Universidade Federal Fluminense

Aula 9 – Escoamento em tubulações

FENTRAN

Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)

Escola de Engenharia

Aula 9 – Escoamento em tubulações

Introdução

▪ Perda de carga

Fórmula universal

▪ Cálculo do fator de atrito f

▪ Escoamento laminar

▪ Turbulento liso

▪ Turbulento rugoso

▪ Rugosidade transicional

▪ Formulas aproximadas

Seções não circulares

Introdução

Energia hidráulica num ponto i:

∝ =1

𝐴 𝐴

𝑢

𝑉𝑚𝑎𝑥

3𝑑𝐴

𝐻𝑖 =𝑝𝑖𝛾+ 𝛼𝑖

𝑉𝑖2

2𝑔+ 𝑧𝑖

• escoamento laminar: = 2• escoamentos turbulentos: 1,04 1,11

Energia hidráulica num ponto i:

∝ =1

𝐴 𝐴

𝑢

𝑉𝑚𝑎𝑥

3𝑑𝐴

Para o escoamento num tubo (ponto 1 ao 2) com diâmetro constante

regime permanente; e

variação de energia H12 (diminuição +)

, onde ∆𝐻 = ℎ𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 − ℎ𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎 + ℎ𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠

𝐻𝑖 =𝑝𝑖𝛾+ 𝛼𝑖

𝑉𝑖2

2𝑔+ 𝑧𝑖

𝐻1 = 𝐻2 + Δ𝐻12

→𝑝1𝛾+ 𝛼1

𝑉12

2𝑔+ 𝑧1 =

𝑝2𝛾+ 𝛼2

𝑉22

2𝑔+ 𝑧2 + ℎ𝑃 → ℎ𝑃 =

∆𝑝

𝛾+ ∆𝑧

• escoamento laminar: = 2• escoamentos turbulentos: 1,04 1,11

→ 𝐴1 = 𝐴2 → 𝑉1𝐴1=𝑉2𝐴2

𝐹 = 𝑚𝑉𝑖

+ saída entrada

; 𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴

Ao longo do eixo do tubo (direção x):

𝑝1𝐴 − 𝑝2𝐴

Equação do momentum em regime permanente:

princípio da continuidade: 𝑚2 = 𝑚1 = 𝑚

peso: 𝑊 = ρ V g

área da parede: 𝐴𝑝 = 𝑃 𝐿

→ ∆𝑝 𝐴 + ρ 𝐴𝐿 𝑔∆𝑧

𝐿− 𝜏𝑝𝑃 𝐿 = 𝑚 𝑉2 − 𝑉1

s𝑒𝑛𝛼 =∆𝑧

𝐿

÷𝐴𝜌𝑔 ∆𝑝

ρ𝑔+ ∆𝑧 =

𝜏𝑝ρ𝑔

𝑃

𝐴𝐿 → ℎ𝑃 =

4𝜏𝑝ρ𝑔

𝐿

𝐷

Z

𝑝1

𝑝2

𝑔

𝜏𝑝

D

+𝑊𝑠𝑒𝑛𝛼 −𝜏𝑝𝐴𝑝 = 𝑚2𝑉2 − 𝑚1𝑉1

𝑟

𝑥

= ℎ𝑃

𝜌𝑉1𝐴1 = 𝜌𝑉2𝐴2

1

2

= ρ 𝐴𝐿 𝑔

𝐹 = 𝑚𝑉𝑖

+ saída entrada

; 𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴

Ao longo do eixo do tubo (direção x):

𝑝1𝐴 − 𝑝2𝐴

Equação do momentum em regime permanente:

princípio da continuidade: 𝑚2 = 𝑚1 = 𝑚

peso: 𝑊 = ρ V g

área da parede: 𝐴𝑝 = 𝑃 𝐿

→ ∆𝑝 𝐴 + ρ 𝐴𝐿 𝑔∆𝑧

𝐿− 𝜏𝑝𝑃 𝐿 = 𝑚 𝑉2 − 𝑉1

s𝑒𝑛𝛼 =∆𝑧

𝐿

÷𝐴𝜌𝑔 ∆𝑝

ρ𝑔+ ∆𝑧 =

𝜏𝑝ρ𝑔

𝑃

𝐴𝐿 → ℎ𝑃 =

4𝜏𝑝ρ𝑔

𝐿

𝐷

Z

𝑝1

𝑝2

𝑔

𝜏𝑝

D

+𝑊𝑠𝑒𝑛𝛼 −𝜏𝑝𝐴𝑝 = 𝑚2𝑉2 − 𝑚1𝑉1

𝑟

𝑥

= ℎ𝑃

𝜌𝑉1𝐴1 = 𝜌𝑉2𝐴2

1

2

= ρ 𝐴𝐿 𝑔

Teorema dos s:

Seja um fenômeno físico representado por uma relação dimensionalmente homogênea de n variáveis dimensionais, na forma:

pode ser descrito por:

onde são grupos adimensionais formados pela combinação das variáveis dimensionais:

e r o número de grandezas básicas. Ex.:

𝐹 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 = 0

Φ Π1, Π2, … , Π𝑛−𝑟 = 0

Π𝑖 = 𝐴𝑖 𝑢1𝛼𝑖1𝑢2

𝛼𝑖2⋯𝑢𝑛𝛼𝑖𝑛

M (massa)L (comprimento)T (tempo)

Variáveis: Variação da pressão (p)

Massa específica ()

Velocidade média do escoamento (V)

Diâmetro interno da tubulação (D)

Comprimento da tubulação (L)

Viscosidade ()

Rugosidade da parede interna ()

Δ𝑝 = 𝐺 𝜌, 𝑉, 𝐷, 𝜇, 𝐿, 휀

→ 𝐹 Δ𝑝, 𝜌, 𝑉, 𝐷, 𝜇, 𝐿, 휀 = 0

Φ Π1, Π2, … , Π𝑛−𝑟 = 0Pelo teorema dos ‘s:

→ Π1 = Ψ Π2, Π3, Π4

7 − 3 = 4

ℎ𝑃 =∆𝑝

𝛾+ ∆𝑧

Variáveis: p, , V, D, L, ,

Grupos adimensionais:

Número de Euler

Número de Reynolds (Re)

Rugosidade relativa

Comprimento relativo

Π1 =Δ𝑝

𝜌𝑉2

Π2 =𝜌𝑉𝐷

𝜇

Π3 =휀

𝐷

Π4 =𝐿

𝐷

Δ𝑝

𝜌𝑉2= Ψ 𝑅𝑒,

휀

𝐷,𝐿

𝐷

Π𝑖 = 𝐴𝑖 𝑢1𝛼𝑖1𝑢2

𝛼𝑖2⋯𝑢𝑛𝛼𝑖𝑛

Π1 = Ψ Π2, Π3, Π4

ℎ𝑃 =∆𝑝

𝛾+ ∆𝑧

Informação experimental:

Fórmula universal da perda de carga

ou equação de Darcy-Weisbach.

Δ𝑝

𝜌𝑉2= Ψ 𝑅𝑒,

휀

𝐷,𝐿

𝐷

Δ𝑝 ∝𝐿

𝐷

→Δ𝑝

𝜌𝑉2=𝐿

𝐷𝜓 𝑅𝑒,

휀

𝐷→ Δ𝑝 = 𝜌 𝜓

𝐿

𝐷𝑉2

→ 𝛾ℎ𝑃 = 𝜌 𝜓𝐿

𝐷𝑉2

𝐽 =ℎ𝑃𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔

→ ∆𝑝 = 𝛾ℎ𝑃

→ℎ𝑃𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔

ℎ𝑃 =∆𝑝

𝛾+ ∆𝑧

𝜌𝑔

→ ℎ𝑃 = 𝜓𝐿

𝐷

𝑉2

𝑔

𝑓 = 𝑓(𝑅𝑒, 휀/𝐷)

22

pela tensão cisalhante de parede:

pela análise dimensional:(Darcy-Weisbach)

Velocidade de atrito:

ℎ𝑃 =4𝜏𝑝ρ𝑔

𝐿

𝐷

→ 𝐽 =ℎ𝑃𝐿=

4𝜏𝑝ρ𝑔𝐷

𝐽 =ℎ𝑃𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔

⇒4𝜏𝑝ρ𝑔𝐷

=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔

→𝜏𝑝ρ=

𝑓

8𝑉

𝑢∗ =𝜏𝑝ρ=

𝑓

8𝑉

Exemplo:

Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, água escoa em uma extensão de 300 m, ligando um ponto A, na cota topográfica de 90,0 m, no qual a pressão interna é de 275 kPa, a um ponto B, na cota topográfica de 75,0 m, no qual a pressão interna é de 345 kPa. Determine:

a) o sentido do escoamento;b) a perda de carga entre A e B;c) a tensão de cisalhamento na

parede do tubo;d) a velocidade de atrito; ee) o fator de atrito da

tubulação, se Q = 0,14 m³/s.

A

B

zA = 90 m

zB = 75 m

pA = 275 kPa

pB = 345 kPaQ ?

HA=pAγ

+αAVA2

2g+zA =

275∙103

104+αA

VA2

2g+90 = 117,5+α

V2

2g

HB=pBγ+αB

VB2

2g+zB =

345∙103

104+αB

VB2

2g+75 = 109,5+α

V2

2g

a)

→ HA >HB O escoamento ocorre de A para B

b) hP = ∆HAB = HA − HB = 8 m

c) hP =4τpρg

LD

→ τp =hP ρ g D

4L

→ τp =8 ∙ 1000 ∙ 10 ∙ 0,3

4 ∙ 300= 20 Pa

γ = ρg = 104N/m³

(considere = 1000 kg/m3 e g = 10 m/s2)

d) u∗ = τp/ρ = 20 / 1000 = 0,14 m/s

e) u∗ = τp/ρ = f/8V → f =8u∗

V

2

V =QA

=0,14

π 0,324

= 2 m/s f = 0,04

VA AA = VB AB

Equação de Darcy-Weisbach:

fator de atrito

regime laminar ...

regime turbulento ...

𝐽 =ℎ𝑃𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔

𝑓 = 𝑓 𝑅𝑒,휀

𝐷= ? ? ?

=8

𝜋2𝑔

𝑓𝑄2

𝐷5= 0,0826

𝑓𝑄2

𝐷5

𝑄 = 𝑉𝐴 → 𝑉 = 𝑄/𝐴

Escoamento laminar

Lei de Newton da viscosidade (escoamento unidimensional):

Velocidade média:

Comparando com Darcy-Weisbach:

𝜏 = 𝜇𝑑𝑢

𝑑𝑦

→ 𝑢 𝑟 =ℎ𝑃ρ𝑔

4𝐿𝜇𝑅2 − 𝑟2

𝑉 =Q

A 𝑉 =𝑄

𝜋 𝑅2

ℎ𝑃 = 𝐿𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔

𝑓 =64

𝑅𝑒

→ ℎ𝑓 =32 𝐿 𝜇 𝑉

𝐷2ρ𝑔

𝑄 = 𝐴

𝑢 𝑑𝐴 =𝜋 ℎ𝑓 𝜌 𝑔 𝑅

4

8 𝐿 𝜇

=ℎ𝑓 𝜌 𝑔 𝑅

2

8 𝐿 𝜇

→𝑑𝑢

𝑑𝑟= −

ℎ𝑃 𝜌 𝑔

2𝐿𝜇𝑟

→ 𝑟

𝑅 𝑑𝑢

𝑑𝑟𝑑𝑟 = −

ℎ𝑃 𝜌 𝑔

2𝐿 𝑟

𝑅

𝑟 𝑑𝑟

R

y

ru(y)

x

= R-r

−𝜇𝑑𝑢

𝑑𝑟

ℎ𝑃 =4𝜏𝑝ρ𝑔

𝐿

2𝑅→ 𝜏 =

ℎ𝑃 𝜌 𝑔 𝑟

2𝐿

−𝜇𝑑𝑢

𝑑𝑟=

ℎ𝑃 𝜌 𝑔 𝑟

2𝐿

𝑢 𝑅 − 𝑢 𝑟 𝑅2 − 𝑟2 /2

R dy = -dr

𝜏𝑝

= u(r)

=ℎ𝑓 𝜌 𝑔 𝐷

2

32 𝐿 𝜇

→ 𝑓 =64

𝜌𝑉𝐷/𝜇→

=32 𝐿 𝜇 𝑉

𝐷2ρ𝑔

Exemplo:Um líquido com = 9.111 N/m³ escoa por gravidade através de um tanque com 30 cm de altura e um tubo capilar, também com 30 cm de altura, numa vazão de 4,25 L/h, como mostrado na figura ao lado. As seções 1 e 2 estão à pressão atmosférica. Desprezando os efeitos de entrada, calcule a viscosidade do líquido.

30 cm

30 cm

d = 1,2 mm

Q = 4,25 L/h

1

2

γ = 9.111 N/m³ μ = ?

Exemplo:

H1 = H2+∆H12Hi =

piγ+ αi

Vi2

2g+ zi

∆H = hT −hB +hP

p1γ

+α1V12

2g+z1 =

p2γ

+α2V22

2g+z2 +hP

0

→hP = z1−z2 − α2V22

2g

30 cm

30 cm

d = 1,2 mm

Q = 4,25 L/h

1

2

0 0

0,6 m

V2=QA2

=Q

πd2/4

=4,25∙10−3/3600

π 1,2∙10−32/4

= 1,04 m/s

= 0,6−21,04 2

2∙9,8= 0,49 m

hP = LfDV2

2g→ f =

2DghP

LV2=2 1,2∙10−3 ∙9,8∙0,49

0,3∙ 1,04 2 = 0,035

considerando laminar: ∝2 = 2 ; f = 64/Re

γ = 9.111 N/m³ μ = ?

(Darcy-Weisbach)

Exemplo:

V2=QA2

=Q

πd2/4

=4,25∙10−3/3600

π 1,2∙10−32/4

= 1,04 m/s

considerando laminar: ∝2 = 2

hP = LfDV2

2g→ f =

2DghP

LV2=2 1,2∙10−3 ∙9,8∙0,49

0,3∙ 1,04 2 = 0,035

→ Re =64

f=

640,035

= 1800

Re < 2000 laminar

Re =ρVDμ

→ μ =γVDg Re

=9111 ∙ 1,04 ∙ 1,2∙10−3

9,8∙1800

=γVDgμ

= 0,64∙10−3kg/m.s

μ = 0,64 cP

γ = ρg → ρ = γ/gp1γ

+α1V12

2g+z1 =

p2γ

+α2V22

2g+z2 +hP

0 0 0

γ = 9.111 N/m³ μ = ?

→hP = z1−z2 − α2V22

2g

0,6 m

= 0,6−21,04 2

2∙9,8= 0,49 m

(Darcy-Weisbach)

H1 = H2+∆H12Hi =

piγ+ αi

Vi2

2g+ zi

∆H = hT −hB +hP

; f = 64/Re

Equação de Darcy-Weisbach:

fator de atrito

regime laminar :

regime turbulento ...

𝐽 =ℎ𝑃𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔

𝑓 = 𝑓 𝑅𝑒,휀

𝐷= ? ? ?

𝑄 = 𝑉𝐴 → 𝑉 = 𝑄/𝐴

𝑓 =64

𝑅𝑒

Escoamento turbulento liso

Tempo

Grandeza

´(t)

t

(t)

(𝑡)

𝜙 𝑡 = 𝜙 𝑡 + 𝜙′ 𝑡

𝜙 𝑡 =1

𝑇 𝑡

𝑡+𝑇

𝜙 𝑑𝑡

Equações da Continuidade (fluido newtoniano e incompressível)

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜙

𝑝𝑢𝑣𝑤

...com média de Reynolds:

𝜕 𝑢

𝜕𝑥+𝜕 𝑣

𝜕𝑦+𝜕 𝑤

𝜕𝑧

𝜙 𝑡 = 𝜙 𝑡 + 𝜙′ 𝑡

𝑡

𝑡+𝑇𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡𝜌𝑔𝑥 −

𝜕 𝑝

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑦𝜇𝜕 𝑢

𝜕𝑦− 𝜌𝑢′𝑣′ = 𝜌

𝑑 𝑢

𝑑𝑡

𝜏 = 𝜏𝑙𝑎𝑚 + 𝜏𝑡𝑢𝑟𝑏

e de Navier-Stokes:

camada

limite

u

u

0,99u

y

Escoamento Turbulento

Camada Limite:

parede do tubo

y

U(x)

𝑢(𝑥, 𝑦)

Camada turbulenta externa

Camada intermediária

Subcamada laminar

y

𝜏(𝑥, 𝑦)

𝜏𝑃(𝑥)

𝜏𝑡𝑢𝑟𝑏𝜏𝑙𝑎𝑚

𝑦 = 𝛿 𝑥

𝑢+ =1

𝜅ln 𝑦+ + 𝐵

Lei logarítmica da camada intermediária

Millikan (1937)

𝑦+ =𝑦𝑢∗

𝜈

𝑢+ =𝑢

𝑢∗

5

30

y+ 11

camada

turbulenta

externa

camada

intermediária

subcamada

viscosa

u+ = y+

Lei interna de parede

Lei logarítmica da camada intermediária

Millikan (1937)

𝑦+ =𝑦𝑢∗

𝜈

𝑢+ =𝑢

𝑢∗

5

30

y+ 11

camada

turbulenta

externa

camada

intermediária

subcamada

viscosa

u+ = y+

Lei interna de parede

𝑢+ =1

𝜅ln 𝑦+ + 𝐵

Lei logarítmica da camada intermediária:

em um tubo:

velocidade média:

= 0,41 e B = 5,0

▪ e lembrando que:

▪ desenvolvendo

𝑢+ =1

𝜅ln 𝑦+ + 𝐵

𝑢

𝑢∗=1

𝜅ln

𝑅 − 𝑟 𝑢∗

𝜈+ 𝐵

𝑉 =Q

A= 𝐴 𝑢 𝑑𝐴

A→

𝑉

𝑢∗=1

2

2

𝜅ln

𝑅 𝑢∗

𝜈+ 2𝐵 −

3

𝜅

→𝑉

𝑢∗= 2,44 ln

𝑅 𝑢∗

𝜈+ 1,34

𝐷

2𝜈

𝑓

8𝑉

𝑢∗ =𝜏𝑝

ρ=

𝑓

8𝑉 →

𝑉

𝑢∗=

8

𝑓

1

𝑓= 1,99 log 𝑅𝑒 𝑓 − 1,02

1

𝑓= 2,0 log 𝑅𝑒 𝑓 − 0,8

Prandtl (1935)

𝑅𝑢∗

𝜈= =

1

2𝑅𝑒

𝑓

8

𝑢

𝑢∗=1

𝜅ln

𝑦𝑢∗

𝜈+ 𝐵

𝑅 − 𝑟

Prandtl:

Aproximação: Blasius (1911)(4000 < Re < 105)

1

𝑓= 2,0 log 𝑅𝑒 𝑓 − 0,8

𝑓 = 0,316 𝑅𝑒−1/4

Escoamento turbulento rugoso

parede do tubo

Camada Limite:

y

U(x)

𝑢(𝑥, 𝑦)

Camada turbulenta externa

Camada intermediária

Subcamada laminar

Rugosidade

parede do tubo

Experimento de Nikuradse:

+ < 5 parede hidraulicamente lisa

+ > 70 escoamento totalmente rugoso

5 + 70 rugosidade transicional

Válido para escoamento totalmente rugoso (+ > 70):

Experimento de Nikuradse com rugosidade de grãos de areia.

휀+ =휀𝑢∗

𝜈

𝑢

𝑢∗=1

𝜅ln

𝑅 − 𝑟 𝑢∗

𝜈+ 𝐵 − Δ𝐵

Δ𝐵 =1

𝜅ln 휀+ − 3,5

𝑉 = 𝑢 𝑑𝐴

𝐴 𝑉

𝑢∗= 2,44 ln

𝐷

휀+ 3,2

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,7

휀+ < 5

5 ≤ 휀+ ≤ 70 휀+ > 70

𝑉/𝑢∗ = 𝑓/8

0.008

0.016

0.032

0.064

1E+3 1E+4 1E+5 1E+6 1E+7 1E+8

f

Re

Totalmente rugoso (Exp. de Nikuradse) :

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,7

1

𝑓= 2,0 log 𝑅𝑒 𝑓 − 0,8

Escoamento liso (Eq. de Prandtl) :

Turbulento(Colebrooke-White) :

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,7+

2,51

𝑅𝑒 𝑓

Diagrama de Moody: 1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,7+

2,51

𝑅𝑒 𝑓

Colebrook-White:

Diagrama de Moody:

Escoamento

laminar

𝑓 =64

𝑅𝑒

Diagrama de Moody:

Região crítica

(transição laminar turbulento)

Diagrama de Moody:

Escoamento

turbulento liso

Fórmula de Blasius:

𝑓 ≅0,316

𝑅𝑒0,25

1

𝑓= 2,0 log 𝑅𝑒 𝑓 − 0,8

Fórmula de Prandtl:

Diagrama de Moody:

Zona de transição

(rugosidade transicional)

Fórmula de Colebrook-White:

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,71+

2,51

𝑅𝑒 𝑓

Diagrama de Moody:

Turbulência completa

(totalmente rugoso)

Experimento de Nikuradse:

1

𝑓= 2,0 log

3,71

휀/𝐷

Diagrama de Moody: (escoamento turbulento)

Fórmula de Colebrook-White:

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,71+

2,51

𝑅𝑒 𝑓

Material (mm) Material (mm)

Aço comercial novo 0,045 Ferro fundido com leve oxidação 0,3

Aço laminado novo 0,04 a 0,10 Ferro fundido velho 3 a 5

Aço soldado novo 0,05 a 0,10 Ferro fundido centrifugado 0,05

Aço soldado limpo, usado0,15 a 0,20

Ferro fundido em uso com cimento

centrifugado0,1

Aço soldado moderadamente

oxidado0,4

Ferro fundido com revestimento

asfáltico0,12 a 0,20

Aço soldado revestido de cimento

centrifugado0,1

Ferro fundido oxidado1 a 1,5

Aço laminado revestido de asfalto 0,05 Cimento amianto novo 0,025

Aço rebitado novo 1 a 3 Concreto centrifugado novo 0,16

Aço rebitado em uso6

Concreto armado liso, vários anos de

uso0,20 a 0,30

Aço galvanizado, com costura 0,15 a 0,20 Concreto com acabamento normal 1 a3

Aço galvanizado, sem costura 0,06 a 0,15 Concreto protendido Freyssinel 0,04

Ferro forjado

0,05

Cobre, latão, aço revestido de epoxi,

PVC, plásticos em geral, tubos

extrudados0,0015 a 0,010

Ferro fundido novo 0,25 a 0,50

Fonte: Porto (2004)

Equação de Darcy-Weisbach:

fator de atrito

regime laminar :

regime turbulento : Colebrooke-White

𝐽 =ℎ𝑃𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔

𝑓 = 𝑓 𝑅𝑒,휀

𝐷= ? ? ?

𝑄 = 𝑉𝐴 → 𝑉 = 𝑄/𝐴

𝑓 =64

𝑅𝑒

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,7+

2,51

𝑅𝑒 𝑓

Fórmulas aproximadas para o fator de atrito f

Escoamento turbulento:

Swamee-Jain:

(10-6 /D 10-2 e 5x103 Re 108)

𝑓 =0,25

log휀/𝐷3,7 +

5,74𝑅𝑒0,9

2

Escoamento turbulento:

Swamee-Jain:

(10-6 /D 10-2 e 5x103 Re 108)

Haaland:

(limites ?)

Geral (laminar, transicional e turbulento):

Swamee:

𝑓 =0,25

log휀/𝐷3,7 +

5,74𝑅𝑒0,9

2

𝑓 =0,31

log 휀 𝐷3,7

1,11

+6,9𝑅𝑒

2

𝑓 =64

𝑅𝑒

8

+ 9,5 ln 휀 𝐷

3,7+5,74

𝑅𝑒0,9−

2500

𝑅𝑒

6 −16 0,125

Geral (laminar, transicional e turbulento):

Swamee: 𝑓 =64

𝑅𝑒

8

+ 9,5 ln 휀 𝐷

3,7+5,74

𝑅𝑒0,9−

2500

𝑅𝑒

6 −16 0,125

Diagrama de Moody (Swamee):

𝑓 =64

𝑅𝑒

8

+ 9,5 ln 휀 𝐷

3,7+5,74

𝑅𝑒0,9−

2500

𝑅𝑒

6 −16 0,125

Diagrama de Moody (Swamee):

Diagrama de Moody (Colebrook-White):

𝑓 =64

𝑅𝑒

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,7+

2,51

𝑅𝑒 𝑓

Eq. de Darcy-Weisbach

Tipos de problemas:

Tipo

Dados(além de , L, , e g) Incógnitas Observação

D Q V hp

𝐽 =ℎ𝑝

𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔=

8

𝜋2𝑔

𝑓𝑄2

𝐷5

𝑉 = 𝑄/𝐴

𝑓 = 𝑓(𝑅𝑒,휀

𝐷)

1 ? hpSolução direta

2 ? ? Q e VSolução iterativa

(manual ou computacional)

3 ? ? D e VSolução iterativa

(manual ou computacional)Problema de dimensionamento

Exemplo 1 (vazão conhecida):Numa tubulação de aço comercial novo ( = 0,045 mm) de 4” de diâmetro

interno e 100 m de comprimento escoa água a 2 m/s. Determine:

a) a perda de carga nessa tubulação;

b) o regime de escoamento.

hp = LfDV2

2g

f = f(Re,εD)

Re =ρVDμ

=1000∙2∙ 4∙0,0254

10−3≅ 2∙105

ε

𝐷=0,045∙10−3

4∙0,0254= 4,4∙10−4

= 0,25 logε/D3,7

+5,74

Re0,9

−2= 0,0186

Swamee-Jain• 10-6 /D 10-2

• 5x103 Re 108

Re = 2∙105

εD= 4,4∙10−4

f = 0,0181

hp = LfDV2

2g

f = f(Re,εD)

Re =ρVDμ

=1000∙2∙ 4∙0,0254

10−3≅ 2∙105

ε

𝐷=0,045∙10−3

4∙0,0254= 4,4∙10−4

= 0,25 logε/D3,7

+5,74

Re0,9

−2= 0,0186

hp = 1000,01864∙0,0254

22

∙ 2∙9,8

= 3,7 m

a)

b)

Swamee-Jain• 10-6 /D 10-2

• 5x103 Re 108

ε+ =ε u∗

ν=εν

f8V

u∗=τpρ=

f8

V

=εD

Ref8

=εDVDν

f8

= 4,2hidraulicamente

liso

Exemplo 1 (vazão conhecida):Numa tubulação de aço comercial novo ( = 0,045 mm) de 4” de diâmetro

interno e 100 m de comprimento escoa água a 2 m/s. Determine:

a) a perda de carga nessa tubulação;

b) o regime de escoamento.

Re = 2∙105

εD= 4,4∙10−4

f = 0,0181

Zona de transição

(rugosidade transicional)

ε+ = 4,3 < 5hidraulicamente liso

Exemplo 2 (vazão desconhecida):A ligação entre dois reservatórios abertos, cujos níveis d’água diferem em 26

m, é feita através de uma tubulação de 4” de diâmetro, em ferro fundido comleve oxidação ( = 0,3 mm). O comprimento retilíneo da tubulação é 600 m.

Desconsiderando perdas localizadas, determine a vazão transportada emregime permanente.

600 m 4”

R1

R2

H1= H2+ΔH12

1

2

→p1γ+V12

2g+z1=

p2γ+V22

2g+z2 + hT−hB+hp

0 0 0 0

→ hp = z1−z2 = Δz = 26 m

Δ𝑧 = 26 𝑚

hp = LfDV2

2g→ fV2 =

2 g hp D

L=2 ∙ 9,8 ∙ 26 ∙ 4∙0,0254

600= 0,0863

→ V =0,294

f

V (m/s) f

f = 0,25 logε/D3,7

+5,74

Re0,9

−2

Swamee-Jain

εD=0,3∙10−3

4∙0,0254= 2,95∙10−3

Re =V Dν

= 1,02∙105∙V

Q = VπD2

4= 0,0145 m3/s

1 0,0276

1,77 0,0270

1,79 0,0270

Exemplo 2 (vazão desconhecida):A ligação entre dois reservatórios abertos, cujos níveis d’água diferem em 26

m, é feita através de uma tubulação de 4” de diâmetro, em ferro fundido comleve oxidação ( = 0,3 mm). O comprimento retilíneo da tubulação é 600 m.

Desconsiderando perdas localizadas, determine a vazão transportada emregime permanente.

600 m 4”

R1

R2

H1= H2+ΔH12

1

2

→p1γ+V12

2g+z1=

p2γ+V22

2g+z2 + hT−hB+hp

0 0 0 0

→ hp = z1−z2 = Δz = 26 m

Δ𝑧 = 26 𝑚

hp = LfDV2

2g→ fV2 =

2 g hp D

L=2 ∙ 9,8 ∙ 26 ∙ 4∙0,0254

600= 0,0863 → V =

0,294

f

1

f=−2,0 log

ε/D3,7

+2,51

Re fColebrooke-White:

fV2 =2 g hp D

L

→1

f=−2,0 log

ε/D3,7

+1,775

ζ

ζ =gD3hp

Lν2

→ f = 0,0268

V = 1,80 m/s

Q = VπD2

4= 0,0146 m3/s

fV2 =2 g hp D

L

Exemplo 2 (vazão desconhecida):

método iterativo com Swamee−Jain→ Q = 0,0145 m3/s

600 m4”

R1

R2

Δ𝑧 = 26 𝑚

= 0,3mm

Software EPANET:• https://www.epa.gov/water-research/epanet (versão USA)• http://www.lenhs.ct.ufpb.br (versão BR)

Darcy-Weisbach:

Fator de atrito f = f (Re, /D):

▪ Laminar:

▪ Turbulento (Colebook-White):

▪ Equações aproximadas. Ex.: Swamee-Jain

𝑓 =64

𝑅𝑒

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,7+

2,51

𝑅𝑒 𝑓

𝑓 = 0,25 log휀/𝐷

3,7+5,74

𝑅𝑒0,9

−2

𝐽 =ℎ𝑝

𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔= 0,0826

𝑓𝑄2

𝐷5

Planilha para cálculo da perda de carga:

http://www.hidrouff.sites.uff.brMenu Utilidades Planilha...

Sugestão: Pode-se observar a variação da precisão das equações de Hazem-Williams e Fair-Whipple-Hsiao em relação a Darcy-Weisbach, testando-se os valores de perda de carga calculados para diferentes condições de escoamento (vazão ou velocidade, diâmetro e rugosidade).

Seções não circulares

Raio hidráulico:

Diâmetro hidráulico:

O valor de Dh é utilizado nas fórmulas de perda de carga:

Am

Pm

𝑅ℎ =𝐴

𝑃

𝐷ℎ = 4𝑅ℎ

𝐽 =ℎ𝑝

𝐿=

𝑓

𝐷ℎ

𝑉2

2𝑔

Exemplo 4:Determinar a perda de carga unitária em um conduto semicircular com fundo

plano de concreto armado liso ( = 0,25 mm), 1,50 m de diâmetro, transportando,como conduto forçado, água com velocidade média de 3,0 m/s.

1,5 m

Rh=AP

= πR22

2πR2+2R

=πR

2π+4=π ∙ 0,752π+4

= 0,229 m

Dh= 4Rh = 4 ∙ 0,229 = 0,916 m

J =fDh

V2

2g

f = f(Re, εDh

)

Re =VDhν

=3 ∙0,916

10−6= 2,75 ∙ 106

εDh

= 0,25 ∙ 10−3

0,916= 0,000273

Swamee-Jain:

f = 0,25 logε/D3,7

+5,74

Re0,9

−2

f = 0,015

=0,0150,916

∙32

2 ∙9,8= 0,0075 m/m

Darcy-Weisbach:

Fator de atrito f = f (Re, /D):

▪ Laminar:

▪ Turbulento (Colebook-White):

▪ Equações aproximadas. Ex.: Swamee-Jain

Seções não circulares:

𝑓 =64

𝑅𝑒

1

𝑓= −2,0 log

휀/𝐷

3,7+

2,51

𝑅𝑒 𝑓

𝑓 =0,25

log휀/𝐷3,7

+5,74𝑅𝑒0,9

2

𝐽 =ℎ𝑝

𝐿=𝑓

𝐷

𝑉2

2𝑔= 0,0826

𝑓𝑄2

𝐷5

𝑅ℎ =𝐴

𝑃𝐷ℎ = 4𝑅ℎ

Aula 9 – Escoamento em tubulações

Introdução

▪ Perda de carga

Fórmula universal

▪ Cálculo do fator de atrito f

▪ Escoamento laminar

▪ Turbulento liso

▪ Turbulento rugoso

▪ Rugosidade transicional

▪ Formulas aproximadas

Seções não circulares

BIBLIOGRAFIA:

WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-Hill, 2010.

PORTO, Rodrigo de Melo. Hidráulica Básica. EESC-USP, 2004.

AZEVEDO NETTO, J. M. Fernandez y Fernandez, M. Araújo, R. de Ito, Acácio Eiji. Manual de Hidráulica. SP: Ed. Edgard Blucher Ltda. 1998.

BAPTISTA, Márcio B.; COELHO, Márcia M.L.; CIRILO, José A.; MASCARENHAS, Flávio C.B. (Organizadores). Hidráulica Aplicada. 2ª Ed. Revista e Ampliada. ABRH. Porto Alegre, 2003.

www.HidroUff.sites.uff.br