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Aula - Probabilidade
Dejahyr Lopes JuniorDejahyr Lopes Junior
Curso de MatemáticaCurso de Matemática
Aspectos Gerais de Probabilidades
“Após a apuração, apresentação e descrição dos dados obtidos em investigações, o pesquisador busca estender suas observações e conclusões além dos elementos estudados em sua amostra, ou seja, busca fazer inferência. Para fazer inferência estatística usam-se técnicas e conhecimentos de probabilidade..”
Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1, ou 0% a 100%.
Definição de Probabilidade
Experimento Probabilístico – É a ação ou um ensaio por meio do qual resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. Resultado – É a consequência de um único ensaio em um experimento probabilístico (ponto amostral). É o resultado de uma única tentativa. Espaço Amostral – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico.Evento – Consiste em um ou mais resultados e é um subconjunto do espaço amostral.
Definições importantes
Exemplo simples do uso dos termos mencionados
Experimento Probabilístico – Jogar um dado de seis faces. Resultado – Jogar um 2, {2}. Espaço Amostral – {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Evento –Jogar um número par {2, 4, 6}.
Outro Exemplo para clarear a definição de espaço amostral
Dois dados são jogados.Descreva o espaço amostral.
1a jogada
36 resultados2a jogada
Início
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Clássica (resultados igualmente prováveis)
Definição
número de resultados em E
número total de resultados no espaço amostralP(E)=
Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos.
1. Evento A: obter um 3. 2. Evento B: obter um 7. 3. Evento C: obter um número menor do que 5.
1/60/6=0
4/6
1,11,21,31,41,51,6
2,12,22,32,42,52,6
3,13,23,33,43,53,6
4,14,24,34,44,54,6
5,15,25,35,45,55,6
6,16,26,36,46,56,6
Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.
Determine a probabilidade de que a soma seja 11.
Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.
01. Dois dados são jogados e sua soma é anotada.
Espaço amostral e probabilidades
3/36 = 1/12 = 0,083
2/36 = 1/18 = 0,056
(3+2)/36 = 0,139
Eventos complementares
O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E.
02. A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais são defeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso,
determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso. Solução:P (defeituoso) = 5/12P (não defeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583
P(E´ ) = 1 – P(E)
A probabilidade de um evento B ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento A já ocorreu.
03. Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro carro era defeituoso?
Escrevemos essa situação como P(B|A) e lemos “a probabilidade de B, dado A”.
Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço amostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11. Logo, P(B|A) = 4/11.
Probabilidade condicional
Dois dados são lançados. Determine a probabilidadede sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4.
Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral
condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6
Eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A.
A = tomar uma aspirina por dia.B = ter um ataque do coração.
A = ser mulher.B = ter menos de 1,62 m.
Dois eventos que não são independentes são dependentes.
A = ser mulher.B = ter sangue tipo O.
A = 1o filho ser menino.B = 2o filho ser menino.
Eventos independentes
Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B)
Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso.
A = o primeiro carro é defeituoso.B = o segundo carro é defeituoso.
A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.
Dois dados são lançados. A = sair 4 no primeiro e B = sair 4 no segundo. P(B) = 1/6 e P(B|A) = 1/6. Os eventos são independentes.
Recapitulando
Probabilidade condicional
Probabilidade
Compare “A e B” a “A ou B”
O evento composto “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. Para definir P(A e B), usa-se a Regra da Multiplicação.
O evento composto “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B, assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição.
A e B
A B
A B
A ou B
A Bmutuamente exclusivos
não mutuamente exclusivos
Eventos não mutuamente exclusivos
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos.
A = ter menos de 25 anos.B = ser um advogado.
A = ter nascido na Filadélfia.B = ver West wing na TV.
Sem exclusão mútua
P(A e B) ≠ 0 A B
A e B
A Regra da Adição
A probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é: P(A) + P(B) – P(A e B)
04. Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser um rei ou ser de naipe vermelho.A = a carta é um rei. B = a carta é vermelha.
P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52 mas P(A e B) = 2/52
P(A ou B) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = 0,538
A Regra da Adição
05. Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de a carta ser um rei ou um 10.A = a carta é um rei. B = a carta é um 10.
P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52
P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0/52 = 8/52 = 0,153
Quando os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ou B) = P(A) + P(B)
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir.
1. P(Ribeirão e sim)
2. P(São José e Ribeirão)
3. P(Ribeirão ou sim)
4. P(Ribeirão ou São José)
Campinas São José Ribeirão TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
Tabela de contingência
Tabela de contingência
1. P(Ribeirão e sim)
2. P(Ribeirão e São José)
= (150/250) . (250/1.000) =150/1.000 = 0,15
= 0
Campinas São José Ribeirão TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
Tabela de contingência
Campinas São José Ribeirão TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1.000
3. P(Ribeirão ou sim)
4. P(Ribeirão ou São José)250/1.000 + 450/1.000 – 0/1.000= 700/1.000 = 0,7
250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000= 500/1.000 = 0,5
•Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra
•P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
•Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram.
Para eventos complementares P(E ') = 1 – P(E)Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro.
Probabilidade de que ambos os eventos ocorramP(A e B) = P(A) • P(B|A)
Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu.
Resumo
