AJUSTE NO LINEAR

Realizar previses ou projees uma das preocupaes das atividades de negcios e governamentais. Nas empresas necessrio prever as vendas, os estoques, os custos, o fluxo de caixa etc para um determinado perodo, como o oramento anual do prximo ano. Na administrao pblica se faz necessrio prever o nmero de habitantes, a arrecadao, os custos dos servios prestados etc. Essas previses implicam em estabelecer relaes entre duas ou mais variveis que tenham a habilidade de prever uma ou mais delas em funo das restantes. As previses podem ser realizadas a partir do conhecimento dos dados de um corte transversal da populao, por exemplo, amostras da quantidade produzida e do preo mdio dos produtos, ou das vendas e do investimento em propaganda etc.

Essa relao tambm pode ocorrer entre uma varivel e o tempo, por exemplo, o consumo de energia mensal, as vendas semanais de uma empresa, as exportaes e importaes mensais do pas etc. A anlise da reta de regresso linear mostrou que nem todos os pares de valores das amostras esto includos na prpria reta e, em alguns casos, esse afastamento pode insinuar um tipo de curva diferente de uma linha reta; por exemplo, o grfico de disperso dos pares de valores das amostras pode exibir a forma de uma curva exponencial ou de um polinmio de segundo grau. Trataremos, agora, das previses realizadas com o ajuste de funes no-lineares transformadas em retas e, depois, das previses futuras de observaes coletadas periodicamente, ou em funo do tempo.

Transformao em LinearesComo muitos processos econmicos so mais bem explicados com funes matemticas no-lineares, foram desenvolvidos modelos no-lineares que se tornam lineares depois de uma transformao com logaritmos naturais ln, como mostra a tabela seguinte.

Na primeira linha dessa tabela foi registrada a equao da regresso linear simples conhecida. Nas outras trs linhas da tabela esto registradas trs funes no-lineares e as transformaes das variveis x e y para torn-las funes lineares semelhantes da primeira linha da tabela. Nas duas ltimas colunas da tabela do slide anterior so mostradas as transformaes com logaritmos das variveis x e y, esgotando as quatro combinaes de logaritmos com duas variveis, incluindo a alternativa de no aplicar logaritmos. Para cada uma dessas equaes ser apresentado o procedimento de ajuste de cada curva.

Funo ExponencialA funo exponencial muito til para os casos em que a varivel dependente varia com uma taxa percentual constante. Aplicando logaritmos nos dois membros dessa funo exponencial se obtm a expresso linear .

Para realizar essa transformao, observe o seguinte:Os valores da amostra y devem ser transformados em lny formando a nova amostra com valores lny. Os valores da amostra x permanecem sem transformao.

Com os valores das novas variveis x e lny:Calcular os coeficientes de regresso, intercepto h e declividade k. Foram adicionadas as novas constantes h e k para distingui-las dos coeficientes da funo exponencial a e b.Calcular o coeficiente de determinao r2.Calcular os coeficientes da funo exponencial a e b, considerando:Como o intercepto h da reta lna, o coeficiente a=eh.A declividade k o prprio coeficiente b=k.

Exemplo

O departamento de vendas da rede de varejo relacionou as vendas anuais y com o investimento anual x em propaganda, ambos em milhes, cujos valores esto registrados na tabela seguinte. Ajustar a curva da funo exponencial

Funo Logartmica

A funo logartmica uma expresso linear. Entretanto, os valores da varivel x devem ser transformados:Os valores da amostra y permanecem sem transformao, e os valores da amostra x devem ser transformados em lnx formando a nova amostra com valores lnx.

Com os valores das novas variveis y e lnx:Calcular os coeficientes de regresso, intercepto h e declividade k para distingui-los dos coeficientes da funo exponencial a e b.Calcular o coeficiente de determinao r2.Calcular os coeficientes da funo logartmica a e b, considerando que:O intercepto h o prprio coeficiente a=h.A declividade k o prprio coeficiente b=k.

Exemplo

Continuando com o Exemplo anterior. Ajustar a curva da funo logartmica

Funo PotnciaA funo potncia muito til para negcios, principalmente a curva de aprendizado. Aplicando logaritmos nos dois membros da funo potncia obtm-se a expresso linear . Para realizar essa transformao, observe que:Os valores da amostra y devem ser transformados em lny, formando a nova amostra com valores lny.Os valores da amostra x devem ser transformados em lnx, formando a nova amostra com valores lnx.

Com os valores das novas variveis lny e lnx:Calcular os coeficientes de regresso, intercepto h e declividade k para distingui-los dos coeficientes da funo potncia a e b.Calcular o coeficiente de determinao r2.Calcular os coeficientes da funo potncia a e b, considerando que:Se o intercepto h da reta lna, ento o coeficiente a=eh.A declividade k o prprio coeficiente b=k.

Resumo das Transformaes

Qual dessas curvas deve ser escolhida? Se as premissas da regresso linear foram atendidas pelas quatro transformaes, deve-se escolher a curva com maior coeficiente de determinao. No exemplo que est sendo desenvolvido, a curva que melhor explica a potncia, pois seu coeficiente de determinao o maior das quatro regresses analisadas. De forma geral, os exemplos apresentados mostraram que a transformao das variveis relacionadas de forma no-linear cria novas variveis relacionadas de forma linear que podem ser analisadas dentro do modelo de regresso linear.

Foi visto que a transformao das funes exponencial, logartmica e potncia permite utilizar o modelo de regresso linear simples apesar de no ser linear a relao entre as variveis originais. Essa idia estendida para o modelo de regresso linear mltipla, por exemplo, transformando a relao no linear de mais de duas variveis num polinmio de grau n. Neste livro ser mostrado o comando linha de tendncia para ajustar um polinmio.

Linha de TendnciaAs transformaes anteriores foram realizadas utilizando os recursos das funes estatsticas e o registro de frmulas na planilha Excel. Com o comando Linha de tendncia do Excel possvel realizar essas e outras transformaes dentro do ambiente de grficos do Excel, tais como grficos de reas 2-D no empilhadas, barras, colunas, linhas, aes, disperso (xy) e bolhas. Para construir a linha de tendncia numa planilha Excel, deve-se registrar a tabela com os dados das duas amostras e depois construir o grfico de disperso, procedimento realizado na planilha Linha de tendncia da pasta Captulo 15, como mostra o slide seguinte.

Depois de clicar em OK na caixa de dilogo do slide anterior, o Excel constri a curva ajustada e registra no mesmo quadro sua equao e coeficiente de determinao. Esses valores esto registrados em um bloco que pode ser mudado de posio. O slide seguinte mostra primeiro o grfico de disperso e depois o mesmo grfico com a curva ajustada e o bloco com a equao e o coeficiente de determinao.

possvel modificar as definies da linha de tendncia depois de construda, procedendo como segue:Clicar em qualquer ponto da linha de tendncia construda e depois, mantendo o cursor dentro do grfico, clicar o boto direito do mouse e selecionar Formatar linha de tendncia.Outra alternativa mais rpida clicar duas vezes seguidas com o boto esquerdo do mouse em qualquer ponto da linha de tendncia.

Ajuste PolinomialUm polinmio uma funo do tipo Uma linha de tendncia polinomial pode ajustar uma curva quando os dados tm diversas variaes. A escolha da ordem da polinomial pode ser determinada pelo prprio perfil que os dados sugerem num grfico de disperso. Por exemplo, uma linha de tendncia polinomial de segundo grau possui apenas um mximo ou um mnimo relativo, pois se trata de uma parbola. Um polinmio de terceiro grau geralmente possui um ou dois mximos ou mnimos relativos.

Um polinmio de quarto grau pode possuir at trs mximos ou mnimos relativos. importante observar que, em geral, o ajuste ser realizado com um tramo da curva do polinmio. Uma funo polinomial de segundo grau muito til para modelar curvas de custos, como mostra o Exemplo 16.3.

Exemplo 16.3O gerente de projeto do novo motor realizou testes de consumo de combustvel em funo da velocidade do prottipo de carro que utilizar esse motor. Ajustar a curva polinomial adequada aos dados registrados na planilha Ajuste polinomial, includa na pasta Captulo 16.

SoluoO ajuste polinomial foi realizado na planilha Ajuste polinomial, includa na pasta Captulo 16, considerando a linha de tendncia polinomial de segundo grau, como mostra o slide seguinte.

Exemplo 16.4Ajustar a curva polinomial adequada aos dados registrados na planilha Ajuste polinomial II includa na pasta Captulo 16.

SoluoO grfico de disperso do slide seguinte mostra o ajuste com um polinmio de sexto grau que apresentou o maior coeficiente de determinao R2=0,9631. Esse resultado foi conseguido depois de tentar manualmente as cinco alternativas disponveis, do polinmio grau dois at o polinmio de grau seis, utilizando a caixa de dilogo Formatar linha de tendncia.

SRIES TEMPORAISEm geral, as previses so realizadas com dois tipos de observaes. No primeiro grupo esto includos os dados coletados num determinado perodo, por exemplo, durante uma hora, um dia, uma semana, um ms, trs anos etc. Embora no tenham sido coletados no mesmo instante, esses dados no sofrero influncia do tempo decorrido entre eles, aceitando-se que o prazo da coleta de informaes adequado para atender ao objetivo da pesquisa. Esses dados sero utilizados para realizar previses que no dependero do tempo. Por exemplo, a previso do consumo de combustvel para uma velocidade de 105 km por hora do novo motor do Exemplo 16.3.

Outro exemplo, na previso dos resultados de uma pesquisa de opinio a demora de uma semana para coletar os dados no influir nas inferncias que sero realizadas a partir dos resultados da pesquisa, entretanto, um prazo de seis meses poder no ser adequado. O outro grupo de observaes inclui os dados coletados periodicamente, por exemplo, as vendas dirias da loja, a taxa de inflao mensal, as cotaes da bolsa a cada trinta minutos etc. Esses dados formam uma srie temporal, pois so periodicamente coletados, e a varivel de interesse y est associada varivel tempo t ou a varivel dependente y e a varivel independente t. Dessa maneira, yt o valor da varivel y no tempo t, como mostra o slide seguinte.

O objetivo projetar o valor a partir do conhecimento dos valores coletados y at o tempo t descrito com a funo geral

Como realizar as projees, ou que funo utilizar para realizar a melhor projeo? H diversas formas de realizar projees, das quais destacamos trs grupos que sero apresentados a seguir: Taxa mdia de crescimento, Regresso e Mdia mvel.

PROCEDIMENTO INICIALO procedimento de projeo simples considera que o valor do prximo perodo t+1 o do perodo anterior t utilizando a funo

Na planilha Modelo simples, includa na pasta Captulo 16, foi construdo o modelo de projeo das vendas dirias de uma empresa utilizando o procedimento simples.

TAXA MDIAMesmo que seja fcil de calcular, a projeo simples de t+1 incluindo tendncia utiliza somente os valores observados em t-1 e t. A projeo pela taxa mdia um procedimento que utiliza todos os dados disponveis, ou parte desses dados. O clculo da taxa mdia fcil, entretanto esse procedimento necessita de ateno para ser aplicado, como mostra o Exemplo 16.5.

Exemplo 16.5A planilha Exemplo 16.5 includa na pasta Captulo 16 registra a rentabilidade de uma carteira de investimento durante dez meses, do ms t-9 at o ms t, medida com a taxa mensal de juro i. O objetivo projetar a taxa de juro para o ms t+1.

SoluoConhecidas as taxas mensais de juro de dez meses, parece sensato calcular a taxa mdia mensal utilizando a mdia aritmtica das dez taxas de juros mensais.

Entretanto, quando as variaes so significativas, a mdia da taxa de juro retornar um resultado superior da que seria obtida na prtica financeira, como o valor da mdia aritmtica 0,44% ao ms calculada na clula G4 da planilha. O procedimento recomendado utilizar juros compostos, que calculam a taxa equivalente de juro i utilizando a frmula seguinte, onde Mg o resultado da mdia geomtrica das taxas de juros mais um:

Funo do ExcelMDIA.GEOMTRICA(nm1; nm2; ... ; nm30)A funo estatstica MDIA.GEOMTRICA retorna a mdia geomtrica dos valores da amostra. Cada um dos nm pode ser um intervalo de clulas de uma planilha contendo valores numricos ou assemelhados. A mdia geomtrica Mg definida como

com os valores Xi maiores que zero.Comparando com a mdia aritmtica:A mdia geomtrica menos afetada por valores extremos e sempre menor que a mdia aritmtica. A mdia geomtrica uma medida mais central quando os valores da varivel apresentam uma taxa constante de crescimento.

Funo do ExcelVFPLANO(capital;plano)A funo financeira VFPLANO retorna o valor futuro de um capital inicial, sujeito a capitalizaes peridicas com valores de taxas de juro definidas no argumento plano. A funo financeira VFPLANO calcula o futuro F da frmula conhecida

Se capital for igual a 1, a funo VFPLANO retornar o valor (1+i). Nesse caso, a taxa total de juro da operao poder ser obtida com a frmula =VFPLANO(1;plano)-1. Observe que essa funo utiliza os valores das taxas de juros do intervalo C4:C13.

A projeo utilizando taxa mdia de uma srie de dados temporais de fcil aplicao, no requerendo clculos complexos, e pode ser til para obter de forma rpida uma estimativa aproximada. Esse procedimento de projeo pode ser aplicado a qualquer tipo de srie, entretanto, mais recomendado para sries que apresentem tendncia de crescimento positivo, negativo ou cclico mas com pouca volatilidade. A projeo deve ser aceita como tentativa e no deve ser utilizada para mais de um perodo.

Exemplo 16.6

PROJEO MDIA MVELA projeo pela mdia mvel o resultado da mdia dos k ltimos valores coletados t, t1, t2, ..., tk+1 e calculada com

mantendo constante o nmero de valores k utilizados no clculo da mdia.

Pode-se dizer que o futuro projetado pela mdia do passado.

Exemplo 16.7Com os dados registrados na Figura 16.9, projetar as vendas dirias da empresa pelo modelo da mdia mvel considerando a mdia dos trs ltimos meses. Depois, repetir a projeo com a mdia dos seis ltimos meses.SoluoO dados e a soluo esto na planilha Mdia mvel do Captulo 16. A projeo de vendas em t+1 com mdia mvel dos trs ltimos 305, resultado registrado na clula D17. O valor projetado em t+1 pode ser obtido com a frmula:

A venda da empresa do Exemplo 16.7 foi projetada pela mdia mvel considerando 3 meses, coluna D, e 6 meses, coluna F, anteriores data de projeo. Qual das duas projees a melhor? Deve-se escolher a projeo que apresentar menor erro de projeo. O procedimento de mdia mvel no prtico quando o nmero de valores coletados grande e so necessrias atualizaes freqentes, ou quando apenas os ltimos valores so relevantes. Para realizar projees com mdia mvel o Excel dispe dos recursos naturais da planilha, como foi apresentado anteriormente, da ferramenta de anlise Mdia mvel e do comando Linha de tendncia utilizado no Captulo 15 e apresentado de forma completa no incio deste captulo.

FdeA Mdia mvel

Funo do ExcelSOMAXMY2(matriz_x; matriz_y)A funo matemtica SOMAXMY2 retorna a soma dos quadrados das diferenas dos valores correspondentes de matriz_x e matriz_y. Essa funo retorna o resultado de

a soma dos quadrados dos erros de projeo.

PROJEO REGRESSO LINEARO ajuste de uma reta de regresso um modelo linear que relaciona a varivel dependente y e a varivel independente x por meio da equao de uma reta que resume a relao linear entre duas variveis, em que as variaes de y so provocadas pelas variaes de x. Agora a varivel independente o tempo xt que varia de forma peridica e provoca as variaes da varivel dependente yt atravs da funo . Sabendo que a melhor reta aquela cuja soma dos quadrados dos desvios mnima, ser possvel ajustar uma reta numa varivel y que varia com o tempo utilizando os conceitos apresentados no Captulo 15.

Exemplo 16.8

A projeo utilizando a regresso linear simples muito fcil de utilizar devido s facilidades operacionais do Excel, que resume todo o contedo das informaes nos coeficientes da reta de regresso. Entretanto, no se deve esquecer o tratamento linear da soluo recebida que pode ser melhorada com os ajustes no-lineares apresentados, utilizando os recursos do comando Linha de tendncia do Excel.

PROJEO ALISAMENTO EXPONENCIALEmbora seja fcil de aplicar, a projeo pela mdia mvel requer que uma considervel quantidade de dados se mantenha armazenada. Outra desvantagem que todos os dados da srie tm o mesmo peso, sendo que em muitos casos os dados mais recentes so mais relevantes que os anteriores. A primeira desvantagem poderia ser eliminada calculando mdias ponderadas, por exemplo, na mdia de trs dados o mais prximo teria mais peso que os dois restantes, mantendo a soma dos pesos igual a um. Esse procedimento eliminaria a primeira desvantagem, mas manteria a necessidade de manter muitos dados armazenados adicionando complexidade ao procedimento de clculo.

Essas duas desvantagens da projeo com mdia mvel so atenuadas com o alisamento exponencial, realizando a projeo de y em (t+1) com a expresso

sendo a constante de alisamento com valores entre zero e um. Analisando essa frmula, pode-se ver que o valor projetado de y em (t+1) a mdia ponderada do dado coletado yt no perodo anterior t e da projeo no mesmo perodo t.

Exemplo 16.9

FdeA Ajuste exponencial

Ajuste da constante de alisamento