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Equações Booleanas

Aula - Lógica de Simplificação

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Page 1: Aula - Lógica de Simplificação

Equações Booleanas

Page 2: Aula - Lógica de Simplificação

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Page 3: Aula - Lógica de Simplificação

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Page 4: Aula - Lógica de Simplificação

Construção de Circuitos Digitais Simples

DescriçãoInformal

TabelaVerdade Equação

Lógica

F= a.b + c.d + a.c

Otimização

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CircuitoLogico

ProtótipoProdutoFinal

Simulação

Page 5: Aula - Lógica de Simplificação

Expressões Booleanas

� Expressões formadas por sinais de entrada ligados por conectivos lógicos, produzindo como resultado um único sinal de saída.

S = A . B + C

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� O comportamento de qualquer expressão booleana pode ser totalmente determinado através da construção de sua tabela-verdade.

Page 6: Aula - Lógica de Simplificação

Obtenção da Expressão Lógica a partir da

Tabela Verdade

� Exemplo:

A B F

6

0 0 0

0 1 1 ���� A.B

1 0 1 ���� A.B

1 1 0 F = A.B + A.B

Page 7: Aula - Lógica de Simplificação

Obtenção da Expressão Lógica a partir da

Tabela Verdade

Regra:

� Inicialmente construímos um termo para cada linha da tabela verdade com saída 1 � o termo é formado pelo produto (AND) das variáveis

7

� o termo é formado pelo produto (AND) das variáveis de entrada, sendo estas negadas quando o valor de entrada for 0.

� a expressão lógica é obtida somando-se (OR) os termos A B F

0 0 0

0 1 1 A.B

1 0 1 A.B

1 1 0 F = A.B + A.B

Page 8: Aula - Lógica de Simplificação

Exercício:Obtenha a expressão lógica da tabela verdade abaixo:

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

A . B . C

8

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

A . B . C

A . B . C

S = A.B.C + A.B.C + A.B.C

Page 9: Aula - Lógica de Simplificação

Exercício do Alarme Bancário

� Obtenha a expressão lógica:

S I R A

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

9

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1 A = S.I.R + S.I.R + S.I.R

S.I.R

S.I.R

S.I.R

Page 10: Aula - Lógica de Simplificação

Exercício do Alarme Bancário

� Obtenha as expressões lógicas:

A I Alarme A B Detec

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 1

10

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

Alarme = Detec = A.I A.B + A.B + A.B

Page 11: Aula - Lógica de Simplificação

Obtenção da Tabela Verdade a partir da

Expressão Lógica

� A construção de tabelas-verdade deverá respeitar a ordem de precedência:

Ordem: 1° () 2 ° NÃO 3 ° E 4 ° OU

� Construa a Tabela Verdade da Expressão abaixo:

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� Construa a Tabela Verdade da Expressão abaixo:S = A . B + A . B

Entradas Resultados intermediários SaídaA B A B A.B A.B S0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 11 0 0 1 0 1 11 1 0 0 0 0 0

Page 12: Aula - Lógica de Simplificação

Exercício

� Construa a tabela-verdade das seguintes expressões booleanas:

a) S = A + B . C

b) S = A . B . C

c) S = (B + C) . A

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c) S = (B + C) . A

d) S = A + B

e) S = A + B . C

f) S = (A + B) . C

g) S = A . (B + C)

Page 13: Aula - Lógica de Simplificação

Equivalência e Expressões Lógicas

� Duas Equações Lógicas são equivalentes se - e somente se - para as mesmas entradas, produzirem iguais valores de saída (tabela verdade).

� Exercício: Verifique se as Equações Lógicas a seguir são equivalentes:

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a) A + B A . B

b) A + B A + B

c) X . Y + Z X . (Y + Z)

d) A + B . A A + B

Page 14: Aula - Lógica de Simplificação

Construção de Circuitos Digitais Simples

DescriçãoInformal

TabelaVerdade Equação

Lógica

F= a.b + c.d + a.c

Otimização

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CircuitoLogico

ProtótipoProdutoFinal

Simulação

Page 15: Aula - Lógica de Simplificação

Manipulação Algébrica

� As expressões booleanas podem ser manipuladas visando sua simplificação.

� Expressões simples geram circuitos mais otimizados, reduzindo tempo de execução, consumo de energia e custo.

15

custo.

Ex: S = A . (A + B) propriedade distributivaS = A.A + A.B propriedade complementoS = 0 + A.B propriedade elemento nuloS = A.B

Page 16: Aula - Lógica de Simplificação

Propriedades da Manipulação Algébrica

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Page 17: Aula - Lógica de Simplificação

Otimização de Expressões Booleanas

� F = A.B + A.B + A.B� F = A.B + A.(B+B)� F = A.B + A.(1)� F = A.B + A� F = A + A.B� F = A + B

DistributivaComplemento

IdentidadeComutativaAbsorção 2

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� F = A + B Absorção 2

Page 18: Aula - Lógica de Simplificação

Otimização de Expressões Booleanas� propriedade distributiva

� S = A.A + A.B propriedade complemento

� S = 0 + A.B propriedade elemento nulo

� S = A.B

� S = A . (A + B)

� S = A . B + A . (C . D + C . D)

� S = A . B + A . (C . (D + D))

S = A . B + A . (C . 1)

18

� S = A + B . A

� S = A . B + A . (C . 1)

� S = A . B + A . C

� S = A . (B + C)

� S = A . B . A

� S = A . B

� S = A + B

� S = A + B

Page 19: Aula - Lógica de Simplificação

Simplifique a Expressão do Alarme

� Tabela Verdade:

S I R A

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

19

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

A = S.I.R + S.I.R + S.I.RS.I.R

S.I.R

S.I.R

Page 20: Aula - Lógica de Simplificação

Exercício

� Obtenha a expressão simplificada:

ABC + ABC + ABC

Pode ser reduzida a:

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Pode ser reduzida a:

AB + BC

ou

B(A + C)

Page 21: Aula - Lógica de Simplificação

Obtenção da Equação Lógica

DescriçãoInformal

TabelaVerdade Equação

Lógica

F= a.b + c.d + a.c

Otimização

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CircuitoLógico

ProtótipoProdutoFinal

Simulação