Aula utm irineu_2012

Prof. Dr. Irineu da Silva

EESC-USP

Curso de Geomática

Aula UTM

13.05.2012 Irineu da Silva Page 2

As Distâncias na Mensuração

Tipos de distâncias

Existem várias distâncias a serem consideradas na Mensuração.

São elas:

- distância inclinada;

- distância horizontal;

- distância esférica;

- distância plana.


Distância Inclinada e Distância Horizontal

Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir.

s’ = distância inclinada entre P e Q;

s = distância horizontal entre P e Q;

β = ângulo de altura da direção PQ.

θ = ângulo zenital da direção PQ

s = s’cos b ou s =s’sen q


Distância Esférica

Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como a

superfície de referência, tem-se a seguinte situação:

R0 = raio médio da esfera terrestre;

HP = altitude do ponto P;

HQ = altitude do ponto Q;

sP = distância esférica ao nível de P;

sQ = distância esférica ao nível de Q;

s0 = distância esférica ao nível do

mar (H=0)



As superfícies são esferas concêntricas e permitem obter as seguintes

relações:

s

R

s

R H

s

R H

o

o

P

o P

Q

o Q

Para um ponto P de altitude H, tem-se:

o

o

p

o

o

po

P sR

Hs

R

HRs .1.

o

p

Po

R

H

ss

1



Para os cálculos práticos pode-se operar com valores em ppm,

adotando-se uma altitude média para a região de cálculo. Nesse caso,

a redução ao nível do mar pode ser dada por:

ppmHR

Hd

o

610.Re

As reduções podem também ser efetuadas aplicando-se um fator

de escala denominado Fator de Escala Altimétrico (Kalt), conforme

indicado abaixo.

HR

HK

o

alt

1



A tabela a seguir apresenta a variação das distâncias horizontais, em

relação a variação das altitudes, para diversos valores de H (para Ro =

6.362.735m na latitude = 21o58’ 00“S, no Campus da Universidade

Federal de São Carlos).

H(m)\ s(m) 1000 2000 5000 10000

5000 0,785 1,570 3,925 7,850

2000 0,314 0,628 1,571 3,142

1000 0,157 0,314 0,786 1,571

500 0,078 0,156 0,393 0,786


Relação entre a Distância Esférica e a Distância Horizontal

A distância horizontal entre dois pontos situa-se no plano horizontal que

passa pelo ponto inicial. A distância esférica entre dois pontos situa-se

na superfície esférica que passa pelo ponto inicial. Têm-se assim as

seguintes relações:

Q’ = projeção de Q sobre a superfície esférica;

s = distância horizontal em P;

sP = distância esférica ao nível de P;

cP = corda PQ’;

= ângulo no centro da terra.

tan.

2..2:

.:ˆ,,

Po

PoP

PoP

HRs:PQtangente

senHRcQPcorda

HRsQParco



A diferença entre a corda PQ’ e o arco PQ’ e entre a tangente PQ e o

arco PQ’ estão relacionadas na tabela a seguir (para Ro = 6.362.735m

e para Hp = 870m).

sP (m) sP - cP (mm) sP - s (mm)

1000 +0,001 -0,008

2000 +0,008 -0,064

5000 +0,13 -1,03

10000 +1,03 -8,23



Constata-se através desta tabela que, para distâncias inferiores a

10km, a diferença entre a corda e o arco é desprezível, o que já não

ocorre para a diferença entre a tangente e o arco.

Evidentemente, se os pontos P e Q não estiverem na mesma altitude,

haverá uma diferença de distância conforme se adote o plano

horizontal passando por P ou por Q. Essa diferença de distâncias, na

maioria dos casos, pode ser desprezada.


Sistemas de Projeção Cartográfica



As coordenadas planas da superfície terrestre são obtidas a partir do

uso de um sistema de projeção, através do qual se estabelece uma

relação pontual e unívoca entre a superfície de referencia, esférica, e a

superfície do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter as

coordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) da

superfície esférica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de

projeções cartográficas:

- Projeção conforme, que são aquelas que conservam os

ângulos;

- Projeção equivalente, que são aquelas que conservam as

superfícies;

- Projeções que não conservam nem os ângulos e nem as

superfícies mas que possuem outras características

importantes.



É importante salientar que não existe nenhuma projeção cartográfica

que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipsóide duas

superfícies esféricas, torna-se impossível estabelecer uma

representação plana delas sem causar algum tipo de deformação

linear.

Geralmente os países preferem adotar as Projeções Conforme para a

determinação das suas bases cartográficas. As Projeções

Equivalentes são mais interessantes para o estabelecimento de cartas

com escala reduzida (Atlas Geográfico).


Principais Projeções Cartográficas

Cilíndricas, Cônicas e Azimutais


Principais Projeções Cartográficas


Projeções Cilíndricas



As Projeções Cilíndricas podem ser

- Projeção Cilíndrica Normal: o eixo do cilindro coincide

com o eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente à superfície

esférica ao longo do equador.

- Projeção Cilíndrica Transversa: o eixo do cilindro

coincide com o plano do equador e o cilindro é tangente a superfície

esférica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeção TM.

- Projeção Cilíndrica Obliqua: o eixo do cilindro é obliquo

em relação ao eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente a

superfície esférica ao longo de um grande arco de círculo qualquer.



Entre as Projeções Cilíndricas mais importantes vale a pena citar a

Projeção de Mercator



Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeção

Cilíndrica Equivalente. Neste caso a Cilíndrica Equivalente de Lambert.


Projeções Cônicas

Em uma projeção cônica, a superfície esférica é projetada sobre um

cone tangente, o qual é posteriormente desenvolvido para se obter a

carta plana.


Projeções Cônicas

A projeção cônica mais conhecida é a Projeção Cônica Conforme de

Lambert.


Projeções Azimutais

- Projeção Gnômica: o centro de projeção é o eixo da Terra. Essa

projeção não é conforme e nem equivalente.

- Projeção Estereográfica: o centro de projeção é o pólo oposto ao

plano de tangência. Ela é uma projeção conforme.

- Projeção Ortográfica: o centro de projeção está no infinito. Essa

projeção não é conforme e nem equivalente.


Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal

Azimutal Gnômica



Azimutal Esterográfica



Azimutal Ortográfica


A Projeção UTM

A projeção UTM, originada a partir da Projeção Conforme de Gauss, foi

usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Serviço de Cartografia do

Exército Americano (US Army Map Service - AMS), durante a Segunda

Guerra Mundial. A sua principal vantagem é que ela permite representar

grandes áreas da superfície terrestre, sobre um plano, com poucas

deformações e com apenas um grupo de fórmulas.

A projeção UTM é representada sobre um sistema de coordenadas

retangulares, o que a torna bastante útil para ser aplicada na

Mensuração.


Características da Projeção UTM

A projeção UTM é uma projeção cilíndrica conforme que pode ser

visualizada como um cilindro secante à superfície de referência,

orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador.

O cilindro secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro da

superfície de referência, criando, assim, duas linhas de interseção entre

o cilindro e a superfície de referencia. A área de projeção compreende

apenas uma parcela da superfície de referência. Essa área é

denominada fuso ou zona. Cada fuso é representado pelo número do

fuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas na

direção horizontal são denominadas Este e representadas pela letra E.

As coordenadas na direção vertical são denominadas Norte e

representadas pela letra N.





As principais características da projeção UTM são as seguintes:

a) Amplitude dos fusos: 6;

b) Latitude da origem: 0 (equador);

c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso;

d) Falso Norte (translação Norte): 10.000.000 m para o hemisfério Sul;

e) Falso Este (translação este): 500.000 m;

f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996;

g) Numeração das zonas: as zonas são numeradas de 1 a 60, a partir

do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim,

zona 1 - de 180 W a 174 W

zona 60 - de 174 E a 180 E;

h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S;

i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-se

em ângulos retos na projeção;



j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso são

representadas por linhas retas na projeção. Os demais meridianos

são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano

central e os paralelos são representados por linhas côncavas em

relação ao polo mais próximor.



k) O espaçamento entre os meridianos aumenta a medida que eles

se afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidade

da projeção conforme, a escala na direção Norte-Sul também é

distorcida acarretando, assim, a existência de uma escala

diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do

meridiano.


Determinação do Meridiano Central da Projeção UTM

O meridiano central é determinado considerando-se que a sua

variação ocorre de 6 em 6. O primeiro meridiano central possui

longitude igual a 177 e o último possui longitude igual a 3. Os

meridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3, 9,

15, 21, ..........., 45, 51, 57, e assim por diante. Para conhecer

o valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitude

conhecida, basta situá-lo no fuso. A relação fuso/meridiano central

é dada pelas fórmulas:

6

183 CMFuso

MC = 183 - 6 . Fuso


Os Fusos da Projeção UTM






Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM

Para a transformação de coordenadas, tanto para o problema direto

como para o problema inverso, existem fórmulas cujas deduções

podem ser encontradas em obras especializadas. Para os propósitos

deste curso, serão apresentadas a seguir as fórmulas relativas a

transformação de coordenadas geodésicas para coordenadas UTM.

As coordenadas retangulares E, N da Projeção UTM podem ser

calculadas pelas seguintes fórmulas:

5

3

6

42

)()('

)()()('

BpVpIVE

ApIIIpIIIN

Onde,



N = N’ - Para o Hemisfério Norte

N = 10.000.000 – N’ - para o Hemisfério Sul

E = 500.000 + E’- para pontos situados a leste do meridiano central MC

E = 500.000 – E’- para pontos situados a oeste do meridiano central MC

(I) = koS

]63072

354)

1024

45

256

15(

2)1024

45

32

3

8

3()

256

5

64

3

4

11[(

664

642642

senesenee

seneeeeeeaS

2

10"1cos)(

8

0

2

ksensenNII

16

0

4422234

10)cos'4cos'9tan5(24

cos"1)( kee

senNsenIII

4

0 10"1cos)( ksenNIV

12

0

22233

10)cos'tan1(6

cos"1)(

ke

NsenV



"0001,0 p

MC

24

0

32224256

6

6 10)'330cos'270tantan5861(720

cos"1ksenee

senNsenpA

20

0

22224255

5

5 10)'58cos'14tantan185(120

cos"1ksenee

NsenpB


A Convergência Meridiana

Os ângulos medidos no elipsóide estão referidos ao Norte Geográfico

(NG), cuja representação, na projeção UTM, é dada por uma linha curva,

côncava em relação ao meridiano central. As quadrículas UTM, por outro

lado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direção Y

(NQ) na direção Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ângulo

variável para cada ponto, denominado convergência meridiana.


A Convergência Meridiana

A convergência meridiana, no hemisfério sul, é positiva para os

pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para os

ponto situados a Leste do meridiano central.

Um cálculo aproximado do valor da convergência meridiana pode ser

dado pela seguinte fórmula indicada a seguir.

C senOnde,

C = Convergência Meridiana

= Diferença de longitude entre a longitude do ponto

considerado e a longitude do meridiano central

(Long Pt – Long MC)

= Latitude do ponto considerado


Redução à Corda ou Redução Angular

Uma linha unindo dois pontos na superfície de referência esférica é

representada no plano (na projeção) como uma linha curva (arco). Para

as dimensões dos trabalhos topográficos, entretanto, a curvatura dessa

linha é muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada,

aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referência para

calcular a distância e o azimute entre eles. O ângulo formado pela

corda e pela tangente à curva é denominado ângulo de redução à

corda ou ângulo de redução angular, e é representado pela letra

grega , conforme indicado a seguir.


Redução à Corda ou Redução Angular

O valor máximo de , para uma

linha de 10 Km é da ordem de 7”.


O Fator de Escala

Para se obter a distância plana entre dois pontos A e B, é necessário,

inicialmente, corrigir a distância medida na superfície topográfica, em

relação aos fatores meteorológicos e erros instrumentais, em seguida

reduzi-la ao elipsóide de referência e, finalmente, reduzi-la à superfície

plana. Para a redução da superfície de referência à superfície plana,

utiliza-se um fator de escala, representado pela letra kUTM.

A distância plana é obtida multiplicando-se a distância esférica (sobre o

elipsóide de referência) pelo fator de escala kUTM.

0sks UTM


O Fator de Escala

Para evitar que as deformações tornem-se exageradas nas bordas dos

fusos, adotou-se, para a projeção UTM, um fator de escala

k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central.

A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste e

para Leste até atingir o valor k=1,000, nas vizinhanças de

E=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer até o valor

kUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador.


O Fator de Escala

R

Ekk

202

1.2

0UTM

onde,

kUTM = fator de escala

k0 = 0,9996 (fator de escala no MC)

E’ = ordenada entre o meridiano central e o ponto

considerado (500 000 – Ept)

Ro = Raio médio de curvatura


O Fator de Escala

Para aplicar o fator de escala para a correção da distância entre

dois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala médio, se a

distância for pequena, ou uma média ponderada entre os pontos

extremos e o ponto médio, se a distância for grande. Por

exemplo,

Para distâncias inferiores a 15 km propõe-se adotar

Par distâncias maiores do que 15 km propõe-se adotar

2

kBkAk

UTM

6

kB4kAk

meioUTM

K


Ângulos a serem considerados na Projeção UTM

Quando se trabalha com coordenadas UTM é necessário considerar

vários tipos de elementos angulares. Os principais elementos são:

- azimute plano ou azimute da quadrícula (UTM);

- azimute geodésico projetado (proj);

- azimute geodésico (geod);

- convergência meridiana (c);

- redução à corda ().



O azimute plano ou azimute da quadrícula é o ângulo, na projeção,

entre o Norte da quadrícula UTM e a linha reta que une os dois pontos a

serem considerados.

UTM = Arctg ΔE/ΔN

O azimute geodésico projetado é o ângulo, na projeção, entre o Norte

da quadrícula e a tangente ao arco representativo da distância projetada

entre os dois pontos a serem considerados.

proj = UTM +

O azimute geodésico é o ângulo, na projeção, entre o meridiano que

passa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distância

projetada entre os dois pontos considerados

geod = UTM ±c ±






Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

A transformação das coordenadas UTM para coordenadas locais

consiste em realizar uma rotação e a aplicação de um fator de escala.

A rotação é feita em função da convergência meridiana e o fator de

escala adotado deve ser o fator de escala da projeção UTM, corrigido

para considerar a altitude média do local (kTotal).

Para aplicar a transformação, inicialmente, deve-se escolher um

ponto de coordenadas conhecidas como origem da rotação. Em

seguida, calcula-se a convergência meridiana e o fator de escala total

desse ponto, que serão adotados como ângulo de rotação e fator de

escala da transformação.



O procedimento completo de cálculo é o seguinte:

1) escolher o ponto para origem do sistema (P0);

2) calcular a convergência meridiana e o fator de escala desse

ponto:

3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude média

da região;

4) calcular o UTM dos alinhamentos Po - Pi e corrigir com o valor

da convergência meridiana;

5) calcular as projeções

X YP P P Po i o ie

de cada alinhamento, considerando o fator de escala total

(KT=KUTMxKalt);

6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto Pi



ΔN

ΔEarctg UTM

senc .

cUTMGeod

geod

T

PP

PP senk

sX o

io.

geod

T

PP

PPk

sY o

iocos.

X X XP P P Pi o o i

Y Y YP P P Pi o o i



Exemplo:

Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar as

suas coordenadas retangulares no sistema topográfico local.

NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 m

EA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m = 27° 32’ 14.483485” S = 27° 32’ 01.599853” S

= 43° 58’ 15.310008” W = 43° 58’ 01.258185” W

H = 870,000

Raio Médio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m



1. Cálculo da Convergência Meridiana

2. Cálculo do fator de escala altimétrico

3. Cálculo do fator de escala UTM

Para o Pt A

Para o Pt B = 0,99972843

KUTM (médio)= 0,99972794

99986335.01

HR

HK

o

alt

99972745,02

1.2

0

R

Ekk

20

UTM

"92.32'2800 sencA



4. Cálculo do KT

KT = KUTM x Kalt = 0,99959133

5. Origem adotada para o Pt A

XA = 5.000,000

YA = 10.000,000

6. Cálculo da distância plana AB

961,552)()( 22 ABABAB EENNs



7. Cálculo da distância elipsoidal AB (s0)

111,5530 UTMK

ss

8. Cálculo da distância topográfica AB

ou

9. Cálculo do azimute plano AB

10. Cálculo do azimute geodésico AB

187,553TK

ss

"14'40440

AB

ABAB

NN

EEArctg

"41'11440

)( AABABgeo c

187,5530 AltK

ss



11. Cálculo das projeções

12. Cálculo das coordenadas (X,Y) do Pt B

621,396cos.

626,385.

geoAB

geoAB

sY

sensX

626,385.5

626,385

000,000.5

B

AB

A

ABAB

X

X

mX

XXX

621,396.10

621,396

000,000.10

B

AB

A

ABAB

Y

Y

mY

YYY

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