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EQUAÇÕES DE FRIEDMANN

Equações de Einstein da TRG + MRW:

ijij Tc

GG 4

8

22222

22222 sin(

1)(

ddk

dtRdtcds

3)(

)(

)()(

8

)(

)(2

)(

)(

)()(

8

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

tR

tR

tR

kct

c

G

tR

tR

tR

tR

tR

kctp

c

G

MODELO DE UNIVERSO DE EINSTEIN (1917)

Suposição: universo homogêneo e isotrópico e um E-T estático

Solução para t = hoje

Simplificação: p=0assim como: = matéria+ energia

p = pmatéria + penergia

como no t atual: matéria >> energia

p ≈ matéria v2 equação de estado do fluídov = velocidade típica de uma galáxiav << c

)(3

1)(

)(3)(

3

42 tRtRc

tpt

GR

p = v2 << c2

Então: supondo p ~ 0 e universo estático (R= constante):

3)(

)(

)()(

3

8

)(

)(2

)(

)(

)()(

8

2

2

2

2

2

2

2

2

2

tR

tR

tR

kct

G

tR

tR

tR

tR

tR

kctp

c

G

3

82

2

2

2

2

R

kc

c

G

R

kc

juntando

2

2

3

2

3

8

R

kcG Como > 0 k=+1 !!!

espaço de geometria esféricae R=raio do universo

O raio do universo vale: G

cR

4

Importante!! medindo-se têm-se R

ex: se a densidade hoje associada às regiões brilhantes: = 8 10-32h g/cm3 , para k= +1 e h=1 R=37000 Mpc

~ 710-38

Algumas consequências deste modelo:

Gc

R4

raio de uma esfera3-D

distância de circunavegação da luz = 2R

antípoda

algo que se distancia sobre a esfera parece estar ficando menor em tamanho até chegar na posição antípoda (R)

antípoda

pessoas na posição antípoda nosvê como se estivessemos + pertoe vice-versa

A luz dá volta no globo cósmico nos vemos “por trás”

Por ex: o tempo que a luz leva para atravessar uma vez o universo de Einstein vale: ct = 2R

Subst. G

cR

4

G

t

Algumas continhas: num universo preenchido por água (=1g/cm3) luz leva 2 horas para dar a volta raio = 20 minutos-luz

•objetos antípodas são vistos 1 hora + tarde•obsevadores vêem eles mesmos 2 horas + tarde

observadores continuamente lembrados do queeles estavem fazendo em 2, 4, 6, ... horas

passado em detalhes gráficos....

Se o gás tiver = nossa atmosfera: t ~ 60, 120, 180,... horas

Se for menor ainda: observadores vêem os “fantasmas” de seus ancestrais...

DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS COSMOLÓGICOS

Quantidades mensuráveis

• Parâmetro de Hubble (taxa de expansão do universo)

)(

)()(

tR

tRtH

• Densidade crítica (universo em equilíbrio)

G

Htc

8

3)(

2

•Parâmetro de densidade

)(

)(

t

t

c

• parâmetro de desaceleração (mede a aceleração q(t)<0 ou desaceleração da expansão do universo q(t)>0)

2)(RH

Rtq

Ex de valores para o parâmetro de desaceleração:

00

qcteRR

0

R

1)

2) = expansão

quando 00

qR

R

tR

t

+ rápida a expansão

quando 00

qR expansão desacelera

R

t

Modo de medir q

Usa-se SNIa: suas distâncias são medidas sem necessidade da lei de Hubble (M absolutas de quaiquer SNIa são ~ iguais

Acima de z= 0.2 deve-seconsiderar o look-back timetempo em que a radiaçãofoi emitida a taxa de expansãoera diferente ( e R também)

acelera!!!

UNIVERSOS DE FRIEDMANN

Soluções da equação supondo =0

)(3

1)(

)(3)(

3

42 tRtRc

tpt

GR

Usando a equação de movimento do fluído, com p~0 e

2)(RH

Rtq

4G=3qH2

G

Htc

8

3)(

2

)(

)(

t

t

c

subs.

q = /2

Usando uma das equações de Friedmann

3)(

)(

)()(

3

82

2

2

2

tR

tR

tR

kct

G

qH2

H2

)12(2

22

qc

RHk

)1(2

22

c

RHk

ou

Então se

)(112/1

)(012/1

)(112/1

c

c

c

kouq

kouq

kouq

Nos modelos de Friedmanndeterminando-se observac.qo e o, obtêm-se a geometria do universo

Como fica a dinâmica dos universos de Friedmann??

)(3

1)(

)(3)(

3

42 tRtRc

tpt

GR

0

R

q>0 expansão desacelera sempre para qualquer k

Calculando R(t) t

R

R

R

kcG

2

2

2

3

8

partindo de:substituindo:

3

00

R

R

23002

3

8kc

R

RGR

22 kcR

R

R

ct

dRkR

Rcdt

0

0

2

c.i. R(0)=0

R

c

dRkR

Rct

0 2

variação do fator de escala com o tempo

a) ESPAÇO COM k=0 (plano=euclidiano)

R

c

dRR

ct0 2

3/2

3/1

4

9)( ttR

expansão perpétua que desacelera

R

t

Usando 3

00

R

R 26

1)(

Gtt

t→∞: →0

expansãoperpétua

tR

RtH

3

2)(

q=1/2 e =1

MODELO DE EINSTEIN-DE-SITTER

b) ESPAÇO COM k < 0 e constante

R

c

dRR

Rct

0 2

2

2 ln2

2)(2ln2

/(

ccom

RRRcRRct

R

t

k = -1

k = 0 Perpétua e desacelera

c) ESPAÇO COM k > 0 e constante

R

c

dRR

Rct

0 2

2

)(arcsin

ccom

RRR

ct

Expansão atinge um máximo com Rmax = ctmax= /2 tmax= /2c é o instante em a expansão é máximaR

t

k = -1

k = 0

k = +1

tmax

universo pulsantecom período = /c