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Aula-6Teoria da Relatividade Restrita
II
Curso de Física Geral F-428
•Se, no referencial S, dois eventos estão separados por uma diferença de coordenada ; e ocorrem em dois instantes de tempo separados por , no referencialS’ teremos:
•Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente único: o espaço-tempo.
•Podemos também inverter as transformações acima:
)( tvxx )(2
xc
vtt
)( tvxx )(2
xc
vtt
As transformações de Lorentz
Prob.1:
Dois eventos ocorrem no mesmo ponto em um certo referencial inercial e são separados por um intervalo de tempo de 4 s. Qual é a separação espacial entre estes dois eventos em um referencial inercial no qual os eventos são separados por um intervalo de tempo de 6 s ?
Uma nave espacial de comprimento l0 viaja a uma velocidade constantev, relativa ao sistema S, ver figura. O nariz da nave (A’) passa peloponto A em S no instante t0 = t0’= 0 e neste instante envia um sinal de luz de A’ para B’.(a) Quando, no referencial S’ do foguete, o sinal chega à cauda B’ da
nave?(b) Em que instante tB, medido em S, o sinal chega à cauda (B’ ) da
nave?(c) Em que instante t, medido em S, a cauda da nave (B’ ) passa através
do ponto A?
Prob.2:
A relatividade das velocidades
Vimos que:
Logo:
Na transformação clássica de Galileu teríamos :
)( tvxx )(2
xc
vtt
Portanto: )( vdtdxxd )(2
dxc
vdttd
21cuvvu
td
xdu
x
xx
vutd
xdu xx
(v << c)
Podemos ainda deduzir expressões para as velocidades nos outros eixos:
A transformação estará coerente com o fato da velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e que nenhuma velocidade pode excedê-la.
As transformações podem ser invertidas, trocando-se os índices linha e v por –v. Então, se
2
2
1
)1(
cuv
u
tdyd
ux
yy
2
2
1
)1(
cuv
u
tdzd
ux
zz
c
c
uvvu
ux
xx
21cux teremos:
A relatividade das velocidades
Prob. 3: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito, também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ?
v
v
L0
L0 = 350 m v = 0,82 c
xS
y
Velocidade do meteorito em relação à nave:
21c
uvvu
ux
xx
sv
Lt 19,1
m/s102,94
m3508
00
cc
c
v
v
c
vvvv
v 98,0)82,0(1
64,1
1
2)(
12
2
2
2
m/s1094,2 8v
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do observador. Isto, porque o som propaga-se no ar, e ambos podem ter velocidades relativas a este. Já para a luz, que propaga-se no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e observador.
O efeito Doppler da luz
Se o observador O em S descreve uma onda eletromagnética pela expressão o observador O’ em S’ deverá observar e, pelo princípio da relatividade, devemos ter
)sin( tkx )sin( txk
tkx txk
)( tvxx )(2
xcv
tt Então, usando que e
podemos mostrar que:
e
O efeito Doppler da luz
Esta expressão é válida no caso do observador e a fonte estarem se afastando. Se estiverem se aproximando devemos trocar por .
Mas, como:
kkc
1kk 1e
O efeito Doppler da luz
v
k
Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação
cos1Se , “Doppler transverso”. Note que aqui o objeto em
movimento emite radiação com freqüência conhecida
2
20 1
0
O efeito Doppler da luz
• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma velocidade relativamente pequena, . Neste caso temos:
Em termos dos comprimentos de onda, temos:
•Logo, sendo v > 0 temos Deslocamento da luz para o vermelho
•Se a estrela estiver se aproximando (v < 0) teremos < 0
O efeito Doppler na astronomia
Deslocamento daluz para o azul
Prob. 4: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde, amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.
v = 0,20c • Efeito Doppler da luz (se afastando):
2/1
1
1
cc
nm5518,0
2,1nm450
1
12/12/1
a)
b) Luz "verde-amarelada":
Dinâmica relativística
Na mecânica Newtoniana temos
dtpd
F
, onde o momento linear é definido por: vmp
const.0 pF
a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas isolados, assim como na mecânica Newtoniana.
b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite .
Procuramos um análogo relativístico desta expressão que tenha as seguintes propriedades:
Dinâmica relativística
Colisão das partículas a e b, demesma massa, no referencial S’.Por exemplo, o referencial do C.M.das partículas
)(antesavm
)(antesbvm
)(depoisbvm)(depois
avm +
+ =
const.0 pFext
x
y S’
)(antesbv
)(depoisbv
)(depoisav
)(antesav
Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades:
... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao longo do eixo x ...
Momento linear relativístico
yantes
byyantes
ay
xantes
bxxantes
ax
vvvv
vvvv
Momento linear relativístico
)/(1)/(1
)/(1)/(1
22
22
cvv
vvv
cvv
vvv
cvv
vvv
cvv
vvv
x
xdepoisbx
x
xdepoisax
x
xantesbx
x
xantesax
ydepois
byydepois
ay
xdepois
bxxdepois
ax
vvvv
vvvv
)/(1
1
)/(1
1
)/(1
1
)/(1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
cvv
vv
cvv
vv
cvv
vv
cvv
vv
x
ydepoisby
x
ydepoisay
x
yantesby
x
yantesay
x
y S’
)(antesbv)(depois
bv
)(depoisav
)(antes
av
transformação de Lorentz das velocidades
não nos fornece uma expressão para o momento
linear que seja invariante pelas transformações de Lorentz.
vmp
Momento linear relativístico
Entretanto, pode-se mostrar que teremos uma quantidade conservada definindo:
220
01
)(cv
mmvm
onde m0 é a massa do corpo no referencial em que ele se encontra em repouso. A força é, então, dada por
Momento linear relativístico
Energia relativística• A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula continua sendo dada por:
dtpd
vvFdtdK
rrr
dtvdt
vmdrd
dt
vmdrdFK
0
0
0
0
0
)()(
2220 mcEEmccmK então:
vvv
xcmx
dxxcmcv
cv
cvdcmK 0
2/1220
02/12
20
022
20 1
)1()/()
/1
/(
22 /1
/
cv
cvx
Energia Total
(Supondo Epotencial = 0 )
Usando que vmp temos
Epc
vc
vmcp
2
2
2
Como 420
2422 cmcmE obtemos:
Se m0 = 0 pcE • Lembrando que a radiação eletromagnética transporta momento linear , podemos imaginá-la como composta por corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.
cUp /
Relação energia-momento linear
Energia relativística
22
24
4202
1Ec
pc
cmE
2)/(1
1
cv
• Limite clássico da energia
...
83
21
1 4
4
2
22
022
20
cv
cv
cmcv
cmE
Expandindo E para v/c << 1 temos:
...8
3
2 2
220
202
0
cvvmvm
cmE
Energia de repouso: 20cmE
2
20vm
K Energia cinética para v/c << 1 :
Energia relativística
• A energia de um sistema isolado se mantém constante
Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia ∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa:
Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares, embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível.
Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua velocidade), sua massa também aumenta:
2c
Qmmm if
2cE
m
Energia relativística
Colisões relativísticas
4321 pppp 4321 EEEE
?4 p
cE
p
3
•Efeito Compton(será estudado no Cap. 38)
)0( 1
11
mc
Ep
02 p
Prob. 5: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que a sua energia de repouso ?
)(3 20
2 cmmcE
mas:
Prob. 6: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ; (b) de ; (c)
da razão sua energia cinética e energia de repouso.
cmvvmp 0)(
2
2
2
2
02/1
2
2
0 1
1c
v
c
vcm
c
v
vm
707,02
112
2
2
c
v
c
v a)
414,12
2/1
1
2/11
1
414,01414,1)1(
20
20
0
cm
cm
E
K
b)
c)
Prob. 7:
Uma partícula com massa de repouso de 2 MeV/c2 e energia cinética de 3 MeV colide com uma partícula estacionária com massa de repouso de 4 MeV/c2. Depois da colisão, as duas partículas ficam unidas.
a) Determine o momento inicial do sistema.b) A velocidade final do sistema de duas partículas.c) A massa em repouso do sistema de duas partículas.
Relatividade Geral• Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece acelerado, se visto de um referencial não-inercial.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia: É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante daquela num referencial uniformemente acelerado!
O elevador de Einstein
Relatividade Geral
• Princípio da equivalência de Einstein
Num recinto suficientemente pequeno (para que o campo gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme), em queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo gravitacional.
(a)
ga
g
a
• Só precisamos de geometria para descrever trajetórias retilíneas, vistas de referenciais não-inerciais.
Relatividade Geral
“A massa diz ao espaço-tempo como se curvar; e o espaço-tempo diz à massa como se mover”!
• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia curvatura do espaço-tempo!