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NR-10
Aula
25/04/2016
Prof.: Ivo Chaves da Silva Junior
CEL033 Circuitos Lineares I
NR-10
Determine por análise nodal o valor da corrente i
Exercício QUADRO
NR-10
Utilizando o conceito de super nó, apresente o sistema de equações lineares para o circuito elétrico abaixo.
A B
Exercício QUADRO
NR-10
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores dependentes)
Fontes Vinculadas:
Análise Nodal
Fontes de Corrente
Fontes de Tensão
Controladas Corrente ou
Tensões
NR-10
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores dependentes)
Circuitos contendo Fontes Vinculadas
Análise Nodal Modificada
Na análise nodal modificada algumas correntes , denominadas de essenciais, devem fazer obrigatoriamente parte da análise. São estas:
Análise Nodal
NR-10
v Correntes que passam através de FONTES VINCULADAS DE TENSÃO;
v Correntes que controlam FONTES VINCULADAS (Tensão ou Corrente).
Correntes Essenciais:
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes vinculadas (geradores dependentes)
Análise Nodal
O sentido escolhido para as correntes essenciais deve ser fixo
NR-10
A BC
Caso 3
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão - FTCT
Análise Nodal
Corrente Essencial? 3i tensãode ganho→µ
NR-10
Caso 3
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
ü EQUAÇÃO NÓ A
ü EQUAÇÃO NÓ B
ü EQUAÇÃO NÓ C
IvvGvvG CABA =−+− )()( 51
0)( 321 =++− ivGvvG BAB
0)( 354 =−−+ ivvGvG ACC
Variáveis: 3ivvv CBA
Equações: 3
Sistema Indeterminado ( Precisa-se de uma equação adicional)
)( BACB vvvv −=− µü EQUAÇÃO ADICIONAL
Análise Nodal
NR-10
ü EQUAÇÃO NÓ A
ü EQUAÇÃO NÓ B
ü EQUAÇÃO NÓ C
IvvGvvG CABA =−+− )()( 51
0)( 321 =++− ivGvvG BAB
0)( 354 =−−+ ivvGvG ACC
0)( =−−− BACB vvvv µü EQUAÇÃO ADICIONAL
Caso 3
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
Análise Nodal
Variáveis:
Equações: 4
3ivvv CBA
Sistema Possível e Determinado
NR-10
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
−+−
+−
−−+
000
01110100
3
545
211
5151 I
ivvv
GGGGGG
GGGG
C
B
A
µµ
Caso 3
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
Forma matricial do sistema de equações lineares
Análise Nodal
NR-10
Caso 4
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por corrente - FTCC
Análise Nodal
Corrente Essencial? 31 ieitênciatransresis→r
NR-10
Caso 4
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por corrente -FTCC
ü EQUAÇÃO NÓ 1
ü EQUAÇÃO NÓ 2
ü EQUAÇÃO NÓ 3
IvvGi =−+ )( 3151
01322 =−+ iivG
0)( 313534 =−−+ ivvGvG
Variáveis: 31 iivvv CBA
Equações: 3
Sistema Indeterminado ( Precisa-se de duas equações adicionais)
132 rivv =−
ü EQUAÇÕES ADICIONAIS
1121 iRvv =−
Análise Nodal
NR-10
ü EQUAÇÃO NÓ 1
ü EQUAÇÃO NÓ 2
ü EQUAÇÃO NÓ 3
ü EQUAÇÃO ADICIONAL
Caso 4
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
IvvGi =−+ )( 3151
01322 =−+ iivG
0)( 313534 =−−+ ivvGvG
0132 =−− rivvü EQUAÇÃO ADICIONAL
01121 =−− iRvv
Análise Nodal
Variáveis:
Equações: 5
31 iivvv CBA
Sistema Possível e Determinado
NR-10
Caso 4
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes de tensão controladas por tensão -FTCT
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−+−
−
−
0000
001101101001100010
1
3
3
2
1
1
545
2
55 I
iivvv
Rr
GGGG
GGForma matricial do sistema de equações lineares
Análise Nodal
NR-10
1º) Determine, na forma matricial, o sistema de equações do circuito abaixo.
Análise Nodal
EXEMPLO 1:
NR-10
ü EQUAÇÃO NÓ 1
sivGi =+ 112
ü EQUAÇÃO NÓ 2 0)( 2432423 =−−−+ iivvGvG
ü EQUAÇÃO NÓ 3 0)( 234354 =−++ vvGvGi
Análise Nodal
Correntes Essenciais
42 iei
NR-10
ü EQUAÇÕES ADICIONAIS
232 irvv m=−
Variáveis: 24321 iivvv
Equações: 3
Sistema Indeterminado ( Precisa-se de duas equações adicionais)
sivGi =+ 112
0)( 2432423 =−−−+ iivvGvG
0)( 234354 =−++ vvGvGi
2212 )( ivvG =−
Análise Nodal
NR-10
Colocando o sistema de equações apresentado na forma matricial, tem-se:
Análise Nodal
sivGi =+ 112
0)( 2432423 =−−−+ iivvGvG
0)( 234354 =−++ vvGvGi
232 irvv m=−
2212 )( ivvG =−Variáveis: 24321 iivvv
Equações: 5
NR-10
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
+−
−−−+
0000
.
100220110
01544011443010001
2
4
3
2
1 s
m
i
iivvv
GGr
GGGGGG
G
Forma Matricial ( sistema linear do tipo Ax=B):
Análise Nodal
NR-10
Análise Nodal
EXEMPLO 2:
2º) Determine através da análise nodal, a forma matricial do conjunto de equações lineares para o circuito elétrico abaixo.
06i
Ω24 Ω3
Ω3Ω2
V60 + -
0i1v 2v 3v
????)(4 sentidoi
NR-10
Análise Nodal
06i
Ω24 Ω3
Ω3Ω2
V60 + -
0i1v 2v 3v
ü EQUAÇÃO NÓ 2
03 403 =−+ iiv
0242
600
22 =−+− ivv
ü EQUAÇÃO NÓ 3
ü EQUAÇÃO ADIC.1
03 023 =−− ivv
ü EQUAÇÃO ADIC.2
0660 03 =−− iv
4i
NR-10
Análise Nodal
06i
Ω24 Ω3
Ω3Ω2
V60 + -
0i1v 2v 3v
4i
Matriz A
Vetor B
BAX .1−=
V2 V3 io i4
Solução
Colocando o sistema de equações na forma matricial, tem-se:
NR-10
Análise Nodal
06i
Ω24 Ω3
Ω3Ω2
V60 + -
0i1v 2v 3v
Colocando o sistema de equações na forma matricial, tem-se: 4i
V2 V3 io i4
Vetor B
BAX .1−=
Solução
NR-10
Análise Nodal
06i
Ω24 Ω3
Ω3Ω2
V60 + -
0i1v 2v 3v
4i
Ai 84 −=
06i
Ω24 Ω3
Ω3Ω2
V60 + -
0i1v 2v 3v
4i
Ai 84 +=
SENTIDO ADOTADO NÃO INTERFERE
NR-10
Análise Nodal
EXERCÍCIO 1 (Sala)
Análise Nodal : Fontes de Tensão Dependentes
Determine a tensão em todos os nós do circuito
V1 V2
V1= V2= Vx=
Terra
NR-10
Análise Nodal
V1 V2
ü EQUAÇÃO NÓ 1
v1 − 22
+v13+v1 − v 22
=1
ü EQUAÇÃO NÓ 2
v2 − v12
+v24+v2 − 2v x6
+1= 0
ü EQUAÇÃO ADICIONAL
v1 − vx = 0
Terra
NR-10
Análise Nodal
V1 V2
v1 − 22
+v13+v1 − v 22
=1 v2 − v12
+v24+v2 − 2v x6
+1= 0 v1 − vx = 0
SISTEMA LINEAR A SER RESOLVIDO
Terra
NR-10
Análise Nodal
EXERCÍCIO 2 (Sala)
Análise Nodal : Fontes de Tensão Dependentes
Determine a tensão em todos os nós do circuito
Va Vb
Vc
Va= Vc= i=
Resposta:
Terra
NR-10
Análise Nodal
ü EQUAÇÃO NÓ A
vA1+ i+ vA − vC
6= 0
Va Vb Vc
ü EQUAÇÃO NÓ C
vC − 5i = 0
ü EQUAÇÃO ADICIONAL
vA − vB = i vB = 5
vA − i = 5
Terra
NR-10
Análise Nodal
Va Vb
Vc
vA1+ i+ vA − vC
6= 0 vC − 5i = 0 vA − i = 5
SISTEMA LINEAR A SER RESOLVIDO
Terra
-1]
NR-10
Análise Nodal
EXERCÍCIO 3 (Sala)
Análise Nodal : Fontes de Tensão Dependentes
Determine a corrente Ix
Resp:
-0.022A
NR-10
Aula de Exercícios
27-04-2016
• Material de consulta / Calculadora
