituindo) = sen³x/3 + c

b) ∫sen (x+7) dxFazemos u = x+7, temos du=dx. Então,

∫sen u du= -cos u +c= - cos (x+7) + c

Exercícios:

a) ∫cos (x+9) dxb) ∫ cos²x cosx dx

c)∫ dx/ (3x -5)8

4

d)

5