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CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS.TUTORIA EM MATEMATICA
CONJUNTOS NUMERICOS
Tutores: Carlos Andre | Iuri | Javier | Leila | Raimar| Wisley
Cruz das Almas - BA - Dezembro de 2013.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Introducao
Enquanto os conjuntos constituem um meioauxiliar, os numeros sao um dos dois objetosprincipais de que se ocupa a Matematica.( O outro e o espaco,junto com as figurasgeometricas nele contidas.)
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Introducao
Numeros sao entes abstratos, desenvolvidospelo homem como modelos que permitemcontar e medir, portanto avaliar as diferentesquantidades de uma grandeza.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Objetivos
1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;
2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;
3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Objetivos
1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;
2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;
3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Objetivos
1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;
2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;
3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Objetivos
1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;
2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;
3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Objetivos
4-Rever os conceitos de fracoes, fracoes equivalentes e fracoesirredutıveis;
5-Consolidar o conhecimento adquirido ate aqui sobre os reias,com uma visao mais aprofundada, fazendo uso do queaprendemos em logica matematica.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Objetivos
4-Rever os conceitos de fracoes, fracoes equivalentes e fracoesirredutıveis;
5-Consolidar o conhecimento adquirido ate aqui sobre os reias,com uma visao mais aprofundada, fazendo uso do queaprendemos em logica matematica.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Objetivo geral
Espera-se que ao final do estudo o discente seja capaz deaplicar os axiomas dos reais em algumas demonstracoes deoutras propriedades bem como seja capaz de identificarcorretamente quais propriedades podem ser usadas emsimplificacoes de equacoes e inequacoes.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Historico
A historia nos mostra que desde muito tempo ohomem sempre teve a necessidade em contarobjetos e ter registros numericos. seja atraves depedras, ossos, desenhos , dos dedos ou outra formaqualquer, em procurava abstrair a natureza pormeio de processos de determinacao de quantidades.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Historico
Deve-se a Giussepe Peano ( 1858 -1932) aconstatacao de que se pode elaborar toda a teoriados numeros naturais a partir de quatro fatosbasicos, conhecidos atualmente como os axiomasde Peano . Em outras palavras, o conjunto N dosnumeros naturais possui quatro propriedadesfundamentais, das quais resultam, comoconsequencias logicas, todas as afirmacoesverdadeiras que se podem fazer sobre esses numeros.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros naturais
Nesta secao estabeleceremos a definicao de numeronatural. Suponhamos a existencia de um conjuntonao vazio N , chamado de numeros naturais.
Para estuda-los, precisamos inicialmente admitir tres conceitosprimitivos”(sem definicao). Sao eles: zero (denotado por 0 ),numero natural e a nocao de sucessor de um numero natural.Sendo n um numero natural, vamos denotar por s(n) o seusucessor. Assim, os Axiomas de Peano podem ser listados damaneira seguinte.
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Conjuntos dos numeros naturais
Nesta secao estabeleceremos a definicao de numeronatural. Suponhamos a existencia de um conjuntonao vazio N , chamado de numeros naturais.
Para estuda-los, precisamos inicialmente admitir tres conceitosprimitivos”(sem definicao). Sao eles: zero (denotado por 0 ),numero natural e a nocao de sucessor de um numero natural.Sendo n um numero natural, vamos denotar por s(n) o seusucessor. Assim, os Axiomas de Peano podem ser listados damaneira seguinte.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros naturais
Aqui assumiremos que 0 (zero) nao e um numero natural etambem nao e sucessor de um numero natural, em razao doaxioma I de Peano.
I- Existe uma funcao s : N→ N, que associa a cada n ∈ N umelemento s(n) ∈ N, chamado o sucessor de n .
II- A funcao s : N→ N e injetiva.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros naturais
Aqui assumiremos que 0 (zero) nao e um numero natural etambem nao e sucessor de um numero natural, em razao doaxioma I de Peano.
I- Existe uma funcao s : N→ N, que associa a cada n ∈ N umelemento s(n) ∈ N, chamado o sucessor de n .
II- A funcao s : N→ N e injetiva.
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Conjuntos dos numeros naturais
Aqui assumiremos que 0 (zero) nao e um numero natural etambem nao e sucessor de um numero natural, em razao doaxioma I de Peano.
I- Existe uma funcao s : N→ N, que associa a cada n ∈ N umelemento s(n) ∈ N, chamado o sucessor de n .
II- A funcao s : N→ N e injetiva.
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Conjuntos dos numeros naturais
III- Existe um unico elemento 1 no conjunto N , tal que 1 6= s(n)para todo n ∈ N .
IV - Se um subconjunto X ⊂ N e tal que 1 ∈ N e s(X ) ⊂ X ( istoe, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X ), entao X = N.
Observe que, como estamos chamando de N o conjunto dosnumeros naturais, a notacao n ∈ N siginifica que n e um numeronatural.
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Conjuntos dos numeros naturais
III- Existe um unico elemento 1 no conjunto N , tal que 1 6= s(n)para todo n ∈ N .
IV - Se um subconjunto X ⊂ N e tal que 1 ∈ N e s(X ) ⊂ X ( istoe, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X ), entao X = N.
Observe que, como estamos chamando de N o conjunto dosnumeros naturais, a notacao n ∈ N siginifica que n e um numeronatural.
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Conjuntos dos numeros naturais
III- Existe um unico elemento 1 no conjunto N , tal que 1 6= s(n)para todo n ∈ N .
IV - Se um subconjunto X ⊂ N e tal que 1 ∈ N e s(X ) ⊂ X ( istoe, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X ), entao X = N.
Observe que, como estamos chamando de N o conjunto dosnumeros naturais, a notacao n ∈ N siginifica que n e um numeronatural.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros naturais
Como podemos observar os Axiomas listados acima nao sao nadatriviais, sendo necessario aqui reformularmos em linguagemcorrente, livre de notacao matematica, porem essa reformulacaonao deve ser levada como pretexto para nao aprofundarmos oestudo dos axiomas de Peano.
0 (zero) nao e um numero natural e tambem nao e sucessor de umnumero natural, em razao do axioma I de Peano.
I- Todo numero natural possui um unico sucessor, que tambem eum numero natural.
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Conjuntos dos numeros naturais
Como podemos observar os Axiomas listados acima nao sao nadatriviais, sendo necessario aqui reformularmos em linguagemcorrente, livre de notacao matematica, porem essa reformulacaonao deve ser levada como pretexto para nao aprofundarmos oestudo dos axiomas de Peano.
0 (zero) nao e um numero natural e tambem nao e sucessor de umnumero natural, em razao do axioma I de Peano.
I- Todo numero natural possui um unico sucessor, que tambem eum numero natural.
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Conjuntos dos numeros naturais
Como podemos observar os Axiomas listados acima nao sao nadatriviais, sendo necessario aqui reformularmos em linguagemcorrente, livre de notacao matematica, porem essa reformulacaonao deve ser levada como pretexto para nao aprofundarmos oestudo dos axiomas de Peano.
0 (zero) nao e um numero natural e tambem nao e sucessor de umnumero natural, em razao do axioma I de Peano.
I- Todo numero natural possui um unico sucessor, que tambem eum numero natural.
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Conjuntos dos numeros naturais
II- Numeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.( ouainda: numeros que tem o mesmo sucessor sao iguais).
III- Existe um unico natural que nao e sucessor de nenhum outro.Este numero e representado pelo sımbolo 1 e chamado de ”numeroum”.
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Conjuntos dos numeros naturais
II- Numeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.( ouainda: numeros que tem o mesmo sucessor sao iguais).
III- Existe um unico natural que nao e sucessor de nenhum outro.Este numero e representado pelo sımbolo 1 e chamado de ”numeroum”.
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Conjuntos dos numeros naturais
II- Numeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.( ouainda: numeros que tem o mesmo sucessor sao iguais).
III- Existe um unico natural que nao e sucessor de nenhum outro.Este numero e representado pelo sımbolo 1 e chamado de ”numeroum”.
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Conjuntos dos numeros naturais
IV - Se um conjunto de numeros naturais contem o numero 1 e,alem disso, contem o sucessor de cada um de seus elementos,entao esse conjunto coincide com N , isto e contem todos osnumeros naturais.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...
Logo, temos
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.
Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...
Logo, temos
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Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...
Logo, temos
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Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2
→s 3→s 4→s 5→s ...
Logo, temos
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Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2→s 3
→s 4→s 5→s ...
Logo, temos
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Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2→s 3→s 4
→s 5→s ...
Logo, temos
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Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2→s 3→s 4→s 5→s
...
Logo, temos
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Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...
Logo, temos
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Conjuntos dos numeros naturais
A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.
Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:
1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...
Logo, temos
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Conjuntos dos numeros naturais
N = {1, 2, 3, 4, ..., n} .
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Conjuntos dos numeros naturais
Entre os numeros naturais estao definidas duas operacoesfundametais: a adicao (+) e a multiplicacao (·) .
• Adicao
Associa os numeros a, b ∈ N a soma a + b .
+ : N× N→ N
(a, b) 7→ a + b.
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Conjuntos dos numeros naturais
Entre os numeros naturais estao definidas duas operacoesfundametais: a adicao (+) e a multiplicacao (·) .
• Adicao
Associa os numeros a, b ∈ N a soma a + b .
+ : N× N→ N
(a, b) 7→ a + b.
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Conjuntos dos numeros naturais
• Multiplicacao
Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b
· : N× N→ N
(a, b) 7→ a · b
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Conjuntos dos numeros naturais
• Multiplicacao
Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b
· : N× N→ N
(a, b) 7→ a · b
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Conjuntos dos numeros naturais
• Multiplicacao
Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b
· : N× N→ N
(a, b) 7→ a · b
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Conjuntos dos numeros naturais
• Multiplicacao
Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b
· : N× N→ N
(a, b) 7→ a · b
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
AM.1 A adicao e a multiplicacao sao bem definidas:
∀a, b, a′, b
′ ∈ N, a = a′
e b = b′ ⇒ a + b = a
′+ b
′e a · b =
a′ · b′
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
AM.1 A adicao e a multiplicacao sao bem definidas:
∀a, b, a′, b
′ ∈ N, a = a′
e b = b′ ⇒ a + b = a
′+ b
′e a · b =
a′ · b′
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
Obs.:
A propriedade AM.1 e a que permite somar, a ambos os lados deuma igualdade um dado numero ou multiplicar ambos os membrospor um mesmo numero.
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
A.1 Associatividade da soma
(a + b) + c =
a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .
A.2 Comutativa da soma
a + b = b + a∀a e b ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
A.1 Associatividade da soma
(a + b) + c = a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .
A.2 Comutativa da soma
a + b =
b + a∀a e b ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
A.1 Associatividade da soma
(a + b) + c = a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .
A.2 Comutativa da soma
a + b = b + a∀a e b ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
A.3 Elemento neutro da adicao
a + 0 = a∀a ∈ N .
M.1 Associativa da multiplicacao
(ab)c =
a(bc)∀a, b, b ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
A.3 Elemento neutro da adicao
a + 0 = a∀a ∈ N .
M.1 Associativa da multiplicacao
(ab)c = a(bc)∀a, b, b ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
M.2 Comutativa da multiplicacao
ab = ba∀a e b ∈ N .
M.3 Elemento neutro da multiplicacao
a · 1 = a∀a ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
M.2 Comutativa da multiplicacao
ab = ba∀a e b ∈ N .
M.3 Elemento neutro da multiplicacao
a · 1 = a∀a ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
D. Distributiva da multiplicacao relativamente a adicao
a(b + c) =
ab + ac∀ a, b, c ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
D. Distributiva da multiplicacao relativamente a adicao
a(b + c) = ab + ac
∀ a, b, c ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
D. Distributiva da multiplicacao relativamente a adicao
a(b + c) = ab + ac∀ a, b, c ∈ N .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
Alem destas propriedades, o conjunto N possoui :
[I.1] Integridade
Dados a, b ∈ N, tem-se a + b ∈ N e a · b ∈ N .
[L.T] Lei da tricotomia
Dados a, b ∈ N , uma , e apenas uma, das seguintes possibilidadese verdadeira.(i) a = b; (ii) ∃c ∈ N; b = a + c , (iii) ∃c ∈ N; a = b + c .
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Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades
Alem destas propriedades, o conjunto N possoui :
[I.1] Integridade
Dados a, b ∈ N, tem-se a + b ∈ N e a · b ∈ N .
[L.T] Lei da tricotomia
Dados a, b ∈ N , uma , e apenas uma, das seguintes possibilidadese verdadeira.(i) a = b; (ii) ∃c ∈ N; b = a + c , (iii) ∃c ∈ N; a = b + c .
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjunto dos numeros inteiros
Este conjunto aparece como ampliacao do conjunto dos numerosnaturais. Simbolizado pela letra Z, e o conjunto
Z = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., n} ouZ = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}
No qual estao definidas duas operacoes, a adicao e a multiplicacao,que definimos para os numeros naturais.
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Conjunto dos numeros inteiros
Este conjunto aparece como ampliacao do conjunto dos numerosnaturais. Simbolizado pela letra Z, e o conjunto
Z = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., n} ouZ = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}
No qual estao definidas duas operacoes, a adicao e a multiplicacao,que definimos para os numeros naturais.
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Conjunto dos numeros inteiros
Este conjunto aparece como ampliacao do conjunto dos numerosnaturais. Simbolizado pela letra Z, e o conjunto
Z = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., n} ouZ = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}
No qual estao definidas duas operacoes, a adicao e a multiplicacao,que definimos para os numeros naturais.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)
Enunciamos 7 propriedades( axiomas ) em N que tambem saovalidas para Z , alem das quais seguem:
• Z.1 A existencia do Elemento Neutro
∀a ∈ Z, a + 0 = a e a · b = a
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Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)
Enunciamos 7 propriedades( axiomas ) em N que tambem saovalidas para Z , alem das quais seguem:
• Z.1 A existencia do Elemento Neutro
∀a ∈ Z, a + 0 = a e a · b = a
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Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)
Enunciamos 7 propriedades( axiomas ) em N que tambem saovalidas para Z , alem das quais seguem:
• Z.1 A existencia do Elemento Neutro
∀a ∈ Z, a + 0 = a e a · b = a
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Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)
• Z.2 A existencia do Oposto
Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que
a + (−a) = 0
• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao
∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que
a · b = a · c ⇒ b = c .
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Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)
• Z.2 A existencia do Oposto
Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que
a + (−a) = 0
• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao
∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que
a · b = a · c ⇒ b = c .
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Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)
• Z.2 A existencia do Oposto
Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que
a + (−a) = 0
• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao
∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que
a · b = a · c ⇒ b = c .
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Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)
• Z.2 A existencia do Oposto
Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que
a + (−a) = 0
• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao
∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que
a · b = a · c ⇒ b = c .
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjunto dos numeros inteiros
Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis
• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;
• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .
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Conjunto dos numeros inteiros
Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis
• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;
• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .
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Conjunto dos numeros inteiros
Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis
• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .
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Conjunto dos numeros inteiros
Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis
• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades
Propriedade Cancelativa da adicao
Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .
Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que
(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)
Da propriedade associativa, temos
[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,
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Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades
Propriedade Cancelativa da adicao
Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que
(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)
Da propriedade associativa, temos
[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,
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Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades
Propriedade Cancelativa da adicao
Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que
(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)
Da propriedade associativa, temos
[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,
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Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades
Propriedade Cancelativa da adicao
Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que
(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)
Da propriedade associativa, temos
[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,
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Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades
isto e , 0 + b = 0 + c , logo , b = c . ( c. q. d . )
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao
Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .
Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos
a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,
E pela propriedade cancelativa da adicao, temos a · 0 = 0.(c.q.d.)
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao
Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos
a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,
E pela propriedade cancelativa da adicao, temos a · 0 = 0.(c.q.d.)
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao
Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos
a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,
E pela propriedade cancelativa da adicao, temos a · 0 = 0.(c.q.d.)
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao
Sejam a e b inteiros , tais que a · b = 0 .Entao, a = 0 ou b = 0 .Prova: Exercıcio.
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao
Sejam a e b inteiros , tais que a · b = 0 .Entao, a = 0 ou b = 0 .Prova: Exercıcio.
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao( Regra dos sinais)
Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao( Regra dos sinais)
Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;
(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao( Regra dos sinais)
Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);
(ii) (−a)(−b) = a · b .
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Proposicao( Regra dos sinais)
Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Prova:
(i) Note que o oposto de um elemento a e o unico inteiro queverifica a equacao a + x = 0 .Deste modo, a verifica a equacao(−a) + x = 0 , implicando que a e o oposto de −a , que e indicadopor −(−a) .
(ii) Exercıcio.(iii) Exercıcio.
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Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes
Prova:
(i) Note que o oposto de um elemento a e o unico inteiro queverifica a equacao a + x = 0 .Deste modo, a verifica a equacao(−a) + x = 0 , implicando que a e o oposto de −a , que e indicadopor −(−a) .(ii) Exercıcio.(iii) Exercıcio.
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Conjuntos dos numeros inteiros
Divisibilidade
Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.
Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .
a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)
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Conjuntos dos numeros inteiros
Divisibilidade
Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .
a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)
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Conjuntos dos numeros inteiros
Divisibilidade
Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .
a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exemplos
1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exemplos
1o) 2|12 pois 6 · 2 = 12
2◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exemplos
1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −18
3o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exemplos
1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 0
4o) 1|0 pois 0 · 1 = 0
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exemplos
1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0
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Conjuntos dos numeros inteiros
Importante
Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .
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Conjuntos dos numeros inteiros
Importante
Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.
Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .
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Conjuntos dos numeros inteiros
Importante
Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exemplos
1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}
2o) D(0) = ZM(0) = {0}
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exemplos
1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}
2o) D(0) = ZM(0) = {0}
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exemplos
1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}
2o) D(0) = ZM(0) = {0}
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Conjuntos dos numeros inteiros
Numero Primo
Dizemos que um numero inteiro p e primo quando p 6= 0, 1 e −1 eD(p) = {1,−1, p,−p} .Isto e, um numero p qualquer e primo se for divisıvel por 1 e peloproprio p .
Exemplo
2,−2,−3, 3, 5,−5 sao primos.
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Conjuntos dos numeros inteiros
Exercıcio
Quais dos seguintes elementos de Z nao sao primos:12,−13, 0, 5, 31,−4, 49, e 53 .
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Conjuntos dos numeros racionais
O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor
Q :={a
b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0
}
Adotam -se as seguintes operacoes:
1a - Igualdade:a
b=
c
d⇔ ad = bc .
2a - Adicao:a
b+
c
d=
ad + bc
bd.
3a - Multiplicacao :a
b· cd
=ac
bd.
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Conjuntos dos numeros racionais
O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor
Q :={a
b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0
}
Adotam -se as seguintes operacoes:
1a - Igualdade:a
b=
c
d⇔ ad = bc .
2a - Adicao:a
b+
c
d=
ad + bc
bd.
3a - Multiplicacao :a
b· cd
=ac
bd.
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Conjuntos dos numeros racionais
O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor
Q :={a
b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0
}
Adotam -se as seguintes operacoes:
1a - Igualdade:a
b=
c
d⇔ ad = bc .
2a - Adicao:a
b+
c
d=
ad + bc
bd.
3a - Multiplicacao :a
b· cd
=ac
bd.
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Conjuntos dos numeros racionais
O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor
Q :={a
b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0
}
Adotam -se as seguintes operacoes:
1a - Igualdade:a
b=
c
d⇔ ad = bc .
2a - Adicao:a
b+
c
d=
ad + bc
bd.
3a - Multiplicacao :a
b· cd
=ac
bd.
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Conjuntos dos numeros racionais
O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor
Q :={a
b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0
}
Adotam -se as seguintes operacoes:
1a - Igualdade:a
b=
c
d⇔ ad = bc .
2a - Adicao:a
b+
c
d=
ad + bc
bd.
3a - Multiplicacao :a
b· cd
=ac
bd.
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Conjuntos dos numeros racionais
O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor
Q :={a
b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0
}
Adotam -se as seguintes operacoes:
1a - Igualdade:a
b=
c
d⇔ ad = bc .
2a - Adicao:a
b+
c
d=
ad + bc
bd.
3a - Multiplicacao :a
b· cd
=ac
bd.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros racionais
4a - O simetrico aditivo dea
be −a
b.
5a - O inverso multiplicativo do numero racionala
b6= 0 e
b
a
6a - 0 e0
qpara qualquer q 6= 0 .
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Conjuntos dos numeros racionais
4a - O simetrico aditivo dea
be −a
b.
5a - O inverso multiplicativo do numero racionala
b6= 0 e
b
a
6a - 0 e0
qpara qualquer q 6= 0 .
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Conjuntos dos numeros racionais
4a - O simetrico aditivo dea
be −a
b.
5a - O inverso multiplicativo do numero racionala
b6= 0 e
b
a
6a - 0 e0
qpara qualquer q 6= 0 .
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Conjuntos dos numeros racionais
4a - O simetrico aditivo dea
be −a
b.
5a - O inverso multiplicativo do numero racionala
b6= 0 e
b
a
6a - 0 e0
qpara qualquer q 6= 0 .
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros racionais
Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis
• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos
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Conjuntos dos numeros racionais
Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis
• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos
• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos
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Conjuntos dos numeros racionais
Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis
• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos
• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos
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Conjuntos dos numeros racionais
Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis
• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos
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Conjuntos dos numeros racionais
Note que todo numero inteiro a e racional , pois a =a
1. Isto quer
dizer que Z ⊂ Q .
Vamos definir alguns tipos de fracoes
• Fracoes equivalentes:a
b=
ac
bc, a, b, c ∈ Z e b, c 6= 0.
Exemplo
2
3=
6
9
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Conjuntos dos numeros racionais
• Fracoes proprias:a
bcom |a| < |b|, a, b ∈ Z e b 6= 0.
Exemplo
2
3
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Conjuntos dos numeros racionais
• Fracoes improprias:a
bcom |a| > |b|, a, b ∈ Z e b 6=.
Exemplo
3
2
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Conjuntos dos numeros racionais
• Fracoes aparentes :a
b, a, b ∈ Z, b 6= 0,∃c; a = bc .
Exemplo
6
3, onde a = 3 · 2
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Conjuntos dos numeros racionais
• Fracoes decimais
a
10n, a ∈ Z
e n ∈ N.
Exemplo
3
102=
3
100, onde n = 2 · 2
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros racionais
• Fracoes irredutıveis
a
b, a, b ∈ Z, b 6= 0,mdc(a, b) = 1
.
Exemplo
3
7
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Divide-se em dois casos:
1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.
Exemplo
3
1= 3
1
2= 0, 5
1
20= 0, 05
27
1000= 0, 027.
2o O numero decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque repetem periodicamente, isto e, e uma dızima periodica .
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Divide-se em dois casos:1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.
Exemplo
3
1= 3
1
2= 0, 5
1
20= 0, 05
27
1000= 0, 027.
2o O numero decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque repetem periodicamente, isto e, e uma dızima periodica .
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Divide-se em dois casos:1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.
Exemplo
3
1= 3
1
2= 0, 5
1
20= 0, 05
27
1000= 0, 027.
2o O numero decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque repetem periodicamente, isto e, e uma dızima periodica .
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
1
3= 0, 333... = 0, 3 (perıdo 3) .
11
6= 1, 8333... = 1, 83 (perıodo 3)
2
7= 0, 285714285714... = 0, 285714 ( perıodo 285714 ) .
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
1
3= 0, 333... = 0, 3 (perıdo 3) .
11
6= 1, 8333... = 1, 83 (perıodo 3)
2
7= 0, 285714285714... = 0, 285714 ( perıodo 285714 ) .
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Podemos notar tambem que todo numero na forma decimal exata
ou de dızima periodica pode ser convertido a forma de fracaoa
be
portanto, represtenta um numero racional.
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Quando a decimal e exata, podemos transformalo em uma fracaocujo numerador e o numeral decimal sem vırgula e cujodenominador e o algarismo I seguido de tantos zeros forem ascasas decimais do numeral dado.
Exemplo
0, 37 = 37100 2, 631 = 2631
1000 63, 4598 =634598
10000.
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Quando a decimal e uma dızima periodica, devemos procurar suageratriz. Temos a seguir tres exemplos de como obter a geratriz deuma dizıma periodica .
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Quando a decimal e uma dızima periodica, devemos procurar suageratriz. Temos a seguir tres exemplos de como obter a geratriz deuma dizıma periodica .
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
0, 777...x = 0, 777...
10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
10x − x = 7⇒ 7
9
entao: 0, 777... =7
9
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...
Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
10x − x = 7⇒ 7
9
entao: 0, 777... =7
9
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
10x − x = 7⇒ 7
9
entao: 0, 777... =7
9
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
10x − x = 7⇒ 7
9
entao: 0, 777... =7
9
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
10x − x = 7⇒ 7
9
entao: 0, 777... =7
9
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
6, 4343...
x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
100x − x = 637⇒ x =637
99
entao: 6, 43436... =637
99
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
6, 4343...x = 6, 434343...
100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
100x − x = 637⇒ x =637
99
entao: 6, 43436... =637
99
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...
somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
100x − x = 637⇒ x =637
99
entao: 6, 43436... =637
99
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
100x − x = 637⇒ x =637
99
entao: 6, 43436... =637
99
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
100x − x = 637⇒ x =637
99
entao: 6, 43436... =637
99
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
100x − x = 637⇒ x =637
99
entao: 6, 43436... =637
99
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Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal
Exemplo
6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos
100x − x = 637⇒ x =637
99
entao: 6, 43436... =637
99
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Conjuntos dos numeros racionaisExercıcios
Exercıcio
Coloque na forma de uma fracao irredutıvel os seguintes numerosracionais:
0, 4; 0, 444...; 0, 32; 0, 323232...; 54, 2; 5, 423423423....
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Conjuntos dos numeros racionaisExercıcios
Exercıcio
Coloque na forma de uma fracao irredutıvel os seguintes numerosracionais:0, 4; 0, 444...; 0, 32; 0, 323232...; 54, 2; 5, 423423423....
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.
Exemplo
Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.Logo sao irracionais:
√2,√
3,√
5, ...√n
com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.
Exemplo
Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.
Logo sao irracionais:
√2,√
3,√
5, ...√n
com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.
TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS
Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.
Exemplo
Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.Logo sao irracionais:
√2,√
3,√
5, ...√n
com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.
Exemplo
Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.Logo sao irracionais:
√2,√
3,√
5, ...√n
com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.
Exemplo
1 +√
3,(1 +
√5)
2,
(√
8− 1)
2
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.
Exemplo
1 +√
3,
(1 +√
5)
2,
(√
8− 1)
2
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.
Exemplo
1 +√
3,(1 +
√5)
2
,(√
8− 1)
2
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.
Exemplo
1 +√
3,(1 +
√5)
2,
(√
8− 1)
2
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Sao irracionais os numeros especiais
π = 3, 141592653589793238462643383...
e = 2,71828182845904523536028...
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Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais
Sao irracionais os numeros especiais
π = 3, 141592653589793238462643383...e = 2,71828182845904523536028...
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Conjuntos dos numeros reais
O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :
Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.
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Conjuntos dos numeros reais
O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;
Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.
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Conjuntos dos numeros reais
O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.
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Conjuntos dos numeros reais
O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.
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Conjuntos dos numeros reais
Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:
R+ = conjunto dos reais nao negativos.
R− = conjunto dos reais nao positivos.R∗ = conjunto dos reais nao nulos.
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Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:
R+ = conjunto dos reais nao negativos.R− = conjunto dos reais nao positivos.
R∗ = conjunto dos reais nao nulos.
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Conjuntos dos numeros reais
Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:
R+ = conjunto dos reais nao negativos.R− = conjunto dos reais nao positivos.R∗ = conjunto dos reais nao nulos.
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Conjuntos dos numeros reais
Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:
R+ = conjunto dos reais nao negativos.R− = conjunto dos reais nao positivos.R∗ = conjunto dos reais nao nulos.
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Conjuntos dos numeros reais
Operacoes em RAs operacoes de adicao e multiplicacao em R gozam das mesmaspropriedades vistas para o conjunto Q. Em R e tambem definida aoperacao de subtracao e em R∗ e definida a divisao.
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Intervalos
Dados dois numeros reaisa e b , com a < b, definimos:
(a) Intervalo aberto de extremos a e b e o conjunto
]a, b[= {x ∈ R| a < x < b }
(b) Intervalo fechado de extremos a e b e o conjunto
[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b }
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Intervalos
Dados dois numeros reaisa e b , com a < b, definimos:
(a) Intervalo aberto de extremos a e b e o conjunto
]a, b[= {x ∈ R| a < x < b }
(b) Intervalo fechado de extremos a e b e o conjunto
[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b }
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Modulo ou valor absoluto
Teorema
Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:
(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.
Corolario :
Dados a, b, x ∈ R , tem-se|x − a| ≤ b ⇔ −b ≤ x − a ≤ b ⇔ a− b ≤ x ≤ a + b
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Modulo ou valor absoluto
Teorema
Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.
Corolario :
Dados a, b, x ∈ R , tem-se|x − a| ≤ b ⇔ −b ≤ x − a ≤ b ⇔ a− b ≤ x ≤ a + b
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Modulo ou valor absoluto
Teorema
Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.
Corolario :
Dados a, b, x ∈ R , tem-se|x − a| ≤ b ⇔ −b ≤ x − a ≤ b ⇔ a− b ≤ x ≤ a + b
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Modulo ou valor absoluto
Teorema.
Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;
(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.
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Modulo ou valor absoluto
Teorema.
Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;
(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.
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Modulo ou valor absoluto
Teorema.
Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;
(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.
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Modulo ou valor absoluto
Teorema.
Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.
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b, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elementar Vol. 1.[2]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 2.[3]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 3.[4]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 7.[5]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 9.
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Referencia Bibliografica Complementar
[6] LIMA, Elon L. e outros. Matematica para o ensino medioColecao do professor dematematica, Vol. 1. 5a ed. Rio de Janeiro.[7] LIMA, Elon L. e outros. Matematica para o ensino medioColecao do professor dematematica, Vol. 2. 5a ed. Rio de Janeiro.
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Obrigado.
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