Aula Probabilidade

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PROBABILIDADELeandro S. A. GonalvesTeoria dos conjuntos: Notao: letra maiscula - conjunto. letra minscula elemento do conjunto.Exemplo:A = {a,b,c}Relacionar elementos e conjuntos: A m nce" no..perte "a pertence" " ARelacionar conjunto com conjunto: contm" "contido est " "Operaes entre conjuntos: A conjunto do arcomplementinterseounio _AUALei dos conjuntos: 1) Lei cumulativa: A B B AA B B A 2) Leis associativas:) ( ) () ( ) (C B A C B A C B AC B A C B A C B A 3) Leis distributivas:) ( ) ( ) () ( ) ( ) (C A B A C B AC A B A C B A 4) Lei da identidade: AA AA AA5) Leis complementares ou leis de Morgan: __ __ _________ __ _______B A B AB A B A Diagrama de VENN O retngulo funciona como o universoABC C A A e C so conjuntos disjuntosMostrar que __ __ _______B A B A Representar, em diagramas de VENN, as seguintes operaes: C B e)AC) (A B) (A C) (B d)AC) (A B) (A C) (B c)AA b)BB a)A___ 1 - IntroduoA teoria das probabilidades, surgiu nos sculos XV e XVI, relacionadas com jogos de azar. Comoadventodateoriadasprobabilidades,foipossvelestabeleceras distribuiesdeprobabilidade,consideradashojeaespinhadorsaldateoria estatstica, pois todos os processos inferncias so aplicaes de distribuio de probabilidade.Assim, o conhecimento dos conceitos advindoda teoria das probabilidades de grande importncia para uma correta utilizao da tcnica estatstica.

Espao Amostralouniversodetodosospossveisresultadosdoexperimento. representado pela letra S.Lanamento de um dado S={1,2,3,4,5,6}Lanamento de uma moeda S={cara,coroa}OselementosdoespaoamostralSsochamadosdepontos amostraisEventosSo subconjuntos do espao amostral S. Um espao amostral S possui vrios eventos. Ex: lanamento de um dado S={1,2,3,4,5,6}Sejam os eventosA: Ocorrncia de nmeros impares:A = {1,3,5} evento. um A S A B: Ocorrncia de nmeros pares:B = {2,4,6} evento. um B S B A B__ Eventos Mutuamente exclusivosDois eventos A e B so ditos mutuamente exclusivos se os conjuntos A e B so disjuntos.. exclusivos e mutualment eventos os e disjuntos so conjuntos Os B A Probabilidade de um evento A: P(A)S amostral espao do elementos de n A evento do elementos de nP(A) 1 P(A) 0(S) n(A) nP(A) Exemplo: Dado o experimento E: lanamento de dois dadosamostrais pontos 36(6,6) (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1)(5,6) (5,5) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1)(4,6) (4,5) (4,4) (4,3) (4,2) (4,1)(3,6) (3,5) (3,4) (3,3) (3,2) (3,1)(2,6) (2,5) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1)(1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1)S ]]]]]]]]]]

A Ocorrer n impar no 1 dado21 3618P(A)Sejam os eventosB Ocorrer soma dezB = {(4,6),(5,5),(6,4)}121 363P(A)TEOREMAS1. Se representa o conjunto vazio, ento P()=00 P(A) - P(A) ) P() P( P(A) P(A)) P(A P(A)A A + Ex: Lanamento de um dadoS = {1,2,3,4,5,6}A = {sair a face 8}0 60P(A)) )_ _ _A P( - 1 P(A) ou P(A) - 1 A P( ento A, de arcomplement evento o forA Se 2. P(B) P(A) ento B, A Se 3. A_ASSA B4. Teorema da soma: Se A e B so dois eventos quaisquer, ento:B) P(A - P(B) P(A) B) P(A + Exemplo: Uma urna contm 15 bolas enumeradas de 1 a 15. Sendo A e B os eventos retirar uma bola mltipla de 3 e 4, respectivamente, pede-se:

B) P(AS={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}A={3,6,9,12,15} P(A)=5/15B{4,8,12} P(B)=3/15{ 15 / 1 ) ( 12 B A P B AB) P(A - P(B) P(A) B) P(A + 7/15 1/15 - 3/15 5/15 B) P(A + C) B P(A - C) P(B - C) P(A - B) P(A - P(C) P(B) P(A) C) B P(A: ento quaisquer, eventos trs forem C B, A, Se + + ESPAOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVVEISQuando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espao amostralchama-seequiprovvelouuniforme.Emparticular,seScontmn pontos, ento, a probabilidade de cada ponto ser 1/n.Por outro lado, se um evento A contm t pontos, ento: nr

,`

.|n1r. P(A)ocorre S amostral espao o que em vezes de nocorrer pode A evento o que em vezes de nP(A) Combinao de r elementos tomados (combinados) p a p (p r). Calcula-se por:)! ( !!p r prnr

,`

.| p Cr,Exemplo:Quantascomissesdetrspessoaspodem-seformarumgrupo de dez pessoas. Exemplo:Numlotede12peas,4sodefeituosas,duaspeasso retiradas aleatoriamente. Calcule:a) A probabilidade de ambas serem defeituosas?b)A probabilidade de ambas no serem defeituosas?c)A probabilidade de ao menos uma ser defeituosas? Exemplo Um lote formado por 10 peas boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:a) Ela no tenha defeitos graves?b)Ela no tenha defeitos?c) Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves? Exemplo Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peas ao acaso. Qual a probabilidade de que:a) Ambas sejam perfeitas?b)Pelo menos uma seja perfeita ?c) Nenhuma tenha defeito grave ?d) Nenhuma seja perfeita ? PROBABILIDADE CONDICIONALSejaEumexperimento.SejamAeBdoiseventosassociadosao experimento.AprobabilidadedeAocorrerdadoqueBjtenhaocorrido chamado probabilidade condicional de A dado B, e definida por: 0 P(B)P(B)B) P(AP(A/B) > ;Existem duas condicionais:

P(A)B) P(AP(B/A)P(B)B) P(AP(A/B);;Exemplos:1) Um comerciante possui um lote de 100 lmpadas, dos quais 80 so da marca AeasrestantesdamarcaB.Sabendo-sequedaslmpadasmarcaA30 apresentam defeitos e somente uma da marca B apresenta defeito. Pergunta-se: Se o comerciante pega ao acaso uma lmpada.b) Qual a probabilidade dela ser da marca A dado que sabemos ser defeituosa?c)Qual a probabilidade de ser defeituosa dado ser ela marca B?d) Se a lmpada da marca A, qual a probabilidade de no ser defeituosa.Marca A Marca B TotalDefeituosa 30 1 31Perfeita 50 19 6980 20 1002Umaurnacontm20bolasdasquais9sobrancas,5azuise6vermelhas. Duas bolas so retiradas sucessivamente da urna sem reposio. Determinar as seguintes probabilidades:a) Da 2 bola extrada ser vermelha, se a 1 foi vermelha?b) De extrairmos bolas de cores diferentes?c) De extrairmos bolas de cores iguais? 3 Em um colgio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemtica, 15% em qumicae10%emmatemticaequmicaaomesmotempo.Umestudante selecionado aleatoriamente. Pergunta-se:a) Se ele foi reprovado em qumica, qual a probabilidade de ter sido reprovado em matemtica?b) Se ele foi reprovado em matemtica, qual a probabilidade de ter sido reprovado em qumica?c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em qumica ou matemtica?d) Qual a probabilidade de no ter sido reprovado em nenhuma delas?e) Qual a probabilidade de ter sido reprovado somente em matemtica?f) Qual a probabilidade de ter sido reprovado somente em qumica? TEOREMA DO PRODUTO A probabilidade da ocorrncia simultnea de dois eventos, A e B, do mesmo espao-amostra,igualaoprodutodaprobabilidadedeumdelespela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro.Assim: P(B)(A/B) B) P(AP(B)B) P(AP(A/B) P(A)(B/A) B) P(AP(A)B) P(AP(B/A) EXEMPLOEm um lote de 12 peas, 4 so defeituosas, 2 peas so retiradas uma aps a outra sem reposio. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?INDEPENDNCIA ESTATSITCA UmeventoAconsideradoindependentedeumoutroeventoBsea probabilidade de A igual probabilidade condicional de A dado B, isto , se: P(A/B) P(A) evidente que, se A independente de B, B independente de A; assim: P(B/A) P(B) Considerandooteoremadoproduto,pode-seafirmarque:seAeBso independentes, ento:P(A).P(B) B) P(A EXEMPLO Emumacaixatemos10peas,dasquais4sodefeituosas.Soretiradas duaspeas,umaapsaoutra,comreposio.Calcularaprobabilidadede ambas serem boas. EXEMPLO Uma urna contm cinco bolas pretas, trs vermelhas e duas brancas. Foram extradas3bolascomreposio.Qualaprobabilidadedeteremsidoduas bolas pretas e uma vermelha? TEOREMA DE BAYES : se - tem , i" " cada para Ento,P(B/A). is condiciona ades probabilid as todas conhecidas so que tal Sde qualquerevento um B e eventos, vrios dos conhecidas ades probabilid as ) P(A SejamS. A A A que tais exclusivos e mutualment eventos n , A ...., , A , A A Sejain 2 1 n 3 2 1 ,) ).P(B/A P(A ...... ) ).P(B/A P(A ) ).P(B/A P(A) ).P(B/A P(AB) P(An n 2 2 1 1i ii+ + + /EXEMPLO Admita a seguinte configurao:Urnas u1 u2 u3CoresPretas3 4 2Brancas1 3 3Vermelhas 5 2 3Escolheu-seumaurnaaoacasoedelaextraiu-seumabolaaoacaso, verificando-se que a bola branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? da 3? EXEMPLO As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty so respectivamente 2/3; 4/5 e 7/10Se cada um cobrar uma nica vez, qual a probabilidade de:a)Todos acertarem?b)Apenas um acertar?c)Todos errarem? EXEMPLO NumabolsatemoscincomoedasdeR$1,00e4deR$0,50.Quala probabilidade de, ao retiramos duas moedas, obtermos R$ 1,50?