PROBABILIDADE

Leandro S. A. Gonçalves

Teoria dos conjuntos:

Notação: letra maiúscula - conjunto.

letra minúscula – elemento do conjunto.

Exemplo: A = {a,b,c}

Relacionar elementos e conjuntos:

Am nce"não..perte"

a pertence""

A

Relacionar conjunto com conjunto:

contém""

contido está"

"

Operações entre conjuntos:

Aconjunto doar complement

interseção

união

_

AUA

Lei dos conjuntos:

1) Lei cumulativa: ABBA

ABBA

2) Leis associativas: )()(

)()(

CBACBACBA

CBACBACBA

3) Leis distributivas: )()()(

)()()(

CABACBA

CABACBA

4) Lei da identidade:

A

AA

AA

A

5) Leis complementares ou leis de Morgan: ___________

___________

BABA

BABA

Diagrama de VENN – O retângulo funciona como o universo

μ

A

BC

φCA A e C são conjuntos disjuntos

Mostrar que ___________

BABA

Representar, em diagramas de VENN, as seguintes operações:

CBe)A

C)(AB)(AC)(Bd)A

C)(AB)(AC)(Bc)A

Ab)B

Ba)A_

__

1 - Introdução

A teoria das probabilidades, surgiu nos séculos XV e XVI, relacionadas com jogos de azar.

Com o advento da teoria das probabilidades, foi possível estabelecer as distribuições de probabilidade, consideradas hoje a espinha dorsal da teoria estatística, pois todos os processos inferências são aplicações de distribuição de probabilidade.

Assim, o conhecimento dos conceitos advindo da teoria das probabilidades é de grande importância para uma correta utilização da técnica estatística.

Espaço Amostral

É o universo de todos os possíveis resultados do experimento. É representado pela letra S.

Lançamento de um dado

S={1,2,3,4,5,6}

Lançamento de uma moeda

S={cara,coroa}

Os elementos do espaço amostral S são chamados de pontos amostrais

Eventos

São subconjuntos do espaço amostral S. Um espaço amostral S possui vários eventos.

Ex: lançamento de um dado

S={1,2,3,4,5,6}

Sejam os eventos

A: Ocorrência de números impares:

A = {1,3,5} evento. um é ASA

B: Ocorrência de números pares:

B = {2,4,6} evento. um é BSBAB__

Eventos Mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se os conjuntos A e B são disjuntos.

.exclusivos emutualment eventos os e disjuntos são conjuntos OsBA

Probabilidade de um evento A: P(A)

S amostral espaço do elementos de nº

Aevento do elementos de nºP(A)

1P(A)0(S)nº

(A)nºP(A)

Exemplo: Dado o experimento E: lançamento de dois dados

amostrais pontos 36

(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)

(5,6)(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)

(4,6)(4,5)(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)

(3,6)(3,5)(3,4)(3,3)(3,2)(3,1)

(2,6)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)(2,1)

(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)(1,1)

S

A – Ocorrer nº impar no 1º dado

2

1

36

18P(A)

Sejam os eventos

B – Ocorrer soma dez

B = {(4,6),(5,5),(6,4)}

12

1

36

3P(A)

TEOREMAS

1. Se Φ representa o conjunto vazio, então P(Φ)=0

0P(A)-P(A))P(

)P(P(A)P(A)

)P(AP(A)

AA

Ex: Lançamento de um dado

S = {1,2,3,4,5,6}

A = {sair a face 8}

06

0P(A)

))___

AP(-1P(A) ou P(A)-1AP( então A,dear complement evento ofor A Se 2.

P(B)P(A) então B, ASe 3.

A

_

A

S

S

A B

4. Teorema da soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

B)P(A-P(B)P(A)B)P(A

Exemplo: Uma urna contém 15 bolas enumeradas de 1 a 15. Sendo A e B os eventos retirar uma bola múltipla de 3 e 4, respectivamente, pede-se:

B)P(A

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}

A={3,6,9,12,15} P(A)=5/15

B{4,8,12} P(B)=3/15

15/1)(12 BAPBA

B)P(A-P(B)P(A)B)P(A

7/151/15-3/155/15B)P(A

C)BP(A-C)P(B- C)P(A-B)P(A-P(C)P(B)P(A)C)BP(A

:então quaisquer, eventos três forem C B, A,Se

ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS

Quando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Em particular, se S contém n pontos, então, a probabilidade de cada ponto será 1/n.

Por outro lado, se um evento A contém t pontos, então:

n

r

n

1r.P(A)

ocorre S amostral espaço o que em vezes de nº

ocorrer pode Aevento o que em vezes de nºP(A)

Combinação de r elementos tomados (combinados) p a p (p ≤ r). Calcula-se por:

)!(!

!

prp

r

n

r

pCr,

Exemplo: Quantas comissões de três pessoas podem-se formar um grupo de dez pessoas.

Exemplo: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcule:

a) A probabilidade de ambas serem defeituosas?

b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas?

c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosas?

Exemplo – Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:

a) Ela não tenha defeitos graves?

b) Ela não tenha defeitos?

c) Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves?

Exemplo – Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que:

a) Ambas sejam perfeitas?

b) Pelo menos uma seja perfeita ?

c) Nenhuma tenha defeito grave ?

d) Nenhuma seja perfeita ?

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Seja E um experimento. Sejam A e B dois eventos associados ao experimento. A probabilidade de A ocorrer dado que B já tenha ocorrido é chamado probabilidade condicional de A dado B, e é definida por:

0P(B) P(B)

B)P(AP(A/B)

;

Existem duas condicionais:

P(A)

B)P(AP(B/A)

P(B)

B)P(AP(A/B)

;

;

Exemplos:

1) Um comerciante possui um lote de 100 lâmpadas, dos quais 80 são da marca A e as restantes da marca B. Sabendo-se que das lâmpadas marca A 30 apresentam defeitos e somente uma da marca B apresenta defeito. Pergunta-se: Se o comerciante pega ao acaso uma lâmpada.

a) Qual a probabilidade dela ser da marca A dado que sabemos ser defeituosa?

b) Qual a probabilidade de ser defeituosa dado ser ela marca B?

c) Se a lâmpada é da marca A, qual a probabilidade de não ser defeituosa.

Marca A Marca B Total

Defeituosa 30 1 31

Perfeita 50 19 69

80 20 100

2 – Uma urna contém 20 bolas das quais 9 são brancas, 5 azuis e 6 vermelhas. Duas bolas são retiradas sucessivamente da urna sem reposição. Determinar as seguintes probabilidades:

a) Da 2º bola extraída ser vermelha, se a 1º foi vermelha?

b) De extrairmos bolas de cores diferentes?

c) De extrairmos bolas de cores iguais?

3 – Em um colégio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em química e 10% em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é selecionado aleatoriamente. Pergunta-se:

a) Se ele foi reprovado em química, qual a probabilidade de ter sido reprovado em matemática?

b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ter sido reprovado em química?

c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em química ou matemática?

d) Qual a probabilidade de não ter sido reprovado em nenhuma delas?

e) Qual a probabilidade de ter sido reprovado somente em matemática?

f) Qual a probabilidade de ter sido reprovado somente em química?

TEOREMA DO PRODUTO

“ A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço-amostra, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro.

Assim: P(B)(A/B) B)P(A

P(B)

B)P(AP(A/B)

P(A)(B/A) B)P(A P(A)

B)P(AP(B/A)

EXEMPLOEm um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?

INDEPENDÊNCIA ESTATÍSITCA

Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual à probabilidade condicional de A dado B, isto é, se:

P(A/B)P(A)

É evidente que, se A é independente de B, B é independente de A; assim:

P(B/A)P(B)

Considerando o teorema do produto, pode-se afirmar que: se A e B são independentes, então:

P(A).P(B)B)P(A

EXEMPLO Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas.

EXEMPLO Uma urna contém cinco bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha?

TEOREMA DE BAYES

:se-tem ,i"" cada para Então,

P(B/A). iscondiciona adesprobabilid as todas conhecidas são que tal S

dequalquer evento um B e eventos, vários dos conhecidas adesprobabilid as )P(A Sejam

S.AA Aque tais exclusivos emutualment eventos n , A...., , A, A ASeja

i

n21n321 ,

)).P(B/AP(A......)).P(B/AP(A)).P(B/AP(A

)).P(B/AP(AB)P(A

nn2211

iii

/

EXEMPLO Admita a seguinte configuração:

Urnas u1 u2 u3

Cores

Pretas 3 4 2

Brancas 1 3 3

Vermelhas 5 2 3

Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? da 3?

EXEMPLO As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente 2/3; 4/5 e 7/10Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de:

a)Todos acertarem?b)Apenas um acertar?c)Todos errarem?

EXEMPLO Numa bolsa temos cinco moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,50. Qual a probabilidade de, ao retiramos duas moedas, obtermos R$ 1,50?