1. (UFMG) – Sabe-se que a equação x4 – 6x3 +15x 2 – 18x + 10 = 0 admite as raízes complexas 1 – i e 2 + i. Quais as demais raízes dessa equação?

a. -1 – i e –2 + i b. 1 + i e 2 + i

c. -1 + i e –2 – i

d. 1 – i e 2 – i

e. 1 + i e 2 – i X

2. (PUC – SP) – Qual dos números abaixo é raiz da equação 15x3 + 7x2 – 7x + 1 = 0 ?

a. 7/15 b. 1/2

c. 2/3

d. 3/5

e. 1/3 X

3. (VUNESP) – Uma das raízes da equação 2x3 + x2 – 7x – 6 = 0 é x = 2.pode-se afirmar que :

a. As outras raízes são imaginárias; b. As outras raízes são 17 e – 19;

c. As outras raízes são iguais;

d. As outras raízes estão entre – 2 e 0; X

e. Só uma das outras raízes é real.

4. (UFRN) – A equação (x + 1) (x2 + 4) = 0 tem :

a. Duas raízes reais e uma imaginária; b. Uma raiz real e uma imaginária;

c. Duas raízes reais e duas imaginárias;

d. Uma raiz real e duas imaginárias; X

e. Apenas raízes reais.

5. (PUC - SP) – As raízes da equação 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 são :

a. 7; 6 e 1/7 b. 6; 5 e 1/6

c. 1; 3 e 1/3 X

d. 2; 4 e 1/2

e. 5; 7 e 1/5

6. (PUC – RJ) – Sobre as raízes da equação x3 – x2 + 3x – 3 = 0, podemos afirmar que :

a. Nenhuma raiz é real; b. Há uma raiz real e duas imaginárias; X

c. Há três raízes reais, cuja soma é 3;

d. Há três raízes reais, cuja soma é 1;

e. Há três raízes reais, cuja soma é – 3;

7. (ITA – SP) – A equação (1 – x) (1 – x).x = 1 – x2 tem :

a. Três raízes reais; b. Uma raiz dupla igual a 1;

c. Não tem raízes complexas;

d. S = {1; i ; - i}; X

e. Nda.

8. (CEFET – PR) – Os valores de p e q para que i seja raiz da equação 2x3 + px2 + qx + 2= 0, são respectivamente :

a. 2 e 2 X b. -1 e 0

c. 1 e –1

d. 1/2 e 2

e. 1/2 e 0

9. (UEPG – PR) – O polinômio P(x) = x3 – x2 + x + a é divisível por x – 1.Suas raízes são:

a. 1, i e – i X b. -1, - i e i

c. 0, 1 e i

d. 1, - 1 e – i

e. Nda

10. (PUC – SP) - O grau mínimo que um polinômio de coeficientes reais admite, sabendo-se que 1 + i e – 1 + i são raízes, é :

a. 1º grau; b. 2º grau;

c. 3º grau;

d. 4º grau; X

e. 5º grau.

11. (ITA – SP) – A equação 4x3 – 3x2 – 4x – 3 = 0 admite uma raiz igual a i (unidade imaginária).Deduzimos que :

a. Tal equação não admite raiz real menor que 2; b. Tal equação admite como raiz um número racional; X

c. Tal equação não admite como raiz um número positivo;

d. Tal equação não possui raiz da forma bi, com b < 1;

e. Nda

12. (MACK – SP) – A equação 2x4 – 3x3 – 13x2 + 37x – 15 = 0 tem uma raiz igual a 2 + i.As outras raízes da equação são :

a. 2 – i; - 3; 1/2 X b. 2 + i; 3; -1/2

c. 3 – i; -3; 1/2

d. 3 + i; - 1 ;-3/2

e. 2 – i; 1; 3/2

Relações de Girard -  Albert Girard (1590-1633).

São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica .

Para uma equação do 2º grau , da forma ax2 + bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes

relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2 :

x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .

Para uma equação do 3º grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e x3 as raízes

, temos as seguintes relações de Girard :

x1 + x2 + x3 = - b/a

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

x1.x2.x3 = - d/a

Para uma equação do 4º grau , da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as raízes

iguais a

x1 , x2 , x3 e x4 , temos as seguintes relações de Girard :

x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a

x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

x1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a

x1.x2.x3.x4 = e/a

NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fácil a memorização

das fórmulas

1 - UEFS-91/1 - Sejam três polinômios em x:

P = -2x3 - 2x2 + 2x -1 ; Q = ( 2x2 + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3 . 

Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente

iguais a:

Resp: x2 + (3/4)x + 13/16 e -7/16

2 - UEFS-92/1- Sejam P = 5x - 2 , Q = ( 4 + 25x2 )2 e R = 5x + 2; então (PR)2 - Q

é:

Resp: - 400x2

3 - UEFS-92/1 - Se o resto da divisão de P(x) = x3 + ax + b por Q(x) = x2 + x + 2

é 4, então a + b vale:

Resp: 3

4 - UEFS-93/1 - O conjunto verdade da equação 18x3 + 9x2 - 2x -1 = 0 está

contido em:

a) [-2,-1)

*b) [-1,1)

c) [1,2)

d) [2,3)

e) [3,4)

5 - UEFS-94/1 - A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é:

Resp: 3/2

1. (AMAN-RJ)- A soma das raízes da equação x4- x3- 4x2+ 4x = 0 é igual a:

a. 0 b. 1 X

c. -4

d. 4

e. nda

 

2. (UFPR)- A média aritmética das raízes da equação x3 - x2 - 6x = 0 é:

a. 1 b. 1/3 X

c. 8/3

d. 7/3

e. 5/3

 

3. (CESGRANRIO-RJ)- A soma das raízes de x4 + 1 = 0 é:

a. 1 b. -1

c. 0 X

d. i

e. -i

 

4. (UFSE)- A soma e o produto das raízes da equação x3 + x2 - 8x - 4 = 0 são, respectivamente:

a. - 8 e - 4 b. - 8 e 4X

c. - 4 e 1

d. - 1 e 4

e. 4 e 8

 

5. (FGV-SP)- A soma e o produto das raízes da equação x4 - 5x3+ 3x2+ 4x - 6 = 0 formam qual seguinte par de valores ?

a. -5; 6

b. 5; - 6 X

c. 3; 4

d. 1; 6

e. 4; 3

 

6. (PUC-PR)- Se a, b e c são raízes da equação x3- 4x2- 31x + 70 = 0, podemos afirmar que log2(a + b + c) é igual a:

a. 4 b. 0

c. 1

d. 2 X

e. nda

 

7. (UNESP-SP)- Consideremos a equação x2+ ax + b = 0. Sabendo-se que 4 e -5 são as raízes dessa equação, então:

a. a = 1, b = 7 b. a = 1, b= -20 X

c. a = 3, b = -20

d. a = -20, b = -20

e. a = b = 1

 

8. (PUC-SP)- Os números complexos 1 e 2 + i são raízes do polinômio x3+ ax2 + bx + c , onde a, b e c são números reais. O valor de c é:

a. - 5 X b. - 3

c. 3

d. 5

e. 9

 

9. (UFMT)- Sejam -2 e 3 duas das raízes da equação 2x3- x2 + kx + t =0, onde k, t IR

A terceira raiz é:

a. -1 b. -1/2 X

c. 1/2

d. 1

e. nda

 

10. (UECE)- Se p e q são as raízes da equação 2x2- 6x + 7= 0, então (p + 3)(q + 3) é igual a:

a. 41/2 b. 43/2 X

c. 45/2

d. 47/2

 

11.(UFMG)- As raízes da equação 2x2 - 2bx + 3 = 0 são positivas e uma é o triplo da outra. Então o valor de b é:

a. -2 b. -2

c. 2

d. 2 X

e. 4

 

12. (MACK-SP)- uma das raízes da equação x2+ ax + 2b =0, a e b reais, é 1 - .i .Os valores de a e b são, respectivamente:

a. -2 e 3/2 X b. -2 e -3/2

c. 2 e -3/2

d. 2 e 2/3

e. 2 e 3/2

 

13. (FGV-SP)- Se a soma das raízes da equação kx2 + 3x - 4 = 0 é 10, podemos afirmar que o produto das raízes é:

a. 40/3 X b. -40/3

c. 80/3

d. -80/3

e. -3/10

 

14. (UFP-RS)- A soma dos inversos das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é igual a:

a. -3/4 b. -1/2

c. 3/4 X

d. 4/3

e. 2

 

15. (MACK-SP)- Uma raiz da equação x3- 4x2 + x + 6 = 0 é igual à soma das outras duas. As raízes dessa equação são:

a. 2, -2, 1 b. 2, -1, 3 X

c. 3, -2, 1

d. 1, -1, -2

e. nda

 

16. (CEFET-PR)- Se a, b, e c são raízes da equação x3- 8x2 + 24x - 16 = 0, então o valor de sen( /a + /b + /c) será:

a. -1 X b. 1

c. -8/24

d. -16/24

e. 1/2

 

17. (ITA-SP)- A soma dos quadrados das raízes da equação x3+ x2 + 2 x + 8 = 0 é igual a:

a. 5

b. 5 - 4 X

c. 12

d. 9+ + 2

e. nda

 

18. (PUC-SP)- O produto de duas das raízes da equação 4x3- 33x2 + 68x - 15 = 0 é 3/4. A soma das duas maiores raízes da equação é:

a. 13/4 b. -2

c. 21/2

d. 8 X

e. 11

 

19. (MACK-SP)- As raízes (x1 ,x2 ,x3) da equação x3- 3x2 + cx + d = 0 formam uma progressão aritmética de razão 3, então o valor de x1 . x2 . x3 é:

a. -8 X b. 12

c. 3

d. 9

e. 6