Aula Elipse Hi Per Bole

7/25/2019 Aula Elipse Hi Per Bole

1/65

GEOMETRIAANALTICA ECLCULOVETORIALGEOMETRIAANALTICABSICA

03/01/2013 - GGM - UFFDirce Uesu Pesco


2/65

CNICAS

Equao geral do segundo grau a duas variveis x e y

onde A, B e C no so simultaneamente nulos

Se A=B=C=0, ento Dx + E y + F = 0 , equao dareta no plano.

Caso I : B=0 Caso II :


3/65

CNICASELIPSE


4/65

ELIPSE

CNICAS


5/65

Definio:Uma elipse o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais quea soma das distncias de P a dois pontos fixos, ,situados no mesmo plano, constante.

CNICASELIPSE


6/65


Elipsedefinicao.ggb

CNICASELIPSE
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/elipsedefinicao.ggbhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/elipsedefinicao.ggbhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/elipsedefinicao.ggbhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/elipsedefinicao.ggb


7/65


Seja 2c a distncia entre (distncia focal)

CNICASELIPSE


8/65


Seja 2c a distncia entre (distncia focal)Se P um ponto qualquer, ento:

(desigualdade triangular)

CNICASELIPSE


9/65




Se 2a > 2c >0 , ou seja, a>c, a equao de uma elipse defocos :

CNICASELIPSE


10/65




Se 2a > 2c >0 , ou seja, a>c, a equao de uma elipse defocos :

CNICASELIPSE


11/65


12/65

Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.

CNICASELIPSE


13/65

Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.Se a>c > 0 , P(x,y) ponto da elipse e os focos e

, ento o centro da elipse C(0,0) e substituindo em

CNICASELIPSE


14/65



CNICASELIPSE


15/65



CNICASELIPSE


16/65


17/65



CNICASELIPSE


18/65



CNICASELIPSE


19/65



CNICASELIPSE


20/65

Como a > c > 0 existe um nmero real b,tal que

ou

forma cannica ou reduzida

CNICASELIPSE


21/65

, forma cannica ou reduzida da elipse

CNICASELIPSE


22/65


Elipse de centro C(0,0)

CNICASELIPSE


23/65



focos

CNICASELIPSE


24/65



focos

Vrtices :

CNICASELIPSE


25/65



focos

Vrtices :

CNICASELIPSE


26/65

De maneira anloga, determine a equao da elipse cujosfocos so e a soma dos raios focais 2a .Se 2a > 2c >0 , ou seja, a>c,

a equao de uma elipse defocos :

Faa figura no Geogebra

CNICASELIPSE


27/65




CNICASELIPSE


28/65




CNICASELIPSE


29/65

Exemplos:1) Dada a equao da elipse

de centro na origem, encontre os vrtices e focos da elipse.Soluo:

CNICASELIPSE


30/65


de centro na origem, encontre os vrtices e focos da elipse.Soluo:Dividindo por 36, obtemos:

CNICASELIPSE


31/65



CNICASELIPSE


32/65



Qual o valor de a? e b?

CNICASELIPSE


33/65



Qual o valor de a? e b?O eixo focal est no eixo x ou no eixo y? Como identificar?

CNICASELIPSE


34/65



Qual o valor de a? e b?O eixo focal est no eixo x ou no eixo y? Como identificar?

Faa figura usando Geogebra

CNICASELIPSE


35/65

Encontre as coordenadas dos- vrtices :

- focos:

CNICASELIPSE


36/65

Exerccios:2) Determine a equao da elipse de focos

e eixo maior .

3) Determine a equao da elipse cujos focos so

e a soma dos raios focais 7.

CNICASELIPSE


37/65

Exerccios:2) Determine a equao da elipse de focos

e eixo maior .

3) Determine a equao da elipse cujos focos so

e a soma dos raios focais 7.

CNICASELIPSE


38/65

Exemplos:4) Mostre que a equao da elipse e determine seus vrtices e focos.

CNICASELIPSE


39/65

Exemplos:4) Mostre que a equao da elipse e determine seus vrtices e focos.

Faa a figura no Geogebra

CNICASELIPSE


40/65

Teorema: O centro de uma elipse est no ponto (h,k) e adistncia do centro a cada um dos focos igual a c.i) Se o eixo focal da elipse paralelo ao eixo x, ento suaequao

ii) Se o eixo focal da elipse paralelo ao eixo y, ento suaequao

Para cada uma das elipses, a o comprimento do semi-eixomaior, b o comprimento do semi-eixo menor e

CNICASELIPSE


41/65

Exemplos:Os vrtices de uma elipse tem coordenadas (-3,7) e (-3,-1)e tal que . Determine as equaes das elipses,seu centro, vrtices e focos.

CNICASELIPSE


42/65

Exemplos:Os vrtices de uma elipse tem coordenadas (-3,7) e (-3,-1)e tal que . Determine as equaes das elipses,seu centro, vrtices e focos.

Resposta:(I) Se eixo focal paralelo ao eixo y.

(II) Encontre a equao se o eixo focal paralelo ao eixo x.

Sol_duas_elipses.ggb

CNICASELIPSE


43/65

Exerccio:Considere a equao da elipse:

Determine as coordenadas do centro, vrtices,focos, ocomprimento do eixo maior e do eixo menor.

CNICASELIPSE


44/65

Exerccio:Considere a equao da elipse:

Determine as coordenadas do centro, vrtices,focos, ocomprimento do eixo maior e do eixo menor.Resposta:

Encontre as coordenadas dos pontos pedidos.

CNICASELIPSE


45/65

HIPRBOLE

CNICAS


46/65

Definio:Uma hiprbole com focos em o conjunto dospontos P(x,y) do planos tais que

constante.

Tomando , ento

se

CNICASHIPRBOLE


47/65

Escolha eixos coordenados para determinar a equaocannica ou reduzida da hiprbole com focos em

CNICASHIPRBOLE


48/65

Resolvendo

CNICASHIPRBOLE


49/65

Resolvendo

CNICASHIPRBOLE


50/65

Resolvendo

CNICASHIPRBOLE


51/65

Resolvendo

CNICASHIPRBOLE


52/65

Resolvendo

CNICASHIPRBOLE


53/65

Resolvendo

CNICASHIPRBOLE


54/65

Resolvendo

CNICASHIPRBOLE


55/65

Resolvendo

CNICASHIPRBOLE


56/65

Resolvendo

Como e

CNICASHIPRBOLE


57/65

Resolvendo

Como e

CNICASHIPRBOLE


58/65

Resolvendo

Como e

CNICASHIPRBOLE


59/65

Resolvendo

Como e

CNICASHIPRBOLE


60/65

Forma cannica ou reduzida da hiprbole de focos no eixo x.

CNICASHIPRBOLE


61/65

OBS:1) A hiprbole simtrica em relao aos eixos x e y. Isto :se (x,y) um ponto da hiprbole, ento (-x,y),(x,-y) e (-x,-y)

tambm pertencem hiprbole.

2) O eixo y no intercepta a hiprbole:

3) A excentricidade e,

e > 1 pois a=c> a

CNICASHIPRBOLE


62/65

Reciprocamente, podemos determinar a forma cannica oureduzida da hiprbole de focos no eixo y.

CNICASHIPRBOLE


63/65

Exemplo:1) Os vrtices de uma hiprbole so os pontos (0,3) e (0,-3) eseus focos so (0,5) e (0,-5). Determine a equao da hiprbole,

O comprimento de seus semi-eixos transversos (2a) e sua excen-

tricidade .

Soluo:

CNICASHIPRBOLE


64/65



tricidade .

Soluo: eixo focal no eixo y

CNICASHIPRBOLE


65/65



tricidade .

Soluo: eixo focal no eixo y

Comprimento eixo transverso 2a=6,

e = c/a = 5/3 > 1

CNICASHIPRBOLE

Documents

Aula Elipse Hi Per Bole