PLT 166 – CAPÍTULO 3 – CONJUNTOS – PÁG. 129

DEFINIÇÃO: A idéia de conjunto é intuitiva (primitiva); entende-se por conjunto todo agrupamento de elementos que atendem por uma propriedade bem determinada, de coisas, objetos pessoas etc...Exemplos: O conjunto das vogais; O conjunto dos dias da semana;

ELEMENTOS: são os componentes de um conjunto. Eles são indicados por letras minúsculas, números ou símbolos.

INDICAÇÃO E REPRESENTAÇÃOOs conjuntos são nomeados por letras maiúsculas A, B, C.... e, sua representação pode ser feita por meio de chaves { } ou através de uma linha poligonal fechada.Exemplo: A = {a,e,i,o,u} = conjunto das vogais.

CARACTERIZAÇÃO DE UM CONJUNTO

Podemos caracterizar um conjunto por :

a) EXTENSÃO:Quando é possível, designamos todos os elementos do conjunto.

Exemplos : A = {a,e,i,o,u} conjunto das vogais. B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b) COMPREENSÃO: através da indicação de uma propriedade comum a todos os elementos que compõem o conjunto.

Exemplos : A = {x x é vogal} B = {x x é algarismo indo-arábico}

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

Relaciona um elemento a um conjunto. O símbolo utilizado é (pertence) ou

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(não pertence), dependendo da situação. Exemplos: Dado o conjunto A={a,e,i,o,u} podemos dizer que: a A lê-se : “o elemento (a) pertence ao conjunto A” e A lê-se : “o elemento (e) pertence ao conjunto A”u A lê-se : “o elemento (u) pertence ao conjunto A”b A lê-se : “o elemento (b) não pertence ao conjunto A”

TIPOS DE CONJUNTOS

a) FINITO: quando o conjunto possui um número limitado de elementos. EXEMPLOS: A = {a,e,i,o,u} B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b) INFINITO: quando o conjunto possui um número infinito de elementos. EXEMPLOS: Conjunto dos números Naturais, N = {0,1,2,3,4,....} Conjunto dos números inteiros, Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} Conjunto dos números racionais (ou das frações), Q Conjunto dos números reais, R Conjunto dos números complexos, C c) CONJUNTO UNITÁRIO: é aquele formado por um único elemento. EXEMPLOS: A = {lua} conjunto dos satélites naturais do planeta Terra; B = {2} conjunto dos números primos e pares, positivos. d) CONJUNTO VAZIO: é o conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou .

SUBCONJUNTO

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todos os elementos de A pertencem ao conjunto B.EXEMPLO: Seja A = {a,b,c,d} e B = {a,b,c,d,e,f} então podemos dizer que A é subconjunto de B.

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RELAÇÃO DE INCLUSÃO

Utilizada para relacionar dois conjuntos. Se um conjunto A é um subconjunto de B, então o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B contém o conjunto A.Os símbolos utilizados são :

Nome símbolo representaçãoEstá contido A BContém B A

QUANTIDADE DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO

Um conjunto A é subconjunto de B, quando todo elemento de A pertence também ao conjunto B. Sendo assim podemos dizer que todo conjunto é subconjunto dele mesmo, simbolicamente (A A) e, também o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.Os subconjuntos de um conjunto qualquer, diferentes dos conjuntos vazio e dele próprio, são chamados de subconjuntos próprios daquele conjunto. O conjunto das partes de um conjunto, denotado por , é composto por todos os subconjuntos do conjunto dado.

Sendo (n) o número de elementos de um conjunto finito S, a quantidade de subconjuntos deste será dada por 2 , ou seja, (S) possui 2 elementos.

EXEMPLO: Seja o conjunto A = {1,2,3} o número de elementos deste conjunto é 3. Encontraremos 2 subconjuntos ou seja, 2.2.2 = 8 subconjuntos, a saber: , {1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};{1,2,3}.

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OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

1) UNIÃO () Dados dois conjuntos A e B, chama-se União de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x x A ou x B}

EXEMPLO: Dados os conjuntos A= {a,b,c} e B = {c,d,e,f} temos A B = {a,b,c,d,e,f}

2) INTERSECÇÃO ()Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e também pertencem ao conjunto B.

A B = { x x A e x B}

EXEMPLO: Dados os conjuntos A= {a,b,c,d,e} e B = {c,d,e,f,g} temos A B = {c,d,e}

3) DIFERENÇA Dados dois conjuntos A e B, chamamos de diferença entre A e B ao conjunto formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B.

A – B = { x x A e x B}

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EXEMPLO: Dados os conjuntos A= {a,b,c,d,e} e B = {c,d,e,f,g} temos A - B = {a,b}

4) COMPLEMENTARDados dois conjuntos A e B, sendo A um subconjunto de B, chamamos de Complementar de A em relação a B, ao conjunto de todos elementos que pertencem a B e não pertencem a A.

C = B – A = {x x B e x A}

EXEMPLO: Dados os conjuntos B = {a,b,c,d,e,f,g} e A = {d,e,f} temos: C = B – A = {a,b,c,g}

CONJUNTO UNIVERSO

Em determinadas situações matemáticas, tais como a resolução de Diagramas Lógicos, utilizamos o conceito de conjunto Universo, que representa o total de elementos estudados naquela situação.

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Neste caso utilizamos a seguinte notação: C ou A , lê-se: “A complementar”, ou ainda, , lê-se: ”A barra ou, Não A”. Indicamos por: A = = U – A = {x x U e x A}

EXERCÍCIOS

1) Dados os conjuntos A={0,1,2,3,5,6} e B={1,2,3,4,6,8,9}, determinar, por enumeração:

a) A Bb) A Bc) A – Bd) B – Ae) Cf) B A

2) Dados os conjuntos A = {a,b,c} e B = {m,n,p,q} determinar, por enumeração:a) A Bb)A Bc)A – Bd)B – Ae)Cf)B Ag) A h) B

3) Dados os conjuntos A = {xN / 2≤ x 8}e B= {3,4,6} determinar, por enumeração:

a) A Bb)A Bc)A – Bd)B – Ae)C

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f) Cg) Ah) A i) B

EXERCÍCIOS DE REVISÃO SOBRE TEORIA DE CONJUNTOS

1-Dados os conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} e B={5,6,7,8,9} encontre: a) A B b) A Bc) A – B d) C

2-Dados os conjuntos A={0,1,2,3,4,5}; B = {0,2,4} e C = {1,3,5}.Encontre:a) A Bb) A Cc) B Cd) A Be) A Cf) B C

3- Dados os conjuntos A= { -2,-1,0,1,2}, B ={ 0,1,2} e C = {0,-1,-2} 0bter os conjuntos a) C b) Cc) Cd) C

4) Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u}, B = { a,e,i} e C = {o,u}, determine os conjuntos:a) A Bb) A Cc) B Cd) A Be) A Cf) B C

5) Dados os conjuntos A = {0,-1,-2,-3 ,-4}, B = {0,1} e C = {-2,-3,-4} escreva os conjuntos:a) Cb) C

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c) Cd) C

6) Se A e B são dois conjuntos não-vazios tais que: A B = (1,2,3,4,5,6,7,8}, A – B = {1,3,6,7} e B – A = {4,8} Determine o conjunto A B.

RESPOSTAS2) a)A B = {0,1,2,3,4,5} b) A C = {0,1,2,3,4,5} c) B C = {0,1,2,3,4,5} d)A B = { 0,2,4} e) A C = {1,3,5} f) B C = 3)a) C = A – B = {-2,-1} b) C = {1,2} c) C = d) C = 4) a) A B = {a,e,i,o,u} b) A C = {a,e,i,o,u} c) B C = {a,e,i,o,u} d) A B = { a,e,i} e) A C = { o,u} f) B C = 5) a) C = {-2,-3,-4} b) C = {0,-1} c) C = d) C =6) A B = {2,5}

DIAGRAMAS LÓGICOS

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Quando conhecemos as quantidades de elementos dos conjuntos A e B, e a quantidade de elementos da intersecção, podemos determinar a quantidade de elementos da União de A com B através da relação abaixo:

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

Exemplo: Se um conjunto A tem 8 elementos, o conjunto B tem 12 elementos e a intersecção de A com B tem 4 elementos. Qual a quantidade de elementos da União de A com B ?

Resoluçãon(AB) = 8 +12 – 4

n(AB) = 20 – 4n(AB) = 16

Resp. O conjunto União terá 16 elementos.

Os Diagramas Lógicos são muito utilizados em Pesquisas para determinar a quantidade de elementos de um conjunto, ou de alguma de suas partes que apresente uma determinada característica.

Quando trabalhamos com duas características A e B a quantidade de elementos da União é dada pela fórmula apresentada acima e, representada pelo seguinte diagrama.

Quando trabalhamos com três características A, B e C, a quantidade de elementos da União é dada por:

N(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)

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EXERCÍCIOS1) Em um grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Nestas condições, Quantas pessoas dirigem apenas carro? Quantas dirigem apenas moto? R: apenas carro 33; apenas moto 8.

2) Num levantamento realizado por um agente de saúde e saneamento, verificou-se que de um grupo de 900 pessoas, 450 tinham sintomas de uma doença A, 280 tinham sintomas da doença B e 80 tinham sintomas dessas duas doenças. Qual o número de pessoas que não apresentavam sintomas nem de A nem de B? R:250

3) Entrevistando-se 1000 pessoas, verificou-se que todas utilizavam os produtos A ou B. O produto B é utilizado por 400 pessoas e 160 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? R: 760

4)Foram consultadas 1000 pessoas sobre as rádios que costuma escutar. O resultado foi o seguinte: 450 pessoas ouvem a rádio A; 380 escutam a rádio e B e 270 não escutam A nem B. Qual o número de pessoas que escutam as duas rádios? R: 100

5) Numa turma de 42 recrutas onde todos praticam futebol ou basquete, 36 gostam de futebol e 28 de basquete. Quantos recrutas gostam, de futebol e basquete ao mesmo tempo? R: 22

6) Num total de 30 estudantes sabe-se que:

1- 18 gostam de cinema;

2- 14 gostam de teatro;

3- 2 não gostam de cinema nem de teatro.

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Qual o número de estudantes que gostam de cinema e teatro? R: 4

7) De um grupo de N pessoas, 44 lêem o jornal A, 42 lêem o jornal B e 18 lêem ambos os jornais. Sabendo que todos os entrevistados deste grupo é leitor de pelo menos um dos jornais. Qual o número de entrevistados? R: 68

8) Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e 33% fala francês. Se 25% dos alunos não falam nenhuma dessas duas línguas. Qual a porcentagem de alunos que falam francês mas não falam inglês ? R: 30%

9) Realizou-se uma pesquisa e verificou-se que, das pessoas consultadas, 200 ouviam a rádio A, 300 ouviam a rádio B, 20 ouviam as duas rádios e 220 não ouviam nenhuma das duas rádios. Quantas pessoas foram consultadas? R:700

10) Em uma pesquisa foram entrevistados 100 telespectadores; 60 assistiam à televisão à noite e 50 assistiam à televisão de dia. Quantos assistiam à televisão de dia e de noite? R: 10

11) Em uma pesquisa, foram entrevistadas 200 pessoas. 100 delas iam regularmente ao cinema, 60 iam regularmente ao teatro e 50 não iam regularmente nem ao cinema nem ao teatro. Quantas dessas pessoas iam regularmente a ambos? R: 10

12) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. Qual o número de alunos da classe. R: 44

13) Suponhamos que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. Qual o número de estudantes que usa ao mesmo tempo, óculos e relógio? R: 4

14) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas:

PROGRAMAS NÚMERO DE TELESPECTADORES

E 400

N 1220

H 1080

E e N 220

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N e H 800

E e H 180

E,N, H 100

Através destes dados, qual o número de pessoas da comunidade que não assistem a nenhum dos três programas? R: 200

15) Numa pesquisa de opinião sobre a preferência quanto a leitura de três jornais A,B e C, foi apresentada a seguinte tabela:

Jornais Leitores

A 300

B 250

C 200

A e B 70

A e C 65

B e C 105

A, B e C 40

Nenhum 150

Quantos leitores lêem apenas o jornal A? Apenas o jornal B? e apenas o jornal C? Quantas pessoas foram entrevistadas? R: 700

16) 1) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 pessoas compram o produto A,210 pessoas compram o produto B,250 pessoas compram o produto C,20 pessoas compram os 3 produtos,100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos,60 pessoas compram os produtos A e B,70 pessoas compram os produtos A e C,50 pessoas compram os produtos B e C.Quantas pessoas foram entrevistadas?

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17) No problema anterior calcular:a) Quantas pessoas compram apenas o produto A? R:100b) Quantas compram apenas o produto B? R: 120c) Quantas compram apenas o produto C? R:150

18)Numa comunidade são consumidos os tipos de leite A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos,foram colhidos os resultados:

Leite Número de consumidores

A 100B 150C 200A e B 20C 40A e C 30A, B e C 10Nenhum dos três 160

Determine: a) Quantas pessoas foram consultadas? (530) b) Quantas pessoas consomem apenas dois tipos de leite? (60)

c) Quantas pessoas não consomem o leite tipo B? (380)

19) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Quantos jogam tênis e não jogam vôlei? R: 36Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? R: 59Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez ? R: 20

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