42
1 4.2. ANÁLISE DE FOURIER Série de Fourier Transformada de Fourier para Sinais Contínuos Transformada de Fourier para Discretos (DFT)

Aula 8 - Análise de Fourier

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Page 1: Aula 8 - Análise de Fourier

1

4.2. ANÁLISE DE FOURIER

Série de Fourier

Transformada de Fourier para Sinais Contínuos

Transformada de Fourier para Discretos (DFT)

Page 2: Aula 8 - Análise de Fourier

2

A) Representação de Sinais por Série de Fourier

Introdução

Neste capítulo vamos introduzir as transformações de sinais Série de Fourier e Transformada de Fourier, que convertem sinais do domínio do tempo em representações no domínio da freqüência.

Histórico sobre a Série de FourierO conceito em usar harmônicos (senos e co-senos) ou exponenciais complexas para descreverem fenômenos periódicos data de muito tempo atrás:

1748 – L. Euler – Movimento de uma corda vibratória era combinação dos modos normais.

1753 – D. Bernoulli – idem

1759 – J. L. Lagrange – Criticou o uso de séries trigonométricas na análise do movimento de cordas vibratórias. Ele achava que era impossível representar sinais com descontinuidades usando as séries trigonométricas.

Page 3: Aula 8 - Análise de Fourier

3

1768 – Nasce Jean Baptiste Joseph Fourier em Auxerre, França.

Matemático e Professor na “Ecole Polytechnique de France”.

Vida política intensa. Escapou da guilhotina em duas vezes após a revolução francesa. Acompanhou Napoleão Bonaparte no Egito.

Prefeito em Grenoble (1802). Nesta cidade desenvolveu suas idéias sobre série trigonométrica, com aplicação no fenômeno de propagação de calor e difusão.

1807 – Fourier termina seu trabalho e o apresenta no “Institut de France”.

Foram 4 julgadores de seu trabalho: Lacroix, Monge, Laplace e Lagrange. Os 3 primeiro a favor da publicação, mas Lagrange foi veemente contra. O trabalho não foi publicado.

1822 – Publicou o livro “Théorie analytique de la chaleur”, que incluía suas idéias.

1828 – Dirichlet forneceu condições precisas na qual uma função periódica poderá ser representada por uma série trigonométrica.

Page 4: Aula 8 - Análise de Fourier

4

Representação em Série de Fourier Trigonométrica de Sinais Periódicos

Em capítulos anteriores, definiu-se um sinal de tempo contínuo x(t) como sendo periódico se existir um valor diferente de zero positivo para T tal que

)()( txTtx

O período fundamental T0 de x(t) é o menor valor positivo de T para o qual a equação acima é satisfeita, e 1/T0 = f0 é chamada freqüência fundamental dada em Hz.

Dois exemplos básicos de sinais periódicos são os sinal senoidal (co-senoidal)

e o sinal exponencial complexo

onde é chamada freqüência angular fundamental.

)cos()( 0 ttx

tjetx 0)(

000 22 fT

Page 5: Aula 8 - Análise de Fourier

5

Sendo f(t) uma função periódica com período T. Esta função, caso obedeça as condições de Dirichlet, pode ser representada pela série trigonométrica:

0 1 0 2 0 1 0 2 01

( ) cos cos2 ... sen sen2 ...2

f t a a t a t b t b t

)sen cos(2

)(1

000

nnn tnbtna

atf

A componente senoidal de freqüência n = n0 é chamada o n-ésimo

harmônico da função periódica. O primeiro harmônico é chamado de componente fundamental, pois ele tem o mesmo período que a função, e a freqüência correspondente 0 = 2f0 = 2/T é chamada

freqüência angular fundamental (como já mencionado anteriormente).

ou

(1)

Page 6: Aula 8 - Análise de Fourier

6

Convergência da Série de Fourier:

Sabe-se que um sinal periódico f(t) tem uma representação em série de Fourier se ele satisfazer as seguintes condições de Dirichlet:

(i) A função f(t) é absolutamente integrável em um período, isto é:

2/

2/finita|)(|

T

Tdttf

(iii) A função f(t) possui um número finito de descontinuidades em um

período.

(ii) A função f(t) possui um número finito de máximos e mínimos em um período.

Page 7: Aula 8 - Análise de Fourier

7

A convergência é satisfeita, somente quando um número infinito de termos for incluído na expansão da série de Fourier. Se a série for truncada, ou seja, se um número finito de termos for usado na expansão da série, como na verdade deve ser em quase todas as aplicações práticas, então a aproximação exibirá um comportamento oscilatório em torno da descontinuidade, conhecido como Fenômeno de Gibbs. Quando o número de termos cresce, a curva resultante oscila com freqüência crescente e a amplitude decrescente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo, s

16 termos na série

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo, s

4 termos na série

Page 8: Aula 8 - Análise de Fourier

8

Determinação dos Coeficientes da Série: Os coeficientes an, a0 e bn são obtidos através da utilização das propriedades

de ortogonalidade das funções trigonométricas.

Um conjunto de funções {k(t)} é ortogonal em um intervalo a<t<b, se para

duas funções quaisquer m(t) e n(t) no conjunto existe a integral

2/

2/

,

, 0 )( )(

T

T nnm nmr

nmdttt

Por exemplo, um conjunto de funções senoidais. Pelo calculo elementar, pode-se mostrar que:

2/

2/ 0 0 para ,0 cosT

Tmdttm

2/

2/ 0 todopara ,0 sen T

Tmdttm

2/

2/ 00 0 , 2/

, 0 )( )cos( cos

T

T nmT

nmdttntm

2/

2/ 00 0 , 2/

, 0 )()sen (sen

T

T nmT

nmdttntm

2/

2/ 00 0 )( )cos(sen T

Tdttntm

;

Page 9: Aula 8 - Análise de Fourier

9

As equações anteriores mostram que as funções {1, cos0t, cos20t, ...,

cosn0t, ..., sen0t, sen20t, ..., senn0t} formam um conjunto de funções

ortogonais em um intervalo –T/2 < t< T/2. Usando as equações mostradas em slide anterior e combinando com a equação (1), chega-se às expressões dos coeficientes da série de Fourier:

1,2,...,0 , )( cos )(2 2/

2/ 0 ndttntfT

aT

Tn

1,2,... , )(sen )(2 2/

2/ 0 ndttntfT

bT

Tn

)(2 2/

2/0 T

Tdttf

Ta

Observa-se que (4) está contida em (2). E esta equação (4) mostra que o primeiro termo da série (a0/2) é o valor médio da função em um período.

Logo, se a função for simétrica em relação ao eixo das abscissas, este

primeiro termo da série é igual a zero.

(2)

(3)

(4)

Page 10: Aula 8 - Análise de Fourier

10

Simetria Ondulatória – Funções Pares e Ímpares

Uma função f(t) é dita par quando satisfaz a condição:

)()( tf-tf

As funções pares são simétricas em relação ao eixo dos Y (eixo da

coordenada dependente), portanto:

aa

adttfdttf

0 )(2 )(

Uma função f(t) é dita ímpar quando satisfaz a condição:

)()( tftf

As funções ímpares são anti-simétricas em relação a tal eixo, logo:

a

afdttf 0)0( e 0 )(

Page 11: Aula 8 - Análise de Fourier

11

Propriedades:

i) Qualquer função f(t) pode ser expressa como a soma de duas

componentes, das quais uma é par e outra é ímpar, ou seja:

)()()( tftftf ip

ii) Se f(t) for uma função periódica par, sua série de Fourier consiste somente dos termos an (n=0,1,...), ou seja, de uma constante e dos termos

em co-senos:

10

0 cos2

)(n

n tnaa

tf

iii) Se f(t) for uma função periódica impar, sua série de Fourier consiste somente dos termos bn (n=1, 2,...), ou seja, de termos em senos:

10sen )(

nn tnbtf

Page 12: Aula 8 - Análise de Fourier

12

Forma Complexa da Séries de Fourier – Espectro de Freqüência

O co-seno e o seno podem ser expressos em função de exponenciais, ou seja:

)(2

1 cos 00

0tjnωtjnω eetn

)(2

1sen 00

0tjnωtjnω ee

jtn

As expressões acima são determinadas a partir da equação de Euler:

sen jcose j

(5)

(6)

Substituindo (5) e (6) em (1), vem (lembrando que -j=1/j):

1

0 00 )(2

1)(

2

1

2)(

n

tjnnn

tjnnn ejbaejba

atf

1

0 0000

2

1

2

1

2)(

n

tjntjnn

tjntjnn ee

jbeea

atf

Page 13: Aula 8 - Análise de Fourier

13

Definindo:

)(2

1 ),(

2

1 ,

2

100 nnnnnn jbacjbacac

Logo,

)()(1

000

n

tjnωn

tjnωn ececctf

110

00)(n

tjnωn

n

tjnωn ececctf

110

00)(n

tjnωn

n

tjnωn ececctf

n

tjnωnectf 0)( (7) Série de Fourier Complexa

Page 14: Aula 8 - Análise de Fourier

14

Determinação dos Coeficientes da Série de Fourier Complexa:

)(2

1nnn jbac

Os coeficientes cn são valores complexos

)sen()()cos()(1

2/

2/ 02/

2/ 0

T

T

T

Tn dttntfjdttntfT

c

)]sen())[cos((1

02/

2/ 0 dttnjdttntfT

cT

Tn

2/

2/0 )(

1

T

Ttjn

n dtetfT

c ,....2,1,0 n

2/

2/0 )(

1

T

Ttjn

n dtetfT

c

Se f(t) for real então:

O símbolo (*) denota o complexo conjugado

* nn cc

Page 15: Aula 8 - Análise de Fourier

15

T tjn

n dtetfT

c0

0 )(1

cn é complexo para todo n com exceção de n=0 (ou seja, c0=(1/2)a0), então possui módulo e ângulo de fase:

| | njn nc c e

2 21| | ( ) e arc tg ( - / )

2n n n n n nc a b b a

Um gráfico onde se marcam no eixo horizontal as freqüências dos harmônicos e no eixo vertical os valores dos coeficientes cn da série

complexa de Fourier, chamamos espectro de amplitudes da função periódica f(t). No caso de se ter, no eixo vertical, os ângulos de fase n em

função da freqüência, este gráfico chama-se espectro de fases de f(t).

Page 16: Aula 8 - Análise de Fourier

16

Como os índices n assumem somente valores inteiros, os espectros de amplitudes e de fases, não são curvas contínuas e sim surgem como linhas verticais (raias) nas variáveis discretas n0. Portanto, tais gráficos denominam-

se espectro de freqüência discreta. A representação dos coeficientes complexos cn em função da variável complexa n0 especifica a função periódica f(t) no

domínio da freqüência, do mesmo modo que a função f(t) em função de t a especifica no domínio do tempo.

É usual representar tais espectros apenas em relação ao eixo de freqüências positivas, pois o lado esquerdo (lado das freqüências negativas) contém a mesma informação que o direito, já que os coeficientes c*n são os complexos

conjugados de cn. Na Figura abaixo é mostrado um exemplo de um espectro de

amplitudes.

5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

w

Cn

|cn|

Freqüência

Page 17: Aula 8 - Análise de Fourier

17

B) Transformada De Fourier de Sinais Contínuos A expansão por série de Fourier é uma forma de representação de

funções periódicas em termos de um somatório de funções harmônicas.

Para funções não-periódicas é necessário uma adequação da análise de Fourier ao problema.

Nesta análise, um sinal transiente pode ser visualizado como um sinal periódico tendo seu período tendendo ao infinito.

Da Série de Fourier à Transformada de Fourier:

Seja um sinal não-periódico x(t)=0 para -T1 > t > T1 :

Sinal Transiente

Formando um sinal periódico xp(t) através da repetição de x(t) com período fundamental T0 :

... ... Sinal Periódico

Page 18: Aula 8 - Análise de Fourier

18

Relembrando a série complexa de Fourier e a expressão de seus coeficientes:

n

tnnp ctx 0je)( dttx

Tc tnT

T pn e )(1 00

0

j-2/

2/0

Aqui foi substituído o símbolo da função temporal f(t) por x(t) para evitar confusão com o símbolo de freqüência f dada em Hz. Substituindo a segunda na primeira, vem:

n

tntnT

T pp dttxT

tx 000

0

jj-2/

2/0ee )(

1)(

n

tjnωtjnT

T pp dttxtx 000

0ee )(

2

1)( 0

-2/

2/

00

2

T

Quando T0 torna-se muito grande, 0 torna-se muito pequeno. Logo, fazendo 0=, tem-se n0= n, então:

n

tntjnT

T pp dttxtx j-2/

2/ee )(

2

1)( 0

0

Page 19: Aula 8 - Análise de Fourier

19

No limite, quando T0, n, d, e o somatório torna-se uma integral:

ddttxtx tjtjpp e e )(

2

1)( -

Assim pode-se definir o termo entre colchetes, na equação acima como:

dttxX tj

-e )()( Transformada de Fourier

Logo,

dXtx tje )(2

1)( Transformada Inversa de

Fourier

As duas integrais acima formam o Par de Integrais de Fourier. Este par também pode ser escrito por (quando considera-se freqüência em Hz):

dttxfX ftj

2-e )()( dffXtx πftj2e )()(

Page 20: Aula 8 - Análise de Fourier

20

)}({)(

)}({)(1 fXtx

txfX

Simbologia:

ou )()( fXtx

O gráfico de |X(f)| versus f é um espectro contínuo.

No espectro das amplitudes complexas de um sinal periódico, se o período aumenta, a freqüência fundamental diminui e as componentes em freqüência dos harmônicos ficam mais próximas entre si, fazendo com que a disposição das raias tendam a uma distribuição contínua e a série de Fourier vem a tornar-se uma integral.

Exemplo: T0= 4T1

T0= 8T1

T0= 16T1

CnT0

Page 21: Aula 8 - Análise de Fourier

21

Convergência das Transformadas de Fourier:

As condições de Dirichlet são condições suficientes, mas não necessárias para a existência da Transformada de Fourier de uma determinada função.

Condições de Dirichlet:

(i) A função x(t) é absolutamente integrável em módulo, isto é:

finita|)(| dttx

(ii) A função x(t) possui um número finito de máximos e mínimos dentro de qualquer intervalo finito.

(iii) A função x(t) possui um número finito de descontinuidades dentro de qualquer intervalo finito e cada uma dessas descontinuidades é finita.

Funções periódicas não obedecem à condição (i), mas possuem transformadas, caso funções impulsos estejam presentes na transformação. As funções aleatórias não atendem à condição (i).

Page 22: Aula 8 - Análise de Fourier

22

Propriedades das Transformadas de Fourier:

(i) Linearidade

Se x(t) X() e se y(t) Y(), então

)(bY)(aX)t(by)t(ax

(ii) Atraso no tempo

0-j0 e t)(X)tt(x

(iii) Atraso na freqüência

e 0j 0 )(X)t(x t

(iv) Escalonamento

a

X|a|

)at(x 1

Page 23: Aula 8 - Análise de Fourier

23

(v) Reverso no tempo

(vi) Diferenciação ou Integração

)(X)t(x

)())t(xdt

d

)()t(xdt

d

)f(f)t(xdt

d

nn

n

X (j

geral modo de ou , X j

ou , X 2 j

)(X)t(xt

d

d j

)( )0( j

1

X)(Xdt)t(xt

Page 24: Aula 8 - Análise de Fourier

24

(viii) Propriedades da T.F quando a função é real

(vii) Simetria ou Dualidade

)()t(X x2

)( x)( ftX

x(t) X()

)t(x)t(x)t(x imparpar )Im()Re()(X j

então

)(tx

)}({)}({)}({ txtxtx imparpar

)}({)( txRe par

)}({)( txImj impar

A T.F. de uma função par será sempre real

Page 25: Aula 8 - Análise de Fourier

25

)t(x)t(x)t(x imparpar

)()()( txtxtx imparpar

)()()( txtxtx imparpar

Aplicando a T.F.

)}({)}({)}({ txtxtx imparpar

)}()({)}({ txtxtx imparpar

)()( )()( XImjReX

Então, se x(t) for uma função real então:

)()( XX

Page 26: Aula 8 - Análise de Fourier

26

Exemplos de Aplicação da Transformada de Fourier:

i) T.F. da Função Pulso Retangular Simétrico

0

0

|| ,0)(

|| ,)(

Tttx

TtAtx

dtetxfX πft-j2 )( )(

dteAdteAfX πft-jT

Tπft-jT

T22 0

0

0

0 )(

0

0

0

0

222

)(T

Tπft-j

πf-juT

Tπf-je

AdueA

AfX

0000 22

222 2

1)( πfTjπfTj

fπfTjπfT-j

πf-jee

j

Aee

AfX

)2sen()( 0 πfT

AfX

f

Page 27: Aula 8 - Análise de Fourier

27

)2sen()( 0 πfT

AfX

f0

0

2

2

T

T

0

00 2

)2sen(2)(

fT

πfTATfX

)2(sinc 2)( 00 πfTATfX Função Real

Page 28: Aula 8 - Análise de Fourier

28

(ii) T.F. da Função Pulso Retangular (Função Porta)

)e-(eej2-

A1)-(e

j2-

Ae

j2-

Ae A )( jj-j-j2-

0

j2-j2-0

ffffftft

fffdtfX

ffff

f

f

f)f(X j-jjj- e

)sen(A)]e-(e

2j

1[e

A

ff)f(X -j)esinc( A

|)sinc(| A f|)f(X|

)][tg( tgarc f)f(X

Page 29: Aula 8 - Análise de Fourier

29

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo [s]

Função Porta

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Freqüência [Hz]

Magnitude da Transformada de Fourier da Função Porta

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo [s]

Função Porta

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Freqüência [Hz]

Magnitude da Transformada de Fourier da Função Porta

Funções portas com diferentes durações e magnitudes das respectivas transformadas

Percebe-se que quanto menor a duração da porta, o primeiro “vale” no espectro da transformada será mais prolongado

Page 30: Aula 8 - Análise de Fourier

30

(iii) T. F. do Impulso

)(K )( ttx

dttdtttxfX tt fj2-fj2- e )(Ke )(K )}({)(

)( )( )( 00 txdttxtt

Propriedade da função Delta de Dirac

Portanto,

Logo,

KeK e )(K)( f0j2-fj2-

dttfX t

K)}({K t

Daí o motivo de se usar excitação impulsiva na análise modal experimental, pois teoricamente o impulso excitaria todas as freqüências do sistema sob teste

Page 31: Aula 8 - Análise de Fourier

31

iv) T.F. de uma Constante

e levando-se em conta que (f)= (-f):

KtK )(

)( fKK

)( fKK

Logo,

)(2}{

)(}{

KK

fKK

Do caso anterior, tem-se:

Segundo a propriedade de simetria (X(t) x(-f))

Page 32: Aula 8 - Análise de Fourier

32

iv) T.F. da Função Co-seno

)cos()( 0ttx )(2

1)( 00 tjtj eetx

}{2

1}{

2

1)}({)( 00 tjtj eetxX

)(})({ :Obs* 00 Xetx tj )(2}{ :Obs* KK

)(22

1)(2

2

1)( 00 X

)()()( 00 X )(2

1)(

2

1)( 00 fffffX

A T.F. do co-seno consiste de duas funções delta de Dirac simétricas, uma localizada em f0 e outra em - f0.

Page 33: Aula 8 - Análise de Fourier

33

Teorema Parseval para Sinais Não-Periódicos de Energia finita

Sendo x(t) um sinal de energia finita, sua energia é dada por:

dttxEx

2|)(|

que pode ser expressa em termos de X(f), ou seja:

dtdfefXtxdttxtxE ftj

x2)()()()(

dfdtetxfXdttxtxE ftjx

2)()()()(

dffXdffXfXEx

|)(| )( )( 2

Então,

dttxEx

2|)(| dffX

|)(| 2

A energia do sinal pode ser descrita no domínio do tempo ou no domínio da freqüência.

Page 34: Aula 8 - Análise de Fourier

34

dffXEx

|)(| 2

O termo |X(f)|2 representa a distribuição de energia do sinal em função da freqüência.

)( |)(| 2 fSfX xx

Sxx(f) Auto Densidade Espectral de Energia do Sinal x(t)

Será visto posteriormente que a função auto densidade espectral, Sxx(f), é a transformada de Fourier da função de auto correlação, Rxx().

)( )}({ fSR xxxx

Page 35: Aula 8 - Análise de Fourier

35

C) TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

A Transformada de Fourier têm sido usada com sucesso através dos anos para resolver muitos tipos de problemas de engenharia, física e matemática. Esta transformada, como já visto, é definida para funções contínuas (ou analógicas).

A partir dos anos 60 a transformada de Fourier tem sido implementada na forma digital (surgindo a Transformada de Fourier Discreta) em vários tipos de analisadores. Estes analisadores computam a forma digital (ou discretizada) de espectros de potência, funções de resposta em freqüência e outras funções no domínio da freqüência a partir de sinais medidos (amostrados) no domínio do tempo, todos a partir da Transformada de Fourier Discreta.

Nesta seção é apresentada a técnica conhecida com Transformada de Fourier Discreta (TFD) ou DFT (sigla da técnica em inglês) para seqüências de comprimento finito.

Page 36: Aula 8 - Análise de Fourier

36

A implementação da Transformada Discreta de Fourier ou simplesmente DFT (“Discrete Fourier Transform”), veio a ser prática em 1965 quando Cooley e Turkey descreveram um algorítmo para computar a DFT de forma bem eficiente. Seu algorítmo (e outros como ele) tornaram-se conhecidos como a Transformada Rápida de Fourier ou FFT (“Fast Fourier Transform”).

Usando o algorítmo da FFT, analisadores digitais de sinais podem computar a DFT em milisegundos ao invés de horas como era feita em décadas passadas.

A computação direta da DFT de uma função contendo N pontos, requer N2 operações; onde uma operação é definida como uma multiplicação mais uma adição. O algorítmo de Cooley e Tukey requer aproximadamente Nlog2N operações, sendo N potência de 2.

Muitos outros métodos para computação eficiente da DFT têm sido descobertos, contudo, todos os quais que requerem em torno de Nlog2N operações têm sido conhecidos como FFT’s.

Page 37: Aula 8 - Análise de Fourier

37

Seja x[n]uma seqüência de tamanho finito de comprimento N, isto é,

0][ nx

knN

N

n

WnxN

kX ][1

][1

0

Fora do intervalo 0 n N-1

A TFD (ou DFT) de x[n], representada por X[k], é definida por:

k = 0,1,.., N-1

)/2( NjN eW sendo

A TFD (ou DFT) inversa é dada por:

knN

N

n

WkXnx

][][

1

0n = 0,1,.., N-1

Exemplo: Dada a seqüência x[n]=[1, 2, 1]. (a) Calcule a DFT de x[n]; (b) Use o comando da fft no matlab para determinar a DFT de x[n]

Page 38: Aula 8 - Análise de Fourier

38

Solução: (a)

1 03 W 866,05,0

1)3/2(13 jeW j

866,05,02)3/2(2

3 jeW j 13)3/2(3

3 jeW

4121 ][]0[2

0

03

n

WnxX

866,05,0)866,05,0(1)866,05,0(2)1(1

]2[ ]1[ ]0[ ][]1[ 23

13

03

2

0

13

jjj

WxWxWxWnxXn

n

866,05,0)866,05,0(1)866,05,0(2)1(1

]2[ ]1[ ]0[ ][]2[ 43

23

03

2

0

23

jjj

WxWxWxWnxXn

n

13

43 WW

Page 39: Aula 8 - Análise de Fourier

39

(b) Resultados do Matlab:

» x=[1 2 1];

» xfft=fft(x)

xfft =

4.0000 -0.5000 - 0.8660i -0.5000 + 0.8660i

O que se percebe?

R: O Matlab calcula a DFT através da fórmula mostrada com a exceção do parâmetro (1/N). Portanto o usuário deve dividir o resultado da fft por N.

Por quê?

R: Porque muitos autores definem a DFT sem a divisão por N, que surge

dividindo na expressão da IDFT.

Page 40: Aula 8 - Análise de Fourier

40

Fórmulas da Discretização dos Sinais no Domínio do Tempo e no Domínio da Freqüência.

tNT

1 1 s

st f

f t

1 1

1

fTf

TT

f

Quanto maior a duração da aquisição do sinal, maior resolução terá o espectro.

T = Tempo (ou Período) de Aquisição ou Período de Análise ou Registro Temporal (“Time Record”);

N = Número de Linhas Espectrais

t = Intervalo de Tempo ou de Amostragem ou Incremento de Tempo;

f = Intervalo de Freqüência ou Resolução em Freqüência;

fs = Freqüência ou Taxa de amostragem

Page 41: Aula 8 - Análise de Fourier

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Princípio da Incerteza

tNT

ss

s tf

ft

1

1

1 1

1

fTf

TT

f

T = Tempo (ou Período) de Aquisição ou Período de Análise ou Registro Temporal (“Time Record”);

t = Intervalo de Tempo ou de Amostragem ou Incremento de Tempo;

f = Intervalo de Freqüência ou Resolução em Freqüência;

fs = Freqüência ou Taxa de amostragem

Page 42: Aula 8 - Análise de Fourier

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Natureza e Disposição dos Coeficientes de Fourier no Espectro

No Matlab (como não pode haver índice zero em variáveis indexadas):