Mecânica dos Fluidos

3.0 Estática dos Fluidos

Roda de Falkirk

Fonte: http://www.thefalkirkwheel.co.uk/

3.0 Estática dos Fluidos

Pela definição de fluido, este é qualquer substância que escoa sobre a aplicação de uma tensão de cisalhamento. Os fluidos estáticos, ou seja, em repouso, estão apenas sobre a influência de uma tensão norma (PRESSÃO). Contudo, o objetivo principal desta unidade será calcular o CAMPO DE PRESSÃO de um fluido estático.

Fluido estático, apenas sobre a influencia da pressão atmosférica.

∆𝑝 = 𝜌𝑔ℎ

3.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos

Quais as forças aplicadas em um fluido?

Forças atuando dentro de um fluido

Forças de massa

Forças de superfície

3.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos

dVgdmgFd B

Forças de massa: GRAVIDADE (g)

2° Lei de Newton

P = m . g 𝑑𝐹 = dm . g

dVdm 𝜌 = 𝑑𝑚

𝑑𝑉

Massa específica

3.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos

Em coordenadas cartesianas:

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Forças de massa

𝑑𝐹𝑚 =𝑔 𝑑𝑚 = 𝑔 𝜌𝑑𝑉

𝑑𝐹𝑚=𝜌𝑔 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

3.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos

Forças de superfície: PRESSÃO

𝑃 = 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑃 =𝐹

𝐴

Pressão agindo em cada uma das 6 faces do elemento de fluido

• O

3.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos

Forças de pressão que agem pelas faces laterais (desenvolvimento da

série de Taylor)

Pressão na face esquerda (Pfe): 𝑃𝑓𝑒 = 𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝑑𝑦

2

Pressão na face direita (Pfd): 𝑃𝑓𝑑 = 𝑝 +𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝑑𝑦

2

𝑑𝐹𝑓𝑒 = 𝑃𝑓𝑒𝑑𝑥 𝑑𝑧(j) ^

3.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos

𝑑𝐹𝑠 =

𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑥

2𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑖 + 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑥

2𝑑𝑦 𝑑𝑧 −𝑖 +

𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝑑𝑦

2𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑗 + 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝑑𝑦

2𝑑𝑥 𝑑𝑧 −𝑗 +

𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑧

𝑑𝑧

2𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑘 + 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧

𝑑𝑧

2𝑑𝑥 𝑑𝑦 −𝑘

𝑑𝐹𝑠 = −𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Somando e simplificando, obtemos:

Força de superfície

dxdydzkz

pj

y

pi

x

pFd S .

dxdydzpdxdydzpgradFd S .).(

pkz

jy

ix

kz

pj

y

pi

x

ppgradp

Fisicamente, o gradiente de pressão é o negativo da força de superfície por unidade de volume devido à pressão.

3.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos

dmaFd .

Fluido estático : 0a

0. gp

Força total atuando em um elemento de fluido = 0

Combinando as formulações desenvolvidas para as forças agindo em um elemento fluido, temos:

Força de massa: 𝑑𝐹𝑚=𝜌𝑔 (𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧)

Força de superfície: 𝑑𝐹𝑠 = − 𝛻𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Obtém-se a força total atuando:

Para uma partícula fluida, a 2° lei de Newton fornece:

𝑑𝐹 = 𝑑𝐹𝑚 + 𝑑𝐹𝑠 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 dV

0. gp

Fluido estático Força total atuando em um elemento de fluido = 0

Força de superfície: Força de pressão total por

unidade de volume num ponto

Força de massa: Força peso por unidade de

volume num ponto

Equação Básica da Estática dos Fluidos

0.

0.

0.

z

y

x

gz

p

gy

p

gx

p

y

x

z g gggg zyx 00

0

x

p0

y

p

gz

p.

0. gp

𝛻𝑝 =𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑘

Devido ao gradiente de pressão (Δp) está equação é vetorial, consistindo

em três componentes que devem ser satisfeitas individualmente, sendo:

0

x

p0

y

p gz

p.

gdz

dp.

Restrições: 1) Fluido estático 2) A gravidade é a única força de campo 3) O eixo z é vertical e voltado para cima

ɣ=peso específico

Equação Básica da Estática dos Fluidos

gdz

dp.

Equação Básica da Estática dos Fluidos

Para determinar a distribuição de pressão dentro de um fluido estático, a equação deve ser integrada, aplicando as apropriadas condições de fronteiras.

y x

z * Z; p0

Z0 ; p

Z-Z0 = H

Qual é a altura da coluna de mercúrio (𝛾𝐻𝑔 = 136000 𝑁/𝑚³) que irá produzir na

base a mesma pressão de uma coluna de água? (𝛾𝐻2𝑜 = 10000 𝑁/𝑚³)

Na figura, o fluido A é água e o fluido B, mercúrio. Qual é a pressão em p1? Dados:

𝛾𝐻𝑔 = 136000𝑁

𝑚3; 𝛾𝐻2𝑜 = 10000𝑁

𝑚3 .

Resp.: 368 mm

Resp.: 13,35 KPa

Determine as pressões nos pontos A e B. Dados:

Resp.: Pa= 5,6 kPa Pb=13 kPa

Referências: livros do Fox, Brunetti ,e “material de aula do professor Hélder

Alves de Almeida Júnior”.