AULA DO CPOG - static.eventials.com · • raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por S . •Expresso na unidade original de medida •Utilizado

AULA DO

CPOG

Estatística básica

• ATRIBUTO• características que podem ser enumeradas

• VARIÁVEL• características que podem ser medidas, controladas ou manipuladas em

uma pesquisa

• VARIÁVEL QUALITATIVA• valores expressos por atributos

• sexo, cor da pele, etc.

• Ex: pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A(sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles "tem mais" daqualidade representada pela variável

• VARIÁVEL QUANTITATIVA• conjunto de resultados numéricos• ex: pode-se dizer que a temperatura de 40°C é maior do que 30°C e que

um aumento de 20°C para 40°C é duas vezes maior do que um aumento de30°C para 40°C

• e se dividem em:

CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA

• VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA• valores expressos através de números inteiros não negativos• Ex: Nº de alunos presentes às aulas de CQ no 2º semestre de

2006• agosto = 10, setembro = 13, outubro = 15

• VARIÁVEL CONTÍNUA• Valores mensuráveis• escala numérica correspondente ao conjunto R dos números

Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites

• Ex.: Quando se mede a temperatura do corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: • O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas

intermediárias até chegar na temperatura atual do corpo


• Medidas de tendência central• representam uma série de dados orientando quanto à

posição da distribuição em relação ao eixo horizontal dográfico da curva de freqüência

• verifica-se uma tendência dos dados observados a seagruparem em torno dos valores centrais

• As medidas de tendência central mais utilizadas são:• Média aritmética

• Moda

• Mediana



• Média Aritmética ( )• soma dos valores individuais dividido pelo total de elementos

considerados.

• Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4

X

n

X

n

n

1ii

X

n

nX...

2X

1X

X

32,105

4,101,104,105,102,10X

Média: ponto de equilíbrio do conjunto


• Moda ( )

• valor que ocorre com maior freqüência dentro deum conjunto de números.

• Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4

X̂

4,10X̂

Moda: valor mais provável


• A moda é facilmente reconhecida basta procurar o valor que mais serepete.

• Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valorapareça mais vezes que outros

Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda

A série é amodal

• Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Então,a série tem dois ou mais valores modais

Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4e 7

• A série é bimodal


• Mediana (Md = )

• valor situado de tal forma no conjunto de dados que o separaem dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

• Dada uma série de valores como: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

• 1º - ordenar a série { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

• O valor que divide a série acima em duas partes iguais é iguala 9, logo a Md = 9

X~

Mediana: divide o conjunto em duas

partes iguais.


•Método prático para o cálculo da Mediana

• Se a série dada tiver número ímpar de termos:

• O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: ( n + 1 ) / 2

• Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

• 1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

• n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento dasérie ordenada será a mediana

• A mediana será o 5º elemento = 2

• Se a série dada tiver número par de termos:• O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: [( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2

• Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valorcorrespondente.

• Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }

• 1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

• n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2 = [( 5 + 6)] / 2 será na realidade(5º termo+ 6º termo) / 2

• 5º termo = 2 e 6º termo = 3

• A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a médiaaritmética do 5º e 6º termos da série.


• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência damediana com um dos elementos da série.

• Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência damediana com um dos elementos da série.

• A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série.

• Em um série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor.

• A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada.

• Essa é uma das diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, emuito, pelos valores extremos).


• Exemplo:

• Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10

• Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10

• A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, porinfluência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece amesma.



•Medidas de Dispersão mais utilizadas

• Amplitude

• Desvio padrão

• Variância

• Amplitude (R ou AT): é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjuntode dados.

• Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4

• A amplitude total tem o incoveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série,descuidando do conjunto de valores intermediários.

• Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia,por exemplo, no controle de qualidade ou como uma medida de cálculo rápido sem muitaexatidão.

.minX

.maxXR

4,01,105,10R


• Desvio padrão ( ou S)• Baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser

traduzida como• raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por S .

• Expresso na unidade original de medida

• Utilizado para avaliação da variabilidade de um processo/amostra

• Indicador de variabilidade bastante estável, pois leva em consideração a totalidadedos valores da variável em estudo

2

n

1ii

1n

XXσ


• Exemplo: 10,2; 10,5; 10,4; 10,1; 10,4

1643,015

1080,0


i Xi

1 10,2 10,32 -0,12 0,0144

2 10,5 10,32 0,18 0,0324

3 10,4 10,32 0,08 0,0064

4 10,1 10,32 -0,22 0,0484

5 10,4 10,32 0,08 0,0064

Total 0,1080

X XXi 2

iXX


• Variância ( ou S2)• Desvio padrão elevado ao quadrado

• Expresso na unidade original de medida elevada ao quadrado

• Utilizado para avaliação da variabilidade de um processo/amostra

2

1

1

2

2

n

XXn

i

i

Média Geométrica

Entre n valores, é a raiz de índice “n” do produto desses valores.

Exemplo: A média geométrica entre 1, 2 e 4:

28421 33 ..

Calcule a média geométrica entre 4, 6 e 9 :

6216964 33 ..

Média harmônica

A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos

inversos de n valores. Parece complicado, mas é bastante simples,

veja o exemplo:

Calcule a média harmônica entre 2, 6 e 8.

Primeiramente é necessário calcular a média aritmética dos inversos dos

valores dados:

3

8

1

6

1

2

1

1Ma

3

24

3412

1Ma72

19

3

24

19

1 Ma 19

72MH

Transpetro2012

PETROBRAS BIOCOMBUSTIVEIS2010

Transpetro2011.3

PETROBRAS 2010 MAIO

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