Aula - Estimacao e IC_media

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  • 7/24/2019 Aula - Estimacao e IC_media

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    EFB803Estatstica

    ESCOLA DE ENGENHARIA MAU

    EFB803

    Inferncia Estatstica

    Intervalo de Confiana para a mdia Aula-4 (2oBim)

    Por inmeros motivos (tempo, custo, logstica, etc...)

    trabalhamos com uma (ou mais) amostra(s) retirada(s) da

    populao.

    A partir da teoria da Inferncia Estatstica, os resultadosamostrais so inferidos como resultados vlidos para a

    populao estudada.

    Inferncia Estatstica

    Amostra um subconjunto deuma populao por meio da qualse estabelecem ou estimam as

    propriedades e caractersticas deinteresse da populao.

    Populao o conjunto detodos os elementos(unidades experimentais) ouresultados sob investigao.

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    Populao(parmetros)

    Amostra(estimadores)

    Estatstica DescritivaColeta e Organizao dos dadosInterpretaes iniciais

    Inferncia Estatstica Estimao de quantidades desconhecidas (parmetros populacionais) Extrapolao dos resultados por meio de Intervalos de Confiana e Teste de Hipteses

    Populao x Amostra

    Notao dos parmetros e dos estimadores

    Parmetro Estimador

    Mdia

    Varincia 2

    Desvio padro

    Proporo p

    n

    xx

    1

    )(s

    2

    2

    n

    xx

    2s s

    n

    fip'oup

    Populao Amostra

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    EFB803Estatstica

    Exemplo: Queremos estimar a resistncia compresso de todas as

    peas produzidas por uma mquina (populao de peas) e faremosisso por meio da mdia. Ento a varivel que iremos avaliar aresistncia compresso das peas (em Mpa):

    Variao amostral

    Variao dosresultados

    x = x = x =

    Amostra A Amostra B Amostra C

    70,11 70,12 70,09 70,14 70,12 70,09 70,08

    70,12 70,11 70,12 70,07 70,11 70,10 70,09

    70,09 70,10 70,09 70,11 70,12 70,09 70,08

    70,08 70,09 70,08 70,05 70,07 70,11 70,05

    70,07 70,12 70,13 70,12 70,12 70,14 70,1370,13 70,14 70,13 ...

    =70,105

    Populao

    70,108 70,106 70,086

    Intervalos de Confiana para a mdia

    Sempre que tivermos que estimara mdia populacional (),

    faremos isso a partir da mdia da amostra(x);

    Mas, ao usar a amostra para realizar essa inferncia,estamos sujeitos a cometer um erro de estimao, de forma que:

    e =x-

    A idia construir um intervalo de valores que contenha o

    verdadeiro valor da mdia desejada () de modo que isso ocorra

    com um alto grau de certeza/confiana (o que equivale a uma

    probabilidade que ser fixada com valor igual a 1 -).

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    Intervalo de Confiana bilateralpara a mdia

    J foi dito que o estimador de a mdia amostral x;Ao fazer isso, podemos cometer um erro de estimao para

    mais ou menos

    Ento, o IC(

    ) vai ser da forma x ee equivale semi-

    amplitude do intervalo

    O teorema do limite central (TLC) garante que se uma varivel

    aleatria (v.a.) X tem mdia e varincia 2, ento X tambm

    uma v.a. e possui distribuio de probabilidade que converge uma distribuio normal com mdia e varincia 2/n

    nNX

    2

    ;~

    1oCASO: a varincia populacional 2 CONHECIDA

    exIC )(1

    Uma vez que 2 conhecido, usamos diretamente do teorema o

    resultado:

    nNX

    2

    ;~ 1;0~ N

    n

    XZ

    nzxIC

    21

    )(

    Intervalo de Confiana bilateralpara a mdia

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    Idia:

    X

    1-

    Padronizao

    nNX

    2

    ;~ 1;0~NZ

    exIC )(1 n

    zxIC

    2

    1 )(

    x-e

    x e

    Z

    1-

    2

    z

    2

    z

    /2/2

    ExemploDeseja-se estimar a largura mdia de um tipo de pea. Para isso

    considera-se uma amostra de 25 peas da qual obtemos umalargura mdia igual a 5,20 cm. Pelo histrico da produo dessapea, sabe-se que variabilidade da largura das peas tem desviopadro de 0,5 mm, construa o IC com 95% de confiana desejado.

    Z0

    95%

    2

    z

    2

    z

    2,5%2,5%

    Do enunciado, temos: x=5,20 cm

    =0,05 cm n=25 (1-)=0,95

    Da tabela da N(0,1), obtemos que =1,962

    z

    25

    05,096,12,5)(%95 IC

    0196,02,5)(%95 IC

    ]2196,5;1804,5[)(%95 IC

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    2oCASO: a varincia populacional 2 DESCONHECIDA

    Nesse caso, no vale

    nNX

    2

    ;~

    Aqui, temos que substituir a varincia desconhecida (2) pela

    estimativa da amostra (s2).

    1~

    nt

    n

    s

    XT

    Assim, temos o seguinte resultado:

    Intervalo de Confiana bilateralpara a mdia

    1;0~N

    n

    XZ

    2oCASO: 2 DESconhecido

    exIC )(1

    n

    stxIC

    2

    1 )(

    Intervalo de Confiana bilateralpara a mdia

    1~

    nt

    n

    s

    XT

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    Exemplo

    Deseja-se estimar a nota mdia de um exame aplicado em umvestibular. Para isso foi considerada uma amostra de 16 candidatossubmetidos a esse vestibular e, dela, obteve-se uma nota mdia de7,3 e um desvio padro de 0,4. Construa o IC com 95% desejado.

    16

    4,0

    131,23,7)(%95 IC

    213,03,7)(%95 IC

    ]513,7;087,7[)(%95 IC

    Do enunciado, temos: x=7,3 s=0,4 n=16 (1-)=0,95

    Da tabela da t15, obtemos que =2,1312

    t

    T0

    95%

    2

    t

    2

    t

    2,5%2,5%

    t15

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    ICs unilateraispara a mdia

    0 0

    1-

    1-

    p/ obter a Mn p/ obter a Mx

    nzxMn

    n

    stxMn

    nzxMx

    n

    stxMx

    )1,0(~ NZ

    1ntou

    ouou

    Quando o nosso interesse for somente a estimativa mnima da mdia

    populacional (Mn) ou somente a estimativa mxima (Mx) podemos obteras estimativas unilaterais.

    Nesse caso, a probabilidade (1-) fica toda de um lado s da curva eno mais em sua regio central.

    Exerccio (1 de 5)

    Para estimar a renda mdia familiar (em reais)em uma cidade do interior de SP, uma amostra de 100famlias foi avaliada de onde obtivemos uma renda

    mdia igual a R$ 850,00. Usando a informao maisrecente do censo, sabe-se que o desvio padro darenda familiar nesse municpio igual a R$ 90,00.

    Estime a renda mdia familiar na cidade atravsde um intervalo de 95% de confiana.

    IC() = [832,36; 867,64]

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    Exerccio (2 de 5)

    Um pesquisador quer saber qual o tempomdio gasto para executar um teste de laboratrio.Para isso, observou o tempo de 25 execues doteste e obteve uma mdia de 52 minutos e um desviopadro de 4 minutos. Obtenha o intervalo com 95%de confiana para o verdadeiro tempo mdio deexecuo do teste.

    IC() = [50,349; 53,651]

    Exerccio (3 de 5)

    Uma amostra aleatria de 12 pinos de desvio retirada em um estudo da dureza Rockwell da cabeados pinos. Medies na escala de dureza Rockwell

    foram realizadas para cada um dos 12 pinos,rendendo um valor mdio de 48,50 unidades. Essespinos so produzidos com um desvio padroespecificado pelo fabricante igual a 1,5 unidades.Estime a mnima dureza mdia do material com umaconfiana de 97%Min = 47,686

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    Exerccio (4 de 5)

    Com uma amostra de 16 dias do ltimo msestimou-se a temperatura mdia e o desvio padrodas temperaturas e, obtendo-se, respectivamente:12,1C e 3,0C.

    Obtenha, com 99% de confiana, a estimativamxima para a temperatura mdia das temperaturasdo ltimo ms.Max = 14,052C

    Exerccio (5 de 5)

    O peso de um produto uma varivel aleatriacujo desvio padro conhecido pelo processo defabricao. Para estimar o peso mdio de um lote

    desse produto, colheu-se uma amostra de 25unidades do produto e construiu-se o intervalo com95% de confiana para o peso mdio que resultou em(152,0 19,6) gramas. Qual o valor do desviopadro?50 gramas