Aula de Qui-Quadrado

8/3/2019 Aula de Qui-Quadrado

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1. Testes de Aderncia1. Testes de Aderncia

Objetivo: Testar a adequabilidade de um modeloprobabilstico a um conjunto de dados observados

Exemplo 1Exemplo 1: Gentica Equilbrio Hardy-Weinberg

Aa Aa

AA Aa aa

Probabilidades:(Modelo terico)

3 categorias: AA, Aa, aa


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3

Em uma certa populao, 100 descendentes foramestudados, fornecendo a tabela a seguir:

100Total

29aa

45Aa

26AA

FreqnciaFreqncia

observadaobservadaGentipoGentipo

Objetivo: Verificar se o modelo gentico proposto adequado para essa populao


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4

Se o modelo Hardy-Weinberg for adequado, a freqnciafreqncia

esperadaesperadade descendentes para o gentipo AA, dentre os100 indivduos, pode ser calculada por:

14100 (AA) 100 25P = =

12100 (Aa) 100 50P = =

Da mesma forma, temos para o gentipo Aa,

14100 (aa) 100 25P = =

E para o gentipo aa,


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5

Podemos expandir a tabela de freqncias dadaanteriormente:

10025

50

25

FreqnciaFreqncia

esperadaesperada

100Total29aa

45Aa

26AA

FreqnciaFreqncia

observadaobservada

GentipoGentipo

Pergunta: Podemos afirmar que os valores

observados esto suficientemente prximos dosvalores esperados, de tal forma que o modeloHardy-Weinberg adequado a esta populao?


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Considere uma tabela de freqncias, com k 2 categoriasde resultados:

1. Testes de Aderncia1. Testes de Aderncia MetodologiaMetodologia

O22

O33

Okk

nTotal

O11

FreqnciaFreqncia

ObservadaObservadaCategoriasCategorias

em que OOii o total de indivduos observados nacategoria i, i =1,...,k.

M M


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Seja pi a probabilidade associada categoria i, i=1,...,k.

O objetivo do teste de aderncia testar as hipteses

H: p1 = po1 , .... , pk= pok

A : existe pelo menos uma diferena

sendo ppooii a probabilidade especificada para a categoria i,

i=1,...,k, fixada atravs do modelo probabilstico de interesse.fixada atravs do modelo probabilstico de interesse.

Se EEii o total de indivduos esperados na categoria i,

quando a hiptese H verdadeira, ento:Ei= n poi, i =1,...,k


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Expandindo a tabela de freqncias original, temos

Quantificao da distncia entre as colunas de freqncias:

n

Ek

E3

E2E1

FreqnciaFreqnciaesperadaesperada

sobsob HH

n

Ok

O3

O2O1

FreqnciaFreqncia

observadaobservada

2

3

k

Total

1

CategoriasCategorias

M M M

=

=

k

i i

ii

E

EO

1

2)(2


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9

2

2

1( )

k

i i

i i

O EE

=

= Estatstica doteste de aderncia

Supondo Hverdadeira,

=

=

22 2

1

( )~ ,

ki i

q

i i

O E

E

sendo que q = k - 1 representa o nmero de graus deliberdade.

aproximadamente,

ObsObs.: Este resultado vlido para n granden grandee para

Ei 5, i= 1, ..., k.

Em outras palavras, se H verdadeira, a v.a. 2 temdistribuio aproximada qui-quadrado com q graus deliberdade.


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Regra de deciso:

2 2obs( ),qP P =

Pode ser baseada no nvel descritivo P, neste caso

P

2obs

Graficamente:

Se, para fixado, obtemos P , rejeitamos a hiptese H.

em que o valor calculado, a partir dos dados,usando a expresso apresentada para .

2

obs 2


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Exemplo (continuao): Gentica Equilbrio Hardy-Weinberg:

Hipteses:H: O modelo proposto adequado a esta situaoA : O modelo no adequado a esta situao

A tabela seguinte apresenta os valores observados eesperados (calculados anteriormente).

De forma equivalente, podemos escrever:

H: P(AA) = , P(Aa) = e P(aa) =

A: ao menos uma das igualdades no se verifica


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Usando a distribuio de qui-quadrado com q =k-1 = 2 graus deliberdade, o nvel descritivo calculado por

.22( 1,18) 0,5543P P = =

100

25

5025

Ei

100Total

29aa

45Aa26AA

OiGentipo

Concluso: Para = 0,05, como P = 0,5543 > 0,05, norejeitamos a hiptese H, isto , essa populao segue o

equilbrio Hardy-Weinberg.

Clculo do valor da estatstica do teste ( k =3):

1,180,640,500,0425

25)(29

50

50)(45

25

25)(26)( 2223

1

2

=++=

=

+

+

=

=i

ii2

obs

E

EO


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O clculo do nvel descritivo Ppode ser feito noMINITAB, atravs dos comandos:

MTB > cdf 1.18 k1;

SUBC> chisquare 2.

MTB > let k2 = 1 - k1

MTB > print k2

Data DisplayData DisplayK2 0.554327

MTB >

Nvel descritivo


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Exemplo 2Exemplo 2: Deseja-se verificar se o nmero de acidentes em

uma estrada muda conforme o dia da semana. O nmero deacidentes observado para cada dia de uma semanaescolhida aleatoriamente foram:

O que pode ser dito?

35Dom

20Sab30Sex

15Qui

10Qua10Ter

20Seg

No. deNo. deacidentesacidentes

Dia daDia dasemanasemana


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Hipteses a serem testadas:

H: O nmero de acidentes no muda conforme o dia da semana;A: Pelo menos um dos dias tem nmero diferente dos demais.

Se pi representa a probabilidade de ocorrncia deacidentes no i-simo dia da semana,

H: pi= 1/7 para todo i= 1,, 7A: pi 1/7 para pelo menos um valor de i.

Total de acidentes na semana: n=140.Logo, se Hfor verdadeira,

Ei= 140 x 1/7 = 20, i= 1,,7,

ou seja, esperamos 20 acidentes por dia.


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16

35

20

3015

10

10

20

No. de acidentesobservados (Oi)

20

20

2020

20

20

20

No. esperado deacidentes (Ei)

Dom

Sab

SexQui

Qua

Ter

Seg

Dia dasemana

Clculo da estatstica de qui-quadrado:

27,5020

20)(35

20

20)(20

20

20)(30

20

20)(15

20

20)(10

20

20)(10

20

20)(20)(

222

22227

1

2

=

+

+

+

+

+

+

=

=i

ii2

obs

E

EO


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O nvel descritivo dado por26( 27,50)P P =

e pode ser obtido no MINITAB por:

MTB > cdf 27.50 k1;

SUBC> chisquare 6.

MTB > let k2 = 1 - k1

MTB > print k2

Data DisplayK2 0.000116680

Logo, para = 0,05, segue que P = 0,0001 < e, assim,rejeitamos H, e conclumos que o nmero de acidentes no o mesmo em todos os dias da semana.

Neste caso, temos2 2

6~ , aproximadamente.


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2. Testes de Independncia2. Testes de Independncia

Objetivo: Verificar se existe independncia entre duasvariveis medidas nas mesmas unidades experimentais.

Exemplo 3Exemplo 3: Deseja-se verificar se existe dependncia entre a

renda e o nmero de filhos em famlias de uma cidade.

250 famlias escolhidas ao acaso forneceram a tabela a seguir:

25061717048TotalTotal

401091385000 ou mais

7581230252000 a 5000

13543502715menos de 2000

TotalTotal+ de 2210Nmero de filhosNmero de filhosRenda (R$)Renda (R$)


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Em geral, os dados referem-se a mensuraes de duascaractersticas (A e B) feitas em n unidades experimentais,

que so apresentadas conforme a seguinte tabela:

Hipteses a serem testadas Teste de independnciaTeste de independncia:

H: A e Bso variveis independentesA: As variveis A e Bno so independentes


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Se A e B forem independentes, temos que, para todos os possveispares (Aie Bj):

P(Ai Bj) = pij= P(Ai) P(Bj), para i= 1, 2,, r e j= 1, 2,,s.

Quantas observaes devemos ter em cada casela, se A e Bforem independentes?

O processo deve ser repetido para todas as caselas (i,j).

Logo, o nmeronmero esperadoesperado de observaes com as caractersticasde observaes com as caractersticas

((AAii eeBBjj),), entre as nobservaes sob a hiptese de independncia,

dado por

sendo pija proporo de observaes com as caractersticas (Aie Bj).

,nn

nnnppnpnE .ji..ji.ijij ===

Assim,

n

nnE

.ji.

ij

=


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Estatstica doteste de

independncia

Supondo Hverdadeira,

= =

=

2

2 2

1 1

( )~

r sij ij

q

i j ij

O E

E

sendo q =( r 1) ( s 1 ) graus de liberdade.

em que Oij= nij representa o total de observaes na casela (i, j).

Distncia entre os valores observados e os valoresesperados sob a suposio de independncia:

= =

=

s

1i

r

1jij

2ijij2

E

)EO(


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Regra de deciso:

2 2obs( ),qP P =

Pode ser baseada no nvel descritivo P, neste caso

P

2obs

Graficamente:

Se, para fixado, obtemos PP , rejeitamos a hiptese, rejeitamos a hiptese HH dede

independncia.independncia.

em que o valor calculado, a partir dos dados,usando a expresso apresentada para .

2obs

2


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Exemplo (continuao)Exemplo (continuao)::Estudo da dependncia entre renda e o nmero de filhos

250 famlias foram escolhidas ao acaso

HiptesesHipteses H: O nmero de filhos e a renda so independentesA: Existe dependncia entre o nmero de filhos e a renda


401091385000 ou mais

7581230252000 a 5000

13543502715menos de 2000

TotalTotal+ de 2210

Nmero de filhosNmero de filhosRenda (R$)Renda (R$)

Exemplo do clculo dos valores esperados sobExemplo do clculo dos valores esperados sob HH(independncia):(independncia):

Nmero esperado de famlias sem filhos e renda menor que R$ 2000:

11

48 135

25,92250E

= = .


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24

2502506161717170704848TotalTotal

4040100(9,76)99(11,36)1313(11,20)88(7,68)5000 ou mais757588(18,30)1212(21,30)3030(21,00)25(25(14,40)2000 a 5000

1351354343(32,94)50(50(38,34)2727(37,80)1515(25,92)menos de 2000

TotalTotal+ de 2210


Tabela de valores observados e esperados (entre parnteses)

1 filho e renda de R$ 2000a R$ 5000:

22

70 75

21,00250E

= =

Lembre-se:

i j

ij

n nE

n

=

2 ou + filhos e renda de R$ 5000 oumais:

34

61 409,76

250E

==


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25

Clculo da estatstica deClculo da estatstica de quiqui--quadrado:quadrado:


4010(9,76)9(11,36)13(11,20)8(7,68)5000 ou mais758(18,30)12(21,30)30(21,00)25(14,40)2000 a 5000

13543(32,94)50(38,34)27(37,80)15(25,92)menos de 2000

TotalTotal+ de 2210


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

15 25,92 25 14,40 8 7,68 27 37,8025,92 14,40 7,68 37,80

30 21,00 13 11,20 50 38,34 12 21,30

21,00 11,20 38,34 21,30

12 21,30 9 11,36 43 32,94 8 18,30

21,30 11,36 32,94 18,30

obs

= + + + +

+ + + + +

+ + + + +

( )2

10 9,7636,62

9,76

+ = .


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Determinao do nmero de graus de liberdade:

Categorias de renda: r= 3

Categorias de n de filhos: s= 4q =(r 1)(s 1) = 2 3 = 6

= =26( 36,62) 0,000P P Logo, e, supondo = 0,05,

2 26~

Como PP= 0,000 < = 0,05, rejeitamos a independncia entrenmero de filhos e renda familiar.

Os clculos podem ser feitos diretamente no MINITAB:

Stat Tables Chi-Square test


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ChiChi--SquareSquare TestTestExpected counts are printed below observed counts

C1 C2 C3 C4 Total

1 15 27 50 43 135

25,92 37,80 38,34 32,94

2 25 30 12 8 75

14,40 21,00 21,30 18,30

3 8 13 9 10 40

7,68 11,20 11,36 9,76

Total 48 70 71 61 250

Chi-Sq = 4,601 + 3,086 + 3,546 + 3,072 +

7,803 + 3,857 + 4,061 + 5,797 +

0,013 + 0,289 + 0,490 + 0,006 = 36,621

DF = 6, PP--ValueValue = 0,000= 0,000

Sada do MINITAB:


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Exemplo 4Exemplo 4: 1237 indivduos adultos classificados segundo apresso sangnea (mm Hg) e o nvel de colesterol (mg/100cm3).

Verificar se existe independncia entre essas variveis.

H: Presso sangnea e nvel de colesterol so independentes;A: Nvel de colesterol e presso sangnea so variveis dependentes.

>166127 a 166< 127


2453314567>26068563418204200 a 260

30722168117


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ChiChi--SquareSquare TestTestExpected counts are printed below observed countsC1 C2 C3 Total

1 117 168 22 307

96,29 181,42 29,29

2 204 418 63 685

214,86 404,80 65,34

3 67 145 33 245

76,85 144,78 23,37Total 388 731 118 1237

Chi-Sq = 4,452 + 0,993 + 1,812 +

0,549 + 0,431 + 0,084 +

1,262 + 0,000 + 3,967 = 13,550DF = 4, PP--ValueValue = 0,009= 0,009

Sada do MINITAB:Sada do MINITAB:

Rejeitamos a independncia entre presso sangnea envel de colesterol ( = 0,05).

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