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EFB803 – Estatística

ESCOLA DE ENGENHARIA MAUÁ

EFB803

Intervalo de Confiança para a proporção p

e Cálculo de n

Aula-5 (2oBim)

Notação dos parâmetros e dos estimadores

Parâmetro Estimador

Média

Variância 2

Desvio padrão

Proporção p

n

x x

1

)( s

2

2

n

xx

2 s s

n

fi p'ou p̂

População Amostra

2

EFB803 – Estatística

IC Bilateral para a proporção p

O estimador de p é a proporção amostral p’ (ou )

O intervalo IC(p) vai ser da forma p’ ± e

p̂

n

pppNp

aprox )1(;~'

.

Propriedade:

(desde que np ≥5)

n

ppzppIC

)'1(' ')(

2

1

Idéia:

P’ p’+ e p’- e

1-

Padronização

n

pppNp

)1(;~' 1 ; 0~ NZ

eppIC ')(1 n

ppzppIC

)'1('')(

2

1

p Z 0

1-

2

z2

αz

/2 /2

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EFB803 – Estatística

Exemplo 1

Deseja-se estimar a proporção de aprovação de candidatos a

um exame. Uma amostra de 150 candidatos submetidos à avaliação

apresentou 120 aprovações. Obtenha o intervalo com 93% de

confiança para a verdadeira proporção de aprovações no teste.

150

)20,0.(80,081,180,0)(%93 pIC

]86,0 ;74,0[)(%93 pIC

Z 0

93%

2

z2

αz

3,5% 3,5%

Do enunciado, temos: n =150; (1-) = 0,93;

Da tabela da N(0,1), obtemos que 81,1%5,3

2

zz

80,0150

120' p

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EFB803 – Estatística

IC UNILATERAL para a proporção p

Nosso interesse é estimar a proporção populacional mínima (ou

somente a estimativa máxima):

n

ppzppMín

)'1(' '

n

ppzppMáx

)'1(' '

0 0

1-α

α α

1-α

1 0,~ NZ

Para obter pMín : ep ´ Para obter pMáx : ep ´

? ?

Dimensionamento de amostras

Para determinar o tamanho n da amostra de forma a obter uma

estimativa precisa e confiável fixamos o nível de confiança desejado

e o erro máximo admitido na estimação:

P/ a média (com variância 2 conhecida) 2

2

2

.

n

e

z

nze

P/ a média (com variância 2 DESconhecida) 2

2

2

.

n

e

st

n

ste

OBS: Nesse 2o caso, precisamos de uma estimativa inicial do “s” (ou

“s2”).Como a amostra definitiva ainda não está dimensionada, trabalhamos

com uma amostra preliminar (piloto) para estimar o desvio padrão amostral.

5

EFB803 – Estatística

Dimensionamento de amostras

P/ a proporção

)'1(' n )'1('

2

2

2

ppe

z

n

ppze

OBS 1: Nesse caso, também precisamos de uma estimativa inicial do

p’. Como a amostra definitiva ainda não está dimensionada, na prática

trabalhamos com uma amostra preliminar (piloto) para estimar a

proporção amostral.

OBS 2: z e e são valores previamente fixados. O valor de n será máximo

quando p’(1-p’) for máximo. Isso ocorre quando p’ = 0,5.

Exemplo 2

Para estimar o consumo diário médio de água (em ml) por

pessoa em uma comunidade, fixou-se que seria construído um

intervalo com 92% de confiança e um erro de estimação de 50ml.

Sabendo-se que o desvio padrão do consumo diário de água por

pessoa é de 250ml, qual deve ser o tamanho da amostra?

Z 0

92%

2

z2

αz

4% 4%

Do enunciado, temos: n =?; (1-) = 0,92; = 250 ml e e = 50

Da tabela da N(0,1), obtemos que 75,1%4

2

zz

2

2

2

.

n

e

z

nze

7756,7650

250.75,1

.

n

2

2

2

e

z

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EFB803 – Estatística

Exemplo 3

Cento e cinqüenta candidatos foram submetidos à uma avaliação e

houve 120 aprovações. Qual deve ser o tamanho da amostra de

candidatos para ser possível estimar a verdadeira proporção de

aprovação com uma confiança de 95% e um erro de 3%?

Z 0

95%

2

z2

αz

2,5% 2,5%

Do enunciado, temos: n =150; (1-) = 0,95; e = 0,03 e

Da tabela da N(0,1), obtemos que 96,1%5,2

2

zz

80,0'p

)'1('. n )'1('

2

2

2

ppe

z

n

ppze

68320,0.80,0.03,0

96,1 n

2

Exercício (1 de 3)

A resistência à tração (em MPa) de 50 corpos de

prova de adamantium foi obtida e é dada abaixo:

As peças com resistência entre no mínimo 132

Mpa e no máximo 147 MPa são consideradas

adequadas para o uso a que serão destinadas (garras

para proteção individual). Estime a verdadeira

proporção de peças não viáveis considerando uma

confiança de 95%.

131 144 145 132 146 134 135 147 135 148

138 130 149 138 140 139 139 144 143 142

137 138 137 136 137 138 139 136 139 138

137 138 137 136 137 138 139 136 139 138

139 138 140 141 139 138 136 138 142 139

Resp.: [0,0048; 0,1552] ou [0,48%; 15,52%]

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EFB803 – Estatística

Exercício (2 de 3)

Deseja-se estimar a proporção de pessoas que

consomem determinado produto em uma cidade. Para

isso, colheu-se uma amostra de 230 moradores e foi

construído o intervalo de confiança para a proporção

desejada, obtendo-se [25,03%; 34,97%].

a) Qual foi o nível de confiança usado na construção

deste intervalo?

b) Se quisermos um intervalo mais preciso, com uma

margem de erro de 2,5%, qual deve ser o tamanho da

amostra? Considere o nível de confiança obtido no

item anterior. Resp.: 90% e 910

Exercício (3 de 3)

A resistência à tração (em MPa) de 20 corpos de

prova de certo material foi obtida e é dada abaixo:

a) Obtenha o intervalo com 95% de confiança para a

verdadeira resistência média.

b) Calcule o tamanho da amostra de forma que o intervalo

apresente uma margem de erro igual a 0,5 MPa.

131 144 145 132 146 134 135 147 135 148

138 150 149 138 140 139 139 144 143 142

Resp.: IC(µ) = [138,27; 143,63] e n = 576