Aula 6 - Probabilidade Condicional

Cássius Henrique

Aula 6

Probabilidade Condicional

CEA 012 – Probabilidade


Cássius Henrique Xavier Oliveira

Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas

2015

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Relembrando...

Probabilidade para eventos equiprováveis:

Axiomas de probabilidade:

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Relembrando...

Probabilidade da união de eventos:

Dois eventos com interseção

N eventos sem interseção

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Relembrando...

Conceitos importantes:

Experimento aleatório

Espaço Amostral: S

Evento

Eventos Mutuamente Exclusivos

Interseção de eventos

União de eventos

Evento complementar

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Relembrando...

Técnicas de Contagem

Permutação

Combinação Simples

Arranjo Simples

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Contextualizando...

Em sua opinião, o que poderia ser uma “probabilidade condicional”? Cite exemplos...

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No estudo das probabilidades existem casos de eventos de um espaço amostral que ocorrem independentes dos outros, e eventos que apresentam relações de dependências com os demais que possam ocorrer.

A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrência de um evento A, sabendo da ocorrência de outro evento B, ambos sendo eventos de um espaço amostral S finito.

A ocorrência de A está condicionada ao fato de B já ter ocorrido, ou seja, a ocorrência do evento B é interferida pela ocorrência do evento A.

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Contextualizando...

Considere que em uma caixa, das que foram descarregadas em uma fábrica, haja 5 ferramentas:

2 martelos

3 chaves de fenda

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Contextualizando...

Quais são as chances de que um funcionário, escolhendo aleatoriamente uma das ferramentas contidas na caixa, retire um martelo?

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Contextualizando...

Quais são as chances de que um funcionário, escolhendo aleatoriamente uma das ferramentas contidas na caixa, retire um martelo?

5

2

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Contextualizando...

Suponha que o operário retirou uma chave de fenda. Qual a chance de que outro operário retire um martelo?

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Contextualizando...


Após a retirada da primeira ferramenta, as

chances são mudadas...

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Contextualizando...


4

2

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Contextualizando...

Considere agora que o operário tivesse retirado um martelo inicialmente (e não uma chave de fenda). Qual a chance do segundo operário retirar um martelo?

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Contextualizando...

Considere agora que o operário tivesse retirado um martelo inicialmente (e não uma chave de fenda). Qual a chance do segundo operário retirar um martelo?

4

1

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Contextualizando...

Compare os resultados...

Retirar um martelo depois de retirar uma chave de fenda

Retirar um martelo depois de retirar um martelo

4

1

4

2

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Contextualizando...

As chances referentes à segunda ferramenta dependem da primeira retirada

O segundo evento depende do primeiro evento

Notação: P(B | A)

Eventos Dependentes

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Contextualizando...

Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)?

A = retirar um martelo na primeira tentativa

B = retirar um martelo na segunda tentativa

Interesse: Probabilidade de A e B: )( BAP

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Contextualizando...


Probabilidade de retirar um martelo na primeira tentativa P(A)

Probabilidade de retirar um martelo na segunda tentativa, dado que um martelo foi retirado na primeira tentativa P(B | A)

5

2

4

1

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Contextualizando...


Logo, a probabilidade de retirada de 2 martelos em sequência será:

4

1

5

2

)( BAP

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Contextualizando...


Observações:

Então:

Probabilidades Condicionais

10

1

4

1

5

2)( BAP

)(

)()|(

)|()()(

AP

BAPABP

ABPAPBAP

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Matematicamente: Probabilidade Condicional

)(

)()|(

AP

BAPABP

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Matematicamente: Probabilidade Condicional

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()|(

An

BAn

Sn

An

Sn

BAn

AP

BAPABP

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Exemplo 1

(MAUÁ/SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Qual a probabilidade de que esse número seja menor que 5?

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Exemplo 1

(MAUÁ/SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Qual a probabilidade de que esse número seja menor que 5?

Resolução:

A = retirar uma bola com número ímpar (já ocorreu)

B = retirar uma bola menor que 5

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

B = {1, 2, 3, 4}

A B = {1, 3}

3

1

11

6

11

2

)(

)(

)(

)(

)(

)()|(

Sn

An

Sn

BAn

AP

BAPABP

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Exemplo 2

(OSEC/SP) Em uma comunidade, 15% das pessoas leem o jornal A, 12% leem o B e 3% leem ambos os jornais. Sorteando-se uma pessoa e sabendo-se que esta lê o jornal B, qual a probabilidade de que leia também o jornal A?

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Exemplo 2

(OSEC/SP) Em uma comunidade, 15% das pessoas leem o jornal A, 12% leem o B e 3% leem ambos os jornais. Sorteando-se uma pessoa e sabendo-se que esta lê o jornal B, qual a probabilidade de que leia também o jornal A?

Resolução:

A = pessoa lê o jornal A

B = pessoa lê o jornal B

%25%12

%3

)(

)()|(

BP

BAPBAP

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Dicas para a resolução de problemas

Nomeie os eventos de interesse

Faça diagramas

Evidencie as operações necessárias (e classifique-as quanto ao tipo)

Apresente a resposta utilizando linguagem matemática

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L1.4. Exercício 1

Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos e ensaios anteriores, as seguintes as probabilidades são conhecidas:

probabilidade de A falhar é de 0,2

probabilidade de A e B falharem é de 0,15

probabilidade de apenas B falhar é de 0,15.

a) Calcule a probabilidade de A falhar desde que B tenha falhado.

b) Calcule a probabilidade de B falhar desde que A tenha falhado.

c) As probabilidades calculadas anteriormente são iguais? Justifique.

d) Esse é um caso de probabilidade condicional? Em que se fundamenta seu raciocínio?

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L1.4. Exercício 2

Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é de 1/7. Carlos, então, recebe um telefone de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente a que probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a...

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L1.4. Exercício 3

Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas.

a) Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?

b) Se a pessoa sorteada (desse grupo) fosse usuária da marca Y. Qual seria a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca X?

c) As probabilidades anteriores são iguais? Justifique.

d) As probabilidades calculadas anteriormente estão associadas a eventos complementares? Justifique.

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L1.4. Exercício 4

(CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) A FGV traça o perfil de alunos on-line. Mulheres solteiras, com curso superior e renda até R$ 2.000,00. Esse é o perfil do brasileiro que busca aperfeiçoamento profissional gratuito na Internet, como mostra levantamento feito pelo FGV on-line, de março a setembro de 2009 (Jornal O Globo, 03 mar. 2010).

Os resultados desse levantamento são os seguintes: São mulheres: 58,3%; Ganham até R$ 2 mil por mês: 77,7%; Têm graduação: 68,1%; Concentram-se em SP, RJ e MG: 62,8%; Ocupam o cargo de analista: 34,1%

Considere que 2.000 pessoas participaram dessa entrevista e que, do total de pessoas que se concentram em São Paulo, Rio de Janeiro e Minas Gerais, 50% são homens. Escolhendo-se, ao acaso, um dos homens entrevistados, qual é, aproximadamente, a probabilidade de que ele seja de São Paulo, Rio de Janeiro ou Minas Gerais?

a) ( ) 0,568 b) ( ) 0,703 c) ( ) 0,753 d) ( ) 0,879

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L1.4. Exercício 5

Peças provenientes de um fornecedor são testadas quanto à resistência a temperaturas acima de 100 °C e à umidade. Os resultados estão apresentados abaixo.

Determine a probabilidade de que a peça tenha:

a) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C.

b) baixa resistência à umidade.

c) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C se ela não tiver baixa resistência à umidade.

d) alta resistência à umidade sabendo que ela não tem baixa resistência a temperaturas acima de 100 °C.

e) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C dado que ela tenha baixa resistência à umidade.

Alta resistência à umidade Baixa resistência à umidade

Alta resistência a temperaturas acima de 100 °C 1400 180

Baixa resistência a temperaturas acima de 100 °C 320 50

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Gabarito

1. a) 0,5; b) 0,25

2. 1/3

3. a) 0,307; b) 0,364

4. (c)

5. a) 0,810; b) 0,118; c) 0,814; d) 0,886; e) 0,783

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