179
CENTRO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS E TECNOL ´ OGICAS. TUTORIA EM MATEM ´ ATICA CONJUNTOS NUM ´ ERICOS Tutores: Carlos Andr´ e | Iuri | Javier | Leila | Raimar | Wisley Cruz das Almas - BA - Dezembro de 2013. TUTORIA EM MATEM ´ ATICA CONJUNTOS NUM ´ ERICOS

Aula Conjuntos Numericos

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Aula Conjuntos Numericos

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS.TUTORIA EM MATEMATICA

CONJUNTOS NUMERICOS

Tutores: Carlos Andre | Iuri | Javier | Leila | Raimar| Wisley

Cruz das Almas - BA - Dezembro de 2013.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 2: Aula Conjuntos Numericos

Introducao

Enquanto os conjuntos constituem um meioauxiliar, os numeros sao um dos dois objetosprincipais de que se ocupa a Matematica.( O outro e o espaco,junto com as figurasgeometricas nele contidas.)

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 3: Aula Conjuntos Numericos

Introducao

Numeros sao entes abstratos, desenvolvidospelo homem como modelos que permitemcontar e medir, portanto avaliar as diferentesquantidades de uma grandeza.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 4: Aula Conjuntos Numericos

Objetivos

1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;

2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;

3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 5: Aula Conjuntos Numericos

Objetivos

1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;

2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;

3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 6: Aula Conjuntos Numericos

Objetivos

1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;

2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;

3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 7: Aula Conjuntos Numericos

Objetivos

1- Compeender o conceito de conjunto e dominar suasprincipais proporiedades e operacoes;

2-Relembrar as operacoes de adicao e multiplicacao dosnumeros reias e suas propriedades;

3-Rever os conceitos de divisibilidade, divisor e multiplo;

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 8: Aula Conjuntos Numericos

Objetivos

4-Rever os conceitos de fracoes, fracoes equivalentes e fracoesirredutıveis;

5-Consolidar o conhecimento adquirido ate aqui sobre os reias,com uma visao mais aprofundada, fazendo uso do queaprendemos em logica matematica.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 9: Aula Conjuntos Numericos

Objetivos

4-Rever os conceitos de fracoes, fracoes equivalentes e fracoesirredutıveis;

5-Consolidar o conhecimento adquirido ate aqui sobre os reias,com uma visao mais aprofundada, fazendo uso do queaprendemos em logica matematica.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 10: Aula Conjuntos Numericos

Objetivo geral

Espera-se que ao final do estudo o discente seja capaz deaplicar os axiomas dos reais em algumas demonstracoes deoutras propriedades bem como seja capaz de identificarcorretamente quais propriedades podem ser usadas emsimplificacoes de equacoes e inequacoes.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 11: Aula Conjuntos Numericos

Historico

A historia nos mostra que desde muito tempo ohomem sempre teve a necessidade em contarobjetos e ter registros numericos. seja atraves depedras, ossos, desenhos , dos dedos ou outra formaqualquer, em procurava abstrair a natureza pormeio de processos de determinacao de quantidades.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 12: Aula Conjuntos Numericos

Historico

Deve-se a Giussepe Peano ( 1858 -1932) aconstatacao de que se pode elaborar toda a teoriados numeros naturais a partir de quatro fatosbasicos, conhecidos atualmente como os axiomasde Peano . Em outras palavras, o conjunto N dosnumeros naturais possui quatro propriedadesfundamentais, das quais resultam, comoconsequencias logicas, todas as afirmacoesverdadeiras que se podem fazer sobre esses numeros.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 13: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Nesta secao estabeleceremos a definicao de numeronatural. Suponhamos a existencia de um conjuntonao vazio N , chamado de numeros naturais.

Para estuda-los, precisamos inicialmente admitir tres conceitosprimitivos”(sem definicao). Sao eles: zero (denotado por 0 ),numero natural e a nocao de sucessor de um numero natural.Sendo n um numero natural, vamos denotar por s(n) o seusucessor. Assim, os Axiomas de Peano podem ser listados damaneira seguinte.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 14: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Nesta secao estabeleceremos a definicao de numeronatural. Suponhamos a existencia de um conjuntonao vazio N , chamado de numeros naturais.

Para estuda-los, precisamos inicialmente admitir tres conceitosprimitivos”(sem definicao). Sao eles: zero (denotado por 0 ),numero natural e a nocao de sucessor de um numero natural.Sendo n um numero natural, vamos denotar por s(n) o seusucessor. Assim, os Axiomas de Peano podem ser listados damaneira seguinte.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 15: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Aqui assumiremos que 0 (zero) nao e um numero natural etambem nao e sucessor de um numero natural, em razao doaxioma I de Peano.

I- Existe uma funcao s : N→ N, que associa a cada n ∈ N umelemento s(n) ∈ N, chamado o sucessor de n .

II- A funcao s : N→ N e injetiva.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 16: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Aqui assumiremos que 0 (zero) nao e um numero natural etambem nao e sucessor de um numero natural, em razao doaxioma I de Peano.

I- Existe uma funcao s : N→ N, que associa a cada n ∈ N umelemento s(n) ∈ N, chamado o sucessor de n .

II- A funcao s : N→ N e injetiva.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 17: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Aqui assumiremos que 0 (zero) nao e um numero natural etambem nao e sucessor de um numero natural, em razao doaxioma I de Peano.

I- Existe uma funcao s : N→ N, que associa a cada n ∈ N umelemento s(n) ∈ N, chamado o sucessor de n .

II- A funcao s : N→ N e injetiva.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 18: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

III- Existe um unico elemento 1 no conjunto N , tal que 1 6= s(n)para todo n ∈ N .

IV - Se um subconjunto X ⊂ N e tal que 1 ∈ N e s(X ) ⊂ X ( istoe, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X ), entao X = N.

Observe que, como estamos chamando de N o conjunto dosnumeros naturais, a notacao n ∈ N siginifica que n e um numeronatural.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 19: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

III- Existe um unico elemento 1 no conjunto N , tal que 1 6= s(n)para todo n ∈ N .

IV - Se um subconjunto X ⊂ N e tal que 1 ∈ N e s(X ) ⊂ X ( istoe, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X ), entao X = N.

Observe que, como estamos chamando de N o conjunto dosnumeros naturais, a notacao n ∈ N siginifica que n e um numeronatural.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 20: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

III- Existe um unico elemento 1 no conjunto N , tal que 1 6= s(n)para todo n ∈ N .

IV - Se um subconjunto X ⊂ N e tal que 1 ∈ N e s(X ) ⊂ X ( istoe, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X ), entao X = N.

Observe que, como estamos chamando de N o conjunto dosnumeros naturais, a notacao n ∈ N siginifica que n e um numeronatural.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 21: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Como podemos observar os Axiomas listados acima nao sao nadatriviais, sendo necessario aqui reformularmos em linguagemcorrente, livre de notacao matematica, porem essa reformulacaonao deve ser levada como pretexto para nao aprofundarmos oestudo dos axiomas de Peano.

0 (zero) nao e um numero natural e tambem nao e sucessor de umnumero natural, em razao do axioma I de Peano.

I- Todo numero natural possui um unico sucessor, que tambem eum numero natural.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 22: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Como podemos observar os Axiomas listados acima nao sao nadatriviais, sendo necessario aqui reformularmos em linguagemcorrente, livre de notacao matematica, porem essa reformulacaonao deve ser levada como pretexto para nao aprofundarmos oestudo dos axiomas de Peano.

0 (zero) nao e um numero natural e tambem nao e sucessor de umnumero natural, em razao do axioma I de Peano.

I- Todo numero natural possui um unico sucessor, que tambem eum numero natural.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 23: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Como podemos observar os Axiomas listados acima nao sao nadatriviais, sendo necessario aqui reformularmos em linguagemcorrente, livre de notacao matematica, porem essa reformulacaonao deve ser levada como pretexto para nao aprofundarmos oestudo dos axiomas de Peano.

0 (zero) nao e um numero natural e tambem nao e sucessor de umnumero natural, em razao do axioma I de Peano.

I- Todo numero natural possui um unico sucessor, que tambem eum numero natural.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 24: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

II- Numeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.( ouainda: numeros que tem o mesmo sucessor sao iguais).

III- Existe um unico natural que nao e sucessor de nenhum outro.Este numero e representado pelo sımbolo 1 e chamado de ”numeroum”.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 25: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

II- Numeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.( ouainda: numeros que tem o mesmo sucessor sao iguais).

III- Existe um unico natural que nao e sucessor de nenhum outro.Este numero e representado pelo sımbolo 1 e chamado de ”numeroum”.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 26: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

II- Numeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.( ouainda: numeros que tem o mesmo sucessor sao iguais).

III- Existe um unico natural que nao e sucessor de nenhum outro.Este numero e representado pelo sımbolo 1 e chamado de ”numeroum”.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 27: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

IV - Se um conjunto de numeros naturais contem o numero 1 e,alem disso, contem o sucessor de cada um de seus elementos,entao esse conjunto coincide com N , isto e contem todos osnumeros naturais.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 28: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 29: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.

Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 30: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 31: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2

→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 32: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3

→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 33: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4

→s 5→s ...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 34: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s

...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 35: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 36: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

A partir daı, podemos dizer que o sucessor de 1 chama-se ”dois”, osucessor de dois chama-se ”tres”, etc.

Voltando a usar nossa notacao s(n) para o sucessor do numeronatural n , teremos entao 2 = s(1), 3 = s(2), 4 = s(3), 5 = s(4),etc.Que podemos representar da seguinte forma:

1→s 2→s 3→s 4→s 5→s ...

Logo, temos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 37: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

N = {1, 2, 3, 4, ..., n} .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 38: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Entre os numeros naturais estao definidas duas operacoesfundametais: a adicao (+) e a multiplicacao (·) .

• Adicao

Associa os numeros a, b ∈ N a soma a + b .

+ : N× N→ N

(a, b) 7→ a + b.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 39: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

Entre os numeros naturais estao definidas duas operacoesfundametais: a adicao (+) e a multiplicacao (·) .

• Adicao

Associa os numeros a, b ∈ N a soma a + b .

+ : N× N→ N

(a, b) 7→ a + b.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 40: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

• Multiplicacao

Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b

· : N× N→ N

(a, b) 7→ a · b

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 41: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

• Multiplicacao

Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b

· : N× N→ N

(a, b) 7→ a · b

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 42: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

• Multiplicacao

Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b

· : N× N→ N

(a, b) 7→ a · b

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 43: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturais

• Multiplicacao

Associa os numeros a, b ∈ N ao produto a · b

· : N× N→ N

(a, b) 7→ a · b

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 44: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

AM.1 A adicao e a multiplicacao sao bem definidas:

∀a, b, a′, b

′ ∈ N, a = a′

e b = b′ ⇒ a + b = a

′+ b

′e a · b =

a′ · b′

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 45: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

AM.1 A adicao e a multiplicacao sao bem definidas:

∀a, b, a′, b

′ ∈ N, a = a′

e b = b′ ⇒ a + b = a

′+ b

′e a · b =

a′ · b′

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 46: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

Obs.:

A propriedade AM.1 e a que permite somar, a ambos os lados deuma igualdade um dado numero ou multiplicar ambos os membrospor um mesmo numero.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 47: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

A.1 Associatividade da soma

(a + b) + c =

a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .

A.2 Comutativa da soma

a + b = b + a∀a e b ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 48: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

A.1 Associatividade da soma

(a + b) + c = a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .

A.2 Comutativa da soma

a + b =

b + a∀a e b ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 49: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

A.1 Associatividade da soma

(a + b) + c = a + (b + c)∀a, b e c ∈ N .

A.2 Comutativa da soma

a + b = b + a∀a e b ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 50: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

A.3 Elemento neutro da adicao

a + 0 = a∀a ∈ N .

M.1 Associativa da multiplicacao

(ab)c =

a(bc)∀a, b, b ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 51: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

A.3 Elemento neutro da adicao

a + 0 = a∀a ∈ N .

M.1 Associativa da multiplicacao

(ab)c = a(bc)∀a, b, b ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 52: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

M.2 Comutativa da multiplicacao

ab = ba∀a e b ∈ N .

M.3 Elemento neutro da multiplicacao

a · 1 = a∀a ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 53: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

M.2 Comutativa da multiplicacao

ab = ba∀a e b ∈ N .

M.3 Elemento neutro da multiplicacao

a · 1 = a∀a ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 54: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

D. Distributiva da multiplicacao relativamente a adicao

a(b + c) =

ab + ac∀ a, b, c ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 55: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

D. Distributiva da multiplicacao relativamente a adicao

a(b + c) = ab + ac

∀ a, b, c ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 56: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

D. Distributiva da multiplicacao relativamente a adicao

a(b + c) = ab + ac∀ a, b, c ∈ N .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 57: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

Alem destas propriedades, o conjunto N possoui :

[I.1] Integridade

Dados a, b ∈ N, tem-se a + b ∈ N e a · b ∈ N .

[L.T] Lei da tricotomia

Dados a, b ∈ N , uma , e apenas uma, das seguintes possibilidadese verdadeira.(i) a = b; (ii) ∃c ∈ N; b = a + c , (iii) ∃c ∈ N; a = b + c .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 58: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros naturaisPropriedades

Alem destas propriedades, o conjunto N possoui :

[I.1] Integridade

Dados a, b ∈ N, tem-se a + b ∈ N e a · b ∈ N .

[L.T] Lei da tricotomia

Dados a, b ∈ N , uma , e apenas uma, das seguintes possibilidadese verdadeira.(i) a = b; (ii) ∃c ∈ N; b = a + c , (iii) ∃c ∈ N; a = b + c .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 59: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteiros

Este conjunto aparece como ampliacao do conjunto dos numerosnaturais. Simbolizado pela letra Z, e o conjunto

Z = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., n} ouZ = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}

No qual estao definidas duas operacoes, a adicao e a multiplicacao,que definimos para os numeros naturais.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 60: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteiros

Este conjunto aparece como ampliacao do conjunto dos numerosnaturais. Simbolizado pela letra Z, e o conjunto

Z = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., n} ouZ = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}

No qual estao definidas duas operacoes, a adicao e a multiplicacao,que definimos para os numeros naturais.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 61: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteiros

Este conjunto aparece como ampliacao do conjunto dos numerosnaturais. Simbolizado pela letra Z, e o conjunto

Z = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., n} ouZ = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}

No qual estao definidas duas operacoes, a adicao e a multiplicacao,que definimos para os numeros naturais.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 62: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)

Enunciamos 7 propriedades( axiomas ) em N que tambem saovalidas para Z , alem das quais seguem:

• Z.1 A existencia do Elemento Neutro

∀a ∈ Z, a + 0 = a e a · b = a

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 63: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)

Enunciamos 7 propriedades( axiomas ) em N que tambem saovalidas para Z , alem das quais seguem:

• Z.1 A existencia do Elemento Neutro

∀a ∈ Z, a + 0 = a e a · b = a

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 64: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)

Enunciamos 7 propriedades( axiomas ) em N que tambem saovalidas para Z , alem das quais seguem:

• Z.1 A existencia do Elemento Neutro

∀a ∈ Z, a + 0 = a e a · b = a

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 65: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)

• Z.2 A existencia do Oposto

Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que

a + (−a) = 0

• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao

∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que

a · b = a · c ⇒ b = c .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 66: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)

• Z.2 A existencia do Oposto

Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que

a + (−a) = 0

• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao

∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que

a · b = a · c ⇒ b = c .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 67: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)

• Z.2 A existencia do Oposto

Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que

a + (−a) = 0

• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao

∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que

a · b = a · c ⇒ b = c .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 68: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteirosPropriedades ( axiomas)

• Z.2 A existencia do Oposto

Para cada a ∈ Z existe um unico oposto aditivo, denotado por −atal que

a + (−a) = 0

• Z.3 Propriedade cancelativa para a multiplicacao

∀ a, b, c ∈ Z com a 6= 0 , tem-se que

a · b = a · c ⇒ b = c .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 69: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteiros

Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;

• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 70: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteiros

Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;

• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 71: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteiros

Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 72: Aula Conjuntos Numericos

Conjunto dos numeros inteiros

Em Z podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Z+ = {1, 2, 3, ..., n} = N : Conjunto dos inteiros nao negativos;• Z− = {−n, ...− 3,−2,−1, 0} : Conjunto dos inteiros naopositivos;• Z∗ = {−n, ...,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, ..., n} : conjunto dosinteiros nao nulos .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 73: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades

Propriedade Cancelativa da adicao

Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .

Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que

(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)

Da propriedade associativa, temos

[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 74: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades

Propriedade Cancelativa da adicao

Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que

(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)

Da propriedade associativa, temos

[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 75: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades

Propriedade Cancelativa da adicao

Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que

(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)

Da propriedade associativa, temos

[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 76: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades

Propriedade Cancelativa da adicao

Sejam a, b, c ∈ Z , tem-se que , se a + b = a + c , entao b = c .Prova: Se a + b = a + c , somando o oposto de a a ambos osmembros dessa igualdade, temos que

(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)

Da propriedade associativa, temos

[(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c ,

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 77: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosPropriedades

isto e , 0 + b = 0 + c , logo , b = c . ( c. q. d . )

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 78: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao

Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .

Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos

a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,

E pela propriedade cancelativa da adicao, temos a · 0 = 0.(c.q.d.)

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 79: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao

Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos

a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,

E pela propriedade cancelativa da adicao, temos a · 0 = 0.(c.q.d.)

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 80: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao

Para todo inteiro a tem-se que a · 0 = 0 .Prova: Como 0 = 0 + 0 , escrevemosa · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Uma vez que a · 0 = a · 0 + 0, temos

a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 ,

E pela propriedade cancelativa da adicao, temos a · 0 = 0.(c.q.d.)

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 81: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao

Sejam a e b inteiros , tais que a · b = 0 .Entao, a = 0 ou b = 0 .Prova: Exercıcio.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 82: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao

Sejam a e b inteiros , tais que a · b = 0 .Entao, a = 0 ou b = 0 .Prova: Exercıcio.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 83: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao( Regra dos sinais)

Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 84: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao( Regra dos sinais)

Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;

(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 85: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao( Regra dos sinais)

Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);

(ii) (−a)(−b) = a · b .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 86: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Proposicao( Regra dos sinais)

Sejam a e b inteiros .Entao:(i) −(−a) = a ;(ii) (−a)(b) = −(a · b) = a(−b);(ii) (−a)(−b) = a · b .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 87: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Prova:

(i) Note que o oposto de um elemento a e o unico inteiro queverifica a equacao a + x = 0 .Deste modo, a verifica a equacao(−a) + x = 0 , implicando que a e o oposto de −a , que e indicadopor −(−a) .

(ii) Exercıcio.(iii) Exercıcio.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 88: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteirosProposicoes

Prova:

(i) Note que o oposto de um elemento a e o unico inteiro queverifica a equacao a + x = 0 .Deste modo, a verifica a equacao(−a) + x = 0 , implicando que a e o oposto de −a , que e indicadopor −(−a) .(ii) Exercıcio.(iii) Exercıcio.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 89: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Divisibilidade

Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.

Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .

a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 90: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Divisibilidade

Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .

a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 91: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Divisibilidade

Uma importante nocao que devemos ter sobre numeros inteiros e oconceito de divisor.Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b - Simbolo a|b -quando existe um inteiro c tal que ca = b .

a|b ⇔ (∃c ∈ Z|ca = b)

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 92: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 93: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 12

2◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 94: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −18

3o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 95: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 0

4o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 96: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exemplos

1o) 2|12 pois 6 · 2 = 122◦) 3| − 18 pois (−6) · 3 = −183o) 4|0 pois 0 · 4 = 04o) 1|0 pois 0 · 1 = 0

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 97: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Importante

Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 98: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Importante

Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.

Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 99: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Importante

Quando a e divisor de b , dizemos que ”b e divisıvel por a ”ou ”b emultiplo de a ”.Para um inteiro a qualquer , indicamos com D(a) o conjunto deseus divisores e com M(a) o conjunto de seus multiplos .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 100: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exemplos

1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}

2o) D(0) = ZM(0) = {0}

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 101: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exemplos

1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}

2o) D(0) = ZM(0) = {0}

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 102: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exemplos

1o) D(2) = {1,−1, 2,−2}M(2) = {0,±2,±4,±6, ...}

2o) D(0) = ZM(0) = {0}

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 103: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Numero Primo

Dizemos que um numero inteiro p e primo quando p 6= 0, 1 e −1 eD(p) = {1,−1, p,−p} .Isto e, um numero p qualquer e primo se for divisıvel por 1 e peloproprio p .

Exemplo

2,−2,−3, 3, 5,−5 sao primos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 104: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros inteiros

Exercıcio

Quais dos seguintes elementos de Z nao sao primos:12,−13, 0, 5, 31,−4, 49, e 53 .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 105: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

}

Adotam -se as seguintes operacoes:

1a - Igualdade:a

b=

c

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

b+

c

d=

ad + bc

bd.

3a - Multiplicacao :a

b· cd

=ac

bd.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 106: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

}

Adotam -se as seguintes operacoes:

1a - Igualdade:a

b=

c

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

b+

c

d=

ad + bc

bd.

3a - Multiplicacao :a

b· cd

=ac

bd.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 107: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

}

Adotam -se as seguintes operacoes:

1a - Igualdade:a

b=

c

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

b+

c

d=

ad + bc

bd.

3a - Multiplicacao :a

b· cd

=ac

bd.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 108: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

}

Adotam -se as seguintes operacoes:

1a - Igualdade:a

b=

c

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

b+

c

d=

ad + bc

bd.

3a - Multiplicacao :a

b· cd

=ac

bd.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 109: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

}

Adotam -se as seguintes operacoes:

1a - Igualdade:a

b=

c

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

b+

c

d=

ad + bc

bd.

3a - Multiplicacao :a

b· cd

=ac

bd.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 110: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

O conjunto dos numeros racionais, representado por Q , e definidopor

Q :={a

b; a, b ∈ Z∗e b 6= 0

}

Adotam -se as seguintes operacoes:

1a - Igualdade:a

b=

c

d⇔ ad = bc .

2a - Adicao:a

b+

c

d=

ad + bc

bd.

3a - Multiplicacao :a

b· cd

=ac

bd.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 111: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

4a - O simetrico aditivo dea

be −a

b.

5a - O inverso multiplicativo do numero racionala

b6= 0 e

b

a

6a - 0 e0

qpara qualquer q 6= 0 .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 112: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

4a - O simetrico aditivo dea

be −a

b.

5a - O inverso multiplicativo do numero racionala

b6= 0 e

b

a

6a - 0 e0

qpara qualquer q 6= 0 .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 113: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

4a - O simetrico aditivo dea

be −a

b.

5a - O inverso multiplicativo do numero racionala

b6= 0 e

b

a

6a - 0 e0

qpara qualquer q 6= 0 .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 114: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

4a - O simetrico aditivo dea

be −a

b.

5a - O inverso multiplicativo do numero racionala

b6= 0 e

b

a

6a - 0 e0

qpara qualquer q 6= 0 .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 115: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 116: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos

• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 117: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos

• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 118: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

Em Q podemos distinguir tres subconjuntos notaveis

• Q+ = conjunto dos racionais nao negativos• Q− = conjunto dos racionais nao positivos• Q∗ = conjunto dos racionais nao nulos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 119: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

Note que todo numero inteiro a e racional , pois a =a

1. Isto quer

dizer que Z ⊂ Q .

Vamos definir alguns tipos de fracoes

• Fracoes equivalentes:a

b=

ac

bc, a, b, c ∈ Z e b, c 6= 0.

Exemplo

2

3=

6

9

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 120: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

• Fracoes proprias:a

bcom |a| < |b|, a, b ∈ Z e b 6= 0.

Exemplo

2

3

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 121: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

• Fracoes improprias:a

bcom |a| > |b|, a, b ∈ Z e b 6=.

Exemplo

3

2

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 122: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

• Fracoes aparentes :a

b, a, b ∈ Z, b 6= 0,∃c; a = bc .

Exemplo

6

3, onde a = 3 · 2

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 123: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

• Fracoes decimais

a

10n, a ∈ Z

e n ∈ N.

Exemplo

3

102=

3

100, onde n = 2 · 2

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 124: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionais

• Fracoes irredutıveis

a

b, a, b ∈ Z, b 6= 0,mdc(a, b) = 1

.

Exemplo

3

7

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 125: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Divide-se em dois casos:

1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.

Exemplo

3

1= 3

1

2= 0, 5

1

20= 0, 05

27

1000= 0, 027.

2o O numero decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque repetem periodicamente, isto e, e uma dızima periodica .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 126: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Divide-se em dois casos:1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.

Exemplo

3

1= 3

1

2= 0, 5

1

20= 0, 05

27

1000= 0, 027.

2o O numero decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque repetem periodicamente, isto e, e uma dızima periodica .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 127: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Divide-se em dois casos:1o - O numero decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto e , e uma decimal exata.

Exemplo

3

1= 3

1

2= 0, 5

1

20= 0, 05

27

1000= 0, 027.

2o O numero decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque repetem periodicamente, isto e, e uma dızima periodica .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 128: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

1

3= 0, 333... = 0, 3 (perıdo 3) .

11

6= 1, 8333... = 1, 83 (perıodo 3)

2

7= 0, 285714285714... = 0, 285714 ( perıodo 285714 ) .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 129: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

1

3= 0, 333... = 0, 3 (perıdo 3) .

11

6= 1, 8333... = 1, 83 (perıodo 3)

2

7= 0, 285714285714... = 0, 285714 ( perıodo 285714 ) .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 130: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Podemos notar tambem que todo numero na forma decimal exata

ou de dızima periodica pode ser convertido a forma de fracaoa

be

portanto, represtenta um numero racional.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 131: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Quando a decimal e exata, podemos transformalo em uma fracaocujo numerador e o numeral decimal sem vırgula e cujodenominador e o algarismo I seguido de tantos zeros forem ascasas decimais do numeral dado.

Exemplo

0, 37 = 37100 2, 631 = 2631

1000 63, 4598 =634598

10000.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 132: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Quando a decimal e uma dızima periodica, devemos procurar suageratriz. Temos a seguir tres exemplos de como obter a geratriz deuma dizıma periodica .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 133: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Quando a decimal e uma dızima periodica, devemos procurar suageratriz. Temos a seguir tres exemplos de como obter a geratriz deuma dizıma periodica .

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 134: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

0, 777...x = 0, 777...

10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

10x − x = 7⇒ 7

9

entao: 0, 777... =7

9

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 135: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...

Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

10x − x = 7⇒ 7

9

entao: 0, 777... =7

9

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 136: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

10x − x = 7⇒ 7

9

entao: 0, 777... =7

9

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 137: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

10x − x = 7⇒ 7

9

entao: 0, 777... =7

9

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 138: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

0, 777...x = 0, 777...10x = 7, 777...Somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

10x − x = 7⇒ 7

9

entao: 0, 777... =7

9

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 139: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

6, 4343...

x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

99

entao: 6, 43436... =637

99

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 140: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...

100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

99

entao: 6, 43436... =637

99

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 141: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...

somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

99

entao: 6, 43436... =637

99

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 142: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

99

entao: 6, 43436... =637

99

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 143: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

99

entao: 6, 43436... =637

99

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 144: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

99

entao: 6, 43436... =637

99

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 145: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisRepresentacao decimal

Exemplo

6, 4343...x = 6, 434343...100x = 643, 434343...somando uma expressao com a inversa aditiva da outra, temos

100x − x = 637⇒ x =637

99

entao: 6, 43436... =637

99

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 146: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisExercıcios

Exercıcio

Coloque na forma de uma fracao irredutıvel os seguintes numerosracionais:

0, 4; 0, 444...; 0, 32; 0, 323232...; 54, 2; 5, 423423423....

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 147: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros racionaisExercıcios

Exercıcio

Coloque na forma de uma fracao irredutıvel os seguintes numerosracionais:0, 4; 0, 444...; 0, 32; 0, 323232...; 54, 2; 5, 423423423....

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 148: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.

Exemplo

Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.Logo sao irracionais:

√2,√

3,√

5, ...√n

com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 149: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.

Exemplo

Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.

Logo sao irracionais:

√2,√

3,√

5, ...√n

com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 150: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.

Exemplo

Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.Logo sao irracionais:

√2,√

3,√

5, ...√n

com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 151: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Numero que nao se pode expressar como quociente de doisnumeros inteiros. Numeros cuja representacao decimal cominfinitas casas decimais nao e periodica.

Exemplo

Todas as raızes quadradas de numeros naturais que nao sejamquadrados perfeitos, isto e se a raiz quadrada de um numeronatural nao for inteira, e irracional.Logo sao irracionais:

√2,√

3,√

5, ...√n

com n ∈ N e n 6= de um quadrado perfeito.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 152: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.

Exemplo

1 +√

3,(1 +

√5)

2,

(√

8− 1)

2

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 153: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.

Exemplo

1 +√

3,

(1 +√

5)

2,

(√

8− 1)

2

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 154: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.

Exemplo

1 +√

3,(1 +

√5)

2

,(√

8− 1)

2

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 155: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Sao irracionais os resultados da soma, subtraccao,multiplicacao e divisao de um numero irracionalcom um numero racional.

Exemplo

1 +√

3,(1 +

√5)

2,

(√

8− 1)

2

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 156: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Sao irracionais os numeros especiais

π = 3, 141592653589793238462643383...

e = 2,71828182845904523536028...

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 157: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reaisNumeros irracionais

Sao irracionais os numeros especiais

π = 3, 141592653589793238462643383...e = 2,71828182845904523536028...

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 158: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :

Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 159: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;

Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 160: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 161: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

O conjunto dos numeros reais e o conjunto formado por todos osnumeros racionais e todos os irracionais e e representado por R.N , Z e Q sao subconjuntos de R. Os conjuntos Q e R tem algode muito especial relativamente a Ne Z :Entre dois numeros de N ou Z nao se encontra nenhum elementodos conjuntos Q ou R ;Entre dois quaisquer elementos de Qou R, por mais proximos queestejam, existe sempre outro elemento destes conjuntos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 162: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:

R+ = conjunto dos reais nao negativos.

R− = conjunto dos reais nao positivos.R∗ = conjunto dos reais nao nulos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 163: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:

R+ = conjunto dos reais nao negativos.R− = conjunto dos reais nao positivos.

R∗ = conjunto dos reais nao nulos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 164: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:

R+ = conjunto dos reais nao negativos.R− = conjunto dos reais nao positivos.R∗ = conjunto dos reais nao nulos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 165: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

Alem de Q , destacamos em R tres outros subconjuntos:

R+ = conjunto dos reais nao negativos.R− = conjunto dos reais nao positivos.R∗ = conjunto dos reais nao nulos.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 166: Aula Conjuntos Numericos

Conjuntos dos numeros reais

Operacoes em RAs operacoes de adicao e multiplicacao em R gozam das mesmaspropriedades vistas para o conjunto Q. Em R e tambem definida aoperacao de subtracao e em R∗ e definida a divisao.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 167: Aula Conjuntos Numericos

Intervalos

Dados dois numeros reaisa e b , com a < b, definimos:

(a) Intervalo aberto de extremos a e b e o conjunto

]a, b[= {x ∈ R| a < x < b }

(b) Intervalo fechado de extremos a e b e o conjunto

[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b }

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 168: Aula Conjuntos Numericos

Intervalos

Dados dois numeros reaisa e b , com a < b, definimos:

(a) Intervalo aberto de extremos a e b e o conjunto

]a, b[= {x ∈ R| a < x < b }

(b) Intervalo fechado de extremos a e b e o conjunto

[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b }

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 169: Aula Conjuntos Numericos

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 170: Aula Conjuntos Numericos

Modulo ou valor absoluto

Teorema

Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:

(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.

Corolario :

Dados a, b, x ∈ R , tem-se|x − a| ≤ b ⇔ −b ≤ x − a ≤ b ⇔ a− b ≤ x ≤ a + b

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 171: Aula Conjuntos Numericos

Modulo ou valor absoluto

Teorema

Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.

Corolario :

Dados a, b, x ∈ R , tem-se|x − a| ≤ b ⇔ −b ≤ x − a ≤ b ⇔ a− b ≤ x ≤ a + b

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 172: Aula Conjuntos Numericos

Modulo ou valor absoluto

Teorema

Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado. Saoequivalentes:(i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) |x | ≤ a.

Corolario :

Dados a, b, x ∈ R , tem-se|x − a| ≤ b ⇔ −b ≤ x − a ≤ b ⇔ a− b ≤ x ≤ a + b

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 173: Aula Conjuntos Numericos

Modulo ou valor absoluto

Teorema.

Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;

(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 174: Aula Conjuntos Numericos

Modulo ou valor absoluto

Teorema.

Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;

(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 175: Aula Conjuntos Numericos

Modulo ou valor absoluto

Teorema.

Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;

(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 176: Aula Conjuntos Numericos

Modulo ou valor absoluto

Teorema.

Para elementos arbitrarios de um corpo ordenado , valem(i) |x · y | = |x | · |y | ;(ii) |x + y | ≤ |x |+ |y | ;(iii) |x | − |y | ≤ ||x | − |y || ≤ |x − y | ;(iv) |x − z | ≤ |x − y |+ |y − z |.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 177: Aula Conjuntos Numericos

b, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elementar Vol. 1.[2]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 2.[3]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 3.[4]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 7.[5]IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matematica Elemen-tar Vol. 9.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 178: Aula Conjuntos Numericos

Referencia Bibliografica Complementar

[6] LIMA, Elon L. e outros. Matematica para o ensino medioColecao do professor dematematica, Vol. 1. 5a ed. Rio de Janeiro.[7] LIMA, Elon L. e outros. Matematica para o ensino medioColecao do professor dematematica, Vol. 2. 5a ed. Rio de Janeiro.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS

Page 179: Aula Conjuntos Numericos

Obrigado.

TUTORIA EM MATEMATICA CONJUNTOS NUMERICOS