Aula 7 - Regras Da Multiplicação e Probabilidade Total

Cássius Henrique

Aula 7

Regras da Multiplicação e Probabilidade Total

CEA 012 – Probabilidade


Cássius Henrique Xavier Oliveira

Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas

2015

Cássius Henrique

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Formulário até o momento

Probabilidade para eventos equiprováveis:

Axiomas de probabilidade:

N eventos sem interseção

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)(

)()|(

AP

BAPABP

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)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()|(

An

BAn

Sn

An

Sn

BAn

AP

BAPABP

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Teorema da Multiplicação

Aparecimento do conectivo “e” interseção de eventos

Eventos de S

A e B, com e

Da Probabilidade Condicional sabemos que:

Organizando os termos dessa fórmula, temos:

SBA , 0)( BP

BP

BAPBAP

|

BAPBPBAP |

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Eventos Independentes

A ocorrência de um evento não altera a ocorrência de outro evento

Para a Probabilidade Condicional usávamos

Quando os eventos são independentes, temos

Logo, podemos adaptar a primeira fórmula para

BP

BAPBAP

|

APBAP |

BP

BAPAP

BPAPBAP

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Eventos Independentes

Para interseções entre eventos independentes, teremos sempre:

A probabilidade da interseção de n eventos independentes será, pois, dada por:

nn EPEPEPEEEP ...... 2121

BPAPBAP

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Exemplo 1

(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.

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Exemplo 1 – Resolução


Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar

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Seja A = escolher um apartamento nesse prédio para ocupar

16

6AP

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Seja A = escolher um apartamento nesse prédio para ocupar

X 16

6AP

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Seja B = escolher um 2º apartamento nesse prédio para ocupar

X 5

4| ABP

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Seja B = escolher um 2º apartamento nesse prédio para ocupar X

X 5

4| ABP

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Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar X

X 2

1

4

2| ABCP

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Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar

X

X

X 2

1

4

2| ABCP

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X

X

X 2

1

4

2| ABCP

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X

X

X

5

2

2

1

5

41

||

CBAP

ABCPABPAPCBAP

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X

X

X

5

2

2

1

5

41

||

CBAP

ABCPABPAPCBAP

Aplicação do Teorema

da Multiplicação

(Interseção de eventos)

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Exemplo 2

(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto

Eventos: A, B e C

• A = resultado é par

• B = resultado é estritamente maior que 4

• C = resultado é múltiplo de 3

Pergunta-se:

a) Os eventos A e B são independentes?

b) Os eventos B e C são independentes?

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Eventos: A, B e C

• A = resultado é par = {2, 4, 6}

• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}

• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}

– A B = {6}

– B C = {6}

6

1

6

1

3

1

3

1

2

1

CBP

BAP

CP

BP

AP

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Teste do item (a):

Os eventos A e B são independentes?

6

1

6

1

3

1

3

1

2

1

CBP

BAP

CP

BP

AP

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Teste do item (a):

Os eventos A e B são independentes?

)(6

1

6

1

3

1

2

1

6

1

?

OK

BPAPBAP

6

1

6

1

3

1

3

1

2

1

CBP

BAP

CP

BP

AP

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Teste do item (b):

Os eventos B e C são independentes?

6

1

6

1

3

1

3

1

2

1

CBP

BAP

CP

BP

AP

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Teste do item (b):

Os eventos B e C são independentes?

)(9

1

6

1

3

1

3

1

6

1

?

NÃO

CPBPCBP

6

1

6

1

3

1

3

1

2

1

CBP

BAP

CP

BP

AP

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Eventos A e B

Comprovando esse resultado...

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Eventos A e B


2

1

316

1

|

2

1

BP

BAPBAP

AP

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Eventos A e B


2

1

316

1

|

2

1

BP

BAPBAP

AP A e B são

independentes!!!

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Eventos B e C


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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Eventos B e C


2

1

316

1

|

3

1

CP

CBPCBP

BP

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Eventos B e C


2

1

316

1

|

3

1

CP

CBPCBP

BP B e C NÃO são

independentes!!!

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Eventos B e C


2

1

316

1

|

3

1

BP

CBPBCP

CP

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Eventos: A, B e C




– A B = {6}

– B C = {6}

Eventos B e C


2

1

316

1

|

3

1

BP

CBPBCP

CP B e C NÃO são

independentes!!!

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L1.5. Exercício 1

(CESGRANRIO/2012) Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais.

a) Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente cinco vezes?

b) Para o desenvolvimento do raciocínio foi utilizado o princípio aditivo ou multiplicativo? Justifique associando a teoria dos conjuntos à probabilidade.

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L1.5. Exercício 2

Em uma caixa com 1000 peças, 560 são destinadas à montagem do Produto A e 440 são destinadas à montagem do Produto B. Seja Ai o evento em que uma peça destinada à montagem do Produto A é retirada na i-ésima vez e Bj o evento em que uma peça destinada à montagem do Produto B é retirada na j-ésima vez.

a) Considere que foram feitas 2 retiradas, com reposição. Qual a chance de que a primeira peça retirada seja destinada à montagem do Produto A e a segunda peça retirada seja destinada à montagem do Produto B?

b) O eventos supracitados são independentes? Justifique por meio de cálculos.

c) Considere que foram feitas 2 retiradas, sem reposição. Qual a chance de que a primeira peça retirada seja destinada à montagem do Produto B e a segunda peça retirada seja destinada à montagem do Produto A?

d) O eventos citados no item (c) são independentes? Justifique por meio de cálculos.

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Nivelamento

Explique qual o caminho mais objetivo para verificar se dois ou mais eventos são independentes. Exemplifique.

Eventos independentes e eventos mutuamente exclusivos correspondem à mesma coisa? Justifique (Use diagramas e anote suas conclusões)

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L1.5. Exercício 3

(PETROBRAS/2012.1-adap) Sabe-se por estudos estatísticos que as probabilidades de haver num certo almoxarifado os materiais A, B e C disponíveis para uso são de, respectivamente, 80%, 80% e 90%.

a) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estarem faltando exatamente os três materiais no almoxarifado?

b) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estar faltando apenas o material B?

c) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estarem faltando somentes os materiais A e C?

d) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estar faltando pelo menos um desses materiais no almoxarifado?

e) Qual a influência da utilização do conceito de eventos complementares para desenvolver o raciocínio anterior?

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Probabilidade Total

Imagine que você saiba a probabilidade de um evento sujeita a algumas condições (exemplo: A ocorreu ou A não ocorreu).

Qual o raciocínio adequado para se expressar a probabilidade de B?

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Probabilidade Total

Imagine que você saiba a probabilidade de um evento sujeita a algumas condições (exemplo: A ocorreu ou A não ocorreu).

Qual o raciocínio adequado para se expressar a probabilidade de B?

APABPAPABPBP

APABPABPAP

ABPABP

APABPABPAP

ABPABP

ABPABPBP

||

||

||

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Probabilidade Total

A Probabilidade que acabamos de resolver: Probabilidade Total do evento B.

APABPAPABPBP ||

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Nivelamento

Essa fórmula faz algum sentido para você? Contextualize-a

APABPAPABPBP ||

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Probabilidade Total

Se generalizarmos para k eventos mutuamente exclusivos e exaustivos, a Probabilidade Total de B seria

kk

k

EPEBPEPEBPEPEBPBP

EBPEBPEBPBP

|...||

...

2211

21

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L1.5. Exercício 4

Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A e 2% das produzidas por B são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C são defeituosas. Todas as peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada uma peça ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?

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Nivelamento

O que são eventos exaustivos? Diferencie-os dos eventos mutuamente exclusivos e dos eventos independentes e dependentes. Dê exemplos.

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Gabarito

1. a) 1/16

2. a) 0,2464; c) 0,2466

3. a) 0,004; b) 0,144; c) 0,016; d) 0,424

4. 0,025

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Sugestão para a próxima aula...

Estudar as páginas 43 (item 1.7) a 56 (item 1.8) da referência abaixo:

DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutório. Ed. da universidade de São Paulo.

Estudar os itens 2.4, 2.5 e 2.6 da referência abaixo:

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.

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