Aula 7 - Variáveis Aleatórias Discretas

AULA 7 - Variaveis aleatorias discretas

Profa. Patrıcia de Siqueira Ramose-mail: [email protected]

UNIFEI - Itabira

5 de abril de 2010

Introduc ao

Variaveis Aleatorias Discretas

• E interessante resumir o resultado de um experimento aleatorio porum numero

• Podemos associar um numero a cada resultado no espaco amostral

• Como o resultado nao e conhecido a priori, o valor resultantetambem nao e, por isso o nome de

• Variavel aleatoria: funcao que confere um numero real a cadaresultado no espaco amostral de um experimento aleatorio

Variavel aleatoria: letra maiuscula (X)

Valor medido da v.a. depois do experimento: letra minuscula (x = 70)

Tipos de vari aveis aleat orias


• v.a. contınua: a medida pode assumir qualquer valor em umintervalo de numeros reais (finito ou infinito)Ex: corrente em um fio, comprimento, altura, pressao, voltagem

• v.a. discreta: v.a. com faixa finita (ou infinita contavel)Ex: no bits transmitidos com erro (proporcao de 0,0005 de 10000bits), numero de arranhoes numa superfıcie, proporcao de pecasdefeituosas

• Artifıcios para transformar variaveis qualitativas em quantitativaspodem ser usados pois os recursos disponıveis para a analise devariaveis quantitativas sao mais ricos do que para as qualitativas(Questionario: respostas S e N → 1 ou 0)

Vari avel aleat oria discreta


Exemplos:

• A v.a. e o teor de umidade de um lote de materia-prima, medidacom uma aproximacao para o ponto percentual inteiro mais proximo.



Exemplos:


Faixa de valores possıveis de X e {0,1,2, . . . , 100}

• De 500 pecas, 10 nao atendem aos requisitos do consumidor. Pecassao selecionadas, sem reposicao, ate que uma peca nao-conformeseja obtida. A v.a. e o numero de pecas selecionadas.



Exemplos:


Faixa de valores possıveis de X e {0,1,2, . . . , 100}

• De 500 pecas, 10 nao atendem aos requisitos do consumidor. Pecassao selecionadas, sem reposicao, ate que uma peca nao-conformeseja obtida. A v.a. e o numero de pecas selecionadas.

Faixa de valores possıveis de X e {1, 2, . . . , 491}.(Como 490 atendem, uma peca nao-conforme deveria serselecionada em 491 selecoes)

Func ao de probabilidade discreta


A funcao de probabilidade (ou distribuicao de probabilidades) de uma v.a.X que assume valores x1, x2, . . . , xn, e a funcao f(xi) que associa cadavalor de xi a sua probabilidade de ocorrencia, com

(1)f(xi) ≥ 0

(2)n

∑

i=1

f(xi) = 1

(3)f(xi) = P (X = xi)

x x1 x2 x3 · · ·f(xi) f(x1) f(x2) f(x3) · · ·

Exemplo


Para as famılias de uma regiao, 20% nao tem filhos, 30% tem um filho,35% tem dois e as restantes se dividem igualmente entre 3, 4 ou 5 filhos.Qual a funcao de probabilidade dessa variavel?

Exemplo


Para as famılias de uma regiao, 20% nao tem filhos, 30% tem um filho,35% tem dois e as restantes se dividem igualmente entre 3, 4 ou 5 filhos.Qual a funcao de probabilidade dessa variavel?

X: v.a. numero de filhosPara obter as probabilidades para 3, 4 e 5 filhos, fazemos:

n∑

i=1

f(xi) = 1 → 0,20 + 0,30 + 0,35 + f(x3) + f(x4) + f(x5) = 1

f(x3) + f(x4) + f(x5) = 1 − 0,85 → f(x3) + f(x4) + f(x5) = 0,15

x 0 1 2 3 4 5f(xi) 0,20 0,30 0,35 0,05 0,05 0,05

Grafico da funcao de probabilidade discreta de X.

Func ao de distribuic ao acumulada discreta(ou func ao de distribuic ao de probabilidade)


A funcao de distribuicao acumulada de uma v.a. discreta X e

F (x) = P (X ≤ x) =∑

xi≤x

f(xi)

Func ao de distribuic ao acumulada discreta(ou func ao de distribuic ao de probabilidade)


A funcao de distribuicao acumulada de uma v.a. discreta X e

F (x) = P (X ≤ x) =∑

xi≤x

f(xi)

Para uma v.a. discreta X, F (x) satisfaz:

(1)F (x) = P (X ≤ x) =∑

xi≤x

f(xi)

(2)0 ≤ F (x) ≤ 1

(3) Se x ≤ y, entao F (x) ≤ F (y)

Obs.: a funcao de distribuicao acumulada pode ser usada para obter afuncao de probabilidade.

Exemplo


Determine a funcao de probabilidade acumulada de X a partir de suafuncao de probabilidade:

x 0 1 2 3 4 5

f(xi) 0,20 0,30 0,35 0,05 0,05 0,05

Exemplo


Determine a funcao de probabilidade acumulada de X a partir de suafuncao de probabilidade:

x 0 1 2 3 4 5

f(xi) 0,20 0,30 0,35 0,05 0,05 0,05

F (x) = P (X ≤ x) =

0 sex < 00,20 se0 ≤ x < 10,50 se1 ≤ x < 20,85 se2 ≤ x < 30,90 se3 ≤ x < 40,95 se4 ≤ x < 5

1 sex ≥ 5

Exemplo


Grafico da funcao de distribuicao acumulada de X.

Outro exemplo


Um jogador paga 5 fichas para participar de um jogo de dados,disputando com a banca quem tem o ponto maior. O jogador e a bancalancam cada um o seu dado e a regra e:

• Se o ponto do jogador e maior, ele ganha duas vezes a diferencaentre seu ponto (j) e o obtido pela banca (b)

• Se o ponto do jogador e menor ou igual ao da banca, ele nao ganhanada.

O jogo e mais favoravel pra quem?

Outro exemplo


Um jogador paga 5 fichas para participar de um jogo de dados,disputando com a banca quem tem o ponto maior. O jogador e a bancalancam cada um o seu dado e a regra e:

• Se o ponto do jogador e maior, ele ganha duas vezes a diferencaentre seu ponto (j) e o obtido pela banca (b)

• Se o ponto do jogador e menor ou igual ao da banca, ele nao ganhanada.

O jogo e mais favoravel pra quem?

G: v.a. do ganho bruto do jogador em uma jogada (valor arrecadado semdescontar as fichas iniciais pagas)

G =

{

2(j − b) sej > b0 sej ≤ b

Para cada par de jogadas, o ganho e baseado em seus valores.j = 3, b = 1 → G = 2(3 − 1) = 4.

j = 5, b = 6 → G = 0

Outro exemplo


Espaco amostral:

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 G = 101,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 G = 81,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 G = 61,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 G = 41,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 G = 21,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 G = 0

Outro exemplo


Espaco amostral:

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 G = 101,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 G = 81,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 G = 61,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 G = 41,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 G = 21,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 G = 0

g 0 2 4 6 8 10

f(gi) 21/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Outro exemplo


Espaco amostral:

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 G = 101,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 G = 81,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 G = 61,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 G = 41,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 G = 21,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 G = 0

g 0 2 4 6 8 10

f(gi) 21/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Conclusao: O jogador nao tera prejuızo se obtiver 6, 8 ou 10 comprobabilidade igual a 3/36 + 2/36 + 1/36 = 6/36.O jogo e altamente favoravel a banca e, apenas com muita sorte (1/36), ojogador ganhara o dobro do que apostou.

Media e vari ancia de uma v.a. discreta


A media ou valor esperado de uma v.a. X discreta e dada por

µ = E(X) =∑

x

xf(x) =∑

x

xP (X = x)

A variancia de X e

σ2 = V (X) = E(X − µ)2 =∑

x

(x − µ)2f(x) =∑

x

x2f(x) − µ2

O desvio padrao de X e

σ =√

σ2

Mediana e moda de uma v.a. discreta


A mediana de uma v.a. X discreta e o valor que satisfaz

P (X ≥ md) ≥ 1/2 eP (X ≤ md) ≥ 1/2

A moda e o valor da variavel que tem maiorprobabilidade de ocorrencia:

P (X = mo) = max(f(x1), f(x2), . . . , f(xn))

Exemplo


O numero de mensagens enviadas por hora, atraves de uma rede decomputadores, tem a seguinte distribuicao:

X: numero de mensagens enviadas

x 10 11 12 13 14 15

f(xi) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07

Determinar a media, a mediana e o desvio padrao do numero demensagens enviadas por hora:

Exemplo


O numero de mensagens enviadas por hora, atraves de uma rede decomputadores, tem a seguinte distribuicao:

X: numero de mensagens enviadas

x 10 11 12 13 14 15

f(xi) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07

Determinar a media, a mediana e o desvio padrao do numero demensagens enviadas por hora:

µ =E(X) =∑

x

xf(x) = 10 · 0,08 + 11 · 0,15 + . . . + 15 · 0,07 = 12,5 mensagens

σ2 =V (X) =∑

x

x2f(x) − µ2 = 102 · 0,08 + 112 · 0,15 + . . . + 152 · 0,07 − 12,52 = 1,85

σ =√

1,85 = 1,36 mensagens

md :P (X ≥ ou ≤ md) ≥ 1/2 ⇒ md = 12,

poisf(10) + f(11) + f(12) = 0,53 ef(12) + f(13) + f(14) + f(15) = 0,77

Valor esperado de uma func ao de v.a. discreta


Se X e v.a. discreta com funcao de probabilidade f(x),

E[h(X)] =∑

x

h(x)f(x).

No exemplo anterior, qual o valor esperado do quadradodo numero de mensagens?

Valor esperado de uma func ao de v.a. discreta


Se X e v.a. discreta com funcao de probabilidade f(x),

E[h(X)] =∑

x

h(x)f(x).

No exemplo anterior, qual o valor esperado do quadradodo numero de mensagens?

h(x) =X2

E[h(X)] =∑

x

h(x)f(x) = 102 · 0,08 + 112 · 0,15+

. . . + 152 · 0,07 = 152,05 mensagens

Principais modelos de probabilidadediscretos


• Algumas v.a.’s aparecem com frequencia emsituacoes praticas

• Em geral, nesses casos, a distribuicao deprobabilidades pode ser escrita de uma maneiramais compacta, isto e, existe uma lei para atribuirprobabilidades

Distribuic ao Uniforme discreta


A v.a. mais simples e a que assume apenas um numero finito de valorespossıveis, cada um com igual probabilidade.Def.: Uma v.a. X tem distribuicao uniforme discreta se cada um dos nvalores em sua faixa, isto e, x1, x2, . . . , xn, tiver igual probabilidade.Entao,

P (X = xi) = f(xi) = 1/n ∀ i = 1,2, . . . , n




P (X = xi) = f(xi) = 1/n ∀ i = 1,2, . . . , n

Media e variancia:

µ = E(X) =∑

x

xf(x) σ2 =V (X) =∑

x

x2f(x) − µ2




P (X = xi) = f(xi) = 1/n ∀ i = 1,2, . . . , n

Media e variancia:

µ = E(X) =∑

x

xf(x) σ2 =V (X) =∑

x

x2f(x) − µ2

Se X for uma v.a. nos inteiros consecutivos a, a + 1, a + 2, . . . , b paraa ≤ b,

µ = E(X) = (b + a)/2 σ2 =V (X) =(b − a + 1)2 − 1

12



xi

P(X=xi)

x1

x2

x3

xn

1/n

xi

P(X=xi)

x1

x2

x3

xn

1/n

xi

1/n

x1

x2

x3

xn

2/n

1 F(x)

1/n

x1

x2

x3

xn

2/n

1 F(x)

Funcao probabilidade e funcao de distribuicao acumulada do modelouniforme.

Exemplo da distribuic ao uniforme


Um sistema de telecomunicacoes contem 48 linhas. Seja X a v.a.que representa o numero de linhas em uso em um certo tempo. Xe v.a. discreta uniforme com uma faixa de 0 a 48.

Exemplo da distribuic ao uniforme


Um sistema de telecomunicacoes contem 48 linhas. Seja X a v.a.que representa o numero de linhas em uso em um certo tempo. Xe v.a. discreta uniforme com uma faixa de 0 a 48.

µ =E(X) = (b + a)/2 = (48 + 0)/2 = 24 linhas

σ2 =V (X) =(b − a + 1)2 − 1

12=

(48 − 0 + 1)2 − 1

12=

(49)2 − 1

12= 200

σ =√

σ2 = 14,14 linhas.

Distribuic ao Bernoulli


Experimentos que apresentam ou nao determinada caracterıstica

Situacoes que podem ser representadas por respostas do tipoSUCESSO-FRACASSO



Experimentos que apresentam ou nao determinada caracterıstica

Situacoes que podem ser representadas por respostas do tipoSUCESSO-FRACASSO

Exemplos:

• Uma moeda e lancada: o resultado e CARA (sucesso) ou COROA(fracasso)

• Uma peca e escolhida de um lote de 500: DEFEITUOSA (sucesso)ou NAO (fracasso)

• Uma pessoa e escolhida ao acaso entre os moradores de umacidade e verifica-se se ela e favoravel ou nao a um projeto



Def.: Uma v.a. X segue o modelo Bernoulli se atribui 1 a ocorrencia desucesso e 0 ao fracasso. Com p representando a probabilidade desucesso, sua funcao de probabilidade e dada por

P (X = x) = f(x) = px(1 − p)1−x, x = 0,1.



Def.: Uma v.a. X segue o modelo Bernoulli se atribui 1 a ocorrencia desucesso e 0 ao fracasso. Com p representando a probabilidade desucesso, sua funcao de probabilidade e dada por

P (X = x) = f(x) = px(1 − p)1−x, x = 0,1.

Entao,

P (X = 0) = 1 − p P (X = 1) = p

Media e variancia:

µ = E(X) = p σ2 =V (X) = p(1 − p)



Funcao probabilidade e funcao de distribuicao acumulada do modeloBernoulli.

Distribuic ao Binomial


Considerar a repeticao de n ensaios de Bernoulli independentes etodos com a mesma probabilidade de sucesso p

O resultado de uma tentativa nao interfere na outra



Considerar a repeticao de n ensaios de Bernoulli independentes etodos com a mesma probabilidade de sucesso p

O resultado de uma tentativa nao interfere na outra

Exemplos:

• Uma moeda e lancada 3 vezes, qual a probabilidade de se obter 2caras?

• De um lote de 500 pecas, 10 pecas sao extraıdas com reposicao,qual a probabilidade de que todas seja defeituosas, sabendo-se que10% do lote e de pecas defeituosas?

• Sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade sao favoraveis a umprojeto municipal. Escolhendo-se 100 pessoas ao acaso entre osmoradores, qual a probabilidade de que pelo menos 80 sejamfavoraveis ao projeto?



Def.: A v.a. X, que e igual ao numero de tentativas que resultam em umsucesso, e uma v.a. binomial com parametros 0 < p < 1 e n = 1, 2, . . .. Afuncao de probabilidade de X com parametros n e p e

P (X = x) = f(x) =

(

n

x

)

px(1 − p)n−x, x = 0,1, . . . ,n.

Com(

nx

)

sendo o coeficiente binomial(

nx

)

=n!

x!(n − x)!.



Def.: A v.a. X, que e igual ao numero de tentativas que resultam em umsucesso, e uma v.a. binomial com parametros 0 < p < 1 e n = 1, 2, . . .. Afuncao de probabilidade de X com parametros n e p e

P (X = x) = f(x) =

(

n

x

)

px(1 − p)n−x, x = 0,1, . . . ,n.

Com(

nx

)

sendo o coeficiente binomial(

nx

)

=n!

x!(n − x)!.

Media e variancia:

µ = E(X) = np σ2 =V (X) = np(1 − p)

Exemplo da distribuic ao binomial


Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter um determinadopoluente organico. Considere que as amostras sejam independentes emrelacao a presenca do poluente. Encontre a probabilidade de que nasproximas 18 amostras, exatamente 2 contenham o poluente.



Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter um determinadopoluente organico. Considere que as amostras sejam independentes emrelacao a presenca do poluente. Encontre a probabilidade de que nasproximas 18 amostras, exatamente 2 contenham o poluente.

X : no de amostras que contem o poluente⇒ X ∼ Bin(n = 18, p = 0,1)

P (X = 2) = f(2) =

(

18

2

)

0,12(0,9)18−2 = 0,284

Encontre a probabilidade de que, pelo menos, 4 amostras contenham opoluente.

P (X ≥ 4) =18∑

4

(

18

x

)

0,1x(0,9)18−x =

=1 − P (X < 4) = 1 −3

∑

0

(

18

x

)

0,1x(0,9)18−x

P (X ≥ 4) =1 − [0,150 + 0,300 + 0,284 + 0,168] = 0,098



Media e variancia do numero de amostras com o poluente.



Media e variancia do numero de amostras com o poluente.

µ =E(X) = np = 18 · 0,1 = 1,8 amostras

σ2 =V (X) = np(1 − p) = 18 · 0,1 · 0,9 = 1,62 amostras2

σ =√

1,62 = 1,27 amostras.

Distribuic ao Poisson


Utilizada para se contar o numero de ocorrencias de um evento porunidade de area, volume, tempo etc.




Exemplos:

• Numero de chamadas telefonicas em um call center em 5 minutos

• Numero de falhas em um fio de cobre

• Contagem de interrupcoes de energia




Exemplos:

• Numero de chamadas telefonicas em um call center em 5 minutos

• Numero de falhas em um fio de cobre

• Contagem de interrupcoes de energia

Dado um intervalo de numeros reais (de tempo, volume, area), supor queeventos ocorram por todo o intervalo. Se o intervalo puder ser dividido emsubintervalos com comprimentos tao pequenos tal que:

(i) a probabilidade de mais de um evento em um subintervalo e 0

(ii) cada subintervalo tem a mesma probabilidade de apresentar o evento

(iii) o evento em cada subintervalo e independente de outros subintervalos



Def.: A v.a. X, que e igual ao numero de eventos no intervalo, e uma v.a.Poisson com parametro λ > 0 e funcao de probabilidade dada por

P (X = x) = f(x) =e−λλx

x!x = 0,1,2, . . .



Def.: A v.a. X, que e igual ao numero de eventos no intervalo, e uma v.a.Poisson com parametro λ > 0 e funcao de probabilidade dada por

P (X = x) = f(x) =e−λλx

x!x = 0,1,2, . . .

Media e variancia:

µ = E(X) = λ σ2 =V (X) = λ

Exemplo da distribuic ao Poisson


Falhas ocorrem ao acaso ao longo do comprimento de um fio delgado decobre. Seja X a v.a. que conta o numero de falhas em um comprimentode L mm de fio. X segue a distribuicao Poisson, com media de 2,3falhas/mm.Qual a probabilidade de existirem exatamente 2 falhas em 1 mm de fio?




P (X = 2) = f(2) =e−λλx

x!=

e−2,32,32

2!= 0,2652

Qual a probabilidade de que haja 10 falhas em 5 mm de fio?




P (X = 2) = f(2) =e−λλx

x!=

e−2,32,32

2!= 0,2652

Qual a probabilidade de que haja 10 falhas em 5 mm de fio?Y : no de falhas em 5 mm de fio

E(Y ) = Y ∼ 5 · 2,3 = 11,5 falhas/5 mm de fio

Poi(λ = 11,5)

P (Y = 10) =e−λλx

x!=

e−11,511,510

10!= 0,1129

Qual a probabilidade de que haja no mınimo 1 falha em 5 mm de fio?




P (X = 2) = f(2) =e−λλx

x!=

e−2,32,32

2!= 0,2652

Qual a probabilidade de que haja 10 falhas em 5 mm de fio?Y : no de falhas em 5 mm de fio

E(Y ) = Y ∼ 5 · 2,3 = 11,5 falhas/5 mm de fio

Poi(λ = 11,5)

P (Y = 10) =e−λλx

x!=

e−11,511,510

10!= 0,1129

Qual a probabilidade de que haja no mınimo 1 falha em 5 mm de fio?

P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y < 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − e−11,5λ0

0!= 0,9999

Distribuic ao geom etrica


Considera o numero de ensaios de Bernoulli ate que um sucesso sejaobtido, sendo as tentativas independentes e com probabilidadeconstante p de sucesso.



Considera o numero de ensaios de Bernoulli ate que um sucesso sejaobtido, sendo as tentativas independentes e com probabilidadeconstante p de sucesso.

Exemplos:

• Pastilhas sao analisadas ate uma pastilha grande ser encontrada

• Bits sao transmitidos ate que ocorra um erro

• Chamadas telefonicas dao sinal de ocupado ate uma conexao serobtida



Def.: A v.a. X (numero de tentativas ate o primeiro sucesso), comparametro 0 < p < 1 e uma v.a. geometrica com funcao de probabilidadedada por

P (X = x) = f(x) = (1 − p)x−1p, x = 1,2, . . . ,n.



Def.: A v.a. X (numero de tentativas ate o primeiro sucesso), comparametro 0 < p < 1 e uma v.a. geometrica com funcao de probabilidadedada por

P (X = x) = f(x) = (1 − p)x−1p, x = 1,2, . . . ,n.

Media e variancia:

µ = E(X) = 1/p σ2 =V (X) = (1 − p)/p2

Exemplo da distribuic ao geom etrica


A probabilidade com que um bit transmitido atraves de um canal digital detransmissao seja recebido com erro e de 0,1. Considere que astransmissoes sejam eventos independentes e seja X a v.a. no de bitstransmitidos ate que o primeiro erro seja obtido. Qual a probabilidade deque o 5o bit contenha erro?




{CCCCE} p = 0,1

P (X = 5) = P (CCCCE) = 0,94 · 0,1 = 0,066

Media e variancia:




{CCCCE} p = 0,1

P (X = 5) = P (CCCCE) = 0,94 · 0,1 = 0,066

Media e variancia:

µ = E(X) = 1/p = 1/01 = 10 (numero medio de

transmissoes ate o primeiro erro ser encontrado)

σ2 = V (X) = (1 − p)/p2 = (1 − 0,1)/0,12 = 90

σ =√

90 = 9,49 (transmissoes ate o primeiro erro ser encontrado)

Documents

Aula 7 - Variáveis Aleatórias Discretas